上海市2019年高考数学模拟试卷(含解析)
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷(理科)含答案解析
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
2019年高考真题数学(上海卷含解析)
（1）若{an} 为等差数列，且 a4 15 ，求 Sn ；
（2）若{an} 为等比数列，且
lim
n
Sn
12
，求公比
q
的取值范围．
19．（14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个 人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 2015 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和 政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
7．（5 分）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于 ． x
8．（5 分）在 ABC 中， AC 3 ， 3sin A 2sin B ，且 cos C 1 ，则 AB ． 4
9．（5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续 参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
年份 卫生总费
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
用（亿
绝对数（亿元） 元）
占卫生总费用 比重 (%)
绝对数（亿元）
占卫 生
绝对数 （亿
占卫 生
总 元） 总
费
费
用
用
比
比
重
重
(%)
(%)
2012 28119.00 9656.32 2013 31668.95 10729.34 2014 35312.40 11295.41 2015 40974.64 11992.65 （数据来源于国家统计年鉴）
34.34 33.88 31.99 29.27
10030.70 35.67 8431.98 29.99 11393.79 35.98 9545.81 30.14 13437.75 38.05 10579.23 29.96 16506.71 40.29 12475.28 30.45
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2019年上海市各区高考数学一模试卷(合集共16份)
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析
2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。
2019年高考数学上海卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞＜，求公比q 的取值范围．19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．t数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴=故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r rr T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =时，取最小值，11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，(，2⨯P Q数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）121F P F P ⋅，2221x y ∴-+≤，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；t数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ===可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴==11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e->+，解得50.68t >，数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联立1x my =+和24y x=，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PFP F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦=由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =∴∴∴数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则律得零分。
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝（﹣∞，0），则A∩B＝．2．（4分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题．3．（4分）不等式2＜（）3（x﹣1）的解集为．4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为．5．（4分）已知直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为．6．（4分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||＝．7．（5分）已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是．8．（5分）设函数f（x）＝sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω＝．9．（5分）2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有种．10．（5分）设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0，其前n顶和为S n，若数列{}也为等差数列，则＝．11．（5分）已函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、、满足||＝1，||＝||＝2，且＝0，则当0≤λ≤1时，|﹣λ﹣（1﹣λ）|的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则律得零分。
2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)
2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（ ）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。
若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12， 解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为 ．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形， 可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =， 所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=． 故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”； （3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷解析版
2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“n=4”是“（x+）n的二项展开式中存在常数项”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵二项式（x+）n的通项为T r+1=C n r x r（）n-r=C n r x2r-n（0≤r≤n），∴（x+）n的二项展开式中存在常数项⇔n=2r⇔n为正偶数，∵n=4⇒n为正偶数，n为正偶数推不出n=4，∴n=4是（x+）n的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选：A．二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题．2.长轴长为8，以抛物线y2=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0），长轴长为8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为3，则b==．所以所求的椭圆的方程为：．故选：D．求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A. 若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B. 若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC. 若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD. 若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．故选：C．由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若f（x）=[]，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）的值为（）A. 899B. 900C. 901D. 902【答案】C【解析】解：令g（x）=[]，h（x）=，则g（1）=g（2）=g（3）=g（4）=g（5）=0，g（6）=g（7）=1，g（8）=g（9）=2，g（10）=3，g（11）=g（12）=4，g（13）=5，g（14）=6，g（15）=7g（16）=8，g（17）=9，g（18）=10g（19）=12，g（20）=13，g（21）=14g（22）=16，g（23）=17，g（24）=19g（25）=20，g（26）=22，g（27）=24g（28）=26，g（29）=28，g（30）=30h（1）=5，h（2）=7，h（3）=9，h（4）=10，h（5）=12，h（6）=13，h（7）=14，h（8）=15，h（9）=16，h（10）=17，h（11）=h（12）=18，h（13）=19，h（14）=20，h（15）=h（16）=21，h（17）=22，h（18）=h（19）=23h（20）=24，h（21）=h（22）=25，h（23）=h（24）=26，h（25）=h（26）=27，h（27）=h（28）=28，h（29）=29，h（30）=30，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）=901，故选：C．令g（x）=[]，h（x）=，分别求出x=1，2，3，…，30时，两个函数的值，相加可得答案．本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={-1，0，1，2}，B=（-∞，0），则A∩B=______．【答案】{-1}【解析】解：A∩B={-1}．故答案为：{-1}．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题______．【答案】“若a＜b，则am2＜bm2”【解析】解：“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，故答案为：“若a＜b，则am2＜bm2”．直接写出逆命题即可．本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．7.不等式2＜（）3（x-1）的解集为______．【答案】（-2，3）【解析】解：原不等式可化为：2＜23-3x，根据指数函数y=2x的增函数性质得：x2-4x-3＜3-3x，解得：-2＜x＜3，故答案为：（-2，3）．两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得．本题考查了指数不等式的解法，属基础题．8.在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为______．【答案】【解析】解：∵平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），∴tanθ==，∴tan（π+θ）=tanθ=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式，求得tan（π+θ）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．9.已知直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为______．【答案】12π【解析】解：∵直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，∴△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为：V===12π．故答案为：12π．△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，由此能求出其体积．本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法，考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||=______．【答案】【解析】解：由表格可知，z1=i，z2=2-i，则，∴||=|-1-2i|=．故答案为：．由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．11.已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是______．【答案】（0，4）∪（4，8）【解析】解：由题意可得，，|q|＜1且q≠0a1=4（1-q）∴0＜a1＜8且a1≠4故答案为：（0，4）∪（4，8）由无穷等比数列{a n}的各项和为4得，，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.设函数f（x）=sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω=______．【答案】【解析】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移单位后，所得函数图象对应的函数解析式为y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）．再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω=，故答案为．先求出变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=sin（ωx-ω），再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω=kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω 的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．13.2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有______种．【答案】80【解析】解：利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，故有C95-C43=80，故答案为：80．利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，即可求出．本题考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14.设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0，其前n顶和为S n，若数列{}也为等差数列，则=______．【答案】【解析】解：设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0，a n=1+（n-1）d，S n=，其前n顶和为S n，=1则，=，，数列{}也为等差数列，可得，可得d=2，所以a n=2n-1，S n=n2，===．故答案为：．求出等差数列求和公式，以及通项公式，求出数列的公差，得到数列的和，然后求解数列的极限．本题考查等差数列的应用，数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．15.已函数f（x）+2=，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．【答案】（0，]【解析】解：由当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当-1＜x≤0，可得0＜≤1，可知函数在x∈（-1，1]上的解析式为f（x）=，由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），可将函数f（x）在x∈（-1，1]上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，当直线经过点（1，1），可得t =， 因此直线的斜率t 的取值范围是（0，]． 故答案为：（0，]．由g （x ）=f （x ）-t （x +1）=0得f （x ）=t （x +1），分别求出函数f （x ）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．本题考查函数方程的转化思想，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．16. 已知平面向量、、满足||=1，||=||=2，且=0，则当0≤λ≤1时，|-λ-（1-λ）|的取值范围是______．【答案】[] 【解析】解：设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，∵|||-|||≤|-|≤||+||，∴|||-1|≤|-|≤||+1，∵||2=|+（1-λ）|2=λ2||2+（1-λ）2||2+2λ（1-λ）•=4λ2+4（1-λ）2=8λ2-8λ+4=8（λ-）2+2又0≤λ≤1，∴2≤||2≤4，∴≤||≤2，∴-1≤|-|≤3，即-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．故答案为：[-1，3]．设=+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=|-|，得|||-1|≤|-|≤||+1，由||2=8（λ-）2+2和0≤λ≤1，得≤||≤2，得-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．本题主要考查向量模的求解，换元法与模的求解方法结合是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，A 1D =5． （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段A 1D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小．【答案】解：（1）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD，故，∴正四棱柱的侧面积为（4×3）×4=48，体积为V=（32）×4=36；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：D（0，0，0），B（3，3，0），A1（3，0，4），E（，0，2），，，设与所成角为α，直线BE与平面ABCD所成角为θ，则cosα=，又是平面ABCD的一个法向量，故sinθ=cosα=，则．∴直线BE与平面ABCD所成的角为．【解析】（1）直接由棱柱的表面积与体积公式求解；（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角．本题考查棱柱体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．18.如图，某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）设∠PAB=θ，记tanθ=t．（1）用t表示的PQ长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？【答案】解：（1）设BP=t，CP=1-t（0≤t≤1），所以∠DAQ=45°-θ，DQ=A tan（45°-θ）=，则：CQ=1-．所以：PQ==，故：l=CP+CQ+PQ=1-t+=1-t+1+t=2．所以△CPQ的周长为定值2．（2）S=S正方形-S△ABP-S△ADQ，=1--=2-．当且仅当t=时，摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2-hm2．【解析】（1）直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）=kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）-g（x）|≤1恒成立，则函数g（x）是函数f （x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．（1）若函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；（2）证明：函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【答案】解：（1）函数g（x）=3x是函数f（x）=3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，可得|3x+-3x|≤1在[4，+∞）上恒成立，即|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，可得|m|≤4，即-4≤m≤4；（2）证明：|f（x）-g（x）|=|2-2x|，由x≥2时，由x2-（x2-1）=1＞0，即x＞，可得|f（x）-g（x）|=2（x-）=，由y=x，y=在x≥2递增，可得y=x+在x≥2递增，即有x+≥2+，则＜=2（2-）＜1，即为|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，故函数g（x）=2x是函数f（x）=2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【解析】（1）由题意可得|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，由x的最小值即可得到所求范围；（2）由弱渐近函数的定义，只要证得|f（x）-g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，结合函数的单调性即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为y=±x．求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且P是线段AB的中点，求证：x1•x2为常数；（3）我们知道函数y=的图象是由双曲线x2-y2=2的图象逆时针旋转45°得到的，函数y=的图象也是双曲线，请尝试写出曲线y=的性质（不必证明）．【答案】解：（1）设双曲线的方程为，由2a=4，a=2，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则=，则b=2，∴双曲线的方程为：；（2）法一：由题不妨设，，则，则P在双曲线上，代入双曲线方程得x1•x2=4；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然x=±2，则x1•x2=4；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，（k≠0，k≠±），则，则，同理，则，此时，，代入双曲线方程得t2=4（k2-3），则x1•x2═=4；（3）①对称中心：原点，对称轴方程：，，②顶点坐标为，，焦点坐标：，，实轴长：，虚轴长：2b=2，焦距：2c=4；③范围：x≠0，，④渐近线：．【解析】（1）根据双曲线的性质求得双曲线的方程；（2）方法一：设A，B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；方法二：分类讨论，设直线AB的方程，分别求得A和B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1•x2；（3）根据曲线方程，分别求得曲线的性质．本题考查双曲线的方程及性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．21.若存在常数k（k∈N*，k≥2）、c、d，使得无穷数列{a n}满足a n+1=，则称数列{a n}为“Γ数列．已知数列{b n}为“Γ数列”．（1）若数列{b n}中，b1=1，k=3、d=4、c=0，试求b2019的值；（2）若数列{b n}中，b1=2，k=4、d=2、c=1，记数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【答案】解：（1）数列{b n}为“Γ数列”中，b1=1，k=3、d=4、c=0，所以：当n≥1时，n∈N+时，b3n+1=0，又，即：b2017=0，b2018=b2017+d=0+4=4，b2019=b2018+d=4+4=8．（2）因为数列{b n}是“Γ数列”，且b1=2，k=4，d=2，c=1，所以：b4n+1-b4n-3=1×（b4n-1+d）-b4n-3=（b4n-2+2d）-b4n-3=（b4n-3+3d）-b4n-3=3d=6，则：数列前4n项中的项b4n-3是以2为首项，6为公差的等差数列．易知{b4n}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．所以：S4n=（b1+b5+…+b4n-3）+[（b2+b3+b4）+（b6+b7+b8）+…+（b4n-6+b4n-5+b4n-4）+（b4n-2+b4n-1+b4n）]，=，=12n2+8n．由于不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，所以：，设=，则：λ≥（∁n）max，所以：c n+1-∁n==．当n=1时，-24n2+8n+20＞0，当n≥2时，-24n2+8n+20＜0，所以：c1＜c2＞c3＞…，所以∁n的最大值为．即．（3）{b n}为等比数列，设数列{b n}的公比，由等比数列的通项公式：，当m∈N+时，b km+2-b km+1=d，即：bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d，①q=1，则d=0，故：b n=b．②当q≠1时，则：，所以q km为常数，则q=-1，k为偶数时，d=-2b ，经检验，满足条件数列{b n}的通项公式为：．【解析】（1）直接利用信息求出数列的项．（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．第11页，共11页。
2019年上海市松江区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
．
6．（4 分）已知双曲线标准方程为 ﹣y2＝1，则其焦点到渐近线的距离为
．
7．（5 分）若向量 ， 满足（ + ） ＝7，且| |＝ ，| |＝2，则向量 与 夹角为
．
8．（5 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，若 c2＝（a﹣b）2+6，
C＝ ，则△ABC 的面积是
．
9．（5 分）若函数 f（x）＝
，则 y＝f（x）图象上关于原点 O 对称的点
共有
对．
10．（5 分）已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点，若| |＝| |，则 • 的最小
值是
．
11．（5 分）已知向量 ， 是平面 α 内的一组基向量，O 为 α 内的定点，对于 α 内任意
一点 P，当 ＝x +y 时，则称
其中的真命题是
．（请写出所有真命题的序号）
12．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）•f（﹣x）＝1 和 f（1+x）•f（1﹣x）＝4
对任意的 x∈R 都成立．若当 x∈[0，1]，f（x）的值城为[1，2]，则当 x∈[﹣100，100]时，
函数 f（x）的值域为
．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5
2019 年上海市松江区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题满分 54 分)，本大题共有 12 题，第 1-6 题每个空格填对得 4 分，第 7-12 题每个空格得 5 分，否则一律得零分
1．（4 分）设集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x| ＜0}，则 A∩B＝
．
2．（4 分）若复数 z 满足（3﹣4i）•z═4+3i，则|z|＝
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝{1，2}．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，∴∁U A＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6π．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；56：三角函数的求值．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×6＝2π，根据扇形的面积公式可得S＝lr＝•2π•6＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为900．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，所对应的直线的倾斜角分别为90°，∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，故答案为：90°．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝3．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n＝8，则n＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域．属基础题．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积＝×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积＝×π×32×4＝12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】无穷等比数列{a n}中，，推出0＜|q|＜1，然后求出首项a1的取值范围．【解答】解：因为无穷等比数列{a n}中，，所以|q|＜1，＝，所以，∵﹣1＜q＜1且q≠0∴0＜a1＜1且a1≠故答案为：．【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先化简集合A，由B⊆A，得，得﹣1≤a≤0．【解答】解：∵＞0，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1）；∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣1，0]．故答案为[﹣1，0]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是﹣1．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】将行列式按第3行第2列展开，由f（x）＝A32＝﹣＝﹣（4×2x﹣4×4x）＝﹣2x+2（1﹣2x），令y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x）＝0，解得：x＝﹣1，即可求得y ＝1+f（x）的零点．【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A32＝﹣＝﹣4×2x+4×4x＝﹣2x+2（1﹣2x），∴f（x）＝﹣2x+2（1﹣2x），y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x），令y＝0，即2x+2（1﹣2x）＝1，解得：2x＝，x＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期π．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得Z1，Z2的坐标，结合∠Z1OZ2＝90°可得f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期．【解答】解：由题意，Z1（cos x，2f（x）），，∴∠Z1OZ2＝90°，∴，即2f（x）＝﹣，∴f（x）＝．则函数f（x）的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2，变形为2+[+]+[+]，利用均值不等式得出式子的最小值．【解答】解：∵（+）a2＝（+）[x+（a﹣x）]2＝（+）[x2+2x（a﹣x）+（a﹣x）2]＝2+[+]+[+]≥2+4+2＝8∴+≥∴≥2'∴0＜a≤2．【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为3，4．【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】求得n＝1，2，3，4，5时，数列{b n}的前5项，即可求出通项公式，再求得d 和首项a1，得到等差数列{a n}的通项公式，求得n＝1，2，3，4，H2n﹣1的特点，结合k ＝3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．【解答】解：T n+＝（﹣1）n b n（n∈N*），可得n＝1时，T1+＝﹣b1＝﹣T1，解得b1＝﹣，T2+＝b2＝﹣+b2+＝b2，T3+＝﹣b3＝﹣+b2+b3+，即b2+2b3＝，T4+＝b4＝﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3＝，解得b2＝，b3＝﹣，同理可得b4＝，b5＝﹣，…，b2n﹣1＝﹣，d＝a5＝b2，可得d＝a1+4d＝，解得a1＝﹣，d＝，a n＝，设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1＝T1＝b1＝﹣，H3＝T1+T2+T3＝﹣，H5＝T1+T2+T3+T4+T5＝﹣，H7＝﹣+0﹣＝﹣，…，H2n﹣1＝H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k＝3时，P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝4时，P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝5时，P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1}，当k＝6时，P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜}，显然k＝5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可看出f（x）＝arcsin x在[﹣1，1]上单调递增，y＝lg|x|和f（x）＝cos x都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C．【解答】A．f（x）＝arcsin x在区间[﹣1，1]上单调递增；∴该选项错误；B．y＝lg|x|为偶函数，∴该选项错误；C．f（x）＝﹣x是奇函数，且在[﹣1，1]上单调递减；∴该选项正确；D．f（x）＝cos x是偶函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义．14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c【考点】3G：复合函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，再比较，，的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），∴sinθ∈（0，1），故f（x）在（0，+∞）上为减函数．∵a＝f（），b＝f（），c＝f（），∵≥＞0，∴a＝f（）≤b＝f （），a≤b．又≤＝，即）≥，∴b＝f（）≤c＝f（），即b≤c．综上，a≤b≤c，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【考点】19：集合的相等．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5J：集合．【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AB，又∵P A＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又P A⊥BC，BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AF⊂平面P AB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；35：转化思想；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，由sin B＞sin A，可得A为锐角，可求cos A，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cos C 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得ac≤13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵cos B＝，可得：sin B＝＝，∵sin B＝＞sin A＝，∴B＞A，可得A为锐角，∴cos A＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．（2）证明：∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：a2+c2﹣ac＝16，∵a2+c2≥2ac，∴解得：ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立，∴＝ac cos（π﹣B）＝﹣ac cos B＝﹣ac≥﹣5．得证．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．【考点】5A：函数最值的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解出即可得出．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．可得获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解得：3≤x≤10，因此要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，x的取值范围为[3，10]．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．则获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．由反比例函数的单调性可得：f（t）在t∈[90，900]单调递减．∴t＝90时，即该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．故该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】34：方程思想；4I：配方法；4J：换元法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（2）P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值．【解答】（1）解：由抛物线C：y2＝4x，得2p＝4，则p＝2，∴抛物线C的焦点到准线的距离为2；（2）证明：P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为M（x M，y M），则M（，），抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上，可得，，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，可得；（3）解：若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，由（2）可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，由PM垂直于y轴，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|＝（）•＝[﹣]•＝（），令t＝＝＝，得时，t取得最大值．x P＝﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S＝在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，∴△P AB面积的最小值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）a n＝2n+cos，可得a1＝2，a2＝3，a3＝8，M3，m3．即可得出b3．（2）充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，可得b n＝，b n+1＝．b n+1﹣b n＝常数，即可证明“数列{b n}是等差数列”．必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n ＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．由|b n|＝1，b n＝1或﹣1，对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反．在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…．﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…，＝﹣1，＝1.＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，必有＞，＝．可得＝+4.＝＝+4．k i＞k i﹣1，k i≥k i﹣1+1，≥+1，≥+4，﹣≥4．利用累加求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵a n＝2n+cos，∴a1＝2，a2＝3，a3＝8，∴M3＝8，m3＝2．∴b3＝＝5．（2）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n＝，b n+1＝．∴b n+1﹣b n＝，故“数列{b n}是等差数列”必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′则b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n＝a1，则b n+1﹣b n＝﹣＝＝d′，即a n+1﹣a n＝2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．∵|b n|＝1，∴b n＝1或﹣1，∴对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反∴在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…且﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…∵＝﹣1，＝1即＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，∴必有＞，＝．可得＝+4．∴＝＝+4．∵k i＞k i﹣1∴k i≥k i﹣1+1∴≥+1∴≥+4∴﹣≥4．利用累加求和方法可得：≥+4（m﹣1），∴≥+4×（1010﹣1）＞﹣2018+4036＝2018．这与|a n|＜2018矛盾，故假设错误，∴存在K∈N*，使∀n≥K，有b n+1＝b n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年高考数学模拟考试题含答案解析
FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
2019年上海市闵行区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市闵行区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则∁U A＝．2．（3分）＝．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝．4．（3分）方程＝0的解为．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是（用数字表示）7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b⊄β，且b∥αB．b⊄aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则•的取值范围（）A．[﹣2，2]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x （天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC 段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．2019年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则∁U A＝（0，3）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x≤0，或x≥3}；∴∁U A＝（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】考查描述法的定义，以及补集的运算．2．（3分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由，，可得＝＝．【解答】解：＝．＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝2﹣i．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），∴（1﹣2i）（1+2i）z＝（1﹣2i）（4+3i），∴5z＝10﹣5i，可得z＝2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）方程＝0的解为log25．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用行列式展开法则列出方程，从而能求出结果．【解答】解：∵方程＝0，∴2x﹣2﹣3＝0，解得x＝log25．故答案为：log25．【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝256．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得q4的值，又由a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2），计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝1，则a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得：q4＝16，则a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2）＝256，故答案为：256．【点评】本题考查等比数列的性质，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是﹣80（用数字表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（﹣2x）r，令r＝3，得x3的项的系数是C53（﹣2）3＝﹣80故答案为：﹣80【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d ＝，求出他们之间的距离．【解答】解：两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，即两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：4x+2y+2＝0，它们之间的距离为d＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d＝应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是[2，4]．【考点】34：函数的值域．【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案．【解答】解：数f（x）＝|x﹣1|（x+1）＝．作出函数的图象如图：由图可知，b＝3，a∈[﹣1，1]，则a+b∈[2，4]．故答案为：[2，4]．【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为12．【考点】LN：异面直线的判定．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线有：A1D1，DD1，CD，A1B1，BC，BB1，B1D1，B1C，D1C，BD，A1D，A1B，共12条．故答案为：12．【点评】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝0．【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由余弦定理和三角形面积公式得sin C﹣cos C＝1，结合平方关系得答案．【解答】解：∵4S＝（a+b）2﹣c2，∴4×ab sin C＝a2+b2﹣c2+2ab，由余弦定理得：2ab sin C＝2ab cos C+2ab，∴sin C﹣cos C＝1，又∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C cos C＝0，又∵在△ABC中，sin C≠0，∴cos C＝0．故答案为：0．【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系，考查计算能力．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】首先解决，结合两角差的余弦可以得到的模，即对应点的轨迹，进而得到对应点的轨迹，问题得解．【解答】解：∵，∴＝2+2cos（α﹣β）＝3，令，则||＝，∴D点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则||＝||＝1，∴C点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，∴最大值为，即||最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了向量的模与点的轨迹，三角公式等，难度不大．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是①②③④（写出所有正确结论的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由常数列，结合新定义可得a n＝0，可判断①；由等差数列的定义和单调性，可判断②；由等比数列的定义和单调性可判断③；假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，根据第二数学归纳法可判断④．【解答】解：①，若数列{a n}是常数列，由|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，可得max{a1，a2，…，a n﹣1}＝0，则a n＝0（n∈N*），故①正确；②，若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝|d|，若d＞0，即有数列递增，可得d＝a n，即数列为常数列，不成立；若d＜0，可得数列递减，可得﹣d＝a1成立，则d＜0，故②正确；③，若数列{a n}是公比为q的等比数列，若q＝1可得数列为非零常数列，不成立；由|a2﹣a1|＝a1，可得a2＝0（舍去）或a2＝2a1，即有q＝2＞1，a1＞0，则数列递增，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1，可得a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，可得a n＝2a n﹣1，则q＞1，故③正确；④，假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，则|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…a i}＝a i，因此a i+1是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1…，a i+k﹣1}，故a i+k是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a1，a i+1，…，a i+k﹣1}，因此，a i+k也是a i的倍数，由第二数学归纳法可知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数，又存在正整数T，对任意正整数n，都有a T+n＝a n，故存在正整数m≥i，a m＝a1，故a i 是a1的倍数，但a i＞a1，故a1不是a i的倍数，矛盾，故a i是数列{a n}的最大值．故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查数列新定义问题，考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查举例法和数学归纳法的运用，属于综合题．二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】首先找出＞﹣1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：＞﹣1⇔a＜﹣1或a＞0，∵a＜﹣1⇒a＜﹣1或a＞0，a＜﹣1或a＞0推不出a＜﹣1，∴“a＜﹣1”是“＞﹣1”的充分非必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b⊄β，且b∥αB．b⊄aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，能求出结果．【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，知：在A中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1⊄平面ABCD，且C1D1∥AB，∴b⊄β，且b∥α有可能成立，故A错误；在B中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b⊄a有可能成立，故B错误；在C中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b∥α，且b∥β有可能成立，故C错误；在D中，b与α，β都相交不可能成立，故D成立．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】问题转化为函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点．【解答】解：依题意得：函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点，即＝x2，x2＝＝≥a2，∴b2＞a2，∴b＞a，故选：B．【点评】本题考查了反函数．属基础题．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则•的取值范围（）A．[﹣2，2]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】首先去绝对值，得到曲线，并发现垂直关系，从而找到向量的射影，得解．【解答】解：去绝对值整理后知，曲线为菱形BCDE，易知CD⊥AN，BE⊥AN，故当点M在曲线上运动时，在上的射影必在FN上，且当M在CD上时得到最大值，在BE上时得到最小值，最大值为＝＝2，最小值为﹣2，故选：A．【点评】此题考查了曲线方程，数量积，射影等，难度适中．三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）该三棱柱的表面积S＝2S△ABC+3，由此能求出结果．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，则DE∥AB，从而∠C1DE是异面直线AB与C1D 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小．【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∴该三棱柱的表面积：S＝2S△ABC+3＝2×+3×2×2＝12+2．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，∵D为棱BC的中点，∴DE∥AB，DE＝＝1，∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），DC1＝EC1＝＝，cos∠C1DE＝＝＝，∴∠C1DE＝arccos，∴异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos．【点评】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设出直线l：y＝2x+b，并代入抛物线，根据韦达定理以及x1x2+y1y2＝0解得b，然后求得M（4，0）．【解答】解：（1）由抛物线的定义得：1﹣（﹣＝3，解得：p＝4，所以抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）p＝2时，抛物线C：y2＝4x，设直线l：y＝2x+b，并代入抛物线C：y2＝4x得：4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，解得设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1﹣b，x1x2＝，∵•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（2x1+b）（2x2+b）＝5x1x2+2b（x1+x2）+b2＝+2b（1﹣b）+b2＝0，解得b＝0或b＝﹣8当b＝0时，M（0，0）不在x轴正半轴上，舍去；当b＝﹣8时，M（4，0）故点M的坐标为（4，0）【点评】本题考查了直线与抛物线的综合．属中档题．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x （天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC 段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）对照图象可求出a，ω，φ以及ABC的解析式；（2）先根据对称性求出DEF段的解析式，再令函数值等于24，解出x＝60，可得．【解答】解：（1）a＝12﹣4＝8，＝24﹣12＝12，∴T＝48，ω＝＝，由×24+φ＝可得φ＝，∴f（x）＝8sin（x+）+20＝8cos x+20，x∈[0，24]．（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；52：函数零点的判定定理．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由新定义直接化简即可得到F（x）的解析式，判断单调性可得f（x）的性质；（2）命题为假命题，可举指数函数；（3）由新定义结合单调性和导数，解不等式可得k的范围，运用正弦函数的图象和性质，讨论k的范围，即可得到所求零点个数．【解答】解：（1）f（x）＝x2+2，F（x）＝（x+1）2+2﹣x2﹣2＝2x+1，F（x）在R上递增，可知f（x）具有性质A；（2）命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：f（x）＝0.5x，F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣0.5x+1在R上递增，f（x）具有性质A；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，可得F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝k（x+1）2+（x+1）3﹣kx2﹣x3＝3x2+（3+2k）x+1+k 在x≥0递增，可得﹣≤0，解得k≥﹣；由t＝sin x（0≤t≤1），可得g（x）＝0，即f（t）＝t，可得kt2+t3＝t，t＝0时显然成立；0＜t≤1时，k＝，由在（0，1]递减，且值域为[，+∞），k＝0时，t＝0或1，sin x有三解，3个零点；当k＝时，t＝1，即sin x＝1，可得x＝，1个零点；当k＞时，f（t）＝t，t有一解，x两解，即两个零点；当﹣≤k＜，且k≠0时，f（t）＝t无解，即x无解，无零点．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用新定义，考查函数的单调性，以及分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据基本不等式的性质以及“拟等比数列”的定义进行求解证明即可（2）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，推导首项和公差d的范围，结合{c n}是“拟等比数列，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）①∵a＞0，b＞0，且a＞b，a1＝，b1＝＜1，∴b1∈（0，1）．②由题意得a1＝＞＝b1，∴当n∈N*且n≥2时，a n﹣b n＝＞0，∴对任意n∈N*，都有a n+1﹣b n+1＝＜﹣＝（a n﹣b n），即存在p＝，使得有a n+1﹣b n+1＜p（a n﹣b n），∴数列数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）∵c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，∴，⇒，⇒⇒，由c1＞0得d＜0，从而解得﹣2018＜＜﹣2017，又{c n}是“拟等比数列”，故存在p＞0，使得c n+1≤p c n成立，1°当n≤2018时，c n＞0，p≥＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≤2018时递减，故p≥＝1+∈（，），2°当n≥2019时，c n＜0，p≤＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≥2019时递减，故p≤1，由1°2°得p的取值范围是[1+，1]．【点评】本题考查递推数列的应用，利用“拟等比数列”的定义结合等差数列的前n项和公式进行递推是解决本题的关键．查了推理能力与计算能力，运算量较大，有一定的难度．。
2019年最新(统考)上海市高考数学二模试卷及答案解析
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设 ，b1=8，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立；
（3）设 ，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N*均有Rn＜λ恒成立，求λ的最小值．
5．设点（9，3）在函数f（x）=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．
6．若x，y满足 ，则目标函数z=x+2y的最大值为．
7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为 ，则圆心C到直线l的距离为．
8．双曲线 =1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是．
上海市高考数学二模试卷
一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题．
2．若关于x，y的方程组 无解，则a=．
3．已知{an}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{an}的通项公式为．
4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是．
A．小于 B．等于 C．大于 D．大于1.6
16．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（ ）
A．a：b：cB．
C．sinA：sinB：sinCD．cosA：cosB：cosC
三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）
【考点】84：等差数列的通项公式．
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2018-2019学年上海市高考数学模拟试卷一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则•的值为．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan214．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+16．对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n 成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ 的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17 ．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，可得α+β=﹣1，αβ=p．利用|α﹣β|=，即可得出．【解答】解：方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，则α+β=﹣1，αβ=p．∴|α﹣β|===3，解得p=﹣2故答案为：﹣2．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m的最小值．【解答】解：将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，可得y=sin （2x+2m+）的图象，由2kπ+≤2x+2m+≤2kπ+，可得kπ﹣m+≤x≤kπ+，故函数y=sin（2x+2m+）的减区间为[kπ﹣m+，kπ﹣m+]，k∈Z．∵得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，∴kπ﹣m+≤﹣，≤kπ﹣m+，求得 m≥kπ+，且m≤kπ+，∴m的最小值为，故答案为：．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出满足条件的n值，再求常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=•（3x2）n﹣r•=•3n﹣r••x2n﹣5r；令2n﹣5r=0，且n∈N*，r≥0，解得n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：•35﹣2•=．故答案为：．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．【考点】OX：矩阵的应用．【分析】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解．【解答】解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解∴，∴∴sinθ﹣sin3θ≠0∴sinθ≠0或sin2θ≠1∴故答案为9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是14 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=|x|+2y得y=﹣|x|+z，平移曲线y=﹣|x|+z，由图象可知当曲线y=﹣|x|+z经过点A，曲线y=﹣|x|+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（﹣4，5），代入z=|x|+2y=4+2×5=14．即目标函数z=|x|+2y最大值为14．故答案为：1410．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则•的值为﹣2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．【解答】解：∵ =﹣，∴•=（+）•，=（+）•，=（+﹣）（﹣），=（+）（﹣），=（•+﹣2），=（3×3×+32﹣2×32），=﹣2，故答案为：﹣2．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= 4 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】化简f（x），再设g（x）=，（﹣1≤x≤1），判断g（x）的奇偶性，可得g（x）的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，（﹣1≤x≤1），g（﹣x）==﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得 q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得 q=．综上所述，q=．故答案为：{， }．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】直线的参数方程消去参数t，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得直线的普通方程为2x+y﹣=0，∴直线的斜率k=﹣2，∴直线的倾斜角α=π﹣arctan2．故选：D．14．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C16．对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n 成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】8B：数列的应用；2E：复合命题的真假．【分析】利用等差数列、等比数列和数列{a n}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．【解答】解：①∵{a n}是等比数列，∴a n=，a n+1=qa n，∴∃k=1，λ=q，使a n+k=qa n+k﹣1成立，∴{a n}为1阶递归数列，故①成立；②∵{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使a n+2=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2成立，∴{a n}为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n}的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使a n+3=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+λ3a n+k﹣3成立，∴{a n}为3阶递归数列，故③成立．故选D．三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9Q：数量积的坐标表达式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I）利用函数求出向量的数量积，利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过对称中心到对称轴的最小距离为，求出函数的周期，得到ω，利用的最大值为1．求出t，得到函数的解析式．（II）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间，即可．【解答】（本小题满分12分）解：（I）由题意得====∵对称中心到对称轴的最小距离为∴f（x）的最小正周期为T=π∴，∴ω=1…∴，∴3+t，∴3+t=1，∴（II）…∴18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；（2）①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．【解答】解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于垂直面PBC的法向量．【解答】解：（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．∴=（2，2，﹣2，）， =（﹣1，2，0），=（0，﹣2，2）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可取=（2，1，3）．设平面PBE的法向量为=（a，b，c），由，可取=（0，1，1），∴=由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．（2）由（1）可知面PBC的法向量为=（2，1，3），“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于；∵=（0，2，﹣2），=（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），=（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．由=2λ﹣4+6﹣6λ=0．解得λ=，所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ 的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；（2）①因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2﹣（2x0+2ky0）x+x02+y02﹣=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点M（x0，y0）在椭圆C上，证明k1k2=﹣．②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过4k1k2+1=0，推出y12y22=x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2=；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以直线OP：y=k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣=0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣=0的两个不相等的实数根，∴k1k2=，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2=1﹣，所以k1k2==﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1=0，所以+1=0，即y12y22=x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22=（1﹣）（1﹣）=x12x22，整理得x12+x22=4，所以y12+y22=1所以OP2+OQ2=5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，综上：OP2+OQ2=5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）=2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．【考点】8H：数列递推式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由于单调递增，可得A i=2i，B i=2i+1，即可得出r i=A i﹣B i，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，可得A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，根据单调性即可得出A i=a i，B i=a i+1，可得r i=a i﹣a i+1=﹣2．利用等差数列的通项公式即可得出．（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，根据单调性可得：A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，通过作差证明数列{a n}满足题意即可得出．【解答】解：（1）∵单调递增，∴A i=2i，B i=2i+1，∴r i=A i﹣B i=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m ﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i=a i，B i=a i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣2，即a i+1﹣a i=2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n=n﹣，所以数列{a n}单调递增，所以A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i=[﹣1﹣]﹣[﹣1﹣]=＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）。