带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧湖北省恩施高中 陈恩谱带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。

在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（25C ），并可归并为6大类型。

所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。

类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。

【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。

轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。

【解答】 AB类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙图甲①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。

【练习1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴和y 轴，交点O 为原点，如图所示。

在y >0，0<x <a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y >0，x >a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B 。

在O 点处有一小孔，一束质量为m 、带电量为q （q >0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。

入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x <a 的区域中运动的时间与在x >a 的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T /12，其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。

试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

【分析】粒子在0<x <a 的区域中的运动属于初速度方向已知、大小不确定的情况，在垂直初速度的直线（即y 轴）上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图甲），其中轨迹圆①与直线x =a 相切，为能打到y 轴上的粒子中轨道半径最大的；若粒子轨道半径大于轨迹圆①，粒子将进入x >a 的区域，由对称性可知，粒子在x >a 的区域内的轨迹圆圆心均在在x =2a 直线上，在x =2a 直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①'为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。

【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a ，水平屏上发亮的范围从2a 到2323x a a =+ 【解答】 粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中运动半径为：mvr qB=① 速度小的粒子将在x <a 的区域走完半圆，射到竖直屏上。

半圆的直径在y 轴上，半径的范围从0到a ，屏上发亮的范围从0到2a 。

轨道半径大于a 的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a 的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x 轴在D 点相切（虚线），OD =2a ，这是水平屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C 和'C ，C 在y 轴上，有对称性可知'C 在x =2a 直线上。

设t 1为粒子在0<x <a 的区域中运动的时间，t 2为在x >a 的区域中运动的时间，由题意可知② ①'①图乙 图甲 a 2a 2a a x1225t t =，12712T t t +=由此解得：16T t =② 1512T t = ③ 由②③式和对称性可得 60OCM ∠= '60M C N ∠= ⑤5'36015012MC P ∠=⨯= ⑥ 所以'1506090NC P ∠=︒-︒=︒ ⑦即弧长NP 为1/4圆周。

因此，圆心'C 在x 轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为R ，有直角'COC 可得 2sin 602R a ︒= 233R a =⑧ 由图可知OP =2a +R ，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 2323x a a =+⑨ 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件——所有在x >a 的区域内的轨迹圆圆心均在在x =2a 直线上，从而造成在x >a 的区域内的作图困难；另一方面，在x >a 的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开始取值，致使轨迹圆①'未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x =a 。

类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以mvr qB=为半径的圆。

【例2】如图所示，在0≤x≤a 、0≤y≤2a范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～090范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。

【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O ，入射点O 到任一圆心的距离均为r ，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O 为圆心、r 为半径的圆周上（如图甲）。

考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆”上不同点为圆心、r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角为90°。

【答案】66(2)(2)22aqB R a v m α=-=-6-6，，sin =10【解答】设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R ，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：图乙图甲 ① ②2v qvB m R=，解得：mv R qB=当a /2<R <a 时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意，t =T /4时，∠OCA =π/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系得：sin sin cos 2aR R R a R ααα=-=-，，且 22sin cos 1αα+=解得：66(2)(2)22aqB R a v m α=-=-6-6，，sin =10【易错提醒】由于作图不仔细而把握不住“轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长”，从而误认为轨迹②对应粒子在磁场中运动时间最长。

这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。

【练习2】如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。

在t =0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边的夹角分布在0～180°范围内。

已知沿Od 方向发射的粒子在t =t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q /m ；（2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

【分析】以L 为半径、O 点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹①），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L 为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场中运动时间相同；轨迹②并不经过c 点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长——即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。

p× × × × a b c d O× × × × × × × × × × × ×O 3 p× × × × a b c d O × × × ×× × × × × × × ×p × × × × a b c d O × × × × × × × × × × × × 图甲 图乙 ① ② ③ ④O 1 O 2 O 4 O yxCRDAa P α α αv【答案】6Bt m q π=，5/6 ，0)45arcsin12(t t π= 【解答】（1）初速度沿Od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为n ，由几何关系有：6Onp π∠=, 120Tt =粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得R T m Bqv 2)2(π=，T Rv π2=得6Bt m q π= (2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O 点距离相等。