带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

1．圆心的确定

因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算

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利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定

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若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大

小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析

①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

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a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）

b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）

c、带电粒子在磁场中经历的时间由

得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

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a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由

求出；（θ、r和R见图标）

b、带电粒子在磁场中经历的时间由

得出。

二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析

（一）轨迹的确定

（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它

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【例1

】（2001

年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O 点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x 轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场时的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比q/m。

解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图6所示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x

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轴的夹角仍为θ。由洛仑兹力公式和牛顿定律可得，

，（式中R为圆轨道的半径）解得

R=mv0/qB①

圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得

l/2=Rsinθ②

联立①、②两式，解得

。

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点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射点和出射点，求该粒子的电量和质量之比，也可以倒过来分析，求出射点的位置。在处理这类问题时重点是画出轨迹图，根据几何关系确定轨迹半径。

（2）确定入射速度的方向，而大小变化，判定粒子的出射范围

【例2】如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？

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解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d 点射出，由图可知其半径R 1=L/4，再由

R 1=mv 1

/eB ，得

当速率最大时，粒子恰好从c 点射出，由图可知其半径R 2满足，即

R 2=5L/4，再由R 2=mv 2/eB ，得

电子速率v的取值范围为：。

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向，由于入射速度的大小发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹半径，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。

（3）确定入射速度的大小，而方向变化，判定粒子的出射范围

【例3】（2004年广东省高考试题）如图8所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小

B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm 处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×

106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv2/R，

由此得R=mv/qB，代入数值得

R=10cm。

可见，2R>l>R，如图9所示，因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。

，

再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S 为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。

由图中几何关系得

，

所求长度为P1P2=NP1+NP2，

代入数值得P1P2=20cm。

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应