带电粒子在有界磁场中的运动轨迹

Q P B
S
P
Q
Q
v
S
v
圆心在过入射点跟边 界垂直的直线上
圆心在磁场原边界上
v
圆心在过入射点跟速 度方向垂直的直线上
S
①v较小时，作半圆从原边出； ①v较小时，作整圆过射入点； ②v为某临界值时，作部分圆 ②v为某临界值时，粒子作整圆 轨迹与另一边界相切； 轨迹与边界相切； ③v较大时，作部分圆从另一 ③v较大时，作部分圆从另一边 边界出 界出
r 300
B
r
d
300 1 4d d t T 0 360 12 v 3v
变化1：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感应强 度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初 速度V0有什么要求？
e B v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初 速度有什么要求？
变化3：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速 度有什么要求？
(边界的切线圆)
带电粒子在圆形边界磁场中的运动 带电粒子在圆形磁场中的运动 从几何角度看，是轨迹圆与磁场圆的相交问题。
O'
径 向 r 射 v 入
r
•
轨迹圆
v
O
B
磁 场 圆
结论1：径向射入必径向射出。 结论２：径向射入，速度大圆心角小时间短。
带电粒子在圆形边界磁场中的运动 带电粒子在圆形磁场中的运动 从几何角度看，是轨迹圆与磁场圆的相交问题。
v

θ D
．
O
B
d r (1 cos )
v2 evB m r eBr eB d v m m (1 cos )
F
思考：求电子在磁场中 运动的时间是多长？
2 2 2m 2( )m t 2 eB eB
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
v
B 圆心在 过入射 点跟速 c 度方向 垂直的 直线上
O 4 算时间：先算周期，再用圆心角 2m 算时间 θ = 2α T t T qB 2 注意：θ 应以弧度制表示
注意：①从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边
界的夹角（弦切角）相等。②带电粒子沿径向射入圆形磁场区 域内，必从径向射出。③关注几种常见图形的画法，如图所示：
1、直线边界（进出磁场具有对称性）
O
b
qBr v 2 1011 10 4 0.2 4 106 m/s m
练、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形
区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开 始运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P
O V0
d
c
L L 0 r1 (1 sin 30 ) r1 3 2
qBr1 qBL v1 m 3m
a
600
b
300
r2 L
O
θ d
V0
qBr2 qBL v2 m m qBL qBL v m c 3m
0
300 5 2m 5m t T 0 360 6 qB 3qB
答：要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足 粒子从距Ａ点 (2 3 3)a ~ 3a 的 EG 间射出
G
3(2 3 )aqB 3aqB v m m
F
E
o2
o1
D
解题规律小结：
1、基本公式
2、画轨迹找几何关系列相应方程
1）定圆心 2）找半径 3）求时间 三角找半径定时间 三线定圆心
3、注意隐含条件和临界条件
垂直，速度与半径的夹角相等。 结论4：相同速度射入,弧长越长时间越长。
结论5：磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,
“磁会聚”与“磁扩散”
磁聚焦
对称、可逆！磁扩散
定点成平行
R
平行于一点
r
R r
磁场圆R =轨迹圆r
磁会聚 R=r
平行定一点
磁扩散 R=r
定点成平行
磁聚焦原理图解
磁聚焦原理图解
入射点
例如图虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B。 电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，经过磁场 区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量 为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。 求： （1）电子在磁场中运动轨迹的半径R； r B （2）电子在磁场中运动的时间t； v O θ （3）圆形磁场区域的半径r。
5L r2 4
5qBL v 4m
粒子不打在极板上可能从左端穿出，也可能从右端穿出．
拓展：一群带电粒子沿平行于板的方向从各个位置以速度 v从金属板的左端射入板间，为使这些正电荷都不从板间 穿出，这些带电粒子的速度需满足什么条件?
5d
＋ ＋ ＋ ＋
v v v v
M
d
B N
带电粒子沿逆时针方向做半径相同的匀速圆周运动，如果从下 板进入场区的带电粒子不从板间穿出，则这些正电荷就都不从 板间穿出．
这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的 较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（ CD ） A．射入时的速度一定较大 B．在该磁场中运动的路程一定较长
B O s2
C．在该磁场中偏转的角度一定较大
D．从该磁场中飞出的速度一定较小 2m T= Bq
r R tan
v s1 θ1 R1 R2
圆心在过入射点跟速
度方向垂直的直线上 d
θ v a
B
c
b
①速度较小时粒子作部分圆周运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内从侧面边界飞；
③速度较大时粒子作部分圆周运动从另一侧面边界飞出。
量变积累到质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
1、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的 匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电， 现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，可采用的办法是： AB A．使粒子的速度v<BqL/4m； O2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； r2 v C．使粒子的速度v>BqL/m； r2 D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。
O1 +q
v
粒子擦着上板从左边穿出时，圆 心在O1点，有 r L
1
O2
r2
r2
O1 +q
v2 qvB m r
4
v
qBr1 qBL v1 m 4m
qBL v 4m
v
粒子擦着上板从右边穿出时，圆心在O2点，有
L 2 r L (r ) 2
2 2 2
qBr2 5qBL v2 m 4m
画轨迹图找几何关系
v2 qvB m R
R mv qB
2m T qB
O1
2
2m v0 sin (1)( ,0) qB 2 2 2m( ) (2)t T 2 qB
d 2R sin 2 2R sin
2 t T 2
◆带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动
量变积累到质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
v
B
o 圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出； ③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
量变积累到质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
d
o B θ 圆心在磁场原边界上 v a b ①速度较小时粒子作半 圆运动后从原边界飞出； ①速度较小时粒子作部分圆周 ②速度在某一范围内时 运动后从原边界飞出；②速度 从侧面边界飞出；③速 在某一范围内从侧面边界飞； 度较大时粒子作部分圆 ③速度较大时粒子作部分圆周 周运动从对面边界飞出。 运动从另一侧面边界飞出。
O1 +q
v
1、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的 匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电， 现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，可采用的办法是： AB A．使粒子的速度v<BqL/4m； O2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； r2 v C．使粒子的速度v>BqL/m； r2 D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。
解：（1） R mv (本题是物理方法求半径
eB
）
（2）由几何知识得：圆心角： α = θ
m t T 2 eB

2
R θ 2 O1
v
（3）由如图所示几何关系可知， tan

r mv tan 所以： r R eB 2
练、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，
一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入
磁场专题 带电粒子在磁场中运动轨迹
解题的基本过程与方法
1 找圆心：
已知任意两点速度方向：作垂线 可找到两条半径，其交点是圆心。 已知一点速度方向和另外一点的 位置：作速度的垂线得半径，连 接两点并作中垂线，交点是圆心。
v θ
v
θ
O
v
α α α
2 画圆弧： 3 定半径： 几何法求半径 公式求半径
负电的粒子（质量为 m、电荷量为 q）以速度v0从 O点射 入磁场，入射方向在 xy平面内，与x轴正向的夹角为 θ. 求：(1)该粒子射出磁场的位置 (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子重力不计)
求：(1)该粒子射出磁场的位置 (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子重力不计)
关键：找圆心、找半径
2θ θ
V0
2θ
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
例题．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存在垂直 纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m 的粒子从距A点 3a 的D点垂直于AB方向进入磁场。若粒子能 从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间 什么范围内射出？
2．在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ， 电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直射入 磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场 的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是： B C E Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）
Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） Ｃ.v＞ eBd/msinθ Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
eBd 3eBd Leabharlann Baidu 2m m
2.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直 纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点 O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300 、大 小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab 边足够长，ad边长为L，粒子的重力不计。 求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。 ⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在 磁场中运动的最长时间。 b a
O′ 解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 O′点， O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁 场中的轨迹如图示： ∠a O′b=2 =60º ， 则r=2R=0.2m
2 mv qvB = r
A．4×105 m/s C． 4×106 m/s
B． 2×105 m/s D． 2×106 m/s
r r
非 径 向 射 入
2
r
•
B
O
v
轨迹圆
2
r
v
磁 场 圆
3。两圆心连线OO′与两交点连线AB垂直。
速度与半径的夹角相等
结论4：相同速度v入射,弧长长时间长。 (直径对应的弧最长)
带电粒子在圆形磁场中运动的五个结论：
结论1：径向射入必径向射出。 结论2：径向射入，速度大圆心角小时间短。
结论3：非径向射入,两圆心连线OO′与两交点连线AB
量变积累到质变，出现临界状态．（轨迹与边界相切）
1．如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入 磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速 度方向与电子原来射入方向的夹角是30º ，则电子的质 量是多大？穿透磁场的时间是多少?
r 2d
v2 qvB m r
v
2qBd m v 2m 4d T qB v
2、平行边界（存在临界条件）
3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后
垂直原边界飞出；
O O1
B
S
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边
界夹角θ飞出α=2θ。
O1
υ
B
【例题】如图在 y ＜ 0 的区域内存在匀强磁场，磁场方
向垂直于 xy 平面并指向纸面向里，磁感强度为 B. 一带
t T
= θ 2

2
mv R= Bq
θ2
练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴 线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一 束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射， 其中入射角 α =30º ，且不经碰撞而直接从出射孔射出的 αa 离子的速度v大小是 （ ） C