带电粒子在有界磁场中的运动轨迹
带电粒子在有界磁场磁场中的运动
d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
t
s v
速度 v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s 有最 小值，则要求弦最短。
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形 状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速
y B
如粒子带正电，则： 如粒子带负电，则：
60º v
60º
O 120º
x
A. 2mv qB
B. 2mvcosθ qB
C. 2mv(1-sinθ) qB
2mv(1-cosθ)
D. qB
M
D
C
θ θ θθ
P
N
θθ
练、 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的
束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，
其中入射角 α =30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的
离子的速度v大小是 （
C）
αa
A．4×105 m/s B． 2×105 m/s
r
C． 4×106 m/s D． 2×106 m/s O′
O
解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 r
P
B v0
O
AQ
例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为
d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B
板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范
围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度
B=9.1×10－3T，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电
怎样画带电粒子在磁场中的运动轨迹(裴际和)[1]解读
![怎样画带电粒子在磁场中的运动轨迹(裴际和)[1]解读](https://img.taocdn.com/s3/m/3b769d3b58fb770bf78a5552.png)
5
∴小球从P点到刚落到水平面OO ′所用时间
s t t t t 89. 1321=++=
t π
θ
2=,通过计算,得出带电粒子运动轨迹圆
弧所对的圆心角,从而确定轨迹。
例4:如图6甲,在a x y <<>0, 0的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,
磁感应强度大小为B。在的a x y >>, 0区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为2B。在O点处有一带正电粒子沿x轴射入磁场,最后会从x轴上某点射出磁场(不计重力的影响,已知该粒子在a x <<0的区域中运动的时间与在a x >的区域中运动的时间之比为2:3。在磁场中运动的总时间为5T /12。其中T是该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求该粒子从x轴上射出时的位置坐标。
解析:由规律2,画出电子在磁场中运动轨迹,如图3乙,圆心为C ,半径为R。以υ表示电子进入磁场时的速度, m、e分别表示电子的质量和电量,则
2
21υm eU =
R
m B e 2
υυ=
又有R
r =2
tan
θ
× × × × ×
图3乙
2
由以上各式解得2
tan
21θe
mU r
B =
规律3:带电粒子速度的偏转角等于其圆弧所对的圆心角。例2:一质量为m ,带电量为q的粒子以速度0υ从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从b处穿过x轴,速度方向与x轴正向夹角为30°,如图4甲所示(粒子重力忽略不计,试求圆形磁场区的最小面积。
例5:如图7所示,质量为2g的小球,带电量为-1×10-3
带电粒子在有界磁场中的轨迹确定的几种方法 人教
2、物理和几何方法
例2：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。
解：
由几何知识：
粒子的运动半径：r=L/2sinθ
2、如图所示，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两
个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力和粒子间的相互作用。 （1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径； （2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。
过a、b两点分别作平行x轴
和y轴的平行线且交于P点；
P
二、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、物理方法：
3、几何方法：
2、物理和几何方法：
作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力，沿其方向延长线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。
作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力，沿其方向的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。
△t=t1 －t2=2Tθ/π=
4m
Bq
.arccos( )
LBq
2mv
OMP、ONP
周期为：T=2πm/qB
思 考 题
思 考 题
3、如图所示，在xoy平面内有垂直坐标平面且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，一带正电荷量q的粒子，质量为m，从O点以某一初速度射入磁场，其轨迹与x、y轴的交点A、B到O点的距离分别为a、b，试求：粒子的初速度。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。
已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。
带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度关系探讨
带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度关系探讨在物理学中，带电粒子在磁场中的运动一直是一个重要的研究领域。
磁场可以对带电粒子施加力，从而改变其运动轨迹。
本文将探讨带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度之间的关系。
1. 磁场对带电粒子的作用当带电粒子运动时，磁场会对其施加一个力，即洛伦兹力，其大小和方向由洛伦兹力定律所决定。
洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁场的强度和方向有关。
根据洛伦兹力的方向性质，我们知道带电粒子在有界磁场中的轨迹将发生变化。
2. 圆周运动轨迹当带电粒子的速度垂直于磁场时，洛伦兹力垂直于速度和磁场方向，并产生向心力的作用。
这将导致带电粒子绕磁场线圆周运动。
圆周运动的半径由带电粒子的质量、电荷量、速度以及磁场的强度决定。
根据牛顿第二定律，洛伦兹力与向心力相等，从而可以求得带电粒子的轨道半径。
3. 螺旋运动轨迹当带电粒子的速度与磁场不垂直时，洛伦兹力将不再垂直于速度方向，而是同时包含向心力和垂直于速度方向的速度分量改变力。
这将导致带电粒子绕磁场线进行螺旋运动。
螺旋运动的半径受到速度和磁场方向夹角的影响，速度分量改变力的大小与速度大小以及磁场的强度和方向有关。
4. 速度对轨迹的影响根据前述讨论，可以看出速度是影响带电粒子在有界磁场中轨迹变化的重要因素之一。
速度的大小和方向不仅影响圆周运动的半径，还影响螺旋运动的半径和螺旋的紧致程度。
较大的速度可能导致更大的圆周轨道或螺旋轨迹，速度方向的改变也将导致轨迹的变化。
因此，带电粒子的速度与轨迹变化之间存在着密切的关系。
综上所述，带电粒子在有界磁场中的轨迹变化与速度之间存在着紧密的联系。
磁场通过施加洛伦兹力改变带电粒子的运动方向，从而导致轨迹的变化。
圆周运动和螺旋运动是带电粒子在有界磁场中最常见的轨迹，其半径和紧致程度取决于带电粒子的速度大小和方向。
因此，在研究带电粒子在磁场中的运动时，我们必须考虑速度对轨迹变化的影响。
需要总结的是，在实际应用中，对带电粒子在有界磁场中轨迹变化与速度关系的深入研究，不仅有助于理解物理规律，也为电磁学和粒子物理学等领域的研究提供了基础。
带电粒子在有界磁场区域中的运动
1
图611
2
【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R，以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电荷量，则 eU =mv2 ① evB=m ② 又tan = ③ 由以上各式得B=
tan
2
五、正方形磁场
2、速度垂直边界
例2、垂直纸面向外的匀强磁场仅限于宽度为d的条形区域内，磁感应强度为B．一个质量为m、电量为q的粒子以一定的速度垂直于磁场边界方向从a点垂直飞入磁场区，如图所示，当它飞离磁场区时，运动方向偏转θ角．试求粒子的运动速度v以及在磁场中运动的时间t．(双边界)
3、速度倾斜于边界
例1如图所示，宽d的有界匀强磁场的上下边界为MN、PQ，左右足够长，磁感应强度为B．一个质量为m，电荷为q的带电粒子（重力忽略不计），沿着与PQ成45°的速度v0射入该磁场．要使该粒子不能从上边界MN射出磁场，关于粒子入射速度的最大值有以下说法：①若粒子带正电，最大速度为(2-)Bqd/m；②若粒子带负电，最大速度为(2+ )Bqd/m；③无论粒子带正电还是负电，最大速度为Bqd/m；④无论粒子带正电还是负电，最大速度为 Bqd/2m。以上说法中正确的是 A.只有① B.只有③ C.只有④ D.只有①②
V
O
b、一个速度方向的垂直线和一条弦的中垂线的交点 O ②半径的确定 应用几何知识来确定！ ③运动时间： ⑸粒子在磁场中运动的角度关系----对称思想
带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动．分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有φ＝α＝2θ＝ω·t，如右图所示．应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷．
带电粒子在有界磁场中运动
特点：优弧劣弧加起来，仍是一个整圆，圆越多，圆心角之 和越大，所用的时间越长
如图所示，空间存在着两个匀强磁场，其分界线是半径为R的两 个圆，两侧的磁场方向相反且都垂直于纸面，磁感应强度大小都 是B，外面的磁场范围足够大。现有一质量为m，电荷量为q的带 正电的离子（不计重力），从A点沿OA方向射出，离子后来在两 个磁场间不断地飞进飞出，最后又能返回到A点，求其返回到A 点所需的最短时间及对应的发射速度v
常见的几类问题： 1、磁场边界是直线或圆，边界把轨迹圆分成几段，优弧劣弧所 对应的圆心角的联系。 2、粒子进入有界磁场时，粒子的速度大小不确定，方向确定。 3、粒子进入有界磁场时，粒子的速度大小确定，方向不确定。
qB
磁场是直线边界的情形 1、（01全国），在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平 面并指向纸面外，磁感强度为B．一带正电的粒子以速度v0从O点射入 磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ．若粒子射出磁场 y 的位置与O点的距离为L， q 2v0 sin 求该粒子的电量和质量之比q/m θ x m LB
O
v
第三类问题：粒子进入有界磁场时，粒子的速度大小确定，方向 不确定。 如图5所示，圆形区域的半径为r，和坐标原点相切，内有垂直纸 面的匀强磁场，磁感应强度为B，坐标原点有一个粒子源，以一 定大小的速度v0在纸面内向x＞0的各个方向发射质量m，电荷量 q的带负电粒子，不计粒子的重力。已知带电粒子作圆周运动的 y 轨道半径R＞r，求带电粒子在磁场中运动的最长时间。
y
带 电 微 粒 A 发 射 装 置
R
v
C
O' x
O
4、（09海南物理）如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为 m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射 入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
2022-2023年高考物理一轮复习 带电粒子在有界磁场中的运动轨迹五种方法制图后最新
（0,d),OP与x轴的夹角为30°,不计重力．
P
N
O
60 0 D
30°
情境四
方法四：空间信息定圆心
如图所示,在半径为R的圆形区域内存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂
直于圆平面向里．一群比荷为
q
的负离子(不计重力)以相同速率
m
,qBR
m
由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中,发生偏转后又飞出磁场,请你任
方法二：弦作中垂线
如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小
为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电
压U加速后,从N点沿NP方向进入磁场；一段时间后,该粒子从
OP 边的中点D射出,从N到D的过程中速度方向偏转了60°．已
知O 点为坐标原点,N点在y轴上坐标为（0,d),OP与x轴的夹角
距离为d,不计重力.求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间.
如图所示,在平面内,有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电
子,形成宽为2b,在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流.电子流沿x方向射入一
个半径为R,中心位于原点o的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xoy平面向里,电子经
（0,d),OP与x轴的夹角为30°,不计重力．
P
N
60 0
O
30°
方法三：速度方向延长线夹角作角平分线
方法三：速度方向延长线夹角作角平分线
如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小
为B,方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压
U加速后,从N点沿NP方向进入磁场；刚好不从OP边飞出（OP
1.3.2 专题 带电粒子在有界磁场中的运动 课件-2023年高二物理人教版(2019)
③半径关系：r=R/tanθ=Rtanα
④运动时间:t= 2θT/2 π= θT/ π
(2)不沿径向射入时，速度
o’
方向与对应点半径的夹角
相等（等角进出）
o
•
（3）非径向入射的距离和时间推论：
①若r 轨迹<R边界，当轨迹直径恰好是边界圆的一
条弦，此时出射点离入射点最远，且Xmax=2r，
角（弦切角）相等。若出射点到入射点之间距离为d，则
d=2R
1
t T
2
d=2Rsinθ
t
T
d=2Rsinθ
t T
【例1】水平直线MN上方有垂直纸面向里范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度为B,正、负电子同时从MN边界O点以与MN成45°角的相
同速率v射入该磁场区域(电子的质量为m,电荷量为e),正、负电子间的
射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒
子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，
则带电粒子的比荷为(
)
【变式训练】在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场
的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s
（3）到入射点最远距离：
①和边界相交时，离出射点最远距离是以出射点为端点的直径或半径。
②和边界相切时，离出射点最远的距离是以出射点和切点为端点的弦长。
【例1】(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个
质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
Ａ、运动的时间相同
Ｂ 、运动的轨道半径相同 Ｃ 、重新回到边界时速度
大小和方向都相同
Ｄ
、重新回到边界的 与Ｏ点的距离相等
位
置
θ Ｏ
例2、如图所示，一束电子（电量为e)以速度V
垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场，
穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹
角为 。3求0:0(1) 电子的质量m=? (2) 电子在
射入磁场，从P点射出磁场，入射方向在xy
平面内，与x轴正向夹角为 。求：
（1）该粒子射出磁场的位置。
（2）该粒子在磁场中运动的时间。（粒子
所受重力不计）
P
y
o
·
v ×××B×××××××××××××××××××××××××××××××××××0××××××
x
y V0
p
o
· × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × x
××××××××××××××××××××××
××××××××××××××××××××××
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
××A××
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
B × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
带电粒子在有界 匀强磁场中的运动(1)
简单回顾
一、带电粒子在匀强磁 场中的运动规律 1、带电粒子在匀强磁场中 运动 v B，只受洛伦兹 力作用，做匀速圆周运动. 2、洛伦兹力提供向心力：
带电粒子在有界磁场中的运动
简单回顾
一、带电粒子在匀强 磁场中的运动规律
1.带电粒子在匀强磁场中 运动( v B),只受洛伦兹
F v
o
力作用,做 匀速圆周运动 .
2.洛伦兹力提供向心力:
v2 m q v B R
半径:
2R T v
周期:
T
mv R qB 2m
qB
二、 r(1 cos ) cot
mv0 x1 b L a (1 cos ) cot eB eBL （其中 arcsin ） ⑤ mv0
④
P
v0
θ θ
0
图1
x
Q
②当 r<L 时，磁场区域及电子运动轨迹如图 2 所示，
（ 1 ）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大 速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：（ 1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁 场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示。
2 2 2 r R ( R r ) 由图中知， 1 1 2 1
解得
r1 0.375m
v v
v v v
v
一．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q P B P Q
P
Q
v
S
垂直磁场边界射入
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
v
S
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
带电粒子在有界磁场中运动
如图所示，长为L的水平极板间，有垂直纸面向 里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L， 板不带电，现有质量为m、电量为q的带正电粒子 （不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以速 度v水平射入磁场，为使粒子能够打在极板上，则 粒子的速度应满足什么关系？
L
O
解：经过分析可知，OS 的距离 即为粒子做圆周运动的直径。 即
S os 2 R 2m v qB
S
V
B
练、如图所示，在x轴上方有匀强磁场B，一个 质量为m，带电量为-q的的粒子，以速度v从O点 射入磁场，角已知，粒子重力不计，求 (1)粒子离开磁场的位置 (2)粒子在磁场中的运动时间.
× × × × × × ×
带电粒子在有界磁场中运动
带电粒子垂直进入匀强磁场，仅受洛伦兹力时： 1、运动性质：匀速圆周运动 2、运动规律： 半径 周期
3、类型：❶单边有界
B
3、类型：❶单边有界
B
结论： 从一边界射入的粒子,从同一边界射出时, 速度与边界的夹角（弦切角）相等。
负电荷 × × × × × × × 正电荷 × × × × × × × × α × × × × × × × × × × × × ×
处理带电粒子在磁场中运动的一般思路
A
v1
B O
A
v1
画轨迹
定圆心
O
v2
B
ห้องสมุดไป่ตู้
求半径
由
或几何关系
求时间
3、类型：③圆形磁场
R
01
3、类型：③圆形磁场
R
01
02
结论：1.径向入射，径向出射 2.连接磁场圆与轨迹圆的圆心，有意想不到的效果
临界问题
d
有界磁场
v
入射角300时
v
v
1 2m m t 6 qB 3qB
F O
入射角900时
v
F
v
1 2m m t 2 qB qB
入射角1500时
v
F
v
5 2m 5m t 6 qB 3qB
v
粒子在单边界磁场中做圆周运动的对称规律： 从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时， 速度与边界的夹角相等。
A
B v O
R
C v
练:如图所示，在第一象限有磁感应强度为B的 匀强磁场，一个质量为m，带电量为+q的粒子 以速度v从O点射入磁场，θ角已知，求粒子在磁 场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力 不计）
v
3、圆心角θ =? 4.穿透磁场的时间如何求？
F θ
=30°r
B
30°
F
v
qvB=mv2/r
r=mv/qB r=d/sin 30o =2d
O
小结： 1、两洛伦兹力的交点即圆心
m=qBr/v=2qdB/v
t/T= 30o /360o t=（ 30o /360o）T= T/12 T=2 πm/qB t=T/12= πm/6qB T=2 πr/v
2、双边界磁场(存在临界）
L
θ θ O R R
带电粒子在有界磁场中运动分析步骤 • 1、找圆心：方法 • 2、定半径：
利用v⊥R 利用弦的中垂线
几何法求半径
向心力公式求半径 2 • 3、确定运动时间： 2m qB 注意：θ用弧度表示
t T T
例：
1.圆心在哪里?
A
d
2.轨迹半径是多少?
t=（ 60o /360o）T= T/6
带电粒子在有界磁场中的运动(上课)
三.在圆形磁场区中的运动
例6 、 如图所示，纸面内存在着一半径为R的圆形匀强磁 场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量为q的负粒 子从A点正对着圆心O以速度v垂直磁场射入，已知当 粒子射出磁场时，速度方向偏转了θ。求粒子在磁场 中运动的轨道半径r。（不计重力）
R
A
O
解：如图所示做辅助线， 连接两圆圆心 因为速度方向偏转了θ 所以圆O1中的圆心角为θ
θ
例3、 如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场， 磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度 为B，一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场，入 射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ，若粒 子射出磁场的位置与O点的距离为L，求粒子运动的 半径和运动时间。
y o
x
解：如图所示作辅助线， 由几何知识可得： L sin
× ×
×
×
×
+ ×
四.在中空磁场区的运动
例7 、
如图所示，在无限宽的匀强磁场B中有一边长 为L的正方形无磁场区域。在正方形的四条边上分 布着八个小孔。每个小孔到各自最近顶点的距离 都为L/3。一质量为m、带电量为q的正粒子垂直 匀强磁场从孔A射入磁场，试问粒子再次回到A点 的时间。 A
解：经分析粒子运动过程可知，粒子经过四次圆周运动 四次匀速直线运动后回到出发点。 每次圆周运动的时间为四分之三个周期， 即
故 d
R
d sin
例5 、
如图所示，长为L的水平极板间，有垂直纸面向 里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L， 板不带电，现有质量为m、电量为q的带正电粒子 （不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以速 度v水平射入磁场，为使粒子能够打在极板上，则 粒子的速度应满足什么关系？
带电粒子在磁场中的运动轨迹
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
带电粒子在有界磁场中运动规律整合
带电粒子在有界磁场中运动规律整合带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求。
粒子的运动轨迹往往是一个残缺圆，因此会出现一系列最值。
由于此类问题综合性强，思维含量高，具有很强的选拔功能，因此成为历年高考的热点。
1．速度之“最”带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，其轨迹是圆的一段弧，当速度大小变化时，匀速圆周运动的半径随之变化，轨迹也将发生变化，当带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切或运动轨迹恰好过边界端点时的速度，就是满足条件的最大或最小速度．例题1：如图1宽为d的有界磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电荷量为-q的微粒沿图示方向垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使该粒子不能从边界MN射出，此粒子入射速度的最大值是多大？2．运动时间之“最”由和得带电粒子在磁场中运动时间，时间与速度无关，圆心角越大，则粒子运动时间越长，因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”。
例题2：如图3所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s2O=R。
以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B．方向垂直纸面向外的匀强磁场。
D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。
质量为m、带电量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。
粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。
当M、N间的电压不同时，粒子从s1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值。
例题3：如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。
位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0~3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。
有界磁场下带电粒子的轨迹方程推导
有界磁场下带电粒子的轨迹方程推导在物理学中，电磁场是一种用来描述电荷或电流产生的物理现象的数学模型。
有界磁场是一种限制在一定区域内的磁场，它对带电粒子的运动轨迹产生影响。
本文将推导有界磁场中带电粒子的轨迹方程。
1. 假设我们有一个有界磁场，磁感应强度为B，该磁场位于xy平面上，且只在某一区域内存在。
2. 假设一个带电粒子带电量为q，质量为m。
该粒子在有界磁场中运动，我们关注其运动轨迹。
3. 由洛伦兹力定律可知，在磁场中，带电粒子受到的洛伦兹力为F=qvB，其中v为粒子的速度。
4. 由牛顿第二定律F=ma可知，粒子在磁场中的加速度a为a=qvB/m。
5. 假设粒子在x和y方向上的速度分别为vx和vy，则有vx' = a*t = B*q*vy/m 和 vy' = -a*t = -B*q*vx/m，其中t为时间。
6. 将以上两个微分方程相加得到vx'' = -B^2*q*vx/m 和 vy'' = -B^2*q*vy/m。
7. 进一步，我们可以得到粒子在x和y方向上的加速度分别为vx'' = -omega^2x 和 vy'' = -omega^2y，其中omega = B*q/m。
8. 这是一个简单谐振动的微分方程，解的一般形式为x =A*cos(omega*t + phi) 和 y = B*sin(omega*t + psi)，其中A、B、phi和psi为常数。
9. 所以带电粒子在有界磁场中的轨迹方程为：x = A*cos(omega*t + phi)y = B*sin(omega*t + psi)通过以上推导，我们得到了带电粒子在有界磁场中的轨迹方程，即x = A*cos(omega*t + phi)和y = B*sin(omega*t + psi)。
在这个方程中，A、B、phi和psi是确定粒子在磁场中具体轨迹的常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S
P
Q
Q
v
S
v
圆心在过入射点跟边 界垂直的直线上
圆心在磁场原边界上
v
圆心在过入射点跟速 度方向垂直的直线上
S
①v较小时，作半圆从原边出； ①v较小时，作整圆过射入点； ②v为某临界值时，作部分圆 ②v为某临界值时，粒子作整圆 轨迹与另一边界相切； 轨迹与边界相切； ③v较大时，作部分圆从另一 ③v较大时，作部分圆从另一边 边界出 界出
(边界的切线圆)
带电粒子在圆形边界磁场中的运动 带电粒子在圆形磁场中的运动 从几何角度看，是轨迹圆与磁场圆的相交问题。
O'
径 向 r 射 v 入
r
•
轨迹圆
v
O
B
磁 场 圆
结论1：径向射入必径向射出。 结论２：径向射入，速度大圆心角小时间短。
带电粒子在圆形边界磁场中的运动 带电粒子在圆形磁场中的运动 从几何角度看，是轨迹圆与磁场圆的相交问题。
d
o B θ 圆心在磁场原边界上 v a b ①速度较小时粒子作半 圆运动后从原边界飞出； ①速度较小时粒子作部分圆周 ②速度在某一范围内时 运动后从原边界飞出；②速度 从侧面边界飞出；③速 在某一范围内从侧面边界飞； 度较大时粒子作部分圆 ③速度较大时粒子作部分圆周 周运动从对面边界飞出。 运动从另一侧面边界飞出。
O1 +q
v
粒子擦着上板从左边穿出时，圆 心在O1点，有 r L
1
O2
r2
r2
O1 +q
v2 qvB m r
4
v
qBr1 qBL v1 m 4穿出时，圆心在O2点，有
L 2 r L (r ) 2
2 2 2
qBr2 5qBL v2 m 4m
量变积累到质变，出现临界状态．（轨迹与边界相切）
1．如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入 磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速 度方向与电子原来射入方向的夹角是30º ，则电子的质 量是多大？穿透磁场的时间是多少?
r 2d
v2 qvB m r
v
2qBd m v 2m 4d T qB v
2θ θ
V0
2θ
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
例题．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存在垂直 纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m 的粒子从距A点 3a 的D点垂直于AB方向进入磁场。若粒子能 从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间 什么范围内射出？
画轨迹图找几何关系
v2 qvB m R
R mv qB
2m T qB
O1
2
2m v0 sin (1)( ,0) qB 2 2 2m( ) (2)t T 2 qB
d 2R sin 2 2R sin
2 t T 2
◆带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动
O V0
d
c
L L 0 r1 (1 sin 30 ) r1 3 2
qBr1 qBL v1 m 3m
a
600
b
300
r2 L
O
θ d
V0
qBr2 qBL v2 m m qBL qBL v m c 3m
0
300 5 2m 5m t T 0 360 6 qB 3qB
O′ 解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 O′点， O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁 场中的轨迹如图示： ∠a O′b=2 =60º ， 则r=2R=0.2m
2 mv qvB = r
A．4×105 m/s C． 4×106 m/s
B． 2×105 m/s D． 2×106 m/s
r r
答：要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足 粒子从距Ａ点 (2 3 3)a ~ 3a 的 EG 间射出
G
3(2 3 )aqB 3aqB v m m
F
E
o2
o1
D
解题规律小结：
1、基本公式
2、画轨迹找几何关系列相应方程
1）定圆心 2）找半径 3）求时间 三角找半径定时间 三线定圆心
3、注意隐含条件和临界条件
负电的粒子（质量为 m、电荷量为 q）以速度v0从 O点射 入磁场，入射方向在 xy平面内，与x轴正向的夹角为 θ. 求：(1)该粒子射出磁场的位置 (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子重力不计)
求：(1)该粒子射出磁场的位置 (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子重力不计)
关键：找圆心、找半径
垂直，速度与半径的夹角相等。 结论4：相同速度射入,弧长越长时间越长。
结论5：磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,
“磁会聚”与“磁扩散”
磁聚焦
对称、可逆！磁扩散
定点成平行
R
平行于一点
r
R r
磁场圆R =轨迹圆r
磁会聚 R=r
平行定一点
磁扩散 R=r
定点成平行
磁聚焦原理图解
磁聚焦原理图解
入射点
例如图虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B。 电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，经过磁场 区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量 为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。 求： （1）电子在磁场中运动轨迹的半径R； r B （2）电子在磁场中运动的时间t； v O θ （3）圆形磁场区域的半径r。
t T
= θ 2
2
mv R= Bq
θ2
练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴 线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一 束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射， 其中入射角 α =30º ，且不经碰撞而直接从出射孔射出的 αa 离子的速度v大小是 （ ） C
5L r2 4
5qBL v 4m
粒子不打在极板上可能从左端穿出，也可能从右端穿出．
拓展：一群带电粒子沿平行于板的方向从各个位置以速度 v从金属板的左端射入板间，为使这些正电荷都不从板间 穿出，这些带电粒子的速度需满足什么条件?
5d
＋ ＋ ＋ ＋
v v v v
M
d
B N
带电粒子沿逆时针方向做半径相同的匀速圆周运动，如果从下 板进入场区的带电粒子不从板间穿出，则这些正电荷就都不从 板间穿出．
圆心在过入射点跟速
度方向垂直的直线上 d
θ v a
B
c
b
①速度较小时粒子作部分圆周运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内从侧面边界飞；
③速度较大时粒子作部分圆周运动从另一侧面边界飞出。
量变积累到质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
1、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的 匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电， 现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，可采用的办法是： AB A．使粒子的速度v<BqL/4m； O2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； r2 v C．使粒子的速度v>BqL/m； r2 D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。
解：（1） R mv (本题是物理方法求半径
eB
）
（2）由几何知识得：圆心角： α = θ
m t T 2 eB
2
R θ 2 O1
v
（3）由如图所示几何关系可知， tan
r mv tan 所以： r R eB 2
练、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，
一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入
v
θ D
．
O
B
d r (1 cos )
v2 evB m r eBr eB d v m m (1 cos )
F
思考：求电子在磁场中 运动的时间是多长？
2 2 2m 2( )m t 2 eB eB
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
v
B 圆心在 过入射 点跟速 c 度方向 垂直的 直线上
2、平行边界（存在临界条件）
3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后
垂直原边界飞出；
O O1
B
S
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边
界夹角θ飞出α=2θ。
O1
υ
B
【例题】如图在 y ＜ 0 的区域内存在匀强磁场，磁场方
向垂直于 xy 平面并指向纸面向里，磁感强度为 B. 一带
O1 +q
v
1、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的 匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电， 现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左 边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，可采用的办法是： AB A．使粒子的速度v<BqL/4m； O2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； r2 v C．使粒子的速度v>BqL/m； r2 D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。
r 300
B
r
d
300 1 4d d t T 0 360 12 v 3v
变化1：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感应强 度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初 速度V0有什么要求？
e B v0
d