CNC装置的插补原理
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
第三章 数控插补原理
解：插补完这段直线刀具沿Ｘ和Ｙ轴应走的总步数为 = x e + y e ＝5 + 3＝8。 Y 刀具的运动轨迹如图 E(5，3) 3
2 1 O 1 2 3 4 5 X
第二节 基准脉冲插补
插补运算过程见表：
循环序号 偏差判别 F ≥0 坐标进给 +X 偏差计算 Fi+1=Fi-ye
教案 3
终点判别
m
Y
m(Xm,Ym) B(XB,YB)
+Y2
2 m-R
若Fm=0，表示动点在圆弧上；
若Fm>0，表示动点在圆弧外； 若Fm<0，表示动点在圆弧内。
Rm
R A(XA,YA)
第Ⅰ象限逆圆弧
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
与直线插补同理，坐标进给应使加工点逼近给定圆弧,规定如下： 当Fm≥0时，向-X方向进给一步； 当Fm＜0时，向+Y方向进给一步。
教案 3
若Fi=0，表示动点在直线OE上，如P； 若Fi>0，表示动点在直线OE上方，如P′； 若Fi<0，表示动点在直线OE下方，如P″。
O
xi 第Ι象限直线
X
第二节 基准脉冲插补
2）坐标进给
教案 3
坐标进给应逼近给定直线方向，使偏差缩小的方向进给一步，由插补装 置发出一个进给脉冲控制向某一方向进给。
教案 3
直线线型 进给方向 偏差计算 直线线型
L1、L4 L2、L3 +X -X Fi+1=Fi-ye L1、L2 L3、L4
偏差计算
Fi+1=Fi+xe
注：表中L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、第Ⅱ、 第Ⅲ、第Ⅳ象限直线，偏差计算式中xe、ye均代 入坐标绝对值。
轨迹控制
Xe,Ye的最大允许值受系统字长的限制,假设系统 字长为m，则Xe、Ye的最大允许值为2ⁿ-1，若取 1
K= 2ⁿ ,则必然满足(I)式的条件。
方法2： 假设Xe>Ye,即X轴累加溢出脉冲总数多于Y轴,
累加最有效的情况是,每次累加,X轴都有脉冲溢 出,Y轴则不一定,于是选累加次数m=Xe，则
K= 1/Xe.将(3)式改写成：
Δx = K • Xe • Δt Δy = K • Ye • Δt
位移量为
（3）
x
t
0
KX e dt
KXet
i 1
n
y
t
0
Kye dt Kye t
i 1
n
取单位时间 Δ t=1，则公式化为
X KX e i 1 n y Kye i 1
这类插补方法有：数字积分法(DDA)、二阶近似插补法、双DDA插补 法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插 补设计的。
这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环， 半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控 系统，而且，目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方
一、概述
这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积
分法；目标点跟踪法；单步追综法等
它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。
由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零
件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法 了。
一、概述
数字增量插补(时间标量插补)
特点：
插补程序以一定的时间间隔定时(插补周期)运行，在每个周
数控技术(插补)
xi +1 = xi + 1 yi +1 = yi Fi +1 = xe y i −( xi + 1) ye = ( xe yi − xi ye ) − ye
于是有 Fi+1 = Fi －Ye
E(xe,ye) Pi(Xi,Yi) Pi+1(Xi+1,Yi+1)
0
x
第三章轮廓加工的数学基础
为了逼近曲线的相对位置沿 2）.若Fi<0为了逼近曲线的相对位置沿+y向走 为了逼近曲线的相对位置 一步即 y
y E(xe,ye)
0
x
设动点pi ( xi , yi )的Fi 值为
为便于计算机编程计算, 为便于计算机编程计算,
Fi = xe yi − xi ye
y
的计算予以简化。 将F的计算予以简化。 的计算予以简化 为了逼近曲线的相对位置沿 向走一步 向走一步， 1）.若Fi>0为了逼近曲线的相对位置沿+x向走一步，即 为了逼近曲线的相对位置
第三章轮廓加工的数学基础
3.1.1直线插补原理 3.1.1直线插补原理 1.偏差函数 1.偏差函数
如图所示， 如图所示，设规定轨迹为 直线段OE，起点在原点，终 起点在原点， 点E的坐标A(XeYe) , Pi(xi, yi)为加工点 。
Y
E ( Xe,Ye)
Pi(xi,yi) 0 x
则下式成立。 （1）.若P正好处在 OE 上,则下式成立。
3
F<0 ∆Y F=F+5 5
F计算 计算 -3 终点判别(n-1→n) → 终点判别 7 ≠0 6 ≠0 5 ≠0 4 ≠0 3 ≠0
0
Pi(xi,yi)
试述CNC装置是的工作过程
第3章
1.试述CNC装置是的工作过程。
2.何谓插补？
s，当系统脉冲当量为0.01mm/脉冲，求最3.基准脉冲插补中，已知插补运算的时间为80
高进给速度
4.目前应用的插补方法分为哪几类？各有何特点？
5.用逐点比较法加工第一象限直线，起点O（0，0），终点C（5，3），写出插补过程，并
绘出插补轨迹。
6.加工圆心在坐标原点，半径为5的一段逆圆弧CD，起点C（-4，3），终点D（4，3），
试用逐点比较法进行圆弧插补，写出插补过程，并绘出插补轨迹。
7.设有第一象限的直线OE，如图起点为O（0，0），终点为E(5，6)，累加器与寄存器的位
数为三位，请用DDA法对其进行插补，写出插补过程，并绘出插补轨迹。
8.DDA插补时合成进给速度V与脉冲源速度Vg有何关系？说明了什么。
9.DDA插补稳速控制的措施有哪些？
10.以直线函数法直线插补为例，说明数据采样插补原理。
11.直线函数法圆弧插补的特点是什么？
12.说明扩展DDA数据采样插补原理。
13.何谓刀具半径补偿? 它在零件加工中的主要用途有哪些?
14.为什么要控制数控机床的进给速度？
15.何谓前加减速控制和后加减速控制，各有何优缺点？
16.在CNC装置中，为何对进给电动机进行加减速控制，常用的控制算法有哪些？请简要
说明。
教案-数控系统的插补原理
教案讲 稿第2章 计算机数控系统（CNC ）§2.4数控系统的插补原理 一、插补的基本概念机床数字控制的核心问题之一，就是如何控制刀具与工件的相对运动。
加工平面直线或曲线需要两个坐标协调运动，对于空间曲线或曲面则需要三个或三个以上坐标协调运动，才能走出其轨迹。
协调的实质上是决定联动过程中各坐标轴的运动顺序、位移、方向和速度。
这种协调即是所谓插补。
插补计算机就是对数控系统输入基本数据，动用一定的算法计算，并根据计算结果向相应的坐标发出进给指令。
对应于每一进给指令，机床在相应的坐标方向上移动一定距离，从而加工出所需的轮廓形状。
实现这一插补运算的装置，称为插补器。
对于插补器有一些最基本的要求： （1） 插补所需的原始数据较少。
（2） 有较高的插补精度。
（3） 进给速度要恒定。
（4） 实现简单可靠，计算机速度快。
根据插补所采用的原理和计算方法，可有许多插补方法，目前应用的插补方法分为脉冲增量插补和数字增量插补两类。
二、逐点比较法插补逐点比较法的原理就是每走一步控制系统都要将加工点与给定的图形轨迹相比较，以决定下一步进给的方向，使之逼近加工轨迹。
逐点比较法以折线来逼近直线或圆弧，运算直观，容易理解，输出脉冲均匀，在两坐标插补的开环步进控制系统中得到普遍应用。
1、逐点比较法直线插补如图所示，设直线OA 为第一象限直线，起点为坐标原点O （0,0），终点坐标为A （X e ,Y e ）,P(X i ,Y i )为加工点。
若P 点正好在直线OA 上，由相似三角形关系则有XeYeXi Yj = 即Xe -XiYe=0 若P 点正好在直线OA 上方，由相似三角形关系则有XeYe Xi Yj > 即Xe -XiYe>0 若P 点正好在直线OA 上，由相似三角形关系则有XeYe Xi Yj 即Xe -XiYe<0 令Fi,j= XeYj-XiYe 则有（1） 如Fi,j=0,则点P 在直线OA 上； （2） 如Fi,j>0,则点P 在直线OA 上方； （3） 如Fi,j<0,则点P 在直线OA 下方。
第四章 插补原理
y L2 F0 F<0 F<0 F0 L3
四象限直线偏差符号和进给方向
L1 F0 F<0 x F<0 F0 L4
由图可见，靠近Y轴区域偏差大等于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进 给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴， 不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。
v y 60f y
式中 δ—脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为
v v x 2 v y 2 60 f x2 f y2
若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对 应轴切削速度最大
第四章 插补原理
3.1 数字积分法的基本原理
第 三 节 数 字 积 分 法
F5 F4 2Y4 1 3 F6 F5 2 X 5 1 4
F7 F6 2Y6 1 1
F8 F7 2Y7 1 0
5. 四个象限中圆弧插补 第一象限逆圆弧CD：即Fi≥0时，走—X轴， 动点的偏差函数为
Fi 1＝Fi 2 X i 1
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
第一象限圆弧插补 流程图
例3 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图所示，起点A（0，4），终点B（4，0）， 试用逐点比较法进行插补。
Y 4 3 2 1 B(4,0) O 1 2 3 4 X A(0,4)
表3 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
如图4-14所示，从t=0时
刻到t时刻，函数y=f（t） 曲线所包围的面积可表示
Y
Y=f(t)
YO
什么是插补
什么是插补一、插补的概念在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。
插补（interpolation）定义：机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。
也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。
数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲，伺服系统根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动。
数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。
插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。
插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。
插补工作可由硬件逻辑电路或执行软件程序来完成，在CNC系统中，插补工作一般由软件完成，软件插补结构简单、灵活易变、可靠性好。
二、插补方法的分类目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和数据采样插补。
1.基准脉冲插补（行程标量插补或脉冲增量插补）特点：每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。
每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位，也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。
该方法仅适用于一些中等精度或中等速度要求的计算机数控系统主要的脉冲增量插补方法：数字脉冲乘法器插补法逐点比较法数字积分法矢量判别法比较积分法最小偏差法目标点跟踪法单步追踪法直接函数法加密判别和双判别插补法2. 数字采样插补（数据增量插补）数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。
根据程编进给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
被积函数寄存器
根据上面几个公式，可以建立一 个数学模型——数字积分器。
Δt
＋ 累加器 Δx
数字积分器模型
例子：求在区间设被积函数为5(二进制101B)，取累加器 为3位二进制，容量为23=8。
101
101
101
101
101
101
101
101
) 000 )101 ) 010 )111 )100 ) 001 )110 ) 011 101
1 010
111
1 100
1 001
110
1 011
1 000
（2） 线段插补
如右图所示，线段位于第一象限，起点与 坐标原点重合，终点坐标A(Xe,Ye)。设有 一动点，以速度V在线段上匀速运动，其 在X、Y方向的分速度分别为Vx、Vy。则 动点在Δt时间内沿X、Y轴移动的微小位移 量为： ΔX=VxΔt
Δx
Δy
KX
i
m
e
KmX
e
Xe
Y
KY
i
m
K 1
e
Δt
m
n
＋
KmY
e
Ye
m 2
Y被积函数寄存器(KYe)
2
n
K 1
线段插补数字积分器
例3. 用数字积分法插补下图所示线段，起点坐标 O(0,0)，终点坐标为A(5,7)，写出插补该线段的过程。
数字积分插补实例
脉 冲 当 量
插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，根 据给定的进给速度要求，计算出若干个中间点的坐标值。
加工直线的程序
N3G01X-45000Y-75000F150
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
机电系统实验-数控系统的插补实验
实验三数控系统的插补实验一、实验目的了解数控系统直线插补和圆弧插补的原理及其实现方法，通过插补算法的可视化，加深对常用插补算法的了解。
应用标准G代码编程实现直线插补和圆弧插补，掌握标准G代码的直线插补和圆弧插补编程方法。
二、实验要求1.掌握数控机床插补原理。
2.掌握数控机床直线和圆弧插补。
三、实验原理1.基本概念机床数字控制的核心问题之一，就是如何控制刀具与工件的相对运动。
加工平面直线或曲线需要两个坐标轴联动，对于空间曲线或曲面则需要三个或三个以上坐标轴联动，才能走出其轨迹。
插补(interpolation)的实质上是决定联动过程中各坐标轴的运动顺序、位移、方向和速度。
具体来说，插补方法是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插入中间点。
每种方法又可能用不同的计算方法来实现，具体的计算方法称之为插补算法。
插补的实质就是数据点的密化。
数控系统中完成插补工作的装置叫插补器。
根据插补器的不同结构，可分为硬件插补器和软件插补器两大类。
硬件插补器由专用集成电路组成，它的特点是运算速度快，但灵活性差:软件插补器利用微处理器通过系统程序完成各种插补功能，这种插补器的特点是灵活易变，但速度较慢。
随着微处理器运算速度和存储容量的提高，现代数控系统大多采用软件插补或软、硬件插补相结合的方法。
2.插补算法按数学模型来分，有一次(直线)插补，二次(圆、抛物线等)插补及高次曲线插补等，大多数控机床都具有直线插补和圆弧插补。
根据插补所采用的原理和计算方法的不同，有许多插补方法，目前应用较多的插补方法分为脉冲增量插补和数字增量插补两类。
脉冲增量插补又称为基准脉冲插补，适用于以步进电动机驱动的开环数控系统中。
在控制过程中通过不断向各坐标轴驱动电机发出互相协调的进给脉冲，每个脉冲通过步进电动机驱动装置使步进电动机转过一个固定的角度(称为步距角)，并使机床工作台产生相应的位移。
该位移称为脉冲当量，是最小指令位移。
连续运动轨迹插补原理
连续运动轨迹插补原理文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]连续运动轨迹插补原理连续运动轨迹控制是诸如数控机床、机器人等机械的一种典型运动方式，这种控制在本质上属于位置伺服系统。
以数控机床为例，其控制目标是被加工的曲线或曲面（即轮廓），所以可称之为轮廓控制。
如果将被加工的轮廓作为控制器的给定输入，在运动过程中随时根据轮廓参数求解刀具的轨迹和加工的误差，并在求解的基础上决定如何动作，其计算的实时性有难以满足加工速度的需求。
因此在实际工程应用中采用的方法是预先通过手工或自动编程，将刀具的连续运动轨迹分成若干段（即数控技术中的程序段），而在执行程序段的过程中实时地将这些轨迹段用指定的具有快速算法的直线、圆弧或其他标准曲线予以逼近。
加工程序以被加工的轮廓为最终目标，协调刀具运动过程中各坐标上的动作。
加工程序的编制必须考虑诸多约束条件，主要有加工精度、加工速度和刀具半径等。
加工程序本质上就是对刀具的连续运动轨迹及其运动特性的一个描述。
所以轮廓控制又可称为连续运动轨迹控制。
数控技术一般以标准的格式对程序段进行描述，例如程序段“N15 G02 Xlo Y25 120 JOF125 LF”就规定了一个以(10，25)为起点，在X-Y平面上以150mm/min的进给速度顺时针加工一个半径为20mm的整圆的过程。
程序段只提供了有限的提示性信息（例如起点、终点和插补方式等），数控装置需要在加工过程中，根据这些提示并运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的中间点坐标数据，并使刀具及时地沿着这些实时发生的坐标数据运动，这个边计算边执行的逼近过程就称为插补(interpolation)。
上述程序段中的准备功能G02就指定了该程序段的执行要采用顺时针方向的圆弧插补。
插补是一个实时进行的数据密化的过程，不论是何种插补算法，运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，不断计算出参与运动的各坐标轴的进给指令，然后分别驱动各自相应的执行部件产生协调运动，以使被控机械部件按理想的路线与速度移动，由此，轨迹插补与坐标轴位置伺服控制是运动控制系统的两个主要环节。
CNC工作原理
CNC工作原理CNC（Computer Numerical Control，计算机数控）是一种通过计算机控制机床运动和加工工具进行加工的技术。
它基于数学模型和计算机程序来控制机床的运动，实现高精度、高效率的加工过程。
本文将详细介绍CNC工作原理，包括其基本组成、工作流程和关键技术。
一、CNC工作原理的基本组成1. 控制系统：CNC机床的核心部分，由计算机和相关控制器组成。
计算机负责处理和存储加工程序，控制器负责接收计算机指令，并将其转化为电信号，控制伺服系统和执行系统的运动。
2. 伺服系统：负责控制机床各轴的运动。
它由伺服电机、编码器、传感器和驱动器等组成。
编码器用于测量轴的位置和速度，传感器用于检测加工过程中的各种参数，驱动器则负责将电信号转化为电能驱动伺服电机。
3. 执行系统：负责完成具体的加工任务。
它包括主轴、进给系统和刀具等。
主轴负责旋转刀具，进给系统负责控制刀具在工件上的运动。
二、CNC工作原理的工作流程1. 加工程序编制：首先，根据零件图纸和加工工艺要求编写加工程序。
加工程序是一系列的指令，用于控制机床的运动和加工工具的操作。
它包括刀具路径、进给速度、切削参数等信息。
2. 加工程序输入：将编写好的加工程序输入到CNC机床的控制系统中。
可以通过U盘、网络或直接连接计算机的方式进行输入。
3. 加工参数设置：根据加工工艺要求，设置加工参数，如刀具半径补偿、切削速度、进给速度等。
这些参数会影响加工结果的质量和效率。
4. 机床调试：在开始正式加工之前，需要进行机床的调试。
通过手动操作机床，检查各轴的运动是否正常，刀具是否与工件相切等。
5. 加工过程监控：一旦机床开始加工，控制系统会根据加工程序的指令，控制伺服系统和执行系统的运动。
同时，通过传感器和编码器等装置，监控加工过程中的各种参数，如切削力、轴的位置和速度等。
6. 加工结果评估：加工完成后，需要对加工结果进行评估。
可以通过测量工件的尺寸精度、表面质量等指标，来判断加工结果是否符合要求。
数控技术插补
开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算
到达终点？
N
Y
结束
一、逐点比较法Ⅰ象限直线插补
位置偏差计算
Y
设有第一象限直线OE，起点O为坐标系原点， 终点为E（Xe，Ye），坐标系中各点坐标的单位 为脉冲当量数。
假设在直线OE附近有一个动点N（Xi，Yi），
则该点相对于轮廓OE的位置偏差，可以用轮廓终
点E的位矢和动点N的位矢与X轴的夹角正切差来
② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
③ 采用单台高性能微型计算机方案
第二节 逐点比较法 逐点比较法的基本原理 在刀具运动过程中，不断比较刀具与零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果使刀具平行于坐标轴向减小偏差的方向进给。
表示。即
O
Yi Ye
Xi Xe
使用一个正数XeXi乘以该式，最后得
Fi XeYi XiYe
E（Xe，Ye） N（Xi，Yi） X
（3-1）
很显然，偏差值Fi的符号反映了动点N相对于直线OE的位置偏离情况。 ① Fi = 0 时，动点N在直线上； ② Fi ≻ 0 时，动点N在直线的上方区域； ③ Fi ≺ 0 时，动点N在直线的下方区域。
终点判别 ∑0 = 8 ∑0 = 7 ∑0 = 6 ∑0 = 5 ∑0 = 4 ∑0 = 3 ∑0 = 2 ∑0 = 1 ∑0 = 0
二、逐点比较法第Ⅰ象限逆圆弧插补
位置偏差计算 设有第一象限逆圆弧SE，圆弧起点为S(Xs,Ys), Y
圆弧终点为E(Xe,Ye),圆弧圆心在插补坐标系原点O，
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CNC装置的插补原理
一、插补的概念
为了加工零件的轮廓，在加工过程中，需要保证刀具相对工件时刻运动的位置是在零件轮廓的轨迹上，这就需要知道不同时刻刀具相对工件运动的位置坐标，以便实现位置控制。
而在零件加工程序中仅提供了描述轮廓线形所必须的参数：直线—出发点和终点坐标；圆弧—出发点、终点坐标以及顺圆或逆圆。
这就需要在加工（运动）过程中，实时地根据给定轮廓线形和给定进给速度要求计算出不同时刻刀具相对工件的位置，即出发点和终点之间的若干个中间点。
这就是插补的概念。
插补定义：插补就是根据给定进给速度给定轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，称为插补方法或插补原理。
每种线形的插补方法，有可以有不同的计算方法来实现，那么，具体实现插补原理的计算方法称为插补算法。
插补算法的优劣直接影响CNC系统的性能指标。
二、评价插补算法的指标
1、稳定性指标
插补运算是一种迭代运算，即由上一次计算结果求得本次的计算结果：Xi=Xi-1+Δi。
作为数值计算，每次计算会存在计算误差和舍进误差。
计算误差：指由于采用近似计算而产生的误差；
舍进误差：指计算结果圆整时所产生的误差。
对于某一算法，误差可能不随迭代次数的增加而积累，而另一算法误差可能随迭代的次数增加而积累，那么，一种算法对计算误差和舍进误差有没有积累效应，就是算法的稳定性。
为了确保轮廓加工精度，插补算法必须是稳定的。
插补算法稳定的充分必要条件是，在插补计算过程中，其舍进误差和计算误差不随迭代次数的增加而积累。
2、插补精度指标
插补精度指插补轮廓与给定轮廓的符合程度，可用插补误差来评价。
插补误差包括：逼近误差δa、计算误差δc、圆整误差δr。
逼近误差和计算误差与插补算法密切相关。
要求：插补误差（轨迹误差）不大于系统的最小运动指令或脉冲当量。
3、合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性是指插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度，由速度不均匀系数描述：
式中，F—给定的进给速度；Fc—实际合成进给速度。
合成进给速度Fc是给定进给速度经过一系列变换得到的，变化过程必产生误差，后果是Fc偏离F或Fc在F上下波动。
若偏离或波动过大，势必会影响零件的加工质量和生产率。
波动过大，严重时造成加工过程中的过大振动和噪声，降低刀具、机床的使用寿命。
4、插补算法要尽可能简单，要便于编程
三、插补方法的分类
1．脉冲增量插补（行程标量插补）
这类算法的特点是：
（1）每次插补的结果仅产生一个单位的位移增量（一个脉冲当量），以一个脉冲的方式输出给步进电机。
基本思想是：用折线逼近曲线。
（2）插补速度与进给速度密切相关。
还受步进电机最高运行频率的限制。
（3）脉冲增量插补的实现方法比较简单（通常只用加法和移位运算）
用于采用步进电机驱动的CNC系统。
2.数字增量法(时间标量插补)
这类算法的特点是：
（1）插补程序以一定的时间间隔（插补周期）运行，在每个插补周期内，根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量）。
基本思想是：用直线段（内接弦线、内外均差弦线、切线）来逼近曲线。
（2）插补运算速度与进给速度无严格的关系。
可达到较高进给速度。
（3）实现算法较脉冲增量插补复杂，对计算机运算速度有一定要求。
主要用于交、直流伺服电机驱动的闭环、半闭环CNC系统。
也可用于步进电机开环系统。