高中物理必修2第四章 抛体运动与圆周运动 万有引力定律第4讲 万有引力定律

第4讲 万有引力定律知识要点一、开普勒三定律1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。

2.开普勒第二定律:对于任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

二、万有引力定律及其应用1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比,与它们之间距离r 的平方成反比。

2.表达式:F ＝G m 1m 2r 2G 为引力常量:G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点。

(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用,r 是两球心间的距离。

三、三个宇宙速度 1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为7.9__km/s 。

(2)特点①第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。

②第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。

(3)第一宇宙速度的计算方法①由G MmR 2＝m v 2R 得v 7.9 km/s②由mg ＝m v 2R 得v ＝gR ＝7.9 km/s 2.宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时,卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。

(2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s,卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v 发≥16.7 km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。

基础诊断1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【试题解析】: 行星做椭圆运动,且在不同的轨道上,所以A 、B 项错误；根据开普勒第三定律,可知C 项正确；对在某一轨道上运动的天体来说,天体与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,而题中是两个天体、两个轨道,所以D 项错误。

【试题参考答案】: C2.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半,它的直径也是地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( ) A.0.25倍 B.0.5倍 C.2.0倍D.4.0倍【试题解析】: 由F 引＝GMm r 2＝12GM 0m（r 02）2＝2GM 0mr 20＝2F 地,故C 项正确。

【试题参考答案】: C3.北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS),建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。

对于其中的5颗同步卫星,下列说法正确的是( ) A.它们运行的线速度一定不小于7.9 km/s B.地球对它们的吸引力一定相同 C.一定位于赤道上空同一轨道上 D.它们运行的加速度一定相同【试题解析】: 同步卫星运行的线速度一定小于7.9 km/s,选项A 错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等,所以地球对它们的吸引力不一定相同,选项B 错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上,它们运行的加速度大小一定相等,方向不相同,选项C 正确,D 错误。

【试题参考答案】: C开普勒三定律的理解和应用【例1】 地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位,叫做天文单位,用来量度太阳系内天体与太阳的距离。

已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位,根据开普勒第三定律,火星公转的周期是多少个地球日？【试题解析】: 根据开普勒第三定律有r 3地T 2地＝r 3火T 2火解得T 火＝(r 火r 地)32T 地＝1.532×365日＝671日【试题参考答案】: 671日【拓展提升1】 地球公转半径在天文学上常用来作为长度单位,叫做天文单位,用来量度太阳系内天体与太阳的距离。

已知火星公转的轨道半径是1.5天文单位,则火星公转的周期与地球公转的周期之比为( )A.32B.62C.263D.364【试题解析】: 由开普勒第三定律得r 3T2＝k ,故T 火T 地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 火R 地3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝364,D 正确。

【试题参考答案】: D【拓展提升2】 (2018·全国Ⅲ卷,15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P ,其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。

P 与Q 的周期之比约为( ) A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1D.16∶1【试题解析】: 由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ,故T PT Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R P R Q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1643＝81,C 正确。

【试题参考答案】: C1.2018年2月7日凌晨,太空技术探索公司Space X 成功通过猎鹰重型火箭将一辆特斯拉跑车送入绕太阳飞行的轨道。

如图1所示,已知地球中心到太阳中心的距离为r D ,火星中心到太阳中心的距离为r H ,地球和火星绕太阳运动的轨迹均可看成圆,且r H ＝1.4r D ,若特斯拉跑车沿图中椭圆轨道转移,则其在椭圆轨道上的环绕周期约为( )图1A.1.69年B.1.3年C.1.44年D.2年【试题解析】: 设跑车在椭圆轨道上的运行周期为T ,椭圆轨道的半长轴为R ,由开普勒第三定律有r3DT2D＝R3T2,其中R＝r D＋r H2,T D＝1年,解得跑车在椭圆轨道上的运行周期T≈1.3年,B正确。

【试题参考答案】: B2.(2019·江苏卷,4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。

如图2所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2,近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G。

则()图2A.v1＞v2,v1＝GMr B.v1＞v2,v1＞GMrC.v1＜v2,v1＝GMr D.v1＜v2,v1＞GMr【试题解析】: 卫星绕地球运动,由开普勒第二定律知,近地点的速度大于远地点的速度,即v1＞v2。

若卫星以近地点时的半径做圆周运动,则有GmMr2＝mv2近r,得运行速度v近＝GMr,由于卫星在近地点做离心运动,则v1＞v近,即v1＞GMr,选项B正确。

【试题参考答案】: B万有引力定律的理解及应用1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向。

(1)在赤道上:G MmR2＝mg1＋mω2R。

(2)在两极上:G MmR2＝mg0。

(3)在一般位置:万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。

越靠近南、北两极,g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR 2＝mg 。

2.星球上空的重力加速度g ′(1)在星球表面附近的重力加速度g (不考虑星球自转)；mg ＝G mM R 2,得g ＝GMR 2。

(2)在星球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度g ′,mg ′＝GMm（R ＋h ）2,得g ′＝GM （R ＋h ）2,所以g g ′＝（R ＋h ）2R 2。

【例2】 (2019·全国Ⅱ卷,14)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。

在探测器“奔向”月球的过程中,用h 表示探测器与地球表面的距离,F 表示它所受的地球引力,能够描述F 随h 变化关系的图像是( )【试题解析】: 由万有引力公式F ＝GMm（R ＋h ）2可知,探测器与地球表面距离h越大,F 越小,排除B 、C 选项；而F 与h 不是一次函数关系,排除A 选项,D 选项正确。

【试题参考答案】: D1.若地球表面处的重力加速度为g ,而物体在距地面3R (R 为地球半径)处,由于地球作用而产生的加速度为g ′,则g ′g 为( ) A.1B.19C.14D.116【试题解析】: 当物体处于地面时,有mg ＝G MmR 2,当物体距离地面3R 时,有mg ′＝G Mm （4R ）2,由此得g ′∶g ＝1∶16,选项D 正确。

【试题参考答案】: D2.(多选)北京时间2017年4月21日消息,科学家们发现在大约39光年外存在一个温度适宜,但质量稍大于地球的所谓“超级地球”,它围绕一颗质量比太阳稍小的恒星运行。

这颗行星的直径大约是地球的1.4倍,质量是地球的7倍。

万有引力常量为G ,忽略自转的影响。

下列说法正确的是( ) A.“超级地球”表面重力加速度大小是地球表面的15 B.“超级地球”表面重力加速度大小是地球表面的257倍 C.“超级地球”的第一宇宙速度大小是地球的5倍 D.“超级地球”的第一宇宙速度大小是地球的55【试题解析】: 由G Mm R 2＝mg 可得g ＝GM R 2,故g 超g 地＝M 超R 2地M 地R 2超＝257,故A 错误,B 正确；由G MmR 2＝m v 2R 解得v ＝GM R ,所以v 超v 地＝M 超R 地M 地R 超＝5,故C 正确,D 错误。

【试题参考答案】: BC天体质量和密度的估算——真题溯源之教材研读1.“g 、R ”法:已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

(1)由G Mm R 2＝mg ,得天体质量M ＝gR 2G 。

(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR 。

2.“T 、r ”法:测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。

(1)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ,得M ＝4π2r 3GT 2。

(2)若已知天体的半径R ,则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3。

(3)若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r 等于天体半径R ,则天体密度ρ＝3πGT 2。

故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ,就可估算出中心天体的密度。

3.计算中心天体的质量、密度时的两点区别 (1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体,天体的半径指的是球体的半径。

卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。

卫星的轨道半径大于等于天体的半径。

(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间,公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。

自转周期与公转周期一般不相等。

【例3】 【教材原题】[教科版必修2·P 51·T 4]登月舱在离月球表面112 km 的高空环境绕月球运行,运行周期为120.5 min 。