二次函数综合专题一面积问题

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二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2xCOy ABD 11二次函数的存在性问题(面积问题)1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC 的面积；（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．2、 [09湖南益阳]阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算PABCAB 98SS =三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使PABCAB98S S =若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图13、[09吉林长春]如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2分）（2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分）4、（07云南昆明）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB 。

九年级数学二次函数综合--面积问题课件

例题：如图，已知抛物线y=-x2-2x+3经过点A（-3，0）、点B（1，0）、点C （0，3），直线y=x+3经过点A（-3，0）、点C（0，3）. （1）P为抛物线在第二象限内的一点，直线PQ⊥x轴，交AC于点Q，若 PQ=2，求P坐标。（2）P为抛物线在第二象限内的一点，直线PQ⊥x轴，交AC于点Q，请问线段PQ是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。
二次函数综合 ---面积类
二次函数综合 ---面积类
1. 中考考查频率自2012年以来几乎每年必考 12年，13年， 14年（线段最值），15年，16年（四边形面积最值），18年， 19年
2. 中考难易程度压轴解答 7：2：1中的 2
3. 本节学习目标铅锤法解决线段，面积定值，最值问题
知识储备1：竖直线段的表示
知识储备2：面积的表示

（3）P为抛物线在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标。
（4）P为抛物线在第二象限内的一点，请问△PAC面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由
巩固练习：
思维导图：
作业布置：

二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。

278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。

该方法不是唯一的。

可以使用截补法，但是有点麻烦。

如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。

掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。

答：（1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。

将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±，当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+，当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为___________，点D 的坐标为___________．(2)如图1 ，连结OD P ，为x 轴上的动点，当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点，它的横坐标为 (05)m m <<，连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t s =，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

二次函数的应用(面积最值问题)

二次函数的应用（面积最值问题）[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值X 围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道与在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内，而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ．【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008XXXX)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米．2．(2008庆阳市)XX 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008XXXX)将一X 边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyOAM （图5）（图7） 6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值X 围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2)中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米．则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ACD P Q解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年XX 市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008XX 内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5 米．答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008XXXX)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值X 围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年XX 市)随着绿城XX 近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +==∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08XX 聊城)如图，把一X 长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm ，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2．即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08XX)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。

二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题（一）〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线顶点坐标（-, ）抛物线与y 轴交点（0，c ）“歪歪三角形中间砍一刀”，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为，△ABC 的面积为.2、若抛物线y=x2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.3、已知抛物线与轴交于点A ，与轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC=3，则=，B C 铅垂高水平宽ha图1 C BA O y x DB A O y x P=．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）、B （3，0），与轴交于点C ，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得，求P 点坐标。

● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． yx B A C O三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。

初中数学二次函数应用题(面积+利润)专题

二次函数的应用一、面积问题1．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．2．一个矩形苗圃，一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，墙长为14米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．求：（1）求面积y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）x为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，求x的取值范围．3．用60m的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场．（1）如果中间只有一道篱笆，如图1，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？（2）如果养鸡场中间有6道篱笆，如图2，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？4．学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？5．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？6．如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．7．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边．（1）若花园的面积为252m2，求AB的长度；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．8．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？9．广雅中学课外活动小组准备建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边用长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示），设这个花房垂直于墙的一边AB=x米，花房中间修筑两条互相垂直的宽为2m的小路，剩余部分种植花卉，仅在BC边的小路处留有2米宽的门．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系；（3）垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值．求这个最大值．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD 上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．（1）求S与x的函数表达式；（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．11．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【利润问题】12．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．（1）求y和x的关系式；（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）求商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天盈利最大，最大盈利多少元？14．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？16．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？17．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？18．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/（1）由题意知商品的最低销售单价是元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？19．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元时，则每个月少卖5件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为3200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围内，每个月的利润不低于3200元？20．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【作业】21．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分（1（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？23．某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出关于x的方程，解方程可得答案；（2）列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．【解答】解：（1）由题意，得：平行于墙的一边长为（30﹣2x），根据题意，得：x（30﹣2x）=100，解得：x=5或x=15，∵∴6≤x＜15．∴x=10．（2）∵矩形的面积y=x（30﹣2x）=﹣2（x﹣）2+，且30﹣2x≥8，即x≤11，∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为；当x=11时，y取得最小值，最小值为88．2．一个矩形苗圃，一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，墙长为14米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．求：（1）求面积y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）x为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，求x的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据矩形的周长和面积即可求得y与x的函数关系式以及自变量x 的取值范围；（2）由y与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；（3）根据题意得﹣2（x﹣7.5）2+112.5=88，即可求得x的取值范围．【解答】解：（1）苗圃园垂直于墙的一边的长为x米则平行于墙的一边长为：30﹣2x．则y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x（8≤x＜15）．（2）y=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，由（1）知，8≤x＜15，∴当x=8时，S最大值=112，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为8米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112．（3）∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5=88，解得x1=4，x2=11∴4≤x≤11，由（1）可知8≤x＜15，∴x的取值范围为8≤x≤113．用60m的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场．（1）如果中间只有一道篱笆，如图1，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？（2）如果养鸡场中间有6道篱笆，如图2，并设矩形一边的长为xm，那么当x 为何值时，养鸡场的面积最大？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）当养鸡场的中间有一道篱笆时，利用鸡场的长x表示出鸡场的宽，列出鸡场面积y关于x的二次函数式，利用函数知识即可解决问题；（2）类似于（1），当养鸡场的中间有6道篱笆时，利用鸡场的长x表示出鸡场的宽，列出鸡场面积y关于x的二次函数式，利用函数知识即可解决问题．【解答】解：（1）设养鸡场的面积为y．∵当养鸡场的长为x米时，宽为，∴面积y==﹣∴当x=30时，y取得最大值300，即当x=30时，养鸡场的面积最大．（2）∵当养鸡场的长为x米时，宽为米，∴面积y==﹣∴当x=30时，y取得最大值，即当x=30时，养鸡场的面积最大．4．学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）由题意得出AB=x，BC=36﹣3x，由矩形的面积公式即可得出S与x 之间的函数关系式；（2）把函数关系式化成顶点式，由二次根式的性质即可得出结果．【解答】解：（1）由题意得：AB=x，BC=36﹣3x，S=AB•BC=x（36﹣3x）=﹣3x2+36x，即S与x之间的函数关系式为：S=﹣3x2+36x（0＜x＜9）；（2）∵S=﹣3x2+36x=﹣3（x﹣6）2+108，0＜6＜9∴x=6时，S取得最大值108，答：要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为6米．5．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设AB长为x米，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，BC=（15﹣2x+1）米，长×宽为面积30米2，根据这两个式子可解出AB的值．【解答】解：设AB长为x米，依题意得：（15﹣2x+1）x=30，解得x=3或x=5．当x=3时，BC=15﹣2x+1=15﹣6+10＞8，不合题意，舍去．故x=5符合题意．答：鸡场的宽AB是5米．6．如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据矩形的周长公式进行解答；（2）根据矩形的面积公式得到方程x（36﹣3x）=96，通过解方程求得x的值即AB的长度即可．【解答】解：（1）AD=36﹣3x；（2）x（36﹣3x）=96，解之得：x1=4 x2=8．当x=4时，AD=24＞20 （舍去），当x=8时，AD=12＜20符合题意．答：当AB=8米时，可使总面积为96m2．7．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边．（1）若花园的面积为252m2，求AB的长度；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据AB=x米可知BC=（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论；【解答】解：（1）设AB=x米可知BC=（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）=252．解这个方程得：x1=18，x2=14，答：AB的长度18m或14m．（2）设周围的矩形面积为S，则S=x（32﹣x）=﹣（x﹣16）2+256．∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和8米，∴8≤x≤15．∴当x=15时，S=﹣（15﹣16）2+256=255（平方米）．最大答：花园面积的最大值是255平方米．8．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】设窗户的长为xcm，面积为y，则窗户的宽为（200﹣x）cm，根据题意得：y=（x﹣10）（200﹣x﹣10）=﹣（x﹣100）2+8100后求得当x=100时有最大面积．【解答】解：设窗户的长为xcm，面积为y，则窗户的宽为（200﹣x）cm，根据题意得：y=（x﹣10）（200﹣x﹣10）=﹣（x﹣100）2+8100，∴当x=100时有最大面积，∴200﹣x=200﹣100=100cm，∴窗户的两边长分别是100cm，100cm9．广雅中学课外活动小组准备建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边用长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示），设这个花房垂直于墙的一边AB=x米，花房中间修筑两条互相垂直的宽为2m的小路，剩余部分种植花卉，仅在BC边的小路处留有2米宽的门．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系；（3）垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值．求这个最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题意列出函数表达式，注意在BC边的小路处留有2米宽的门这一要求；（2）根据长方形的面积减去小路的面积，列出S与x的函数关系式；（3）运用二次函数的性质解决最值．【解答】解：（1）y=52﹣2x（10≤x≤）；（2）S=（x﹣2）（52﹣2x﹣2）=（x﹣2）（50﹣2x）=﹣2x2+54x﹣100；（3）S=﹣2x2+54x﹣100=﹣2（x﹣13.5）2+264.5，当垂直于墙的一边长为13.5米时，面积S有最大值，最大值是264.5平方米．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．（1）求S与x的函数表达式；（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．【解答】解：（1）因为△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，﹣2S△AEH﹣2S△EFB=6×8﹣2×x2﹣2×（8﹣x）（6﹣x）=﹣2x2+14x 所以y=S矩形ABCD（0＜x≤6）．（2）y=﹣2x2+3x=﹣2（x﹣）2+．所以当x=时，y max=．11．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）等量关系为：（原来长方形的长﹣2正方形的边长）×（原来长方形的宽﹣2正方形的边长）=48，把相关数值代入即可求解；（2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值．【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm．则（10﹣2x）（8﹣2x）=48，即x2﹣9x+8=0，解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．答：剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x，即y=﹣8x2+36x．（0＜x＜4）改写为y=﹣8（x﹣）2+，∴当x=2.25时，y最大=40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．12．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．（1）求y和x的关系式；（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据销售利润=每千克利润×总销量，因为y=（x﹣60）w，w=﹣2x+280，进而求出即可．（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．【解答】解：（1）∵w=（x﹣60）•w=（x﹣60）•（﹣2x+280）=﹣2x2+400x﹣16800，∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+400x﹣16800．（2）y=﹣2x2+400x﹣16800=﹣2（x﹣100）2+3200，故当x=100时，y的值最大值是3200．13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）求商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天盈利最大，最大盈利多少元？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】认真阅读明确题意，抓住命题中给出的关键信息；（1）准确表示出每天降价x元后售出的数量，第一小问即可解决；（2）运用二次函数的性质即可解决第二小问．【解答】解：（1）∵当每件衬衫降价x元时，每天可出售（2x+20）件，此时每件可盈利（40﹣x）元∴y=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800（2）∵a=﹣2＜0，所以上述抛物线开口向下，函数有最大值当x=﹣时，y取得最大值，此时y=元14．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y （件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）设出解析式，把（5，300），（6，200）代入求出系数即可；（2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，300），（6，200）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣100x+800；（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣100x+800）=﹣100 （x﹣4）（x﹣8）=﹣100 （x2﹣12x+32）=﹣100[（x﹣6）2﹣4]=﹣100 （x﹣6）2+400所以当x=6时，W取得最大值，最大值为400元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，∵a=﹣5＜0，∴w的最大值是60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．16．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．17．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？。

二次函数综合(动点)问题——四边形面积最值存在问题培优教案(横版)

教学过程一、课堂导入在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），问题：这是在平面直角坐标系那章我们经常遇到的求四边形面积的题目，这类问题相信大家都有不同的解题方法，在二次函数这一章，我们依然要研究四边形的面积，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线(直线、坐标轴等)上求作一点，使得四边形面积最大并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：（二）相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（三）相似三角形模型探究与解题技巧：1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。

2、几种常见的相似三角形模型①直角三角形相似的几种常见模型②非直角三角形相似的几种常见模型3、解题技巧函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。

二次函数综合问题——面积问题

专题5 二次函数综合问题——面积问题一、情景导入例：Y=x2-2x-3(以下分类的函数解析式)（1）和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求P的坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的和最大，求P的坐标（2）求面积最大连接AC，在第四象限找一点P，使得△ACP的面积最大，求P坐标（3）讨论直角三角形连接AC，在对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形，求出P的坐标或者在抛物线上求出点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形二、坐标系中的线段距离1.竖直线段2.水平线段2121y y y y AB -=-=（纵坐标相减，上减下） 1221x x x x AB -=-=（横坐标相减，右减左）3.倾斜线段=AB)y ,2)2,y四．典例精析1【例1】如图，已知二次函数y=-x 2-2x+3的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C 点。

（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），过点P 作y 轴平行线交直线AC 于Q 点，求线段PQ 的最大值；变式1：水平线段−−→−转化竖直线段点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），过点P 作x 轴平行线交直线AC 于M 点，求线段PM 的最大值；分析：PM=PQ ；变式2：斜线段−−→−转化竖直线段 CyBOAx(0,3)()0,145︒xyAB C OPM D(3,0)-Q点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），求P 点到直线AC 距离的最大值。

提示：作直线AC 的平行线l 与抛物线相切于点P.问题2：你能求出△PQH 周长的最大值吗？（三角形周长−−→−转化竖直线段）答案：)415,23(-∴P 829；PQmax=9/4；4)12(9+变式3：(三角形面积−−→−转化竖直线段) 点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A,C 重合），连接PA,PC,求△PAC 面积的最大值；答案：827【变式练习】（2014 ·重庆中考A 卷25题）如图，抛物线y= -x 2-2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点。

最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线经过A，B两点，其对称轴交x轴于点M．P是线段AM上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．
(2)如图，点在轴的负半轴上，且，连接，并延长交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，请求出的最大值及点的坐标；
(3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位到新抛物线，此时新抛物线顶点记为，为新抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标．
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线与轴交于点和点，直线交轴于点和轴于点．
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，抛物线：与轴交于，两点，且顶点为，直线经过，两点．
(1)求直线的表达式与抛物线的表达式；
(2)如图，将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线为，其顶点为，抛物线与直线的另一交点为，与轴交于，两点点在点右边，若，求点的坐标；

最新九年级中考数学专题：二次函数综合压轴题(面积问题)附答案

2023年九年级中考数学专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．已知抛物线27 32y ax x=++的对称轴是直线3x=，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点M是抛物线上任意一点；过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当3MN=时，求点M的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C，D两点之间的距离是__________；(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；(4)平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．3．综合与探究：如图，抛物线y＝ax²＋bx＋3与x轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA＝13OB，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0<m<3）．连接AC，BC，BD，CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△ BCD 的面积等于△AOC的面积时，求m的值；(3)当m＝2时，若点P是x轴上一动点，点Q是抛物线上一动点．试判断是否存在这样的点P，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线223y x x=-++与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．(1)求线段BC的长；(2)过点A作AE//BC，与y轴交于点D，与抛物线第四象限的图象交于点E，P为抛物线上位于第一象限的点，连接PE交BC于点H，连接DH，求四边形PCDH面积的最大值及此时点P的坐标；(3)将原抛物线沿射线BC y'，y'与原抛物线交于点M，点N在直线BC上，且位于y轴右侧，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a=++≠交坐标轴于A、B、C三点，1,4,90OA OB ACB==∠=︒，点D是直线BC下方抛物线上一点，设点D的横坐标为t，DE BC ⊥交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求当t 为何值时，线段DE 的长度最大？最大长度是多少？(3)是否存在点D 的位置，使CDE 与AOC 相似？若存在，请求出相应点D 的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝12-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．(1)b ＝______；c ＝_______；(2)若直线l 经过点C ，点A 关于直线l 的对称点A ′恰好在线段BC 上，直线AA ′与抛物线交于另一点E ．△求点E 的坐标；△点P （x 0，y 0）是直线BE 上一点，若对于在第一象限内的抛物线y ＝12-x 2+bx +c 上的动点Q ，始终有S △QCA ′≤S △PCA ′，直接写出x 0的取值范围．7．在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a <）经过点A 、B ．(1)c ＝；a 、b 之间的关系式为：；(2)当0x <时，若2y ax bx c =++（0a <）的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围；(3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于1,0A ，()2,3C -两点，与y 轴交于点N ．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求直线AC 的函数关系式；(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．求APC △面积的最大值． 9．已知抛物线2y ax bx =+（a ，b 为常数，且0a ≠）的对称轴为1x =，且过点(1，12)．点P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为t ，直线AB ：4y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 在第一象限内或x 轴上，连接PA ，PB ，当PAB ∆面积最小时，求此时点P 的坐标；(3)对于函数2y ax bx =+，当1t x t ≤≤+时，此函数的最大值为m ，最小值为n ，是否存在t 的值使23m n -=．若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，开口向上的抛物线与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，与y 轴交于点C ，且AC BC ⊥，其中1x ，2x 是方程2340x x +-=的两个根．(1)求点C 的坐标，并求出抛物线的表达式；(2)垂直于线段BC 的直线l 交x 轴于点D ，交线段BC 于点E ，连接CD ，求CDE 的面积的最大值及此时点D 的坐标．11．如图抛物线y ＝ax 2+bx +6的开口向下与x 轴交于点A （﹣6，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一个动点（不与点C 重合）(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 是抛物线上一个动点，若△PCA 的面积为12，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为D ，在抛物线上是否存在点E ，使得△EAB ＝2△DAC ，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图1，抛物线214y x bx c =-++经过点A (4，3)，对称轴是直线x =2，顶点为B ．抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过点A 作AD △x 轴于点D ，点E 是线段AC 上的动点(点E 不与A 、C 两点重合)．(1)求抛物线的函数解析式和顶点B 的坐标；(2)若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1:3的两个四边形，求点E 的坐标；(3)如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 也恰好落在抛物线上?若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线AB 交于A ，B 两点，其中A （0，1），B （4，﹣1）．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P ，Q 为直线AB 下方抛物线上任意两点，且满足点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为m +1，过点P 和点Q 分别作y 轴的平行线交直线AB 于C 点和D 点，连接PQ ，求四边形PQDC 面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线y ＝x 2+bx +c 沿射线AB 平移线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，点G 为平面直角坐标系内一点，当点B ，E ，F ，G 构成以EF 为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．14．已知抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为(1,0)-、点C 的坐标为(0,3)；(1)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)如图1，有两动点D 、E 在COB △的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C O B →→方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B C →方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题：△当t= 时，BDE △的面积等于3310； △在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x bx c-++与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作AD//BC交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线CB个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．△求抛物线的解析式．△若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．△设点Q是线段AC上的动点，作QD△x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．17．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB ，OD 在x 轴上，已知点A （2，4），过点A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，抛物线2y ax bx c =++经过O ，A ，C 三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G 为抛物线上位于线段OC 所在直线上方部分的一动点，求点G 到直线OC 的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 是等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y ＝34x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交轴于点C ，点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（4，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，求△CPB 的面积最大时点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且△MCB ＝△ABC ，请直接写出点M 的坐标．19．已知抛物线214y x bx c =-++与直线AC 相交于A 、C 两点，且()2,0A -、()4,3C ．(1)填空：b=______，c=______；(2)DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG 与EF始终平行于y轴．△连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；△CH AB⊥，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH 相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．20．综合与探究：如图，抛物线y1＝ax2﹣6ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为N，直线y212=-x﹣1与x轴交于点B，与抛物线交于点D，连接BC，DN，sin△OCB=．(1)求抛物线的解析式；(2)△点D的坐标为______，DN＝______；△当y1＜y2时，自变量x的取值范围是______；(3)若点P在直线AC上，且S△ABP：S△BCP＝1：3，求ABAP的值；(4)在第四象限内存在点E，使△ACE与△ABC相似，且AC为△ACE的直角边，请直接写出点E的坐标．参考答案：1．(1)217322y x x =-++；A （-1，0），B （7，0） (2)763(,)28P ，四边形PBOC 的面积最大为53916(3)点M 或M 或M （1，6）或M （6，72） 2．(1)245y x x =-++(2)(3)1258(4)()()()1237,4,3,4,3,14Q Q Q --3．(1)223y x x =-++(2)1m =2m =(3))1P ，()250P ，，()310P ，，()4P4．(1)线段BC 的长为(2)四边形PCDH 面积的最大值为8，及此时点P 的坐标为（2，3）；(3)存在，Q （1，﹣4）或Q （﹣2，3）．5．(1)213222y x x =--(2)2t =时，DE 最大，此时DE (3)存在，(3,2)D -或325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)32，2 (2)△E （103，139）；△x 0≤145或x 0≥2657．(1)2，21b a =+ (2)102a -≤< (3)存在，P （﹣1，2）或（1-1-，）8．(1)y ＝−x 2−2x ＋3(2)y ＝−x ＋1 (3)2789．(1)212y x x =-+ (2)P (2，0) (3)16-或7610．(1)()0,2C -，213222y x x =+-； (2)CDE S △最大为54，3,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)21262y x x =--+；(2)P 的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣31）或（﹣31）(3)E （12，398）或（72，578）12．(1)2134y x x =-++；()2,4 (2)835⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1235⎛⎫ ⎪⎝⎭， (3)存在，4313．(1)y ＝x 2﹣92x +1(2)最大值为154(3)G 坐标为（194194）或（134，﹣154），求解过程见解析14．(1)239344y x x =-++，375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭△1013,36⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,3) 15．(1)234y x x =-++(2)当m ＝2时，四边形BPCQ 的面积最大为18，此时P （2，6）．(3)(2,42,4-+---16．(1)点B 的坐标为(1,0)(2)△223y x x =+-；△(4,21)或()4,5-；△QD 有最大值94，点Q 的坐标为3(2-，9)2-．17．(1)23742y x x =-+；(2)G 点到直线OC G (2，4)； (3)存在，P 点的坐标为4233⎛⎫ ⎪⎝⎭，．18．(1)239344y x x =-- (2)92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭19．(1)1，3；(2)△4；D (0，1)；△存在这样的D 使△DEG 与△ACH 相似，坐标为1⎛ ⎝⎭20．(1)y 114=x 232-x ﹣4 (2)△（6，﹣4），154；△﹣2＜x ＜6(3)AB AP的值为(4)点E 的坐标为（2，﹣8）或（8，﹣20）或（10，﹣4）或（16，﹣16）。

二次函数与几何综合-面积问题(解析版)

专项11 二次函数与几何综合-面积问题【方法1直接法】一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边【方法2 铅锤法】铅锤高水平宽⨯=21S 【方法3 其他面积方法】如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【方法4 利用相似性质】利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【方法1 铅锤法求面积】【典例1】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8 （2）【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽Rt△BCO，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝【变式1-1】（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）①﹣m2+m+3 ②【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，同理可得：S△POD＝×OM（x D﹣x P）＝﹣m2+m+3，综上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；【变式1-2】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是（，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接P A，此时P A+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴x＝时，y＝﹣+4＝，∴此时P（，）．故答案为：（，）；（3）设Q（m，﹣m2+3m+4）过Q作QD⊥x轴，交BC于点D，则D（m，﹣m+4），∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∵B（4，0），∴OB＝4，，当m＝2时，S△BCQ取最大值，最大值为8，∴△BCQ面积的最大值为8；【变式1-2】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；【方法2 其他方法】【典例2】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，函数的对称轴为：x＝1；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．【变式2-1】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，∴C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；【典例3】（淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（2）G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（2）存在点G，当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．由题意：AE：BF＝3：5，∵BF∥AE，∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，解得t＝﹣15，∴直线DG的解析式为y＝x+，由，解得或，∴G（0，）．当点G在x轴下方时，如图2所示，∵AO：OB＝3：5∴当点G在DO的延长线上时，存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，将点D代入得k＝3，故y＝3x，则有整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，得x1＝1（舍去），x2＝﹣15当x＝﹣15时，y＝﹣45，故点G为（﹣15，﹣45）．综上所述，点G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．【变式3】（2021秋•南阳）如图，对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）点B的坐标为（1，0）（2）①y＝x2+2x﹣3②点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a＝1时，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1，解得b＝2，将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；②∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×OC×|x|＝4××OC×OB，即×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，解得x＝±4，当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；1.（2021秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），过点M作ME⊥y轴于点E，∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；2．（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设直线BC的解析式为y＝kx+m，将B，C两点的坐标代入得：，解得：，∴直线BC的解解析式为y＝x﹣3，设点F（x，x﹣3），点E（x，x2﹣2x﹣3），∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF•OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，∴当x＝时，S△CBE有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，﹣）；3．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设P（m，0），则P A＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA＝P A•CF﹣P A•QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，∴当m＝﹣1时S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．4．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y 轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB 交于点M．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）如图，∵A（0，5），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，∴M（2，3），由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，过点P作PH∥y轴交AB于H，设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），∴H（m，﹣m+5），∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，∴S△PMB＝PH（x B﹣x M）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，S△PMB最大＝，即△PMB面积的最大值为；5．（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；6．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S△MNB＝BM•DN＝，即•|3﹣t|•2t＝，当t＜3时，•（3﹣t）•2t＝，化简得：4t2﹣12t+15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t＞3时，•（t﹣3）•2t＝，解得t1＝，t2＝（舍），∴DN＝2t＝3+2，∴点M的坐标为（，0），点N的坐标为（1，3+2）；7．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S 的最大值及此时D点的坐标；【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；。

(word完整版)二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合—-面积问题➢ 知识点睛1.“函数与几何综合"问题的处理原则：_________________，__________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积—-铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ , 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 例题示范例1:如图，抛物线y =ax 2+2ax —3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点,求△ACP 面积的最大值．(3）若点E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F ,使以A，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标;若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A （—3,0），B （1，0）,对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ,可得C （0，—3)，代入表达式,即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形,发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解:（1)由223y ax ax a =+-(3)(1)a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =，∴(03)C -，, 将(03)C -，代入223y ax ax a =+-，第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征:由所求的目标入手分析,目标为S △ACP 的最大值，分析A ,C 为定点,P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动,即-3〈x P <0；（2）设计方案：1()2APBB A S PM x x =⋅⋅-△注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ,易得:3AC l y x =--设点P 的横坐标为t ，则2(23)P t t t +-，, ∵PQ ∥y 轴， ∴(3)Q t t --，，∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139()(30)222ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵302-<， ∴抛物线开口向下,且对称轴为直线32t =-， ∴当32t =-时，ACP S △最大，为278．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以A ，B ,E ，F 为顶点的四边形中，A ,B 为定点，E ，F 为动点,定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用,四个顶点用逗号隔开,位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解:先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时,依据平行四边形的判定，需满足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移,确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意:在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB ，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点,在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标．结果验证：画图或推理,根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】(3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF , 如图所示，设E 点坐标为（—1，m ),当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1代入抛物线解析式，可得,m =12， ∴F 1(3，12)；当四边形是□ABEF 时,由(30)A -，，(10)B ，可知,F 2（—5，m ）可得,m =12， ∴F 2(—5，12）．②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，AB 的中点D (—1，0)，设E (—1，m )，则F （—1,—m ），代入抛物线解析式,可得,m =4， ∴F 3(—1，-4）．综上：F 1(3，12)，F 2（—5，12)，F 3(—1，—4)．精讲精练1.如图,抛物线经过A （—1，0），B （3，0),C （0，3）三点．（1)求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下,连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积;若不存在,2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ,D在y 轴上且OB =OC =3,OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ,B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ． (1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3)在直线AD 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AEG S =△？如果存在,求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）已知点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上,Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a 〉0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧,且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC ，CD ，∠ACD =90°． (1）求抛物线的解析式；（2）若点M 在抛物线上,且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12,设M 的横坐标为m ，求m 的值．(3）已知点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上,且以A ,B ，E ,F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标．4.如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <)经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上,且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为点D ，在抛物线上是否存在异于点B 的一点Q ，使△CDQ 的面积与△CDB 的面积相等？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F 是抛物线上的动点，点E 是直线y =—x 上的动点，且以O ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的横坐标．。

二次函数综合(一)——面积问题

二次函数综合（一） ——面积问题
一、解决函数综合题中面积问题的常用方法：
1. 割补法
当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取间接（分割或补全图形再分割）的方法来表示所求图形的面积，如图1：
4. 相似法
利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行转化.
二、基本题型
1.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为原点，已知点A（3,6），B（5,2），求△AOB的面积.
2.已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。

求△ACD的面积。

3已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。

求△BCD的面积。

二次函数综合问题-面积问题

二次函数综合问题——面积问题姓名1）如图，点P 是直线AC 上方抛物线y=－x 2－4x －3上的动点，求△PAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标（参阅900分P18、4）2）如图，抛物线y=－x 2－4x －3的对称轴交AC 于E ，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点，求△CEP 的最大面积和对应点P 的坐标3）如图，点P 是直线AC 上方抛物线y=－x 2－4x －3上的动点，圆P 与AC 相切，求圆P 的最大面积和此时点P 的坐标4）如图，点D 是抛物线y=－x 2－4x －3的顶点，动点P 从D 出发沿对称轴向下运动，运动时间为t 秒，每秒运动1个单位，过P 作PF ⊥DP 交DC 于F ，GF ⊥PF 交抛物线于G ，当t 为何值时，△DCG5）如图，点D 是抛物线y=－x 2－4x －3程中，△BPD 的面积是否发生变化？若变化，说明如何变化。

若不变化，求△BPD 的面积6）如图，抛物线y=－x 2－4x －3上是否存在点P ，使△ABP 的面积等于△ABC 的面积的一半，若存在，求出点P7）如图，抛物线y=－x 2－4x －3上是否存在点P ，使△ACP 的面积为△ABC 的面积的一半，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由（参阅月考试题第23题）8）如图，直线AC 交抛物线y=－x 2－4x －3的对称轴于E ，G 是线段OC 上一动点， FG ∥AC 交x 轴于点F ，设CG=m ，△EFG 的面积为s ，求s 与m 的函数关系式，并求s 的最大值和此时点G 的坐标（9）如图，抛物线y=－x 2－4x －3交x 轴于A 、B ，交y 轴于C ，点E 是线段AB 上的动点，EF ∥AC 交BC 于F ，当△CEF10）如图，抛物线关系式为y=－x 2－4x －3，点F 是线段AC 上一点，过F 作FG ∥x 轴交BC 于G ，求矩形EFGH 的最大面积和此时点F 的坐标11）如图，点M 是抛物线y=－x 2－4x －3形的面积为6，求点M 的坐标（参阅900分12）如图，抛物线y=－x 2－4x －3交x 轴于A 、为M ，求阴影部分的面积（参阅900分。

《二次函数专题提优》：二次函数有关面积问题

《二次函数提优专题》：二次函数有关面积问题2、如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．（1）、求抛物线的解析式．（2）、设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①、如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②、是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（二）、三角形面积最值：3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB 。

(1)、求该抛物线的解析式；(2)、在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得BCD △的面积最大?若存在，求出D 点坐标及BCD △面积的最大值；若不存在，请说明理由。

(3)、在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得QMB △与PMB △的面积相等?若存在，直接写出满足条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（三）、有关三角形面积倍数关系：4、如图，已知：m 、n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，•抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）．（1）、求这个抛物线的解析式；（2）、设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；（3）、P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数5-x 6-x y 2+=的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l 。

二次函数中的面积问题优秀教案

二次函数专题--面积问题二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用,其本质特征是变化与对应,它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具.作为刻画变量变化规律的工具,二次函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一.二次函数既是初中数学的核心内容、重要的基础知识，也是初中与高中知识衔接的重要部分.它与数学其他知识有着更为广泛的联系.因此成都市的中考数学试题的压轴题都是以二次丽数为题材设置的二次丽数综合题.二次兩数综合题除了考查二次丽数的相关的基础知识外，还特别注重考查考生的分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题,常涉及方程(组)、不等式(组)及几何的许多知识,是中考命题的热点.备受命题者的青睐。

【知识回顾】1、二次函数)0(2≠++=acbxaxy图像的顶点坐标⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22，当0>a时，当abx2-=时，=最小值y；当0<a时，当abx2-=时，=最大值y；2、“铅垂高，水平宽”面积法三角形面积：S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．【课前热身】1、已知二次函数1632+--=xxy，当=x时，=最大值y。

2、如图，二次函数342+-=xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点是D，则=∆DCBS。

【例题精讲】例1如图，抛物线322++-=xxy与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC。

使得△PBC 面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．变式1 如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．过点P 作PH⊥CB 交CB 于H 点，求PH 最大值及此时P 点坐标。

二次函数与几何专题一面积问题教案

二次函数与几何专题一面积问题一、学习目标1、学生学会在二次函数中解决简单的与二次函数有关的面积问题2、学生会用代数、几何的方法解决面积最大问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化三、学习过程（一）基础训练1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= 此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为，△ABC 的面积为 .2、已知二次函数y=x 2–21x-23与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则△ABC 的面积为 . 3、已知二次函数y=-21x 2+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与y 轴交点为C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积.4、已知抛物线y=x 2–4x+1, 与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上有一点N,使△ABN 的面积为43，求点N 的坐标.5、已知一次函数y=kx+m 的图象与二次函数y=a x 2 +bx+c 相交于A(-2，-1)，B(6，3)两点，且二次函数图象与y 轴的负半轴交于C 点，若△ABC 的面积为12，求一次函数及二次函数解析式.（二）能力提升（2011•清远）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．二次函数与几何专题二直角三角形一、学习目标1、学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的直角三角形问题2、学生会用勾股定理、相似的方法解决直角问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形三、学习过程1、如图，抛物线y=（x-1）2+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．2、（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——相似一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的相似问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形1、（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C （0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——全等一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的全等问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形1、（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．2、（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——等腰三角形一、学习目标学生学会在二次函数中解决与二次函数有关的等腰三角形问题二、重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数中找到几何的基本图形三、学习过程3、（2012•龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与几何——平行四边形 4月16日一、学习目标学生学会在二次函数中解决与平行四边形有关的问题二重点、难点函数中的坐标与线段的互相转化；在函数图象中找到几何的基本图形三、学习过程活动一：1、若抛物线y ＝x 2－bx ＋16过点（1，10），则b 的值为____ __2、抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点，则这个二次函数的解析式_________________________。

二次函数代几综合专题

二次函数代几综合（类型一）
———求面积最大值问题
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。

(3) 若动点D在第一象限的抛物线上且抛物线的对称轴交CB于点P，
当S△DCP最大时，请求D点的坐标和△DCP的最大面积。

2、如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值并求出此时S △BDP的面积．。