二次函数综合专题一面积问题

二次函数专题一

1.如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a)，中间的这条直线在△AＢC 内部线段的长度叫△AＢC的“铅垂高（h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:

S△ABC＝ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：

如图２,抛物线顶点坐标为点C（1,4)，交x轴于点Ａ(3,0），交ｙ轴于点B.

（1)求抛物线和直线ＡＢ的解析式；

(2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CＤ及S△CAＢ;

（3）是否存在抛物线上一点P,使S△PAB=S△CAＢ？若存在，求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

如图，在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0），连接OA,将线段ＯA绕原点O顺时针旋转12０°,得到线段OＢ．

（１）求点Ｂ的坐标；

（2)求经过A、Ｏ、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由；

（4)如果点P是(２)中的抛物线上的动点,且在ｘ轴的下方,那么△PAＢ是否有最大面积?若有,求出此时Ｐ点的坐标及△PAB的最大面积;若没有，请说明理由．

(注意:本题中的结果均保留根号）.

如图，抛物线ｙ＝aｘ2+bx+４与ｘ轴的两个交点分别为A（﹣4,0)、B(２,0),与ｙ轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.

(１）求抛物线的函数解析式,并写出顶点Ｄ的坐标;

(2)在直线ＥＦ上求一点H，使△ＣDＨ的周长最小，并求出最小周长；

(3）若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EＦＫ的面积最大?并求出最大面积．

题型一：面积问题

变式训练1

变式训练2

如图已知:直线y=﹣x+３交x轴于点A,交y轴于点Ｂ，抛物线y=ａx2+bx+c经过Ａ、B、C(1，0)三点.

(１）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（﹣１,0）,在直线y=﹣x+3上有一点P，使△AＢＯ与△ＡDP相似,求出点P的坐标；

（3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上，是否存在点Ｅ,使△ADＥ的面积等于四边形AＰCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

堂堂清

一．选择题（共５小题）

１.如图，如果把抛物线ｙ＝ｘ2沿直线ｙ=x向上方平移2个单位后，其顶点在直线y=x上的Ａ处,那么平移后的抛物线解析式是( )

Ａ.y＝(x+2)2+2 B.y=(x+2)2+2 C.ｙ＝(x﹣2)2+2ﻩD.ｙ＝(x﹣2)2+２

2.已知抛物线c：y=ｘ2+2ｘ﹣3,将抛物线c平移得到抛物线ｃ′，如果两条抛物线,关于直线x=1对称,那么下列说法正确的是( )

Ａ.将抛物线ｃ沿ｘ轴向右平移个单位得到抛物线c′B.将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线ｃ′

C.将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′Ｄ．将抛物线ｃ沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′

3．将抛物线y１=x2﹣２x﹣３先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y２=ａｘ２＋bx+c重合,现有一直线y３＝2ｘ+３与抛物线y ２=aｘ

２+bx+c相交，当y

2≤y3时,利用图象写出此时x的取值范围是( )

A．ｘ≤﹣1 B．x≥3ﻩC．﹣1≤x≤3 D.x≥0

４.已知二次函数ｙ＝ax2+ｂx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论：①abｃ＞0;②b＜a＋ｃ;③４a＋２b+c＞0;④b2﹣4aｃ>0;其中正确的结论有( )

A．1个ﻩB．２个C．3个 D.４个

５.二次函数y=ax2＋bx+c（a≠0)的图象如图所示,对于下列结论:①a＜0;②ｂ<０；③ｃ>0；④２a+b=0；⑤ａ﹣b+c<０,其中正确的个数是（ )

A.4个ﻩB．3个 C.2个ﻩＤ.1个

二．填空题(共５小题）

6．已知抛物线y=aｘ２+ｘ+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝．

7.如果抛物线ｙ＝ax2﹣２ax＋c与x轴的一个交点为(5，０),那么与ｘ轴的另一个交点的坐标是.

8．如果抛物线y＝ax2+５的顶点是它的最低点，那么ａ的取值范围是．

9.已知点（﹣1,m）、(2，n )在二次函数y=ax2﹣２aｘ﹣１的图象上，如果m＞ｎ，那么a ０(用“＞”或“<”连接）.

1０．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0)，其部分图象如图所示,下列结论:

①４ａc

③3ａ+c>0;④当ｙ＞０时,x的取值范围是﹣1≤x＜3;⑤当x<0时，ｙ随ｘ增大而增大;其中结论正确有．

变式训练3

三．解答题(共4小题）

１1.甲、乙两人分别站在相距６米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面１．5米的Ｄ处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为４米,现以Ａ为原点，直线AＢ为x轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

1２．如图，在直角坐标系中,已知直线ｙ=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为(﹣2,0)．

（１）求经过A,B，Ｃ三点的抛物线的解析式；

(２)如果M为抛物线的顶点,联结AＭ、ＢM,求四边形AOBＭ的面积．

13.抛物线y=ａｘ2+ｂx＋3(a≠０）经过点A（﹣1，0），B（，0)，且与y轴相交于点Ｃ．

(1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

(3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段ＡC上，且DE⊥AC,当△DCＥ与△ＡOC相似时，求点D的坐标．

14．如图，已知抛物线y＝+ｂx+c经过△ＡBＣ的三个顶点，其中点A（０,1）,点B（﹣9,10），AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的一

个动点．

(1）求抛物线的解析式；

（２)过点Ｐ且与y轴平行的直线l与直线AB、AＣ分别交于点E、F,当四边形ＡECP 的面积最大时,求点Ｐ的坐标；

(３)当点P为抛物线的顶点时,在直线AＣ上是否存在点Ｑ,使得以C、Ｐ、Q为顶点的三角形与△ＡＢC相似？若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由．

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