固体物理电子16晶体衍射
固体物理第六章晶体X射线衍射
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• Vectors in the direct lattice have the dimensions of [length]; vectors in the reciprocal lattice have the dimensions of [1/length]. • The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal.
n=3, =67.52o no reflection for n4
Combining Bragg and d-spacing equation
X-rays with wavelength 1.54 Å are “reflected” from the (1 1 0) planes of a cubic crystal with unit cell a = 6 Å. Calculate the Bragg angle, , for all orders of reflection, n.
• a1,a2,a3又称为正点阵
a3 b3
a2 b2 a1
b1
倒易点阵（Reciprocal Lattice）
• 此时， b1,b2,b3为不共面的基矢，称为倒易点阵 （reciprocal lattice） • If a1,a2,a3 are primitive vectors of the crystal lattice, then b1,b2,b3 are primitive vectors of the reciprocal lattice.
2d sin = n
固体物理学概论
固体物理学概论固体物理学是研究物质的结构和性质的一门学科，它涵盖了领域广泛且深奥的知识。
本文将为读者介绍固体物理学的基础知识和主要研究内容。
一、晶体结构晶体是物质在固态中具有长程有序的结构，其原子、离子或分子按照规则排列。
晶体结构对物质的性质和功能具有重要影响。
固体物理学研究晶体结构的方法和特性，发展了晶体学的基本理论。
1. 空间点阵空间点阵是描述晶体结构的重要工具，它由一组等距离的格点所组成。
常见的点阵有简单立方点阵、面心立方点阵和体心立方点阵等。
这些点阵可以通过平移和旋转操作来描述晶体的周期性。
2. 晶胞和晶格晶胞是晶体中基本重复单元，它由一组原子、离子或分子构成。
晶格是由晶胞组成的整体结构，它描述了晶体中原子的排列方式。
晶胞和晶格可以通过晶体学的实验方法进行确定。
二、电子结构电子结构是固体物理学中的核心内容，它研究了电子在晶体中的行为和性质。
电子结构决定了物质的导电性、磁性以及光学性质等。
1. 能带理论能带理论是描述晶体中电子分布的重要理论模型。
根据能量分布，电子在晶体中具有禁带和能带的概念。
导带和价带之间的能隙决定了物质的导电性质。
2. 费米能级费米能级是描述固体中电子填充状态的参考能量。
它决定了电子在晶体中的分布规律，以及固体的导电性质。
费米能级的位置和填充程度影响了物质的导电性。
三、磁性和磁性材料磁性是固体物理学研究的另一个重要方向。
固体材料在外加磁场下表现出不同的磁性行为，如铁磁性、顺磁性和反铁磁性等。
1. 磁化强度和磁矩磁化强度是描述材料对磁场响应的物理量，它与材料中的磁矩相关。
磁矩是材料中带有自旋的原子或离子产生的磁场。
2. 磁性材料的分类磁性材料可以根据其磁性行为进行分类。
铁磁材料在外加磁场下显示出强烈的磁化行为，顺磁材料对外加磁场表现出弱磁化行为，而反铁磁材料在一定温度下表现出特殊的磁性行为。
四、光学性质固体物理学还研究了固体材料的光学性质。
物质在光场中的相互作用导致了光的传播、吸收和散射等现象。
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律
固体物理学基础晶体衍射与布拉格定律晶体衍射是固体物理学中的重要概念，它通过分析光线或粒子在晶体结构上的散射和干涉现象，揭示了晶体的微观结构信息。
而布拉格定律则是晶体衍射的基础，它描述了入射光线或粒子在晶体上的散射条件。
本文将从晶体衍射的原理和特点出发，详细介绍晶体衍射与布拉格定律的相关内容。
一、晶体衍射的原理和特点晶体衍射是由于晶体的周期性结构导致的光线或粒子的散射和干涉现象。
当入射光线或粒子遇到晶体的原子或离子时，会受到晶体中的电场或电荷分布的相互作用，并发生散射。
与非晶体相比，晶体具有明显的周期结构，晶格中的原子或离子排列有序，因此晶体衍射呈现出一系列特点。
首先，晶体衍射具有干涉性质。
当入射光线或粒子的波长与晶体的晶格常数相当时，晶体中的每个原子或离子都可以看作是一种点源，它们发出的散射光线或粒子会相互干涉，形成一系列明暗相间的衍射斑图。
其次，晶体衍射具有角度选择性。
根据晶体的布拉格定律，只有满足一定散射角度的入射光线或粒子才能在晶体中发生衍射。
这意味着不同入射角度和不同衍射角度对应着不同的衍射条件，从而使得衍射斑图的位置和形状随着入射角度的变化而改变。
最后，晶体衍射具有信息衍射的特点。
根据衍射斑图的位置、形状和强度分布，可以反推出晶体的结构信息。
通过分析衍射斑图的间距和角度，可以确定晶体的晶格常数和晶体面的取向。
这为研究晶体结构和材料性质提供了重要的手段和依据。
二、布拉格定律的推导和应用布拉格定律是描述晶体衍射的基本规律，它通过分析散射光线或粒子在晶体中的干涉现象，给出了入射角度和衍射角度之间的定量关系。
布拉格定律的推导基于几何光学和干涉光学的原理，下面将对其进行简要介绍。
设晶体中的两个晶面之间的距离为d，入射光线或粒子与晶面的夹角为θ，入射光线或粒子在晶体上发生衍射后的干涉光线或粒子与晶面的夹角为φ。
根据布拉格干涉的条件，晶面散射的光线或粒子应满足相位差为整数倍的关系。
根据光的传播定律和几何关系，可以得到入射光线或粒子与晶面的夹角θ与衍射角度φ之间的关系：2dsinθ = nλ其中，d为晶面间的距离，θ为入射角度，φ为衍射角度，n为整数，λ为入射光线或粒子的波长。
固体物理学的基本原理
固体物理学的基本原理固体物理学是物理学的一个重要分支，研究的是固体材料的性质和行为。
固体物理学的基本原理涉及到原子结构、电子结构、晶体结构等多个方面，对于理解和应用固体材料具有重要意义。
1. 原子结构固体物理学的基本原理之一是原子结构。
固体是由原子构成的，而原子又由质子、中子和电子组成。
在固体物理学中，我们研究的核心问题之一就是如何理解和描述原子的结构。
从经典的玻尔模型到量子力学的波函数，人们提出了不同的描述原子结构的模型，并通过实验来验证它们的正确性。
2. 晶体结构在固体物理学中，研究晶体结构也是至关重要的。
晶体是固体中最常见的形态，其结构具有高度的有序性和周期性。
人们通过X射线衍射等手段得以揭示晶格结构，并据此建立了布拉维格点、晶格常数等概念。
一些经典的晶体结构包括简单立方、面心立方和体心立方等，它们对于材料的性质和行为有着深远的影响。
3. 电子结构固体物理学中电子结构也是一个核心问题。
电子作为固体中最活跃的部分，在电导、磁性等性质中发挥着关键作用。
费米能级、能带理论、布里渊区等概念都是固体物理学中描述电子结构的重要工具。
通过对电子结构的深入研究，人们可以更好地理解材料的导电性、光电特性等。
4. 热学性质固体物理学不仅涉及结构性质，还包括了热学性质。
晶格振动和声子是固体热学性质的重要研究对象，而热膨胀、比热容等参数则直接与固体材料的热学行为相关。
5. 光学性质此外，在固体物理学中我们也会探讨材料的光学性质。
折射率、透过率、吸收谱等参数能够帮助我们了解材料在光学上的表现，并指导着诸如激光器、太阳能电池等应用技术。
结语综上所述，固体物理学作为物理学领域中极富挑战性和重要性的一个分支，其基本原理涵盖了原子结构、晶体结构、电子结构以及热学和光学性质等多个方面。
只有深入掌握这些基本原理，我们才能更好地解释和应用各种复杂材料在现实世界中表现出来的特殊行为，并推动科技进步与工程实践。
第十一节-晶体衍射
a
3
ck
i, j, k
表示沿三个坐标轴方向的单位矢量。
简单正交格子正格基矢：
a1 ai a2 b j
a
3
ck
其倒格基矢：
b1
b 2
b3
2π
a 2π
b 2π
c
i j k
倒格矢：K hkl 2π hi 2π k j 2π lk
L S0
L1 M A
B
θ
P
θ
θd
θC
Dθ
O
下面分两种情况讨论：
1）同一晶面上的原子的散射加强条件：
S N2 N
N1 A 晶面
B
可以看出X射线到达NN2时，光程差为零，满足衍射条件， 这说明同一晶面上反射线方向可以作为同一晶面原子的衍 射线方向。
2）不同晶面上的原子的散射加强条件：
由上图知道，两束X射线到达NN1处的光程差为：
例1：设有某一晶体具有简单正交格子的结构，其棱边长 度分别为a、b、c，现在沿该晶体的［100］方向入射X射线。 （1）确定在哪些方向上出现衍射极大？并指出在什么样的波长 下，能观察到这些衍射极大。（2）如果采用劳厄法作X-射线 衍射实验，请指出衍射斑点的分布。
解：简单正交格子正格基矢：
a1 ai a2 b j
例、典型的X射线衍射谱 (衍射方向和衍射强度）
csp Ag(111) Ag(200) or Co(111) fcc Co(101) hcp Ag(222)
a:R.T. b:373K c:473K d:573K e:673K f:773K
f e d c b a
半导体物理-晶体衍射和倒易点阵
4、若一个晶面截晶轴与原点的负侧，则相应的指数就是负的，在其上方放置
负号作为标记，例如 (hkl)
2.1 晶体结构22
• 练习：证明在立方晶体中，[hkl]晶向垂直于 （hkl）晶面
zˆ
(0,0,a/l)
平面方程
x + y + z =1 a/h a/k a/l
(a/h,0,0)
－当来自这些平行原子平面的反射发生相长干涉时，就会得出衍 射束。
－假设为弹性散射，反射后X射线的能量不改变
θ
θ
2d sinθ = nλ
θ
d
－只对某些θ值，才会产生强反射束
d sinθ
－点阵周期性导致布喇格定律
2.2 晶体衍射和倒易点阵3
2.2.2 倒易点阵
－晶体性质的周期性
r T
=
uar
+
r vb
－以周期为a的一维周期函数n(x)的处理为例
－将n(x)展开为含有余弦和正弦的傅立叶级数
n(x) = n0 + ∑[Cp cos(2πpx / a) + Sp sin(2πpx / a)] p>0
－p是正整数；Cp、Sp是实常数，称为展开式的傅立叶系数
－幅角中的2π/a保证n(x)具有周期a，即n(x+a)=n(x)
CsCl 结构 简单立方＋CsCl
2.1 晶体结构25
2.1.5 常见晶体结构范例
C
A
A
B
A
1
1 2
A 面心立方
A
位置B
2B
位置C
c / a = 8 = 1.633 3
A 六角密堆积结构 （He晶体）
电子衍射
电子衍射。
1924年法国年轻的物理学家德布罗意考虑到光波具有波动性与粒子性后，提出微观粒子也应具有波粒二象性后，震惊了全世界。
直到1926年物理学家戴维逊和革末才在实验中观察到低速电子在晶体上的衍射现象。
与此同时，汤姆逊使被加速的高速电子穿过金属箔片而得到圆环形的电子衍射图样，并且测出了电子波长，德布罗意假说终于被确认。
德布罗意及戴维逊、革末分获1929和1937年诺贝尔物理学奖。
本实验为电子透射式衍射。
要求掌握电子衍射的基本原理和方法，进行德布罗意假说的验证，并学会使用与调整电子衍射仪。
一 实验原理：1 电子波的波长1924年，德布洛意提出假说，认为一个自由粒子和空间一列单色平面波相当。
即若自由粒子具有动量p 、能量E ，则它和单色平面波的波长λ和频率ν间的关系为：νh E = （1）λhp =（2）则物质波波长为 λ=p h=ϑm h （3） 下面来计算加速电压U 下电子波的波长若电子经加速场加速电压U 后获得动能，则eU m =221ϑ 则λ=p h =ϑm h =eUmh 2或λ=U 150（Å） （4） 当电子能量较大时，需要考虑相对论修正，则上式变为λ=U m c eum e h )21(22+（5）或λ=U150U610978.011-⨯+≈U150（1-0.498×10-6U ）Å 可以利用上是求出各种电压下的电子波波长如表一表一：几种典型电压下的电子波长 2：电子衍射现象的规律 从上表中可看出，对电子波其波长与X 光相当或更短, 因此，晶体X 射线衍射的基本理论可用于分析电子波的衍射。
即电子波入射晶体时其衍射关系满足布拉格方程：λθm d =sin 2 （6）对m=1，sin θ=d2λ 利用各种晶系中点阵常数与晶面间距的关系，有立方晶系sin 2θ=)(422222l k h a ++λ (7)四方晶系 sin 2θ=)(4222222cl a k h ++λ (8) 斜方晶系sin 2θ=)(42222222cl b k a h ++λ (9) 六方晶系 sin 2θ=)34(4222222cl a hkk h +++λ (10) 上式中h,k,l 为晶面指数，a,b,c 为点阵常数。
复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
• 满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue方程仅给出衍射极大的条件
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3、散射强度和结构因子
• 衍射束(光斑)的强度由什么来决定？ • von Laue方程也给出了物理原因：受电子散射
e
i K k ' k r
i k ' r
(r ) K eiK r
F (K )e
dr
1 iK r K V ( r ) e dr • 电子密度的傅立叶分量
k 'k K
F V (K )
S K (r )e iK r dr
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
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晶体结构衍射理论
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• 晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振 动对此有影响）——几何结构因子 • 每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的 散射能力——原子形成因子
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讨论：布里渊区边界？
• 点是倒格点，改 写von Laue公式
K K k 2 2
2
KC 2 KD 2
• 从原点出发到 Brillioun区边界面 上的任何矢量都 满足衍射条件！
k1
k2
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固体物理学基础晶体的电子结构与能带理论
固体物理学基础晶体的电子结构与能带理论在固体物理学中，研究晶体的电子结构是一项重要的课题。
晶体是由周期性排列的原子或分子组成的固体，而其电子行为对于晶体的性质以及各种物理现象的理解至关重要。
能带理论是描述晶体中电子行为的一种重要模型，通过能带理论，我们可以更好地理解晶体材料的导电、绝缘和半导体特性等基本特性。
首先，让我们来了解晶体的电子结构。
晶体中的原子或分子排列成一定的周期性结构，这种结构会对电子的行为产生重要影响。
在晶体中，电子的行为可以近似地看作是存在于一系列能级中，称为能带。
能带可以被分为价带和导带，其中价带中的电子被束缚在原子核附近，而导带则存在着自由电子。
晶体的周期性结构使得电子在其中受到布里渊区的限制。
布里渊区是倒格子中一个基本单元，它是晶体中全部电子状态所覆盖的空间。
当电子在布里渊区内运动时，具有周期性的波动特性，其波矢量（k）和波函数（Ψ）可以描述电子在晶体中的运动。
能带理论则进一步解释了电子如何填充在能级中。
根据泡利不相容原理，每个能级只能容纳一个电子，因此能带在填充时会出现能级填充顺序的规律。
根据能带的填充情况，我们将晶体分为导体、绝缘体和半导体三类。
对于金属晶体，由于其导带和价带之间存在较小的能隙，几乎所有能级都可以被电子填充，因此金属具有良好的导电性能。
对于绝缘体晶体，导带和价带之间存在较大的能隙，这意味着电子必须获取足够的能量才能从价带跃迁到导带。
由于常温下绝缘体的电子很难获得足够的能量，因此导带中很少有电子，绝缘体表现出非常低的导电性能。
而在半导体晶体中，导带和价带之间的能隙处于介于绝缘体和金属之间的状态。
半导体的电导率可以通过控制掺杂或加热等方式进行调节。
除了以上三类基本晶体材料，还有一类特殊的材料，称为拓扑绝缘体。
拓扑绝缘体是一种新兴的研究领域，它们具有特殊的能带结构和边界态，可以展现出一些非常有趣的现象和性质。
总结起来，固体物理学中研究晶体的电子结构和能带理论是了解晶体导电、绝缘和半导体等基本特性的重要途径。
固体物理第5讲晶体衍射
第五讲：晶体衍射X 射线晶体衍射 散射波振幅衍射条件 布喇格对衍射条件的推导简洁而清楚地表述被格点处点电荷所散射的波相干涉条件。
考虑每个原胞中电子密度空间分布所给出的散射强度。
因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性，因此可以将电子密度函数作傅里叶展开：()()∑⋅⋅=321 h h h i hhe n n rKKr (5.1)由相距为r 的体积元散射的射线束之间的位相差因子是()r k' k •−i e ，入射束和出射束的波矢分别是k 和k’。
从一个体积元散射的波的振幅正比于该处的电子密度。
在k’方向上散射波的总振幅F 为：()()()()()()∑∫∑∫∫⋅∆−⋅+−⋅−−===321321 h h h i hh h h i hi h edVn e dVn e dVn F rk K rk' k Kr k' k KKr h(5.2)式中k' k k −=∆ 为散射矢量。
当散射矢量等于一个倒格矢K h 时，指数的幅角为零，F = Vn (K h )。
可以证明当散射矢量同任一倒格矢相差足够大时，F 小到可以忽略。
在不改变入射波粒子能量的弹性散射中，入射束和出射束的频率和波矢的数值不变。
22'k k =。
因此衍射条件为：022=+•hh K K k (5.3) 这个条件实际上布喇格定律在倒格子空间的表述形式。
稍加变换可得：()321/2sin /22h h h d πθλπ= (5.4) 定义K h 的诸整数可能含有一个公因子n ，然而在晶面密勒指数中的公因子n 已被消去。
这样就得布喇格的结果：λθn d =sin 2 (5.5) 单胞的结构因子在实验上，对于衍射强度问题的研究必须考虑晶体的特殊对称性，因此在讨论衍射问题时，常常采用结晶学中的原胞即单胞。
当衍射条件h K k =∆ 被满足时，对于一个由含有N 个单胞的晶体，散射振幅为：()s i s Nf e dVn N F h ==∫•−r K r (5.6)f s 称为单胞的结构因子，有时也称为几何结构因子。
固体物理填空简答,有答案版
第一章 晶体结构1、填空题1.1理论证明由10种对称素只能组成（ 32 ）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（ 7大晶系 ）对应的只有（14种布拉伐格子 ）1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（ 正方格子 ）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 )1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有( 6 )个，即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 )，垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。
由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有( 4 )个晶系，( 5 )种布拉伐格子1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（ 周期性 ）又要考虑晶体的（ 宏观对称性 ）1.6六角密积属（ 六角晶系 ）, 一个晶胞( 平行六面体 )包含（ 两个 ）原子.1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为( 122 ), 其面间距为( a32π). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 343R V π ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波 1.10按照惯例，面心立方原胞的基矢为（ )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a +=+=+= ），体心立方原胞基矢为（ )(2),(2),(2321i k j aa k j i a a k j i a a ++-=++-=-+= ）。
2、简答题1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。
基元：组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。
电子衍射技术在物理实验中的应用与数据解析方法
电子衍射技术在物理实验中的应用与数据解析方法电子衍射技术是物理实验室中常用的一项技术，它能够帮助研究者观察和解析材料的结构信息。
本文将介绍电子衍射技术在物理实验中的应用以及数据解析方法。
一、电子衍射技术的应用电子衍射技术是一种基于电子与物质相互作用的实验方法，通过将电子束照射到样品上，利用电子与样品内部的原子和分子发生相互作用后的衍射现象，来获取样品的结构信息。
电子衍射技术广泛应用于材料科学、纳米技术、固体物理等领域。
在材料科学中，电子衍射技术被用于研究材料的晶体结构。
通过将单晶样品置于电子束的照射下，根据衍射图样的形状和强度分布，可以确定晶格常数、晶体结构和晶体定向等信息。
这个过程被称为电子衍射。
在纳米技术领域，电子衍射技术也被广泛应用于纳米颗粒的表征与分析。
纳米颗粒由于尺寸小于波长，经常表现出不同于大尺寸材料的特殊性质。
通过电子衍射技术，可以研究纳米颗粒的晶体结构、晶粒尺寸以及晶体缺陷等信息，帮助科学家更好地理解与调控纳米材料的性质。
在固体物理中，电子衍射技术有助于研究材料的缺陷结构和电子态，对于揭示材料的本质特性和物理性质有着重要意义。
通过电子衍射技术，可以观察到样品中的点阵缺陷和界面结构，以及电子的布拉格散射和波长红移等现象，从而推断材料的电子态。
二、电子衍射数据的解析方法电子衍射技术获得的数据通常呈现为一幅幅衍射图样。
为了从这些图样中获得有用的信息，研究者需要进行数据处理和解析。
首先，对于衍射图样的形状和强度分布，研究者需要进行初步的观察和分析。
他们通常会比较实验获得的衍射图样与已有的标准衍射图样进行对比，以确定晶体结构或纳米颗粒的类型。
然后，他们会使用衍射数据的解析方法来进一步确定材料的结构信息。
其中最常用的方法是拟合技术。
通过将衍射图样与数学模型进行拟合，研究者可以确定晶格常数、晶体定向、晶粒尺寸等信息。
此外，逆空间重构方法也是解析电子衍射数据的重要手段之一。
逆空间重构方法通过建立衍射数据与样品结构之间的数学关系，可以将衍射数据反推回样品的结构信息，包括晶体的结构和缺陷等。
固体物理重点知识点总结——期末考试、考研必备!!
固体物理概念总结——期末考试、考研必备！！第一章1、晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。
金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。
晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。
2、晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
3、单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
4、基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
5、原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
6、晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。
7、原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
8、布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
9、简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。
晶体散射知识点
晶体散射知识点晶体散射是固体物理学中的一个重要概念，它描述了入射粒子（通常是光子或中子）与晶体中原子或离子相互作用而发生的散射现象。
通过研究晶体散射，我们可以深入了解晶体结构和性质，并在许多领域应用这些知识，例如材料科学、X射线衍射和散射成像等。
一、晶体散射的基本原理晶体散射的基本原理可以通过布拉格方程来描述，即nλ = 2dsinθ其中，n为散射的阶数，λ为入射光的波长，d为晶格常数，θ为散射角。
该方程说明了在晶体中，入射光的波长与晶体的结构参数之间存在着一定的关系。
当满足布拉格条件时，入射光会被晶体散射出去，并且产生衍射图案。
二、X射线衍射X射线衍射是晶体散射的一种常见应用，通过使用X射线和晶体的相互作用，我们可以得到晶胞的结构信息。
X射线衍射的原理是根据布拉格方程，通过测量衍射角和入射波长的关系，从而推断晶体的晶格常数、晶胞参数以及晶体结构。
X射线衍射是一种非常精确的方法，广泛应用于材料科学、结构生物学、地质学等领域。
它不仅可以用于研究晶体的结构，还可以确定材料的相、缺陷和晶体的有序度。
三、中子散射中子散射是另一种常见的晶体散射技术，在研究晶体结构和动力学过程方面具有独特的优势。
中子散射利用中子与晶体中原子核发生散射的现象，通过测量散射角和入射波长来获得晶体的结构和动力学信息。
相比于X射线衍射，中子散射对原子核有更高的散射横截面，因此在研究晶体的轻元素、磁性行为以及低温下的动力学过程方面更加有效。
中子散射广泛应用于材料科学、磁学、超导研究等领域。
四、散射成像散射成像是一种通过测量散射光的强度和相位信息来获取样品的内部结构的技术。
它可以用于非破坏性检测和分析，广泛应用于生物医学、材料科学和地质学等领域。
根据散射成像的原理，可以将其分为X射线散射成像、中子散射成像和电子散射成像等。
这些成像技术可以提供样品内部的结构、表面形貌和化学组成等信息，为研究者在不同领域的研究提供了重要的工具。
总结：晶体散射是固体物理学中的重要概念，通过研究晶体散射现象，我们可以深入了解晶体的结构和性质。
固体物理第三章 晶体衍射
Chapter 3晶 体 衍 射§3.1 倒格子 Reciprocal lattice倒格子的概念及其应用在固体物理学中是十分重要的。
在前面，我们在坐标空间里讨论晶体结构的周期性，由此引入了坐标空间的布拉菲格子概念。
实际上，晶体结构的周期性，也可以在波矢空间里进行描述。
如果前者称为正格子，后者就称为这个正格子的倒格子。
这样以来，描述一种晶体结构的周期性可以利用两种类型的格子：一种是正格子，它是晶体结构在坐标空间的数学表现形式；一种是倒格子，它是晶体结构在波矢空间的数学表现形式。
由坐标空间变换到波矢空间，对处理周期性结构中的波动过程、X 射线衍射等问题是非常方便的。
3.1.1波矢空间前面我们研究晶体结构的周期性，无论是采用直角坐标系还是晶胞坐标系，都是在坐标空间里进行的。
格点的位置或某点的位置都是用位矢→l R 或→r 来表示，其量值单位是“米”。
晶体结构的周期性在坐标空间里的数学形式用布拉菲格子来表示，如果把坐标空间称为“实空间”或“正空间”，那么坐标空间里的布拉菲格子就可以称为正格子。
在固体物理学的研究中，还需要另外一种空间形式。
例如，在晶体的X 射线衍射过程中，晶体作为衍射光栅，X 射线通过晶体在照相底片形成一些斑点。
这些斑点和晶体中的晶面族有着一一对应的关系。
对这些斑点的分布情况进行分析，就可以了解作为衍射光栅的那个晶体的结构情况。
从衍射斑点并不能直接看出晶体的结构，需要进行傅里叶变换，这里就需要引入波矢空间的概念。
另外，计算固体的能带结构和电子状态也要用到波矢空间。
（李商隐：庄生晓梦迷蝴蝶。
《庄子·齐物论》说，庄子曾梦化为蝴蝶，醒后弄不清楚是自己变成蝴蝶了，还是蝴蝶变成庄周了。
庄周先生在两个空间－－真实空间和梦幻空间－－里转化。
蝴蝶成为庄周先生在梦幻空间里的化身。
） 波矢空间又称状态空间，在波矢空间中同样可以建立直角坐标系，三个方向的单位矢量分别记为→x k 、→y k 、→z k 。
晶体的衍射
k0
O
k
nK
h
n 2π = , d h1 h 2 h 3
θ θ
nK h
n 2π 4 π sin θ = , d h1h2 h3 λ
2dh1h2h3 sinθ = nλ
2d h1h2h3 sinθ = nλ
k − k 0 = nK h
三、反射球
晶体可作为X射线衍射的三维光栅， 晶体可作为X射线衍射的三维光栅， 衍射照片上的斑点与晶面族有一一对应 的关系。如何根据衍射斑点获得晶面、 的关系。如何根据衍射斑点获得晶面、 晶面间距、晶格参数等信息呢? 晶面间距、晶格参数等信息呢? 若
衍射斑点与倒格点相对应。 衍射斑点与倒格点相对应。 衍射斑 点分布 倒格点 的分布 倒格点 对称性 晶格的 对称性
用劳厄法可确定晶体的对称性
2.转动单晶法（ 2.转动单晶法（ 转动单晶法
v 大小不变、方向变） k0大小不变、方向变）
(1)X射线是单色的； (1) 射线是单色的； 射线是单色的
v (2)晶体转动。（改变 晶体转动。（ 的方向） (2)晶体转动。（改变 k 0 的方向）
二、X射线衍射的基本原理 射线衍射的基本原理
1.布拉格反射公式 1.布拉格反射公式 1 衍射加强的条件： 衍射加强
2′
2d h1h2h3 sinθ = nλ
布拉格反射公式
dhhh
1 2
3
n为整数，称为衍射级数。 为整数，称为衍射级数。 为整数 是否可以用可见光
θ θ C A
B
进行晶体衍射呢？ 进行晶体衍射呢？
P = 2meU ,
h 1.5 λ= ≈ 2meU U (nm)
U = 150V , λ ~ 0.1nm
h ≈ 6.62 × 10 −34 J ⋅ s e ≈ 1.6 × 10 −19 C
固体物理学中的电子结构
固体物理学中的电子结构固体物理学是物理学的一个重要分支，它主要研究固体的性质、结构和行为以及它们之间的相互作用。
其中，电子结构是固体物理学研究的一个重要方面。
电子是构成物质的最基本粒子之一，电子结构对于理解物质的基本性质，如导电性、磁性等具有重要意义。
本文将从电子结构的基本概念、方法、实验以及应用等方面进行探讨。
一、基本概念电子结构是指描述电子在原子、分子和晶格中分布和运动的情况。
在固体物理学中，电子结构主要是指晶体的电子结构。
晶体是由大量的原子经过有序排列而组成的固体，其电子结构是由原子的电子结构经过相互作用、相互影响而形成的。
晶体的电子结构对于材料的物理性质、化学性质以及应用性质具有非常重要的影响。
在固体物理学中，电子结构与固体的导电性、热导性、光学性质、磁性等有着密切的关系。
例如，导电性是晶体中电流传输的能力，其性质取决于电子的信息传递和能带结构。
光学性质中的吸收光谱、反射光谱等也都与电子结构密切相关。
因此，对于固体物理学的研究，深入理解电子结构的特征和规律具有非常重要的意义。
二、基本方法研究电子结构的方法是多种多样的，以下是其中几种常用方法：1、晶体衍射晶体衍射是一种研究晶体结构的方法，通过衍射图案可以确定晶体的晶格结构。
衍射图案是由晶格中的电子经过散射、干涉和衍射等过程而形成的。
晶体衍射的方法包括X射线衍射、中子衍射、电子衍射等。
2、能带结构计算能带结构是研究电子在固体中的能量分布，能够描述电子在给定晶体结构下的运动状态。
计算能带结构是研究电子结构的重要方法之一。
目前常用的能带结构计算方法有密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型（TBM）、扰动理论等。
其中，DFT由于其准确性和普适性，被广泛应用于计算电子结构。
3、谱学方法谱学方法是直接针对电子结构，通过光学谱学或者物理学的某些特性来研究固体电子结构的一种方法。
谱学方法包括紫外可见吸收光谱、拉曼光谱、X射线光电子能谱（XPS）等。
三、实验研究电子结构的实验研究是通过实验手段对固体电子结构的分布和运动状态进行研究。
16电子衍射示意图
电子衍射实验示意图普朗克因为发现了能量子获得1918年诺贝尔物理学奖；德布罗意提出电子具有波粒二象性的假设。
导致薛定谔波动方程的建立，而获得1929年诺贝尔物理学奖；戴维孙和汤姆逊因发现了电子在晶体上的衍射获得1935年诺贝尔物理学奖。
由于电子具有波粒二象性，其德布意波长可在原子尺寸的数量级以下，而且电子束可以用电场或磁场来聚焦，用电子束和电子透镜取代光束和光学透镜，发展起分辨本领比光学显微镜高得多的电子显微镜。
（一）、晶体的电子衍射晶体对电子的衍射原理与晶体对x 射线的衍射原理相同，晶格的电子衍射几何以及电子衍射与晶体结构的关系由布拉格定律描述，两层晶面上的原子反射的波相干加强的条件为θ为掠射角，也称为半衍射角，即图1所示掠射角α；2ϕα＝即为衍射角。
衍射圆环即为反射线绕入射线旋转一周所形成的图形，即多晶衍射单环形成原理。
图1 晶体的布喇格衍射示意数。
晶面间距hkl d 不能连续变化，只能取某些离散值，衍射花样的分布规律由晶体的结构决定，并不是所有满足布拉格定律的晶面都会有衍射线产生，这种现象称为系统消光。
图2 面心立方晶体布喇格平面的密勒指数示意我们知道,金,银,铜,铝等金属材料,都是由若干面心立方晶体微粒无规结合而成。
对于面心立方晶体,如图2,可用结晶学中原胞的基矢a ,b ,c 为坐标轴,来表述布喇格平面。
在这个坐标系中,一个晶面可用三个互质整数,称为密勒指数来表征。
密勒指数为晶面对坐标轴a,b,c 的截距的倒数。
例如,图3中的ABG 平面,截距分别为1a,1b,1c 截距的倒数是1,1,1。
它的密勒指数为(111)。
同理,对ACG ,BDEE 平面,截距分别是2a,1b,1c;1a,∞b;∞c 。
截距的倒数是12,1,1;1,0,0。
因此,它们的密勒指数分别为(122),(100)等等。
一般地,密勒指数用符号(hkl)表示。
λθn d hkl =sin 2例如，对于立方晶系的晶体，222l k h ad hkl ++= ，a 为晶格常数（晶格平移基矢量的长度），是包含晶体全部对称性的、体积最小的晶体单元——单胞的一个棱边的长度。
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λ
λ
Rl k k0 2π μ
Rl k k0 2π μ
Rl K h 2π μ
k k 0 K h
K h h1 b1 h2 b2 h3 b3 n(h1b1 h2 b2 h3 b3 )
nK h
k k0 nK h
h1 : h2 : h3 h1 : h2 : h3
3.粉末法
(1)X射线单色(固定)；
(2)样品为取向各异的单晶粉末。
由于样品对入射线方向是“轴 对称”的，不同晶面族的衍射线构成 不同圆锥。衍射线与圆筒形相交，形 成图示衍射条纹。
据不同的晶面族的衍射条纹位置和波长，可求出晶面 族面间距，进而确定晶格常量。
例1：设有某一晶体具有简单正交格子的结构，其棱边长 度分别为a、b、c，现在沿该晶体的［1，0，0］方向入射X射线。 （1）确定在哪些方向上出现衍射极大？并指出在什么样的波长 下，能观察到这些衍射极大。（2）如果采用劳厄法作X-射线 衍射实验，请指出衍射斑点的分布。
第六节 晶体的X射线衍射
本节主要内容: 1.6.1 晶体衍射的基本方法 1.6.2 X射线衍射方程 1.6.3 晶体X射线衍射的几种方法 1.6.4 原子散射因子和几何结构因子
§1.6 晶体衍射
1.6.1 晶体衍射的基本方法
1.X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质上
而产生的一种电磁波。
h max eU
h c eU
min
min
hc eU
1.2 103
(nm)
U
h 6.621034 J s c 3 108 m s
e 1.61019C
U 104 V, λ ~ 0.1nm
在晶体衍射中，常取U--40千伏，所以--0.03nm 。
2.电子衍射
h,
P
P 2 eU , 2m
U ~ 0.1V,λ ~ 0.1nm
中子主要受原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很
强，所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。
中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。
1.6.2 X射线衍射方程
1.布拉格反射公式
1
2
1
2
衍射加强的条件：
2dh1h2h3 sin n
布拉格反射公式
d h1h2h3 n为整数，称为衍射级数。
而OQ联线上还有一倒格点，所 以CQ方向的反射是二级衍射。
S
S0
nK h O
k
k0
C
Q O
P
k C k0
问题：
如果入射方向一定， 波长一定，一族晶面是否可能同时产 生不同的反射级呢？
1.6.3 晶体X射线衍射的几种方法
1.劳厄法
(1)单晶体不动，入射光方向不变；
k
k (2)X射线连续谱，波长在min ~ max 2π λmin
0
间变化，反射球半径 2π R 2π 。
min
max
2π λmax O
在红色区域的倒格点和各球心的连线都表示晶体可以产生
反射的方向(衍射极大方向)。
衍射斑点与倒格点相对应。
衍射斑 点分布
倒格点 的分布
倒格点 对称性
晶格的 对称性
当X光入射方向与晶体的某对称轴平行时，劳厄衍射斑点具 有对称性。
用劳厄法可确定晶体的对称性
P 2meU , h
2meU
h 6.621034 J s e 1.61019C m 9.11031kg
1.5
U (nm)
U 150 V,λ ~ 0.1nm
电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子
衍射主要用来观察薄膜。
3.中子衍射
m中 2000m电
1.5 7.5 102 nm 2000U U
(4)只讨论布拉维晶格。
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3
S Rl
波程差
C O
D
CO OD Rl S 0 Rl S Rl S S0
衍射加强条件为：
Rl S S0 (为整数) ---劳厄衍射方程
波矢 k0 2π S0 , k 2π S
h1h2h3 面指数， nh1nh2nh3 衍射面指数。
3.反射公式与衍射方程是等价的
k k0 2π ,
4πsin
k k0
,
λ
λ
n K h n2π , d h1h2h3
k0 k
O nKh
4sin n2π ,
λ
d h1h2h3
2dh1h2h3 sin n
Rl S S0 (为整数) Rl k k0 2π μ
A
C
B
是否可以用可见光 进行晶体衍射呢？
2dh1h2h3 sin n
由上式可以看出：
2d
n
， 2d
不能用可见光进行晶体衍射。
2.劳厄衍射方程 设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶 体线度大得多。
(1)入射线和衍射线为平行光线；
(2)略去康普顿效应；
(3) S 0和S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量；
解：简单正交格子正格基矢：
a1
ai
a2 b j
a 3
0
ck
0
i, j,k
表示沿三个坐标轴方向的单位矢量。
简单正交格子正格基矢：
a1
aia2 b j来自a 30ck
其倒格基矢：
bbb32122c2πbaππkij0
倒格矢：K hkl 2π hi 2π j 2π k0
a
bc
2.转动单晶法 (1)X射线是单色的； (2)晶体转动。
CO为入射方向,晶体在O点处
晶体 转动
倒格 转动
反射球绕过 O的轴转动
在圆筒形底片上衍射 斑点形成一系列直线
反射线构成以 转轴为轴的一 系列圆锥
由直线间距计
P
算晶格常量
C
O
CP的方向即为 反射线的方向 实际反射线是 通过晶体O的
O
O
根据衍射斑点间的距离可以求晶体的晶格常量。
k k0 nK h
2dh1h2h3 sin n
4.反射球
S
若 k k0 nKh
则 nK h必落在以 k 0和 k 的交点C为
中心，2/为半径的球面上，反之，落在
S0
nK h O
k
k0
C
球面上的倒格点必满足
k k0
nK
，
h
这些倒格点所对应的晶面族将产生反射，
所以这样的球称为反射球。
反射球中心C并非倒格点位置，O为倒格点。
如何作反射球呢?
设入射线沿CO方向，取线段 CO 2 ，其中是所用单色X 射线的波长，再以C为心，以 2 为 半径所作的球就是反射球。
O、P、Q是反射球上的倒格 点， CO是X射线入射方向，则CP 是以OP为倒格矢的一族晶面
(h1h2h3)的反射方向，OP间无倒格
点,所以CP方向的反射是n=1的一 级衍射。