分治算法简介及习题选讲
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
分治法
顾铁成
1
引例：称硬币
如果给你一个装有16枚硬币的袋子，其中有一
枚是假的，并且其重与真硬币不同。你能不能 用最少的比较次数，找出这个假币？
为了帮助你完成这个任务，将提供一台可用来 比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可
以知道两组硬币的重量是否相同。
2
引例：称硬币
常规的解决方法是先将这些硬币分成两
15
当 k = 1 时，各种可能的残缺棋盘
16
三格板的四个不同方向
17
【输入】
第一行输入棋盘 的总行数，第二 行输入残缺棋盘 的格子坐标。
【样例输入】 4
4 1
【样例输出】 2 2 3 3 2 1 1 3 4 4 1 5
【输出】
覆盖的矩阵图。
0 4 5 5
18
问题分析
很明显，当K=0时，是不需要三格板的，而当
24
【样例输入】 5 3 23 8 91 56 4 【样例输出】 1
25
问题分析
对于一组混乱无序的数来说，要找到第k
小的元素，通常要经过两个步骤才能实 现：
第一步：将所有的数进行排序； 第二步：确定第k个位置上的数。
26
问题分析
传统的排序算法（插入排序、选择排序
、冒泡排序等）大家都已经很熟悉了， 但已学过的排序方法无论从速度上பைடு நூலகம்还 是从稳定性方面，都不是最佳的。
将7作为一个参照数；
将这个数组中比7大的数放在7的左边； 比7大的数放在7的右边；
这样，我们就可以得到第一次数组的调整：
[ 4 2 6 6 1 ] 7 [ 10 22 9 8 ]
29
分治算法
65 97
13 76
38 49 65 97
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归 调用
49 38 65 97 76 13 27
38 49
65 97
13 76
27
38 49 65 97
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
=
n
递归的概念
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这 就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复 应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其 规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求 出其解。这自然导致递归过程的产生。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数 自身给出定义的函数称为递归函数。
黑盒划分典型问题—合并排序
【例5】合并排序
任务描述：任意给定一包含n个整数的集合，把n个整数按升序排列。 输入：每测试用例包括两行，第一行输入整数个数，第二行输入n个整 数，数与数之间用空格隔开。最后一行包含-1，表示输入结束。 输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出按升序排列的n个整数。 样例输入：
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用 自然合并排序
49 38 65 97 76 13 27
49
38 65 97
76
13 27
38 49 65 97
黑盒划分典型问题—逆序对问题
分治算法知识点总结
分治算法知识点总结一、基本概念分治算法是一种递归的算法，其基本思想就是将原问题分解成多个相互独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
分治算法的核心思想可以用一句话概括：分而治之，分即是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，治即是解决这些子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法通常包括三个步骤：（1）分解：将原问题分解成若干个规模较小的子问题；（2）解决：递归地解决这些子问题；（3）合并：将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的典型特征包括递归和合并。
递归指的是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题；合并指的是将子问题的解合并得到原问题的解。
通常来说，分治算法的递归实现方式很容易编写，但有时可能会面临大量的重复计算，因此需要合并操作来避免这种情况。
二、原理分治算法的原理可以通过一个简单的例子来说明。
我们以计算数组中的最大值为例，具体的步骤如下：（1）分解：将数组分解成两个规模相等的子数组；（2）解决：递归地在这两个子数组中分别找到最大值；（3）合并：比较这两个子数组的最大值，得到原数组的最大值。
从这个例子可以看出，分治算法将原问题分解成两个子问题：分别在左边子数组和右边子数组中找到最大值，然后将这两个子问题的解合并起来得到原数组的最大值。
这种将问题分解成若干个规模较小的子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解的方法正是分治算法的核心原理。
分治算法的优势在于它可以将原问题分解成多个规模较小的子问题，然后并行地解决这些子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。
这种并行的设计思路使得分治算法非常适合于并行计算，能够有效地提高计算效率。
三、应用分治算法在计算机科学领域有着广泛的应用，包括排序、搜索、图论、动态规划等多个方面。
下面我们将以排序算法和搜索算法为例，来介绍分治算法在实际应用中的具体情况。
1. 排序算法排序算法是计算机科学领域中一个重要的问题，分治算法在排序算法中有着广泛的应用。
《算法分治法》课件
分治算法的步骤
分治算法的步骤还包括对问题进行归纳和分类，确定 问题的规模和复杂度，选择合适的分治策略和算法实 现方式等。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
分治算法的核心思想是将一个复杂的问题分解为若干个规模较小、相互独立、与 原问题形式相同的子问题，递归地解这些子问题，然后再将子问题的解合并，以 求得原问题的解。
分治算法的原理
分治算法的原理是利用问题的相似性，将大问题分解为小问 题，将复杂问题转化为简单问题，从而降低问题的难度，提 高解决问题的效率。
探索分治算法与其他算法（如贪心算法、动态规划等）的结合
，实现更高效的算法设计。
分治算法的理论基础研究
02
深入探讨分治算法的理论基础，为算法设计和优化提供理论支
持。
分治算法在实际问题中的应用研究
03
针对实际问题，研究分治算法的应用场景和解决方案，推动算
法的实际应用。
THANKS
感谢观看
对于可以并行处理的子问题，可以使 用多线程或分布式计算等技术进行并 行处理，进一步提高算法效率。
动态规划
动态规划是一种常用的优化技术，通 过将子问题存储在表格中并逐步更新 ，可以避免重复计算，提高算法效率 。
分治算法在实际项目中的应用案例
归并排序
归并排序是一种典型的分治算法，通过递归地将数组分解为若干个子数组，然后合并子数 组得到有序数组。在实际应用中，归并排序广泛应用于各种排序场景。
2.分治法
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
二次取中间值
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
算法时间复杂度分析
最坏情况下
T(n)cn if n24
T(n)T(n/5)+T(3n/4)+cn T(n) 20cn
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
summary
Divide-and-Conquer
A problem’s instance is divided into several smaller instances of the same problem, ideally of about the same size. The smaller instances are solved. If necessary, the solutions obtained for the smaller instances are combined to get a solution to the original problem.
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
五、 选择问题
方案一： 先用排序算法排序，然后输出第k个元素 算法复杂度O(nlog2n) 要排序整个l-5-21
- 计算机算法基础 -
方案二： 不必排序整个list，只需排序包含kth最小元的子集
A[j] A[j]
平均情况下(和下面递归式有相同的复杂度)
T(n)=T(n/2)+(n+1) T(n)=(n)
计算机学院
甘靖
2014-5-21
c++分治算法详解
c++分治算法详解《C分治算法详解》分治算法是一种将一个难以直接解决的大问题分解成几个规模较小、相互独立的小问题来解决的思想。
这种算法的核心是将一个大问题分解成两个或多个相似的小问题，然后递归地解决这些小问题，最终将小问题的解决方案合并起来得到大问题的解决方案。
一、分治算法的基本思想分治算法的核心是将一个大问题分解成几个子问题，然后将这些子问题分别解决，最后将子问题的解决方案合并起来得到原问题的解决方案。
这种思想的核心是将一个大问题分解成更小的、更易于解决的问题，从而降低问题的复杂度，提高解决问题的效率。
二、分治算法的步骤1.将原问题分解成两个或多个规模较小、相互独立的小问题；2.递归地解决这些小问题；3.将小问题的解决方案合并起来得到原问题的解决方案。
三、C语言实现分治算法下面是一个使用C语言实现分治算法的示例代码，用于求解一个简单的加法问题：```c#include<stdio.h>voidadd(inta[],intleft,intright){intmid=(left+right)/2;intsub_left=left;intsub_right=right;inti=left;while(i<=mid){if(a[i]>a[mid]){sub_right=mid;i++;}elseif(a[i]<a[mid]){sub_left=i;break;}else{i++;}}printf("Sumof%dand%dis%d\n",a[left],a[mid],a[mid]+(a[sub_ right]-a[sub_left]));add(a,sub_left,sub_right);}```这个程序使用递归的方式将原问题分解成两个子问题，然后分别求解这两个子问题，最后将子问题的解决方案合并起来得到原问题的解决方案。
这个程序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为数组的长度。
c++分治算法详解
c++分治算法详解摘要：1.分治算法概述2.C++分治算法实现a.快速排序b.归并排序c.赫夫曼编码3.分治算法的优势和应用4.C++分治算法案例分析a.快速排序案例b.归并排序案例c.赫夫曼编码案例5.总结正文：C++分治算法详解分治算法是一种将大问题分解为若干个相同或相似的小问题，然后逐个解决小问题，最后将小问题的解合并得到大问题的解的算法。
这种算法的设计思想是将一个难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破。
分治算法广泛应用于计算机科学、数学、物理学等领域，其中快速排序、归并排序、赫夫曼编码等是常见的分治算法。
C++分治算法实现1.快速排序快速排序是一种常用的分治算法，它采用分治策略将待排序的数组划分为较小和较大的两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最终合并得到有序数组。
快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，它有效地提高了排序速度。
2.归并排序归并排序也是一种分治算法，它将待排序的数组划分为较小和较大的两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将有序的子数组合并得到有序数组。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
3.赫夫曼编码赫夫曼编码是一种基于分治思想的压缩算法，它将原始数据分为若干个子数据，然后对子数据进行编码，最后将编码后的子数据合并得到压缩后的数据。
赫夫曼编码能够实现最优压缩，即压缩后的数据长度最短。
分治算法的优势和应用分治算法具有以下优势：1.将大问题分解为小问题，降低问题的复杂度，便于解决。
2.递归地解决小问题，可以减少代码的编写。
3.分治算法可以有效地提高排序速度。
分治算法广泛应用于排序、查找、压缩等领域。
例如，快速排序和归并排序用于对数组进行排序，赫夫曼编码用于数据压缩。
C++分治算法案例分析1.快速排序案例假设有一个长度为10 的数组{5, 2, 9, 1, 5, 6}，采用快速排序进行排序。
首先，将数组划分为较小和较大的两个子数组，即{1, 2, 5, 5}和{9, 6}。
第7章-分治算法C版
int x; int left=1,right=n,mid; cin >> x;
while (left <= right) {
的函数值为0，则确定x/100为根
printf(“%.2f”,x/100)；
}
其中函数f(x)计算x3+b*x2+c*x+d：
double f(double x)
//计算x3+b*x2+c*x+d
{
f=x*x*x+b*x*x+c*x+d；
}
//f函数
2.分治法 枚举根的值域中的每一个整数x(-100≤x≤100)。由于根与根之差的绝
6 10 11 8 4 1 9 7
一趟快速排序后：
此时i>j,并且i左边的数字都小于等于key,j右边的数字都大于 等于key，进而接下来可以分别对左边段[0, j]和右边段[i,N-1]利 用同样的方法排序。
【程序实现】
void qsort(int le,int ri)
{
int i=le, j=ri, mid=a[(le+ri)/2];
5 1 3 样例输出： 4 1 3
分析： 我们用Left表示询问区间的左边界，用Right表示询问区间的右边界，
[Left,Right]组成询问区间。一开始Left=1，Right=n，我们可以把原始序列 的左边想象成若干个无穷小的数，把序列的右边想象成无穷大的数，这样比较 好理解。序列已经按照升序排好，保证了二分的有序性。
分治练习题
分治练习题一、基础概念理解1. 请简述分治算法的基本思想。
2. 举例说明分治算法在解决具体问题时的步骤。
3. 请解释分治算法与递归算法之间的关系。
二、数组操作4. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中的最大值。
5. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中的最小值。
6. 给定一个整数数组，使用分治算法将数组排序。
7. 给定一个整数数组，使用分治算法计算数组中所有元素的和。
8. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中的中位数。
9. 给定一个整数数组，使用分治算法找出数组中所有奇数的和。
三、搜索问题10. 给定一个已排序的整数数组，使用分治算法实现二分查找。
11. 给定一个整数数组，使用分治算法找出一个特定元素的索引。
12. 给定一个整数数组，使用分治算法找出第一个大于给定值的元素。
13. 给定一个整数数组，使用分治算法找出一个小于给定值的元素。
四、数学问题14. 使用分治算法计算两个大整数的乘积。
15. 使用分治算法计算一个整数的阶乘。
16. 使用分治算法计算斐波那契数列的第n项。
17. 使用分治算法计算一组数的最大公约数。
18. 使用分治算法计算一组数的最小公倍数。
五、动态规划与分治19. 使用分治算法解决最长公共子序列问题。
20. 使用分治算法解决最长公共子串问题。
21. 使用分治算法解决矩阵链乘问题。
22. 使用分治算法解决最优二叉搜索树问题。
23. 使用分治算法解决活动选择问题。
六、图论问题24. 使用分治算法计算无向图的最小树。
25. 使用分治算法计算有向图的最短路径。
26. 使用分治算法计算无向图的欧拉回路。
27. 使用分治算法计算有向图的哈密顿回路。
七、综合应用28. 使用分治算法解决归并排序问题。
29. 使用分治算法解决快速排序问题。
30. 使用分治算法解决动态规划中的背包问题。
31. 使用分治算法解决动态规划中的最长递增子序列问题。
32. 使用分治算法解决动态规划中的最长有效括号问题。
分治算法生活案例
分治算法生活案例一、什么是分治算法呢？分治算法啊，就像是把一个大问题拆成一个个小问题来解决。
这就好比你要打扫一整间大房子，你一个人一下子弄完可不容易，那你就可以把大房子分成一个个小房间，一个一个小房间打扫，最后整个大房子就干净啦。
1. 生活中的分治算法案例咱们先说说整理衣柜这个事儿。
衣柜里衣服乱七八糟的，这就是个大问题。
那咱们怎么用分治算法呢？可以先把衣服按照类型分，比如说上衣放一堆，裤子放一堆，裙子放一堆。
这就相当于把大问题分成了几个小部分。
然后呢，再把每一堆衣服按照季节分，像夏天的上衣放一块儿，冬天的上衣放一块儿。
最后再把每一小堆按照颜色或者是自己喜欢的顺序整理好。
这样，原本乱糟糟的衣柜就变得整整齐齐啦。
再看看安排旅游行程。
你想去一个很大的城市旅游，有好多景点要去。
这个时候你就可以把这个城市分成几个区域，比如东边的景点归为一组，西边的景点归为一组。
然后再分别规划每个区域里先去哪个景点，后去哪个景点。
这就不会让你在这个城市里像没头苍蝇一样乱转啦。
还有做一顿大餐的时候。
假如你要做一桌子菜，这是个大工程啊。
你可以先把菜分成凉菜、热菜、汤这几类。
然后对于热菜，又可以分成肉菜和素菜。
比如肉菜你要做红烧肉和糖醋排骨，素菜要做炒青菜和凉拌黄瓜。
这样一步一步的，一道丰盛的大餐就可以轻松搞定啦。
二、分治算法的好处分治算法在生活里有不少好处呢。
1. 它让复杂的事情变得简单。
就像刚才说的整理衣柜，如果直接面对一柜子乱衣服，你可能都不知道从哪儿下手。
但是分成小部分之后，就很容易处理啦。
2. 它可以提高效率。
还是说旅游行程那个事儿，要是没有分成区域来规划，你可能会在各个景点之间来回奔波，浪费很多时间在路上。
但是分区域规划后，你就可以在一个区域里高效地游玩多个景点。
3. 它能让我们的思维更清晰。
做一顿大餐的时候，把菜品分类后，你对整个做饭的流程就有了很清晰的思路，知道先做什么后做什么，不至于手忙脚乱。
三、分治算法在生活中的延伸1. 学习方面比如说你要复习很多门功课准备考试。
分治算法详解及经典例题
分治算法详解及经典例题⼀、基本概念在计算机科学中，分治法是⼀种很重要的算法。
字⾯上的解释是“分⽽治之”，就是把⼀个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的⼦问题，再把⼦问题分成更⼩的⼦问题……直到最后⼦问题可以简单的直接求解，原问题的解即⼦问题的解的合并。
这个技巧是很多⾼效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅⽴叶变换(快速傅⽴叶变换)……任何⼀个可以⽤计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越⼩，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作⼀次⽐较即可排好序。
n=3时只要作3次⽐较即可，…。
⽽当n较⼤时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决⼀个规模较⼤的问题，有时是相当困难的。
⼆、基本思想及策略分治法的设计思想是：将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破，分⽽治之。
分治策略是：对于⼀个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（⽐如说规模n较⼩）则直接解决，否则将其分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题形式相同，递归地解这些⼦问题，然后将各⼦问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个⼦问题，1<k≤n，且这些⼦问题都可解并可利⽤这些⼦问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可⾏的。
由分治法产⽣的⼦问题往往是原问题的较⼩模式，这就为使⽤递归技术提供了⽅便。
在这种情况下，反复应⽤分治⼿段，可以使⼦问题与原问题类型⼀致⽽其规模却不断缩⼩，最终使⼦问题缩⼩到很容易直接求出其解。
这⾃然导致递归过程的产⽣。
分治与递归像⼀对孪⽣兄弟，经常同时应⽤在算法设计之中，并由此产⽣许多⾼效算法。
三、分治法适⽤的情况分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征：1) 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质。
分治算法(C++版)
//输入排序好的数
//输入要查找的数 //递归过程
//递归过程
//取中间位置点
if (a[k]==m) cout<<"then num in "<<k<<endl; if (x>y) cout<<"no find"<<endl; else { if (a[k]<m) jc(k+1,y); if (a[k]>m) jc(x,k-1); } }
【问题分析】
以M=3(即N=23=8)为例，可以根据问题要求，制定出如下图所示的 一种方案：
以表格的中心为拆分点，将表格分成A、B、C、D四个部分，就很容易看 出有A=D，B=C，并且，这一规律同样适用于各个更小的部分。 设有n个选手的循环比赛，其中n=2m，要求每名选手要与其他n-1名选手 都赛一次。每名选手每天比赛一次，循环赛共进行n-1天。要求每天没有选手 轮空.以下是八名选手时的循环比赛表，表中第一行为八位选手的编号，下面 七行依次是每位选手每天的对手。
【参考程序】 #include<cstdio> const int MAXN=33,MAXM=5; int matchlist[MAXN][MAXN]; int m; int main() { printf("Input m:"); scanf("%d",&m); int n=1<<m,k=1,half=1; // 1<<m 相当于 2^m matchlist[0][0]=1; while (k<=m) { for (int i=0;i<half;i++) //构造右上方方阵 for (int j=0;j<half;j++) matchlist[i][j+half]=matchlist[i][j]+half; for (int i=0;i<half;i++) //对称交换构造下半部分方阵 for (int j=0;j<half;j++) { matchlist[i+half][j]=matchlist[i][j+half]; //左下方方 阵等于右上方方阵 matchlist[i+half][j+half]=matchlist[i][j]; //右下方方 阵等于左上方方阵 }
NOIP基础算法综合---分治与贪心
分析
• B、求方程的所有三个实根
• 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝 对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、[99， 100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至多只能 有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间[a,a+1]， 只有当f(a)=0或f(a)·f(a+1)<0时，方程在此区间内才有解。 若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)·f(a+1)<0 ，则可以利用A中所 述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程的所有的解。
while(i<=mid)temp[p++]=a[i++]; while(j<=right)temp[p++]=a[j++]; for(i=left;i<=right;i++)a[i]=temp[i]; }
【变形1】逆序对数目
• 例题：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,
核心参考代码
void divide(double x1,double x2) { double x0,y0,y1,y2;
x0=(x1+x2)/2; y1=cal(x1);y2=cal(x2);y0=cal(x0); if(x2-x1<0.00001&&y1*y2<0)
{printf("%.4f ",(x2+x1)/2);return;} if(y1*y0<0||x0-x1>1) divide(x1,x0); if(y0*y2<0||x2-x0>1) divide(x0,x2); }
算法 分治法
13
27
38 50
55
65 49
i
j
i
j
13 27 38 49 50 55 65
2021/8/1
分治法
20
算法4.6——快速排序
void QuickSort(int r[ ], int first, int end)
{ if (first<end) { pivot=Partition(r, first, end); //问题分解，pivot是轴值在序列中的位置 QuickSort(r, first, pivot-1); //递归地对左侧子序列进行快速排序 QuickSort(r, pivot+1, end); //递归地对右侧子序列进行快速排序
66的旋转方阵
2021/8/1
分治法
8/56
4.2 排序问题中的分治法
4.2.1 归并排序 4.2.2 快速排序
2021/8/1
分治法
9
4.3.1 归并排序
二路归并排序的分治策略是： （1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个 长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn； （2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排 序，得到两个有序子序列； （3）合并：将这两个有序子序列合并成一个有 序序列。
//对应情况①，递归求解 rightsum=MaxSum(a, center+1, right);
//对应情况②，递归求解
2021/8/1
分治法
30
s1=0; lefts=0;
//以下对应情况③，先求解s1
for (i=center; i>=left; i--)
{
分治算法简介及习题选讲
方法一
• • • • • • • • • • • 枚举：枚举i和j，再计算Ai+Ai+1+...+Aj。程序如下： max:=a[1]; for i:=1 to n-1 do begin for j:=i to n do begin s:=0; for k:=i to j do inc(s,a[k]); if s>max then max:=s end; end; writeln(max); 时间复杂度为O(n3)，当n较大时会超时。
方法四
• 跟方法三一样，首先把n个数从小到大排序，跟方法三处理方法不同的是分 别求出两个下标： 1.low(a)表示>=a的最小下标；2.high(b)表示<=b的最大下标 答案就是high(b)-low(a)+1。其中high(b)跟方法三中的num(b)求法一样。 • 计算low[a]也是采用二分法，会因要求不同程序有所变动，程序如下,其中left 或right+1最终值就是low(a)： left:=1;right:=n; while left<=right do begin mid:=(left+right)shr 1; if x[mid]<a then left:=mid+1 else right:=mid-1; end实际情况，只要分析 好right=left+1和left=right的情况就能保证不出错。 • 方法四时间复杂度为O((n+m)lgn)。
方法一
• 枚举法 • 设f[x]=ax3+bx2+cx+d,从-100.00到100.00以 0.01的步长逐一枚举x并代入f[x]，找出最接近0 的三个f[x]，其对应的x就是答案。
分治法的概念
分治法的概念引言分治法（Divide and Conquer）是一种算法设计的方法，它将一个大的问题划分为多个相同或类似的子问题，并通过递归的方式解决每个子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
该方法常用于解决复杂问题，通过将问题分解为较小的子问题，简化了问题的求解过程，提高了算法的效率。
分治法的基本步骤分治法的解决过程通常包括以下三个基本步骤：分解（Divide）将原问题划分为多个相同或类似的子问题。
这种划分应当满足两个条件：首先，原问题可以被划分为多个子问题；其次，子问题的解决方案可以直接用来解决原问题。
解决（Conquer）递归地解决子问题。
当子问题足够小，可以直接求解时，就不再继续递归，而是通过基本的求解方法得到子问题的解。
合并（Combine）将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
分治法的应用场景分治法适用于那些可以被划分为多个子问题，并且可以通过合并子问题的解得到原问题解的问题。
它在很多领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
排序算法分治法在排序算法中有着重要的应用，例如快速排序和归并排序。
快速排序将一个未排序的数组划分为两个子数组，并分别对这两个子数组进行递归的快速排序，最终将数组排序。
归并排序将一个数组划分为两个有序的子数组，然后合并这两个有序数组，得到一个有序的数组。
查找问题分治法也可以应用于一些查找问题。
例如，在一个有序数组中查找某个元素，可以通过将数组划分为两个子数组，然后递归地在某个子数组中查找，直到找到目标元素或者确定该元素不存在。
图算法分治法在图算法中也有一些应用。
例如，快速求解最短路径的问题。
可以将原问题划分为多个子问题，每个子问题是求解从起点到某个顶点的最短路径。
然后通过递归地解决每个子问题，并将最短路径合并起来，最终得到整个图的最短路径。
分治法的优缺点分治法的优点在于它能够降低问题的复杂度，将一个大问题拆解为多个小问题，简化了问题的求解过程。
同时，由于各个子问题是相互独立的，可以并行地求解，提高了算法的效率。
分治算法PPT
第一步
[38 49] [65 97] [13 76] [27]
第二步 第三步
[38 49 65 97]
[13 27 76]
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[13 27 38 49 65 76 97]
归并排序主函数
void mergesort(int A[], int l, int r, int T[]) {
if(l < r) { int mid = (l + r) / 2; //二分 mergesort(A, l, mid, T);//继续对左子序列递归排序 mergesort(A, mid+1, r, T);//继续对右子序列递归排序 merge(A, l, mid, r, T); //合并
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方法1
假设袋中有n个金块。可以通过n-1次比较找到最重 的金块。然后可以从余下的n-1个金块中用类似的方 法通过n-2次比较找出最轻的金块。这样，比较的总 次数为2n-3。具体的实现方法如下：
max = a[1]; min = a[1]; for(i=2; i<=n; i++) //2n-2次比较 {
问题，最后合并其结果就得到原问题的解。当分解(Divide)：将原问题分成一系列子问题。 解决(Conquer)：递归地解各子问题。若子问题
足够小，则可直接求解。 合并(combine)；将子问题的结果合并成原问题
的解。
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分治思想
问题的分解
方法1:每枚硬币都至少进行了一次比较,而有一枚硬 币进行了15次比较
方法2:每一枚硬币只进行了一次比较 方法3:将硬币分为两组后一次比较可以将硬币的范
围缩小到了原来的一半,这样充分地利用了只有1枚 伪币的基本性质。
江西科学技术版小学信息技术五年级下册《分治算法》同步练习题附知识点归纳
江西科学技术版小学信息技术五年级下册《分治算法》同步练习题附知识点归纳一、课文知识点归纳：1.分治算法的定义：分治算法，也称为“分而治之”，是一种将大问题分解成若干个小问题，然后分别解决这些小问题，最后将各个小问题的解合并起来，得到原问题的解的方法。
2.分治算法的基本步骤：（1）分解：将原问题分解成若干个子问题，子问题与原问题具有相同的性质或相似度，且规模较小。
（2）解决：递归地解决各个子问题，直到子问题可以直接求解。
（3）合并：将各个子问题的解合并起来，得到原问题的解。
3.分治算法的应用：排序算法（如快速排序、归并排序）、傅立叶变换（如快速傅立叶变换）等都运用了分治算法的思想。
二、同步练习题。
（一）、填空题。
1. 分治算法的基本思想是将一个_________的问题分解为若干个_________或类似的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
2. 分治算法在处理逆序对数求解问题时，通常将数组分为两个子数组，然后分别计算两个子数组的逆序对数量，并考虑_______之间的逆序对数量。
3. 在使用分治算法解决硬币称重问题时，如果我们将16个硬币分为两组，每组8个，通过一次称重我们可以判断_______的硬币存在。
（二）、选择题。
1. 分治算法的主要优势不包括以下哪一项？（）A. 降低问题复杂度B. 提高求解效率C. 简化问题难度D. 增加计算量2. 下列哪个算法思想是分治算法的一个典型应用？（）A. 冒泡排序B. 归并排序C. 选择排序D. 插入排序3. 在分治算法中，通常将大问题分解为小问题，直到问题的规模达到什么程度时开始合并子问题的解？A. 子问题规模足够大B. 子问题规模足够小C. 子问题规模任意D. 子问题无需分解（三）、判断题。
（正确的打“√”，错误的打“×”）1. 分治算法只能用于解决数值计算问题。
（）2. 在使用分治算法时，子问题的解合并是无关紧要的，因为每个子问题都独立求解。
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方法三
• 分治法。 • f[i,j]表示计算A[i..j]最大连续和。分以下三个步骤： • 1.划分问题：从中间一分为二分成[i,(i+j)shr 1]和[(i+j)shr 1+1,j]两部分； • 2.递归解决：递归解决f[i,(i+j)shr 1]和f[(i+j)shr 1+1,j]； • 3.合并问题：f[i,j:=max[f[i,(i+j)shr 1],f[(i+j)shr 1+1,j]]，除此 之外还要处理区间[i,j]中左边界<=(i+j)shr 1同时右边界 >=(i+j)shr 1+1的情况，可以采用枚举法。
f[i,(i+j)shr 1] f[(i+j)shr 1]+1,j
f[i,j]
• 答案为f[1,n]，时间复杂度T(n)=2*T(n/2)+n=O(nlgn)。
方法三程序
• function f(i,j:longint):longint; • var m,l,r,k:longint; • begin • if i=j then exit(a[i]); • m:=(i+j)shr 1; • f:=max(f(i,m),f(m+1,j)); • l:=-maxlongint; • for k:=m downto i do l:=max(l,s[m]-s[k-1]); • r:=-maxlongint; • for k:=m+1 to j do r:=max(r,s[k]-s[m]); • f:=max(f,l+r); • end;
方法五
• 此题可以不采用二分法来完成，时间复杂度 同样可以达到O((n+m)lgn)。 • 把问题中所涉及到的所有a-1和b合在一起排 序，排序后每个数i对应的num[i]是递增的，这 样在O(n)内完成所有的num[]。
方法六
• 离散化：把所有出现的数排序重新编号。 • 例如：
32 1 8 100 5 10 2 101
32 146 35 27
例4：第K小元素
• 输入n个整数和一个正整数k(1<=k<=n)输出 这些整数从小到大排序后的第k个(例如， k=1就是最小值)。n<=2*106。
方法一
• 快速排序、归并排序、堆排序时间复杂度 都是O(nlgn)，超时。
• 基数排序，虽然理论上是O(n)的，但常数
较大，超时。
方法三
• 由于n个整数是静态的，由始自终没有发生改变，所以 可以先对这n个数从小到大排序。 • 定义num(i)表示小于等于i的数的个数，则答案=num(b)num(a-1)。 • 计算num(b)和num(a-1)方法一样，都是采用二分法，拿 num[b]来说就是找出数组中<=b的最大下标。程序如下 ，其中left-1或right最终的值就是num[b]： • left:=1;right:=n; • while left<=right do begin • mid:=(left+right)shr 1; • if x[mid]<=b then left:=mid+1 else right:=mid-1; • end; • 时间复杂度为O((n+m)lgn)。
方法四
• 跟方法三一样，首先把n个数从小到大排序，跟方法三处理方法不同的是分 别求出两个下标： 1.low(a)表示>=a的最小下标；2.high(b)表示<=b的最大下标 答案就是high(b)-low(a)+1。其中high(b)跟方法三中的num(b)求法一样。 • 计算low[a]也是采用二分法，会因要求不同程序有所变动，程序如下,其中left 或right+1最终值就是low(a)： left:=1;right:=n; while left<=right do begin mid:=(left+right)shr 1; if x[mid]<a then left:=mid+1 else right:=mid-1; end; • 所以二分法写法也不固定，最终的答案也不固定要分析实际情况，只要分析 好right=left+1和left=right的情况就能保证不出错。 • 方法四时间复杂度为O((n+m)lgn)。
方法二
• 注意c*c在longint范围内，所以 c<=46340, 记录每一次乘法后的余数，在进行c+1个a相 乘后中间一定会出现重复余数，找出循环的 起点和终点，可以直接推算出答案。 • 假设起点为st,终点为en，y[i]记录a^i mod c 的值，则计算a^b mod c的程序如下： • p:=(b-st+1)mod(en-st+1); • if p=0 then p:=en-st+1; • writeln(y[st+p-1]); • st等于几？会固定一个值吗？为什么？
方法一
• • • • • • • • • • • 枚举：枚举i和j，再计算Ai+Ai+1+...+Aj。程序如下： max:=a[1]; for i:=1 to n-1 do begin for j:=i to n do begin s:=0; for k:=i to j do inc(s,a[k]); if s>max then max:=s end; end; writeln(max); 时间复杂度为O(n3)，当n较大时会超时。
方法五
• 初始化前缀和S[i]，a[i]+a[i+1]+...+a[j]=s[j]-s[i-1]。 • 枚举j，计算以a[j]结尾的最大连续子序列的和，起点i的范围 为1到j，s[j]已经确定，要使得s[i-1]尽可能小，s[j]-s[i-1]才 尽可能大，所以只要计算出s[0]到s[j-1]中的最小值即可。定 义minvalue[i]为s[0]到s[i]中的最小值,则 minvalue[i]=min(minvalue[i-1],s[i])，在O(n)内可以完成。 • 时间复杂度为O(n)。 • minvalue[0]:=0;s[0]:=0;ans:=a[1]; • for j:=1 to n do begin • s[j]:=s[j-1]+a[j];minvalue[j]:=min(minvalue[j-1],s[j]); • if s[j]-minvalue[j-1]>ans then ans:=s[j]-minvalue[j-1]; • end; • writeln(ans);
分治算法
分治思想
• 分治(divide-and-conquer)就是“分而治之”的意思，其 实质就是将原问题分成n个规模较小而结构与原问题相似 的子问题；然后递归地解这些子问题，最后合并其结果就 得到原问题的解。当n=2时的分治法又称二分法。 • 其三个步骤如下： 1.划分问题(Divide)：将原问题分成一系列子问题。 2.递归解决(Conquer)：递归地解各子问题。若子问题足 够小，则可直接求解。 3.合并问题(combine)；将子问题的结果合并成原问题的 解。 • 如快速排序、归并排序、二分查找都是采用分治思想。
方法二
• 用一个类似快速排序的方法，但不用完全排 序。用快排对L..R范围内的数排序，在划分 结束后，数组A[L..R]被分成A[L..j]和A[i,R]， 当i=j+2时中间可能还有一个数。因为这几段 是相对有序的，所以答案一定只会出现在其 中一段，对于另外的段就不用排序。 • 时间复杂度为O(n)。
例3：范围统计
• 给出n个整数xi和m个询问，对于每个询问 (a,b)，输出闭区间[a,b]内的整数xi的个数。
方法一
• 暴力枚举，对于每个询问都把n个整数枚举一遍
• 时间复杂度为O(nm)，会超时。
方法二
• 用num1[i]表示i的出现次数，num2[i]表示1到i 的出现次数总和,num2[i]=num2[i-1]+num1[i] • 对于询问a,b,输出num2[b]-num2[a-1] • 这种方法对于Xi不大时可以过，但如果 Xi很大 时，如达到10^9时空间就承受不了。
分治算法设计过程图
问题S
问题的分解
问题S1
问题S2
……
问题Si 子问题求 解
……
问题Sn
S1的解
S2的解
……
Si的解
……
Sn的解
子集解的合并
问题 S的解 S
例1：最大连续和
• 给出一个长度为n的序列A1,A2,...,An，求最大 连续和。换句话说，要求找到1<=i<=j<=n，
使得Ai+Ai+1+...+Aj尽量大。
方法一
• 枚举法 • 设f[x]=ax3+bx2+cx+d,从-100.00到100.00以 0.01的步长逐一枚举x并代入f[x]，找出最接近0 的三个f[x]，其对应的x就是答案。
• 当精度要求很高时会超时。
方法二
• 由于根和根之差的绝对值>=1,所以可以搜索区间[x,x+1](100<=x<=99)，求出对应的f[x]和f[x+1]，有以下三种情况： 1.f[x]=0，则确定x是方程的根； 2.f[x]*f[x+1]>0，则确定方程的根不在区间[x,x+1]内，设定 [x+1,x+2]为下一个搜索区间 3.f[x]*f[x+1]<0，则确定根在区间[x,x+1]内。 接下来采用二分法来求解，程序如下： x2 x1 mid x1:=x;x2:=x+1; while abs(x1-x2)>=0.001 do begin mid:=(x1+x2)/2; if f(x1)*f(mid)<0 then x2:=mid else x1:=mid; end; writeln(x1:0:2);