大学物理质心、动量

? ? ? ? 2、内容:
t2 t1
v Fi外dt ?
mivvi2 ?
mivvi1
1）内力冲量和为零，内力不改变系统的总动量
2） 任意情况下，
?? ( f ? f ')? t ? o
三、动量守恒定律
? ? ? ? 1. 推导
t2 t1
v Fi外dt ?
mivvi2 ?
mivvi1
??
若
Fi外 ? 0
二、动量定理
1. 推导
v F
?
dvv m
?
d (mvv)
dt dt
? ? t2
v Fdt
?
t1
vv2 vv1
d
(mvv)
?
mvv2
?
mvv1
?t2 t1
F xdt
?
mv 2 x
?
mv1 x
?t2 t1
F y dt
?
mv 2 y
?
mv1 y
2. 平均冲力 ：
Fx
? ? ? t2 t1
Fx dt
?
Fx
N
?
m
2gh
?
?
mg
显然，?越小，N越大
mN v0
hm
m
0
工件 mg
[ 例2 ] 已知 M，m，h，绳子拉紧瞬间绳子 与m ,M 之间的相互作用时间为Δt。
求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度
解： T0
M
Mg v
T v0 m
mg v
( T Mg )Δ t = M v 0
m
M
h
( T mg )Δ 来自百度文库 = mv ( mv 0 )
xC总 ? 0
R
C
x·c O
O′
r
x
d
2. 再计算挖去的部分的质心位置
xC挖 ? d
y
m总xC总 ? m挖 xC挖
? m剩xC剩
R
C
x·c O
O′
r
x
3. 则剩余部分的质心位置 d
xC
?
?
0 ? d ?? ?? r 2 ?? R2 ? ? ?? r 2
?
?
?R /
d
r ?2
?1
三、质心运动定律
质点系的运动可用全部质量集中在质心的质点来描述
? mac
质点系质心的运动决定于质点系合外力
?
??
若 F合外力 ? 0 ， 则 vc (Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
F1Δ t 1
F iΔ t i FnΔ tn
力对时间的积累 2) 变力的冲量
I
? v v
I ? Fi? ti
3) 当力连续变化时
? v
I?
t2
v Fdt
t1
Fx
? I x ?
t2 t1
F x dt
+
? I y ?
t2 t1
F y dt
0 t1
t2
t
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
F x ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
xc
?
mx1 ? mx2 3m
? x1 ? x2 3
yc
?
my1 3m
? y1 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块
半径为 r的小圆盘，两圆盘中心 O和O′相距为d，
且（d + r）< R 。
求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标y。
解：由对称性分析，
质心C应在 x 轴上。
用挖补法
1. 先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
ydm
zdm
yc ? m
zc ? m
3. 质心的计算 1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心 —— 几何中心 2) 小线度物体质心和重心是重合的
3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2 x
N
? mi xi
xc
?
i?1
m
1. 质心公式 2. 求质心
1. 定义 质量中心
z mi
rc C ri
x
?N ?
? rc
?
mi ri
i?1 N
?
? mi
i?1
?N
?
m i ri
i?1
m
N
? mi xi
y
xc ?
i?1
m
2.质量连续分布的物质
? ?
rc
?
N? mi ri
i?1 N
? mi
i?1
? ?r?dm m
z
r
xO
dm
×C
rC m
y
? ? ?xdm
xc ? m
(3). 只适用于惯性系
(4). 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本
例，已知: m，M，? = 0，
车速 v0 及人对车的速度 u 求：人跳离瞬时车速 v
(m ? M)v0 ? Mv ? m(v ? u)
?
v
?
v0
?
mu m? M
u
? v0
选 m+M 质点系
? =0
作业
1.32,1.33,2.3,2.25,2.27
第二章 运动的守恒量和守恒定律
2 - 1 质心 质心运动定理
一、质点系的内力和外力
v
内力总是成对出现，矢量和为零
v
质点系的合力：
F2
??
?
?
? F ? ? F外 ? ? F内 ? ? F外
v
v F21
F12
2v
F23
F1
1v
F13v
v
F31
3
F32 v
F3
二、质心
N个粒子系统（质点系），
r mi ri
y
o N F mg
解： 质心运动定理
? F
?
? Mac
x
ac
?
F M
xc
?
1 2
a
ct
2
?
1 2
F M
t2
答：沿拉动纸的方向移动 1 F t 2 2M
2 - 2 动量定理 动量守恒定律
一、基本概念 1. 动量
pv ? mvv
2. 冲量 过程中力的积累
1) 常力的冲量
F2Δ t 2
vv I ? F?t
1. 推导
? ? N
? ? ? P ? i?1
质点系总动量
? pi
?
N? mivi ?
i?1
N i?1
?
midri ?
dt
? N r? d ?? i?1 miri ??
dt
?
? d (mrc )
?
m
? drc
dt
dt
?
? mvc
质点系总动量
? F
?
? dP
?
dt
2. 内容
? p
?
? mvc
? F
?
t2 ? t1
Fx 0 t1
t2
t
用平均冲力表示的动量原理为：
F x ?t2 ? t1 ?? mv2 x ? mv1x
[ 例1 ] 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m 高的地方落 下，它与工件的碰撞时间为τ =0.01s ,
求：打击的平均冲力。
(N mg )τ = 0 ( m v 0 )
v0 ? 2gh
则：
即外力矢量和为零
? mivvi
?
v C
2. 动量守恒定律
1)内容：质点系所受合外力为零时，质 点系总动量保持不变
------ 动量守恒定律
2) 说明： (1). 守恒条件必须是
?r F合外力 ? 0
而非
t?
?0 F合外力 dt ? 0
(2). 常用分量守恒
若 Fx ? 0 则 px ? p0x
? ? 三、质点系的动量定理
1. 推导
Σ
t2 t1
v Fi 外
dt
?Σ
v
t2 t1
v Fi 内
dt
F2
?Σ mivvi2 ?Σ mivvi1
v
v
v F21
F12
1
F1 v F13v
2v F23
v F32
F31
3
v
F3
? ? ? ? t2 t1
v Fi外dt ?
mivvi2 ? mivvi1
质点系的动量定理