第五章试题

一、 选择题：

1、=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n n n n n n n

n ( （A ）0； （B ）21

；

（C ）4π； （D ）2π

.

2、⎰+x

dt t dx d 0

2)1ln(=（ ）

（A ）)1ln(2+x ； （B ）)1ln(2+t ； （C ）)1ln(22+x x ； （D ）)1ln(22+t t .

3、3

20

sin lim

x

dt

t x

x ⎰→ =( )

（A ）0； （B ）1；

（C ）3

1

； （D ）∞ .

4.、定积分⎰1

dx e x 的值是（ ）

（A ）e ； （B ）1

；

1

e

5、下列积分中，使用变换正确的是（）

（A ）,sin 103⎰+πx

dx

令 t x arctan =； （B ）⎰-3

321dx x x ，令 t x sin =；

（C ）⎰-++2

1221)1ln(dx x

x x ，令 u x =+2

1； （D ）⎰

--1

1

21dx x ，令3

1t x = .

-112dx x -213dx x -11dx -11

2

sin xdx x 7、 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f , 则⎰=2

0'')(dx x xf （ ）

（A ）12； （B ）8； （C ）7； （D ）6.

8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11

)(x e x x x f x ，则定积分⎰-20

)1(dx x f =（ ）

（A ）)11ln(1e ++； （B ）

3ln )1ln(22

++-e ；（C ）2ln )11ln(1+++e ; （D ）)1

1ln(1e

+-.

9、广义积分⎰∞

+-+222

x x dx

=（ ） （A ）4ln ； （B ）0；

（C ）4ln 3

1

； （D ）发散.

10、广义积分⎰=+-2

02

3

4x x dx

（ ） （A ）3ln 1-； （B ）3

2

ln 21；

（C ）3ln ； （D ）发散.

二、证明不等式:

)2(,61212

1

0>≤-≤⎰n x

dx n π.三、求下列函数的导数：

1、⎰+=3241)(x x

t dt

x F ; 2.、由方程1sin 22

00=+⎰⎰x y t dt t

t dt e ，为确定x y dy

四、求下列定积分：

1、⎰+41)1(x x dx

； 2、⎰-+a x

a x dx 022； 3、⎰+301arcsin dx x

x

； 4、⎰---52232dx x x ；

5、⎰-+11

121x

dx

； 6、⎰∞+∞-++942x x dx ； 7、⎰--2121

23x x x dx

； 8、⎰∞+-111dx x x . 五、 设[]1,0)(在x f 上有连续导数，,

0)0(=f 且1)(0≤'

]

[]⎰⎰≥

1

3

2

1

)()(dx x f dx x f .六、 设)(x f 在[0，1]上有二阶连续导数，证明：

[]⎰⎰--+=1

''10)()1(21)1()0(21)(dx

x f x x f f dx x f

一、1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、A ； 9、C ； 10、D.三、1、

8

12

21213x x x x +-

+； 2、2sin 22

x e

y -±.

四、1、34

ln 2； 2、4π； 3、33

4-

π； 4、

71

π

3arcsin 2

-π