上海高二数学—数列单元测试卷

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高二数学数列模块考试卷+答案详解(试卷版)

高二数学数列模块考试卷+答案详解（试卷版）总分100分，考试时间90分钟一．选择题（共10小题,共30分）1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S21=42，若记b n=2，则数列{b n}（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列2．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=a72，a2=1，则a1等于（）A．B．C．D．23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S21=42，若记b n=2，则数列{b n}（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列4．已知等比数列{a n}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（）A．B．2 C．D．5．设{a n}是等差数列，a1+a3+a5=9，a6=9．则这个数列的前6项和等于（）A．12 B．24 C．36 D．486．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=（）A．2 B．4 C．6 D．87．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．158．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣9. 在数列{a n}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )A．成等差数列 B．成等比数列 C．倒数成等差数列 D．不确定10. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158二．填空题（共6小题，共30分）11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10﹣a 12的值为． 12．等比数列{a n }中，a 3=2，a 5=6，则a 9= ．13．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣a n =1+（﹣1）n（n ∈N *），则S 10= ．14．已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为． 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为113,6n n S x -=⋅-则x 的值为_______三．解答题（共4小题，共40分）17．已知数列{a n }满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n 对于任意n ∈N *恒成立，且a 1=1，a 3=2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n +b n =1（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式（Ⅱ）设c n =a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为T n （1）求T n （2）求满足不等式≤9的所有的n 的值．18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（﹣1）n a n +（﹣1）n a n 2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．19．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知等差数列{a n}满足a2=5，a5+a9=30．{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．答案详解一．选择题（共10小题,共30分）1解：S21=42===，∴a9+a13=4，a11=2，∴a112﹣a9﹣a13=0，∴b n=2=1，∴数列{b n}既是等差数列又是等比数列，故选：C2．解：∵等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=a72，∴=，可得a6=a7，∴公比q=a2=1，则a1===．故选：B．3．解：S21=42===，∴a9+a13=4，a11=2，∴a112﹣a9﹣a13=0，∴b n=2=1，∴数列{b n}既是等差数列又是等比数列，故选：C4．解：等比数列{a n}的首项为1，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴2×2a2=a3+4a1，∴4a1q=a1（q2+4），解得q=2．∴a n=2n﹣1，=．则数列{}的前5项和==．故选：C．5．解：设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=3a1+6d=9，即a1+2d=3；a6=a1+5d=9．∴d=2，a1=﹣1，则这个数列的前6项和s6=6×（﹣1）+×2=24，故选B．6．解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故选B．7．解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．8．解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．9. B10. C二．填空题（共6小题，共30分）11．解：∵a n为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120∴a1+7d=24∵2a10﹣a12=2a1+18﹣a1﹣11d=a1+7d=24 故答案为：2412．解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 5=6， ∴q 2=3，则a 9==6×32=54．故答案为：54．13．解：因为a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣a n =1+（﹣1）n（n ∈N *），当n=1时，a 3﹣a 1=0得到a 3=1；当n=2时，a 4﹣a 2=2，所以a 4=4；…得到此数列奇次项为1，偶次项以2为首项，公差为2的等差数列，所以S 10=1×5+5×2+×2=35．故答案为3514．解：由题意a 3=16，故S 5=5×a 3=80，由数列的性质S 10﹣S 5=80+25d ，S 15﹣S 10=80+50d ，S 20﹣S 15=80+75d ，故S 20=20=320+150d ，解之得d=﹣2又S 10=S 5+S 10﹣S 5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：110 15.{}n a 是等比数列，1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列，又()210203030301010,30,30,7010S S S S -==∴-=∴=答案：70 16.12三．解答题（共4小题，共40分）17．解：（Ⅰ）数列{a n }满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n 对于任意n ∈N *恒成立， ∴数列{a n }为等差数列， ∵a 1=1，a 3=2， ∴2d=a 3﹣a 1=2﹣1=1， ∴d=，∴a n =1+（n ﹣1）=（n+1），∵数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n +b n =1，当n=1时，S 1+b 1=1，即b 1=，当n ≥2时，S n ﹣1+b n ﹣1=1， ∴S n +b n ﹣（S n ﹣1+b n ﹣1）=0 即3b n =b n ﹣1，∴数列{b n }是以为首项，以为公比的等比数列，∴b n=2•（）n，（Ⅱ）由b n=2•（）n，∴S n==1﹣，∴1﹣S n=（）n，∵c n=a n•b n=（n+1）•（）n，∴T n=2•（）1+3•（）2+…+（n+1）•（）n，∴T n=2•（）2+3•（）3+…+n•（）n+（n+1）•（）n+1，∴T n=+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1=+﹣（n+1）•（）n+1=﹣•（）n，∴T n=﹣•（）n，∵≤9，∴﹣•（）n≤9•（）n，∴≤（9+）•（）n，即9+≥•3n，当n=1时，左边=，右边=，成立，当n=2时，左边=，右边=，成立，当n=3时，左边=，右边=，故不成立，综上所述n的值为1，218．解：（Ⅰ）由S n=，得当n=1时，，得a1=1；当n≥2时，，化简得：（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）=0，得a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n=（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n ﹣3）2+（4n﹣1）2]=2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]=2n+8•=8n2+2n．19．解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．20．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a5+a9=30可得，，解得a1=3，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，∴S n===n（n+2）=n2+2n，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]，=（1+﹣﹣）=﹣﹣【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式和裂项求和，属于中档题。

(完整版)数列单元测试卷含答案

数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=，解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1）两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

高二数列单元测试题及答案

高二数列单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知数列{an}是等差数列，且a3=5，a5=9，则a7的值为：A. 13B. 11B. 9D. 72. 等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，求该数列的第5项b5：A. 486B. 243C. 81D. 1623. 已知数列{cn}的前n项和S(n)=n^2，求第5项c5：A. 14B. 15C. 16D. 174. 若数列{dn}满足d1=1，且对于任意的n≥2，有dn=2dn-1+1，该数列为：A. 等差数列B. 等比数列C. 非等差也非等比数列D. 几何数列5. 对于数列{en}，若e1=2，且en+1=en+n，求e5的值：A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知数列{fn}是等差数列，且f1=3，f3=9，求公差d。

__________7. 已知数列{gn}是等比数列，且g1=8，g3=64，求公比q。

__________8. 若数列{hn}的前n项和S(n)=n^2+n，求第3项h3。

__________9. 已知数列{in}满足i1=1，且对于任意的n≥2，有in=in-1+n，求i3的值。

__________10. 若数列{jn}的前n项和S(n)=n^3，求第2项j2。

__________三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知数列{kn}是等差数列，首项k1=1，公差d=2，求数列的前10项和S(10)。

12. 已知数列{ln}是等比数列，首项l1=1，公比q=4，求数列的前5项和S(5)。

13. 已知数列{mn}的前n项和S(n)=2n^2-n，求数列的第n项mn。

四、综合题（每题25分，共25分）14. 某工厂生产的产品数量按照等差数列增长，若第1年生产100件，每年增长50件。

求第5年的产量，并求前5年的总产量。

答案：一、选择题1. A2. C3. B4. A5. B二、填空题6. d=27. q=48. h3=109. i3=510. j2=9三、解答题11. S(10)=10×1+(10×9)/2×2=11012. S(5)=1+4+16+64+256=34113. mn=2n^2-n-1四、综合题14. 第5年产量为100+4×50=250件，前5年总产量为100+150+200+250+300=1000件。

上海民办奉浦学校选修二第一单元《数列》检测(有答案解析)

一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥3．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =4．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 5．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（）． A ．29B ．28C ．27D ．266．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n =C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列8．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（） A ．376B ．382C ．749D ．7669．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（） A ．255B ．375C ．250D ．200二、填空题13．数列1，()12+，()223234122,1222,(1222()2),....+++++++++的前n 项之和n S =____________.14．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为na =___________. 15．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________. 16．设数列{}n a 的前n 项和,n S 若11a =-，()*1102n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_______．17．已知数列{}n a 的首项11a =，函数321()(cos)2n n n f x x a a x π+=+--为奇函数，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为__.18．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式为______．19．已知函数()1eex f x x=+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.20．已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2n n n S a S a +==，则n S =__________．三、解答题21．设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()*3142n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意*n ∈N ，都有333212n n a a a S +++=.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若()2(1)2n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 24．已知等差数列{}n a 中，23a =，47a =，数列{}n b 满足11b a =，13n n b b +=. （1）求数列{}n a 通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设41n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .26．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项.（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n na a +-=，所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=，将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥，又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.3．D【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n nx x +-＝33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.4．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n na ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.5．A解析：A 【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭ 是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.6．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 7．C解析：C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ．【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错．8．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题9．A解析：A 【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2，当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1），整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3，所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3，因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ，故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <，因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列，所以n S 的最大值为5S ，故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.12．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

上海西郊学校选修二第一单元《数列》测试卷(答案解析)

一、选择题1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（） A ．2B ．73 C ．310D ．12或2．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =3．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩4．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19B ．20C ．21D ．225．已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ<6．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:37．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则121024102410241024a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．10258．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞09．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a10．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]11．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++等于（）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)12．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，则n a ＝________.14．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________.15．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 16．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =__________.17．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______. 19．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________20．已知数列{}n a 中，11a =，()132,n n a a n n N *-=+≥∈，数列{}n b 满足11n n n b a a +=，*n N ∈，则()12lim n n b b b →∞++⋅⋅⋅+=________. 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()*13a nb n N n a =∈+，22nn S b b b =+++，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有36n tS >总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由． 22．等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列n a 的通项公式；（2）记m b 为数列{}n a 在区间()(0,]m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项的和. 23．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设+14n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．在①1，n a ，n S 成等差数列；②递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足__________，且14b a =，223b a a =-，是否存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）25．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =．（1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式；（2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，21n n S a =-，数列{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若121n n n n c a b b +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】根据等比数列的性质求解．在1q ≠-时，24264,,S S S S S --仍成等比数列．【详解】设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k =-=644S S k ∴-= 67,S k ∴=647733S k S k ∴== 故选：B ．【点睛】结论点睛：数列{}n a 是等比数列，若0m S ≠，则232,,m m m m m S S S S S --成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意{}n a 是等比数列与232,,m m m m m S S S S S --成等比数列之间不是充要条件．2．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.3．B解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解.【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.5．C解析：C 【分析】由数列递推式()*12n n n a a n a +=∈+N 得到11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入1(2)2nn b n λ+=-⋅，当2n ≥时，1n n b b +>，且21b b >求得实数λ的取值范围. 【详解】解：由12n n n a a a +=+得，1121n na a +=+ 则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭由11a =，得1112a +=，∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，∴111222n n na -+=⨯=，由()*11(2)1n nb n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈⎪⎝⎭N ，得1(2)2nn b n λ+=-⋅，因为数列{}n b 是单调递增数列，所以2n ≥时，1n n b b +>，1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅--⋅∴>，即12n λ+<，所以32λ<，又∵1b λ=-，2(12)224b λλ=-⋅=-，由21b b >，得24λλ->-，得23λ<，综上：实数λ的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；（2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断；（3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.6．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．7．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项，结合裂项公式求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，再由最大整数定义即可求解【详解】由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则12n nb b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，112n n n b n a a --==-，()1221n n a a n ---=-，，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得2n a n n =+，故()111111n a n n n n ==-++，所以 1210241024102410241111111024110241223102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1024102410231025⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法：（1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭8．A解析：A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.9．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n =，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=，，121n n b b n --=-，所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===，所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ，即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2，当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1），整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3，所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3，因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出3k =，利用等差数列的求和公式求解即可．【详解】由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠(0)10f k b ==⨯+，1b ∴=．(1),(4),(13)f f f 成等比数列，且41,(13(1)1,(4)1)13k f f k f k =+=+=+．1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，(2)(4)(2)f f f n +++(221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+ (242)2n n =++⋯+⨯+(1)42n n n +=⨯+2(1)n n n =++ ()22332n n n n ==++.故选：A ．【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．12．C解析：C 【分析】数列{a n }满足()*12n n n a a n N a +=∈+，两边取倒数可得1121n na a +=+，从而得到11=2n n a +，于是b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，由于数列{b n }是单调递增数列，可得b n +1＞b n ，解出即可．【详解】∵数列{a n }满足：a 1＝1，()*12nn n a a n N a +=∈+， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1＝2，公比为2的等比数列，∴11=2n na +， ∴b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴b n +1＞b n ，∴n ≥2时，（n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，化为λ＜n +1， ∵数列{n +1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n ＝1时，b 2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b 1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故选：C ．【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题，考查等比数列的通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】利用可求得数列的通项公式【详解】由于数列的前项和当时；当时满足因此对任意的故答案为：【点睛】易错点点睛：本题考查利用求一般利用来求解在求出通项时要注意对是否满足通项进行检验解析：65n -【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由于数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-.当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.11a =满足65n a n =-.因此，对任意的n *∈N ，65n a n =-. 故答案为：65n -. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用n S 求n a ，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在求出通项时，要注意对1a 是否满足通项进行检验.14．【分析】当为奇数时可得数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时可得偶数项的特征将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可【详解】∵∴当为奇数时即数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时∴∴故答案为：解析：2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】∵121,(1)2nn n a a a +=+-=，∴当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=， ∴135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，∴1002500502550S =+=，故答案为：2550. 【点睛】关键点点睛：（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=.15．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，当1n =时，21a a λ=，当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n dS na n n -=+=+，记()2991010nnn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥，当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<，所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.16．【分析】结合累加法及裂项相消法可得根据已知条件即可求出通项公式【详解】解：因为所以则当时将个式子相加可得因为则当时符合题意所以故答案为:【点睛】本题考查了数列通项公式的求解考查了累加法考查了裂项相消解析：31,1,2n n N n*-≥∈【分析】结合累加法及裂项相消法可得111-=-n a a n，根据已知条件即可求出通项公式. 【详解】解：因为121n n a a n n +=++，所以121111n na a n n n n +-==-++，则当2,n n N *≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪⎪⎪-=-⎪-⎩，将1n -个式子相加可得 11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131122n a n n=-+=-，当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31,1,2n a n n N n*=-≥∈. 故答案为:31,1,2n n N n*-≥∈.【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.17．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18．①②【分析】利用前项和公式得可得最大即可判断出正确命题【详解】化为：最大①为的最大值正确;②正确;③所以③不正确;④所以不正确综上可得：①②正确故答案为:①②【点睛】本题考查命题的真假判断与应用等差解析：①② 【分析】675S S S >>,利用前n 项和公式得7670,0a a a <+>,可得67670,,0a a a a d >>><，6S 最大, ()11111611110.2a a S a +==>即可判断出正确命题．【详解】675S S S >>116576546175222a d a d a d ⨯⨯⨯∴+>+>+, 化为：7670,0a a a <+>67670,,0a a a a d ∴>>>∴<6S 最大, ①6S 为n S 的最大值,正确; ()11111611110.2a a S a +==>②110S >正确;③()126760S a a =+>,所以③120S <不正确;④85678730S S a a a a -=++=<,所以850S S ->不正确. 综上可得：①②正确. 故答案为: ①②. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n 项和公式,难度一般.19．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.20．【分析】求出数列的通项公式利用裂项求和法求出利用极限的运算法则可得出所求极限值【详解】且则数列是以为首项以为公差的等差数列所以因此故答案为：【点睛】本题考查数列前项和的极限值的求法是中档题解题时要认解析：13【分析】求出数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求出12n b b b ++⋅⋅⋅+，利用极限的运算法则可得出所求极限值. 【详解】()132,n n a a n n N *-=+≥∈且11a =，则数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以，()13132n a n n =+-=-，()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111134473231393n b b b n n n ⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=-+-++-=- ⎪-++⎝⎭，因此，()12111lim lim 3933n n n b b b n →∞→∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=⎪+⎝⎭. 故答案为：13. 【点睛】本题考查数列前n 项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题21．（1）()21*n a n n =-∈N ；（2）存在，8.【分析】（1）根据数列{}n a 的第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项，由()()()2114134a d a d a d ++=+，结合11a =求解. （2）由（1）得到()()1111132121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，然后利用裂项相消法求和，再根据存在整数t 满足36n tS >总成立，由()min 36n t S >离求解.又1110222122n n n n S S n n n ++-=-=>+++，【详解】（1）由题意得()()()2114134a d a d a d ++=+ 整理得12a d d =．11a =，解得0d =（舍去），2d =．()21*n a n n N ∴=-∈．（2）()()1111132121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，22n n S b b b ∴=+++111111122231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，假设存在整数t 满足36n tS >总成立，又()()()()11102221212n n n n S S n n n n ++-=-=>++++，∴数列{}n S 是单调递增的．所以n S 的最小值为114S =，故1364t <，解得9t <．又*t ∈N ，∴适合条件的t 的最大值为8．【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．22．（1）3nn a =；（2）284.【分析】（1）由题可得等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；（2）根据题意得出当133n n m b +≤<时，m b n =，再分组求和即可求出.【详解】（1）由题意结合表中数据可得13a =，29a =，327a =，所以等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，所以{}n a 的通项公式为1333n nn a -=⨯=；（2）由题设及（1）知120b b ==，且当133n n m b +≤<时，m b n =.所以()()()()()10012348910262728808182100S b b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++++2061182543204=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯284=. 【点睛】解题关键：由题得出120b b ==，且当133n n m b +≤<时，m b n =是解题的关键，再利用分组求和即可.23．(1) 31n a n =-；（2） ()24333+2n T n =-. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知求得411a =，再由等差数列的通项公式可求得答案；（2）运用裂项求和法，可求得答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得354222a a a +==，所以411a =，所以141123413a a d --===-，所以()()1+12+1331n n d n a a n -⨯=-⨯=-=，所以31n a n =-；（2）由（1）得()()+144411313+23313+2n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，所以 411111111++++32558811313+2n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41124323+2333+2n n ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 所以()24333+2n T n =-. 【点睛】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.24．任选①②，结论都是：不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项．【分析】选①，由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 是系数，求得其通项公式后，可得12,b b ，公差为21d b b =-，从而得n T ，n T 根据的表达式知3n ≥时，0n T <，结合n a 表达式可得结论．选②，由方程的根，及数列的性质得出24,a a ，从而可得n a ，求出12,b b ，得公差d 后可得n T ，在2n ≥时，0n T <，结合n a 可得结论．【详解】若选①，∵1，n a ，n S 成等差数列，∴21n n a S =+，即21n n S a =-，显然11121a S a ==-，11a =，2n ≥时，11(21)(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化简得12n n a a -=，∴{}n a 是等比数列，公比为2，∴12n na ，∴148b a ==，223242b a a =-=-=-，{}n b 是等差数列，则2110d b b =-=-，21(1)(1)8(10)51322n n n n n T nb d n n n --=+=+⨯-=-+， 18T =，26T =，36T =-，3n ≥时都有0n T <，而120n n a -=>，∴不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项．若选②，∵递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根， ∴241,9a a ==，则2429a q a ==，3q =，2223n n n a a q --==， 149b a ==，223132b a a =-=-=-，2111d b b =-=-，1(1)1(1)(11)232n n n n n T nb d n --=+=⨯+⨯-2113526n n =-+，易知19T =，2n ≥时，0n T <，而0n a >，∴不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项．【点睛】关键点点睛：本题考查注等比数列的通项公式，求等差数列的前n 项和，解题关键是由基本量法法求得n a 和n T ，然后分析n T 与n a 的性质，确定结论． 25．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164nn n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可.【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =， ∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-，∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-，()()()()()12131323133n nn T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-，∴()()()()111413333n nn T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，∴()()()131********nn n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164nn n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和. 26．（1）12n n a ；n b n = （2）211321n n --++ 【分析】(1) 当1n =时11a =，由1n n n a S S -=-可得122n n n a a a -=-，可求出n a ，根据111b a ==，434b a ==，可求出n b(2)由条件()11121212112121n n n n n n n n c a b b n n -+-+⎛⎫=-=-=-- ⎪+⎝⎭，由等比数列的求和公式和裂项相消法可求和. 【详解】（1）当1n =时，11121S a a ==-，得11a = 当2n ≥时，21n n S a =- ……①1121n n S a --=- ……②由①－② 得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列,所以12n na所以111b a ==，434b a ==．则等差数列{}n b 的公差为1d = 所以n b n = （2）()11121212112121n n n n n n n n c a b b n n -+-+⎛⎫=-=-=-- ⎪+⎝⎭21111111112112222231n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2111112213112112nn n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯--=-+ ⎪++⎝⎭- 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式和利用公式法以及裂项相消法求和，解答本题的关键是由()11n n n a S S n -=->求通项公式，和将n c 化为121121n n c n n -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭用等比数列的求和公式和裂项相消法求和，属于中档题.。

上海所在城市选修二第一单元《数列》检测(有答案解析)

一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（） A ．1-B ．12-C ．12D ．22．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 3．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（）. A ．8B ．9C ．11D ．104．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，*,n N ∈.若564316a a +=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．16B ．28C ．32D ．485．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩7．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率为3f ，第九个音频率9f ，则93f f 等于（） ABCD8．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20209．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项10．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．1102411．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 12．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则10S =________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，则n a ＝________.15．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________.16．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.17．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 18．已知数列{}n a 的首项11a =，函数321()(cos)2n n n f x x a a x π+=+--为奇函数，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为__.19．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.20．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 22．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值；（ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，162a a +=，40a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及相应的n 的值.24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，从条件①()11n n na n a +=+，②()12n n n a S +=，③22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 和nT .25．已知正项等比数列{}n a 满足2139nn a +=⋅，3log nn ba =，且nb ，nc ，4n +成等差数列.（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前100项和100T .26．设数列}{n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，n *∈N . （1）求通项公式n a ；（2）求数列}{2n a n --的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =，所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------，所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212a a a ⨯===，故选：C. 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；（2）证明()*n A n a a A N+=∈，则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2．B解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n na a +-=，所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=，将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥，又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.3．D解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ，令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=，即11322n n a a +=-+，即()11112n n a a +-=--，又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列， 11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，则111632170n n S --=⨯<，即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭，又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=，即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.4．C解析：C 【分析】由21n n n a a a ++=+，分别求出3456789,,,,,,a a a a a a a 关于12,a a 的表达式，再利用564316a a +=，即可求解【详解】由21n n n a a a ++=+可得，321a a a =+，432212a a a a a =+=+5432132a a a a a =+=+，6542153a a a a a =+=+，7652185a a a a a =+=+， 87621138a a a a a =+=+，987212113a a a a a =+=+， ∴129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，564316a a +=，21214(32)3(53)16a a a a ∴+++=，即21271716a a +=， ∴129212154342(2717)32a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+=故选：C 【点睛】关键点睛，利用递推式21n n n a a a ++=+，求得129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，再利用564316a a +=，求得21271716a a +=，进而求解，主要考查学生的数学运算能力，属于中档题5．B解析：B【分析】由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题6．B解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1122q =，由此能求出93f f 的值．【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，则12131=a a q ，且1312=a a ，1122∴=q ，86912316191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭q q f q a a f a a 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.9．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.10．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n nn a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 11．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.12．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <，因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列，所以n S 的最大值为5S ，故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.二、填空题13．【分析】将化为两边同除以可得数列数列是等差数列进而可求出再令即可求出【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：与关系问题的求解思路根据所求结解析：111【分析】将110n n n a S S +++=化为110n n n n S S S S ++-+=，两边同除以1n n S S +，可得数列数列1{}nS 是等差数列，进而可求出n S ，再令10n =即可求出10S . 【详解】因为110n n n a S S +++=，所以110n n n n S S S S ++-+=，所以11n n n n S S S S ++-=，所以1111n n S S +-=，又11112S a ==，所以数列1{}nS 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以12(1)11n n n S =+-⨯=+，所以11n S n =+，所以10111S =. 故答案为：111【点睛】思路点睛：n S 与n a 关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：(1)利用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为只含n S ，1n S -的关系式，再求解； (2)利用1(2)n n n S S a n --=≥转化为只含n a ，1n a -的关系式，再求解．14．【分析】利用可求得数列的通项公式【详解】由于数列的前项和当时；当时满足因此对任意的故答案为：【点睛】易错点点睛：本题考查利用求一般利用来求解在求出通项时要注意对是否满足通项进行检验解析：65n -【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由于数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-.当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.11a =满足65n a n =-.因此，对任意的n *∈N ，65n a n =-. 故答案为：65n -. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用n S 求n a ，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在求出通项时，要注意对1a 是否满足通项进行检验.15．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求解析：50【分析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===.故答案为：50. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.16．23【分析】先设奇数项公差为偶数项公比为根据已知条件列关系求解和再计算即得结果【详解】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列偶数项依次成公比为的等比数列由故解方程得故则故答案为：23【点睛】本题考查了解析：23 【分析】先设奇数项公差为d ，偶数项公比为q ，根据已知条件列关系求解d 和q ，再计算78,a a ，即得结果. 【详解】设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，故127d q ++=，212213d q ++=，解方程得2d q ==.故3718237,16a a d a a q =+==⋅=，则7823a a +=.故答案为：23. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题.17．【分析】由等比数列的通项公式求得进而得到数列表示首项为公比为的等比数列结合等比数列的求和公式即可求解【详解】由题意等比数列中可得解得又由且即数列表示首项为公比为的等比数列所以故答案为：【点睛】本题主解析：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】由等比数列的通项公式，求得12q =，进而得到数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==，即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.18．1010【分析】利用是奇函数推出推出函数的周期然后转化求解即可【详解】解：因为是奇函数所以如此继续得故答案为：1010【点睛】本题考查数列的函数的特征数列的周期性的应用考查转化思想以及计算能力是中档题解析：1010. 【分析】利用()f x 是奇函数，推出1cos 2a n n a a π+=+，推出函数的周期，然后转化求解即可. 【详解】解：因为()f x 是奇函数，()()f x f x -=-，所以1(cos)02n n n a a π+-+=，1cos 2a n n a a π+=+， 11a =，21cos12a a π=+=，322cos 02a a π=+=，433cos02a a π=+=，如此继续，得4n n a a +=.20201234505()50521010S a a a a =+++=⨯=. 故答案为：1010. 【点睛】本题考查数列的函数的特征，数列的周期性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.19．5【分析】设偶数项和为则奇数项和为由可得的值根据公差求得结果【详解】设偶数项和为则奇数项和为由可得故公差故答案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质得到公差是解题的关键解析：5 【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k += 可得k 的值，根据公差32276k kd -=求得结果．【详解】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =，故公差32275566k k kd -===，故答案为：5．【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键． 20．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.三、解答题21．（1）()*22n a n n N =+∈；（2）32n nSn +=⋅.【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列式求首项和公差，再求通项公式；（2）先求数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为43a a d -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，解得14a =. 所以()*42(1)22n a n n n N=+-=+∈（2）设等比数列{}n b 的公差为q ，因为238b a ==，3716b a ==，所以2q，14b =，所以12n n b +=从而2(1)2n n n a b n +=+.345122232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++，① 4562322232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++，②由①-②得：3452322222(1)2n n n S n ++-=⨯++++-+()33332122(1)2212n n n n S n n ++--=+-+=-⋅-所以32n n S n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查等差等比数列，以及数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.22．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2482n S n n =+，利用放缩法得出4111142121n S n n ⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+，两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+，两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=，上述两个等式作差得4n n a a +=，又211a a -=，则2111a a a =+=+，323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==；当42n k =-时，()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；当41n k =-时，32n a a a ==-；当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，()2410166822n n n S n n +-∴==+，()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴=<=- ⎪-++-⎝⎭，所以，48411111111111111433521214214n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下：（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--；（2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭；（3）()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-；（4()22n =<=≥.23．（1）28n a n =-+；（2）当3n =或4时，n S 最大，最大值为12.【分析】（1）本题首先可设公差为d ，然后根据162a a +=得出1252a d +=，根据40a =得出130a d +=，最后通过计算即可求出d 、1a 的值以及数列{}n a 的通项公式；（2）本题首先可根据0d <得出数列{}n a 是递减数列，然后根据当4n >时0n a <以及当04n <<时0n a >即可求出n S 的最大值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为162a a +=，所以1252a d +=，因为40a =，所以130a d +=，联立1125230a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得2d =-，16a =，故62128na n n .（2）因为数列{}n a 是等差数列，20d =-<，所以数列{}n a 是递减数列，因为40a =，当4n >时，0n a <；当04n <<时，0n a >，所以当3n =或4时，n S 取最大值，()()34441462122S S ⨯-==⨯+⨯-=.【点睛】方法点睛：求数列通项公式的常见方法有：公式法、n S 与n a 关系法、累加法、累乘法、构造法，考查计算能力，是中档题. 24．（1）()*n a n n N =∈；（2）()1122n nT n +=-⋅-.【分析】（1）若选①可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选②利用1n n n a S S -=-可得()11n n n a na --=，即可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选③利用1n n n a S S -=-可得11n n a a --=，即可得到数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和；【详解】选条件①时，（1）()11n n na n a +=+时，整理得11111n n a a a n n +===+，所以n a n =. （2）由（1）得：2nn b n =-⋅，设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n n n n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+，所以()1122n n T n +=-⋅-.选条件②时，（1）由于()12n n n a S +=，所以()21nn Sn a =+①，当2n ≥时，112n n S na --=②，①-②得：()121n n n a n a na -=+-，()11n n n a na --=，整理得1111n n na a a n n -===-，所以n a n =. （2）由（1）得：2nn b n =-⋅，设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n nn n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+，所以()1122n n T n +=-⋅-.选条件③时，由于22n n n a a S +=， ①21112n n n a a S ---+= ②①-②时，2211n n n n a a a a ---=+，整理得11n n a a --=（常数），所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以n a n =.（2）由（1）得：2nn b n =-⋅，设2nn c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅①， 231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅②，①-②得：()()12112212222221n nn n nC n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+，所以()1122n n T n +=-⋅-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．25．（1）2n c n =+；（2）50101. 【分析】（1）先由题设求得数列{}n a 的公比q ，进而求得n a 与n b ，再由n b ，n c ，4n +成等差数列求得n c ；（2）先由（1）求得()1n n c n b +，再利用裂项相消法求得其前100项和.【详解】解：（1）设公比为()0q q >，∵2139nn a +=⋅，∴2251339939a q a ⨯===⨯，解得：3q =， ∴31333933n n n n a a q--=⋅=⨯⨯=， ∵3log n n n b a ==，且n b ，n c ，4n +成等差数列， ∴422n n b n c n ++==+；（2）由（1）可得：()111112(1)21n n c n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，∴10011111111501122231001012101101T ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 26．（1）13-=n n a ，n *∈N ；（2）22,135112n n n T n n =⎧⎪=⎨--+⎪⎩，2n ≥，n *∈N .【分析】（1）首先利用赋值，求1a 和2a ，再利用n a 于n S 的关系式，变形得到13n n a a +=，再利用等比数列求通项公式；（2）首先讨论数列{}2n a n --的正负，再分1,2n n ==，3n ≥，求数列}{2n a n --的前n 项和.【详解】（1）由题意得1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由)()(1121212n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，且213a a =，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，所以，数列}{n a 的通项公式为13-=n n a ，n *∈N . （2）设132n n b n -=--，n *∈N ，12b =，21b =.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132n n b n -=--，3n ≥.设数列}{n b 的前n 项和为n T ，则12T =，23T =. 当3n ≥时，)()()(2291372351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-，所以，22,135112n n n T n n =⎧⎪=⎨--+⎪⎩，2n ≥，n *∈N . 【点睛】易错点点睛：利用n a 与n S 的关系式求通项公式时，不要忽略n 的取值范围，第二问不要忽略当320n n --<时，需单独求1T 和2T 的值.。

(人教版)上海市选修二第一单元《数列》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（）A ．2B ．4C ．10D ．143．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =4．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（）A ．7B ．8C ．10D ．116．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（） A ．376B ．382C ．749D ．7667．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（） A ．9B ．10C ．12D ．138．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确结论的序号为（） A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129SS =（） A ．43B ．53C ．2D ．310．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前项和n T 为（） A ．310(103)nn -B ．10(103)nn -C ．103nn-D ．10(133)nn -11．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32D ．5012．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S二、填空题13．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-，若113a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为______.14．已知数列{}n a 的前n 项和为1,3,23n n n S a S a λ==-，其中λ为常数，若14n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 16．设数列{}n a 的前n 项和,n S 若11a =-，()*1102n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_______．17．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 18．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．19．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =__________.20．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*112n n a S n N =+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若2log n n b a =，21n n n c b b +=且{}n c 的前n 项和为n T ，求使得132424n k k T +<<对*n N ∈都成立的所有正整数k 的值．22．已知等差数列{}n a 中，23a =，47a =，数列{}n b 满足11b a =，13n n b b +=. （1）求数列{}n a 通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2512a a +=，424S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥. 25．设数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，n *∈N .记11n nb a =-，n *∈N . （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设32nna n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足不等式12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++⎪⎝⎭的正整数n 的集合.26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(0n n a a a S a--=>且1)a ≠.数列{}n b 满足lg n n n b a a =.（1）当10a =时，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对一切n *∈N 都有1n n b b +<，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a qa ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=，即2244421q q++=，解得2q =±或12q =±，又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ．【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.3．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.4．B解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．B解析：B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+，当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用.6．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题7．A解析：A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=．故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.8．B解析：B 【分析】利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项．【详解】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确； 111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误；因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误．故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的性质.9．B解析：B 【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出129S S 的值【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，63S S =3， ∴1165623232a d a d⨯+=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴112191112111212665298936392a dS a d S a d a d ⨯++===⨯++．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．10．B解析：B 【分析】根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T . 【详解】依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4nS S ≤，所以4151030040a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得10532d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫===⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭，所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()10310111133101031010310103n n n n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.11．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．12．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <，因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列，所以n S 的最大值为5S ，故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.二、填空题13．【分析】先根据等差数列的定义求出数列的通项公式代入再利用裂项求和即可取出【详解】解：由题意知：数列为等差递减数列则公差即解得或（舍去）故数列的通项公式为：设的前项和为则：当时且单调递增当时时取得最大解析：613【分析】先根据等差数列的定义求出数列{}n a 的通项公式，代入11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再利用裂项求和即可取出. 【详解】解：由题意知：数列{}n a 为等差递减数列，则公差0d <，21324a a a =-，()()211124a a d a d ∴+=+-，即2221111224a a d a a d d +=++-，解得2d =-或2d =（舍去），故数列{}n a 的通项公式为：()()()111312152n a a n d n n =+-=+-⨯-=-， ()()1111111521322132152n n a a n n n n +⎛⎫∴==⨯- ⎪----⎝⎭，设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则：111111121113911132152n S n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪--⎝⎭111213132n ⎛⎫=⨯-+ ⎪-⎝⎭，当6n ≤时，0n S >且单调递增，当7n ≥时0nS <，6n ∴=时，n S 取得最大值，即6116121313S ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故答案为：613. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对111213132n S n ⎛⎫=⨯-+ ⎪-⎝⎭的分析，求出n S 的最大值. 14．【分析】先根据求得然后求得求得的表达式进而求得中的项的最小值【详解】当时而所以则当时所以所以数列是首项为公比为的等比数列所以由于所以当时当时且所以当时单调递增最小值为即数列中的项的最小值为故答案为：解析：1513-【分析】先根据1a 求得λ，然后求得n a ，求得n b 的表达式，进而求得{}n b 中的项的最小值. 【详解】当1n =时，()11123,23a a a λλ=--=，而13a =，所以21,3λλ-==. 则233n n S a =-，当2n ≥时，11233n n S a --=-，所以112333n n n n n a a a a a --=-⇒=，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3nn a =.由于14n n a b n =-，所以143n nnb -=，当114n ≤≤时，0n b ≥，当15n ≥时，0n b <，且11111314134233333n n n n n n n n n n b b ++++-----=-=-122903n n +-=>，所以当15n ≥时，n b 单调递增，最小值为1515151415133b -==-. 即数列{}n b 中的项的最小值为1513-. 故答案为：1513- 【点睛】根据n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，主要通过11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解.判断数列的单调性可采用差比较法.15．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+，当2n ≥时，1121n n a S --=+，两式相减，得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.16．【分析】时化为：时解得不满足上式利用等比数列的通项公式即可得出【详解】解：时化为：时解得不满足上式∴时故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式在应用时要注意其中因此求出关系式后要对进行检验否则易出错解析：21,623,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯⎩【分析】2n ≥时，1n n n a S S --=，化为：13n n a a +=，1n =时，12112a a -==，解得22a =-．不满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】解：2n ≥时，111822n n n n n a S S a a -+=-=-，化为：13n n a a +=． 1n =时，12312a a -==，解得22a =-．不满足上式． ∴2n ≥时，223n n a -=-⨯．故答案为：21,623,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯⎩．【点睛】本题考查由n S 求通项公式n a ，在应用1n n n a S S -=-时要注意其中2n ≥，因此求出关系式后要对1a 进行检验，否则易出错．17．【分析】由等比数列的通项公式求得进而得到数列表示首项为公比为的等比数列结合等比数列的求和公式即可求解【详解】由题意等比数列中可得解得又由且即数列表示首项为公比为的等比数列所以故答案为：【点睛】本题主解析：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】由等比数列的通项公式，求得12q =，进而得到数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==，即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.18．【解析】分析：当时求得；当时类比写出由求出再将代入检验即可求出答案详解：当时当时由得两式相减将代入上式通项公式为故答案为点睛：本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法其求解过程分为三步：（解析：0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案. 详解：当1n =时，110a S ==当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+，两式相减，145n n n a S S n -=-=-，将1n =代入上式，110a =-≠，∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．19．【分析】结合累加法及裂项相消法可得根据已知条件即可求出通项公式【详解】解：因为所以则当时将个式子相加可得因为则当时符合题意所以故答案为:【点睛】本题考查了数列通项公式的求解考查了累加法考查了裂项相消解析：31,1,2n n N n*-≥∈【分析】结合累加法及裂项相消法可得111-=-n a a n，根据已知条件即可求出通项公式. 【详解】解：因为121n n a a n n +=++，所以121111n n a a n n n n +-==-++，则当2,n n N *≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪⎪⎪-=-⎪-⎩，将1n -个式子相加可得11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131122n a n n=-+=-，当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31,1,2n a n n N n*=-≥∈. 故答案为: 31,1,2n n N n*-≥∈. 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.20．【分析】由已知条件得出变形为可知数列为等差数列确定该数列的首项和公差求出进而可得出【详解】且（且）在等式两边取倒数得且所以数列是以为首项以为公差的等差数列因此故答案为：【点睛】本题考查利用构造法求数解析：132n - 【分析】由已知条件得出()11231n n n a a n a --=≥+，变形为1113n n a a --=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1na ，进而可得出n a .【详解】()31xf x x =+，且()11131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥），在等式1131n n n a a a --=+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，1113n n a a -∴-=且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以3为公差的等差数列，()113132n n n a ∴=+-=-，因此，132n a n =-. 故答案为：132n -. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2nn a =；（2）{5,6,7}k ∈．【分析】（1）根据,n n a S 的关系，结合递推式可得12(2)n n a a n -=≥且12a =，写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）中{}n a 的通项公式，结合已知有1(2)n c n n =+，应用裂项求和法可知31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，进而有1334n T ≤<，即可知条件成立的k 值．【详解】（1）由题意知：112n n a S =+①，111()122n n a S n --=+≥②， ①-②得：12(2)n n a a n -=≥，又易得12a =，∴{}n a 是首项和公比都为2的等比数列，所以2nn a =；（2）由（1）知：n b n =，即1(2)n c n n =+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴由裂项相消，得111112212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭， ∵134n T T ≤<，即1334n T ≤<，所以132424n k k T +<<对n ∈N *都成立，可得1243133244k k ⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，得5k ≤<8，又k 正整数，∴{5,6,7}k ∈. 【点睛】关键点点睛：（1）应用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的关系，即可写出{}n a 的通项公式；（2）结合（1）结论及已知，得到1(2)n c n n =+，应用列项求和求n T ，即可知n T 的范围，结合不等式成立条件求k 值．22．（1）21n a n =-（*n N ∈）；（2）()1312nn S =-（*n N ∈）. 【分析】（1）解方程组求出112a d =⎧⎨=⎩，即得数列{}n a 通项公式n a ；（2）分析得到数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，再求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由23a =，47a =，所以2141337a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，112a d =⎧∴⎨=⎩，()1121n a a n d n ∴=+-=-（*n N ∈）；（2）由（1）得111b a ==，13n nb b +=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， ()()1113112n nn b q S q-∴==--（*n N ∈）. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列常用的方法有：（1）定义法（证明+1=n na a 某一非零常数）；（2）中项法（证明112n n n a a a +-+=）.23．（1）21n a n =-，2n S n =；（2）211(1)n T n -=+.【分析】（1）由等差数列的通项公式及前n 项和公式即可求得；（2）代入求出数列{}n b 的通项公式，再用裂项求和即可.【详解】（1）解：设等差数列首项为1a ，公差为d ， 2512a a +=，424S S =，得：()1112512434422a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-，21(1)(1)2122n n n d n n S na n n --⨯=+=⨯+=；（2）1222212111(1)(1)n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，1232222222211111111122334(1)n n T b b b b n n ∴=++++=-+-+-++-+211(1)n =-+.【点睛】方法点睛：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．24．（1）2n a n =，2nn b =；（2）①存在，5k =；②{}1,2,3,4.【分析】（1）由等差数列以及等比数列的性质以及通项公式得出答案；（2）①11k k k b T T ++-=结合数列{}n b 的通项公式得出k 的值；②由()1n S n n =+将不等式化为()210nn n -+≤，令()()21nf n n n =-+并得出其单调性，再由单调性确定解集.【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，所以510a =.设等差数列{}n a 的公差是d ，所以51251a a d -==- 所以()112n a a n d n =+-=. 设等比数列{}nb 的公比是q ，因为2316b b a =所以2331432b q q ==，所以2q，所以112n n n b b q -==.（2）①若存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立，则132k k b b +=+所以12232k k +=+，即232k =，解得5k =.存在正整数5k =满足条件. ②()()112n n n a a S n n +==+所以()12nn n +≥，即()210nn n -+≤ 令()()21nf n n n =-+，因为()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦所以当4n ≥时，(){}f n 单调递增.又()()210f f -<，()()320f f -<，()()430f f -= 所以()()()()()1234f f f f f n >>=<<<因为()10f =，()44f =-，()52f =，所以1n =，2，3，4时，()0f n ≤，5n ≥时，()0f n >，所以不等式n n S b ≥，的解集为{}1,2,3,4. 【点睛】解决本题的关键是构造新函数，通过作出确定函数的单调性，从而求得()0f n ≤的解集. 25．（1）证明见解析；（2）{}1,2,3. 【分析】（1）利用112n na a +=-证明出1n n b b +-是常数，进而可证明出数列{}n b 为等差数列；（2）求得132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出33291122nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设3322nt ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，可得出不等式221190t t -+<，解出t 的取值范围，由此可得出符合条件的正整数n 的值.【详解】（1）数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，则211122a a ==-，321223a a ==-，依次类推可知，对任意的n *∈N ，2n a ≠，()1121111111112111111122n n n n n n n n nn na b b a a a a a a a a ++--∴-=-=-=-==----------，所以，数列{}n b 是等差数列，且首项为11111b a ==-，公差为1，()11111n n b n n a ∴==+-⨯=-，解得1n n a n-=；（2）132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1123n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，11332232nn n n c c +-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为等比数列，同理可知，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，则1233132223212nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==⋅- ⎪⎝⎭-， 12321111123332313nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==-⋅ ⎪⎝⎭-，由12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭可得23912232n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅->⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，32291123nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设32nt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N *∈，则32t ≥，可得9211t t +<，整理可得221190t t -+<，解得912t <<，即39122n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n N *∈，所以，正整数n 的集合为{}1,2,3.【点睛】方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法：（1）定义法：证明1n n a a +-为常数；（2）等差中项法：对任意的n *∈N ，证明出122n n n a a a ++=+.26．（1）1(91)101081n n n T +-⋅+=；（2）10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1n =得出1a a =，再令2n ≥，由11n n a a S a --=，得出11n n a S a a -=-，可推出 1111n n a S a a---=-，两式相减得出1n n a a a -=，利用等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，可求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）由1n n b b +<得出()1lg 1lg n n na a n a a +<+，分两种情况1a >和01a <<讨论.①当1a >时，利用参变量分离法得出1n a n >+，可得出1a >； ②当01a <<时，利用参变量分离法得出1n a n <+，可得出102a <<. 综合①②得出实数a 的取值范围.【详解】当1n =时，11a S =，1111a a a a--=，解得1a a =. 当2n ≥时，∵11n n a a S a--=， ∴11n n a S a a -=-，可得1111n n a S a a---=-，上述两式相减得()111n n n n a S S a a a ----=-，即11n n n a a a a a--=-，所以1n n a a a -=. 所以数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，∴1n n n a a a a ，从而lg lg n n n n b a a na a ==.（1）当10a =时，10n n b n =⋅，∴2121021010n n n T b b n b n n =+++=+⋅++⋅，则2311010210(1)1010n n n T n n n +=+⋅++-⋅+⋅， ∴()23111010191010101010109n n n n n T n n n ++--=++++-⋅=-⋅，所以()1121010110(91)10109981n n n n n n T ++-⋅-⋅+=-=. （2）由1n n b b +<，可得1lg (1)lg n n na a n a a +<+.①当1a >时，由lg 0a >，可得1n a n >+，()*11n n n <∈+N ， ∴1a >，∴1n a n >+，对一切*n ∈N 都成立，此时的解为1a >； ②当01a <<时，由lg 0a <，可得(1)n n a >+，∴1n a n <+，()*1N 12n n n ≥∈+，01a <<， ∴01n a n <<+，对一切*n ∈N 都成立， ∴102a <<. 由①，②可知，对一切*n ∈N 都有1n nb b +<的a 的取值范围是10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用前n 项和求通项，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立与参数问题，解题时要熟悉一些常见的求通项和数列求和方法，以及在数列不等式恒成立问题中，灵活利用参变量分离法简化计算，考查分类讨论数学思想，属于难题.。

上海九峰实验学校选修二第一单元《数列》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，*,n N ∈.若564316a a +=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．16B ．28C ．32D ．482．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36B ．48C ．56D ．723．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+4．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19B ．20C ．21D ．225．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．78．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165D ．51109．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（） A ．9 B ．10C ．12D ．1310．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（） A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．174B ．184C ．188D ．16012．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S二、填空题13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．14．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.15．数列{}n a 满足， 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________.16．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.17．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式n a =__________．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则789a a a ++=________. 19．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________. 20．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()()*1n n n n a a a n N+-=∈，且3aπ=，则4tan S 等于______.三、解答题21．已知数列{}n a 是递增的等比数列且149a a +=，238a a =，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，（1）求n a 和n S ；（2）数列11n n n a S S ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式n T λ≤对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2nn na cb =*n N ∈，证明：122n c c c n +++<.23．若数列{}n a ，12,a =且132n n a a +=+.（1）证明{}1n a +是等比数列；（2）设()131n n n a b n n +=⋅+，n T 是其前n 项和，求n T .24．在①1，n a ，n S 成等差数列；②递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足__________，且14b a =，223b a a =-，是否存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2512a a +=，424S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由21n n n a a a ++=+，分别求出3456789,,,,,,a a a a a a a 关于12,a a 的表达式，再利用564316a a +=，即可求解【详解】由21n n n a a a ++=+可得，321a a a =+，432212a a a a a =+=+5432132a a a a a =+=+，6542153a a a a a =+=+，7652185a a a a a =+=+， 87621138a a a a a =+=+，987212113a a a a a =+=+， ∴129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，564316a a +=，21214(32)3(53)16a a a a ∴+++=，即21271716a a +=， ∴129212154342(2717)32a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+=故选：C 【点睛】关键点睛，利用递推式21n n n a a a ++=+，求得129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，再利用564316a a +=，求得21271716a a +=，进而求解，主要考查学生的数学运算能力，属于中档题2．A解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.3．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.4．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n na a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．D解析：D 【分析】当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===，当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=，则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.7．C解析：C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．9．A解析：A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=．故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.10．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--．故选B ．【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．11．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <，因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列，所以n S 的最大值为5S ，故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.二、填空题13．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了解析：101031-【分析】先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解. 【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.14．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b . 【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+，故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 15．【分析】当时有作差可求出再验证是否成立即可得出答案【详解】当时由所以—可得所以当时所以不满足上式所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法做题的关键是掌握属于中档题解析：16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 【分析】当2n ≥时，有()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-，作差可求出12n n a +=，再验证1a 是否成立，即可得出答案.【详解】当2n ≥时，由123231111212222n na a a a n ++++=+, 所以()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-， —可得()1212122n n a n n =+--=，所以1222n n n a +⋅==，当1n =时，112132a =+=，所以16a =，不满足上式，所以16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩. 故答案为： 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，做题的关键是掌握1n n n a S S -=-，属于中档题.16．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==.故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.17．【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5可得求解【详解】第一图点数是1；第二图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：【点睛】本题考查由数列的前几项求通项公式数列的前几项求通项公式的思路方法：解析：54n -【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。

上海市上宝中学选修二第一单元《数列》检测题(有答案解析)

一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（）A ．2B ．4C ．10D ．143．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥4．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =5．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项6．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（）． A ．29B ．28C ．27D ．267．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）A ．1B ．3C ．-3D ．08．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（） A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95S S =（） A ．1B ．1-C ．2D ．1210．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12=A ．40B ．60C ．32D ．5011．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（）A ．210B ．211C ．224D ．22512．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（） A ．30B ．35C ．40D ．45二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则10S =________． 14．已知正项数列{}n a ，满足()*12nn n a a n N +⋅=∈，且()20201232020321a a a a ++++<-，则首项1a 的取值范围是______．15．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.16．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________.17．牛顿迭代法（Newton 's method ）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton –Raphsonmethod ），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以上过程，直到r 的近似值足够小，即把n x 作为()0f x =的近似解.设123,,,,n x x x x 构成数列{}n x .对于下列结论：①()()()12'n n n n f x x x n f x -=-≥；②()()()1112'n n n n f x x x n f x ---=-≥；③()()()()()()12112'''n n n f x f x f x x x f x f x f x =----； ④()()()()()()()12111212'''n n n f x f x f x x x n f x f x f x --=----≥.其中正确结论的序号为__________．18．正项数列{}n a 满足222112n n n a a a -+=+，若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式为______.19．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.请从①1，②1，③1的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在.并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，若不等式4n n S a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，求实数λ的最小值.22．已知数列{}n a 是递增的等比数列且149a a +=，238a a =，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，（1）求n a 和n S ；（2）数列11n n n a S S ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式n T λ≤对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值.23．已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足的()312nn n n nb a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，162a a +=，40a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及相应的n 的值.25．已知数列{}{},n n a b 满足1231112,1,2,,n n n n na a ab b b a n N a ++++===-=∈ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：1211111,6n n N b b b ++++<∈. 26．在公差不为0的等差数列{}n a 的前10项和为65，1a 、3a 、7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a q a ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=，即2244421q q++=，解得2q =±或12q =±，又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ．【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.3．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.4．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n nnx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.5．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.6．A解析：A 【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.7．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .8．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1．∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--．故选B ．【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．9．A解析：A 【分析】利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【详解】在等差数列{a n }中，由5359a a =，得()()9955115392199555952a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．10．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．11．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===，故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．12．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =，同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，．（2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.二、填空题13．【分析】将化为两边同除以可得数列数列是等差数列进而可求出再令即可求出【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：与关系问题的求解思路根据所求结解析：111【分析】将110n n n a S S +++=化为110n n n n S S S S ++-+=，两边同除以1n n S S +，可得数列数列1{}nS 是等差数列，进而可求出n S ，再令10n =即可求出10S . 【详解】因为110n n n a S S +++=，所以110n n n n S S S S ++-+=，所以11n n n n S S S S ++-=，所以1111n nS S +-=，又11112S a ==，所以数列1{}n S 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以12(1)11n n n S =+-⨯=+，所以11n S n =+，所以10111S =. 故答案为：111【点睛】思路点睛：n S 与n a 关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：(1)利用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为只含n S ，1n S -的关系式，再求解； (2)利用1(2)n n n S S a n --=≥转化为只含n a ，1n a -的关系式，再求解．14．【分析】根据利用递推得到则数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列然后利用等比数列前n 项和公式分别求和再根据条件得到求解【详解】因为所以所以所以数列的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列所以所解析：(1,2)【分析】根据()*12nn n a a n N +⋅=∈，利用递推得到22n na a +=，则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，然后利用等比数列前n 项和公式分别求和，再根据条件得到123a a +<求解.【详解】因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以()1*212n n n a a n N +++⋅=∈，所以22n na a += 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，所以()()1010101012132019242020,12121122a a a a a a a a =--+++++=--+所以()()()2020202012320212021321a a a a a a =+++++-<-，所以123a a +<，因为()*12nn n a a n N +⋅=∈，所以212a a ⋅=，即212a a =，所以1123a a +<，即211320a a -+<，解得112a <<，故答案为：(1,2) 【点睛】方法点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明()*12,nn a q n n a -=≥∈N ；二是等比中项法，证明211n n n a a a -+=⋅.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可．15．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b .【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+，故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 16．【分析】当为奇数时可得数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时可得偶数项的特征将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可【详解】∵∴当为奇数时即数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时∴∴故答案为：解析：2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】∵121,(1)2nn n a a a +=+-=，∴当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=， ∴135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，∴1002500502550S =+=，故答案为：2550. 【点睛】关键点点睛：（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=.17．②④【分析】①②；根据过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标称是的一次近似值过点作曲线的切线则该切线与轴的交点的横坐标为称是的二次近似值重复以上过程利用归纳推理判断③；④根据①②判定的结果利用累加法判断解析：②④ 【分析】①，②；根据过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以上过程，利用归纳推理判断。

上海高二数学-数列单元测试卷

上海高二数学—数列单元测试卷 2013.10班级姓名学号一、填空题（每小题3分，共36分） 1．74lim35n n n →∞+-＝．2．将0.2•化为最简分数后，分子与分母之和为． 3．已知等比数列{}n a 中，,81,341==a a 则该数列的通项=n a ．4．计算：22342lim (21)n n n n →∞+-+= ． 5．已知数列{}n a 为等差数列，若169a a +=，47a =，则9a = ． 6．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则=15S ．7、在数列{}n a 和{}n b 中，21=a ，)(031*∈=-+N n a a n n ，n b 是n a 与1+n a 的等差中项，则=3b _________．8．已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a +=-，则通项公式n a = ． 10．设()111126121n S n n =+++++，且134n n S S +⋅=，则=n ．10．若221log (9)log ()13x x +-=，则2lim(1)n n x x x →∞+++＝．11．若数列{}n a 是等差数列，则数列na a ab n n +++=21（*∈N n ）也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有=n d 也是等比数列．12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是．二、选择题（每小题4分，共16分）13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）A 、7B 、78或C 、8D 、9 14．用数学归纳法证明22111(1)1n n x x x xx x++-++++=≠-，在验证当1n =等式成立时，其左边为……………………………………………………（）A 、1B 、1x +C 、21x x ++ D 、231x x x +++15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（）()A 11a ()B 10a ()C 9a ()D 8a16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为…………………………………（） A 、}{12+k aB 、}{13+k aC 、}{14+k aD 、}{16+k a三、解答题（8+8+9+11+12=48）17．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，6,123221-=+=+a a a a ，求 (1) {}n a 的通项公式；(2) n n S ∞→lim ．19．设在数列{}n a 中，33,2111+==+n n n a a a a ， (1) 求432,,a a a ；(2) 根据(1)猜测n a 的表达式； (3) 用数学归纳法证明上述n a 的表达式．20．据有关资料，2000年我国工业废弃垃圾达8104.7⨯吨，占地562.4平方千米。

2023-2024学年上海市黄浦区高中数学人教A版选修二第四章数列章节测试-8-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市黄浦区高中数学人教A 版选修二第四章数列章节测试(8)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 等比数列中，公比，记（即表示数列的前n 项之积），则中值最大的是（）A. B. C. D.38112. 数列的首项为3，为等差数列且，若，则（）A. B. C.D. -60-80-100-1203.已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（）A. B. C. D. 4. 等差数列的前n 项之和为，若为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是（）A. B. C. D.或4-15. 已知等比数列中，，，成等差数列，则（）A. B. C. D.6. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）1.5尺2.5尺3.5尺4.5尺A. B. C. D. a n =24﹣na n =2n ﹣4a n=2 n ﹣3a n=23﹣n7. 等比数列{a n }中，，则数列{a n }的通项公式为（）A. B. C. D. 91017188. 已知等差数列（）的前n 项和为，公差，，则使得的最大整数n 为（）A. B. C. D. 96石78石60石42石9. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米为（）A. B. C. D. 678910. 等比数列中，，公比，若，则（）A. B. C. D. 1682411. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A. B. C. D. 1920212212. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是（）A. B. C. D. 13. 已知函数，数列满足，若，则实数的取值范围是．14. 在等差数列{a n }中，首项a 1=1，公差d=2，则它的前n 项和S n = .15. 已知是等差数列的前项和，若，，则 .16. 已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则.17. 设数列的前n 项和为，已知．(1) 求数列的通项公式；(2) 求数列的前n 项的和．18. 在①，，成等差数列.② ，，成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答.在公比为2的等比数列中，______(1) 求数列的通项公式；(2) 若，求数列的前n 项和 .19. 设公差大于0的等差数列{ }的前n 项和为 .已知，且，，成等比数列.记数列的前n 项和为.(1) 求；(2) 若对于任意的n ，k恒成立，求实数k 的取值范围.20. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1 ， S 3 ， S 2成等差数列，(1) 求{a n }的公比q ；(2) 求a 1﹣a 3=3，求S n ．21. 在等差数列中，，，数列的前项和 .(1) 求数列，的通项公式；(2) 求数列的前项和 .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页共 11 页。

上海黄路学校选修二第一单元《数列》测试(答案解析)

一、选择题1．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．472．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项3．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20204．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >5．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:36．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）A ．1B ．3C ．-3D ．07．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129SS =（） A ．43B ．53C ．2D ．39．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156010．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（）A ．210B ．211C ．224D ．22511．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，则n a ＝________.14．将数列{2}n 与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =___.15．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 17．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________. 18．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________.19．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________20．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.三、解答题21．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =．（1）求n a（2）设23log n n b a =，n n n c b a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22．已知数列{}n a 满足12a =，1496n n a a n +=+-.（Ⅰ）问是否存在实数x ，y ，使得数列{}n a xn y ++是等比数列？若存在，求出x ，y的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）设1231nin i aa a a a ==++++∑，求()13ni i i a i =+∑.23．已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，111a b ==，24a =，36a b =. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记[]x 表示不大于x 的最大整数，[]x x x =-.若将数列31n n a b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前21项和记为21S ，求21S 的值.24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*214,21n n S a S n N +==+∈．数列{}nb 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且127,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若nn nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围． 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，28b =，1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T ≥，若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由.从①420S =，②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）26．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，13(1)2n n n S S n a n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项．【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =，所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个，当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个，所以45m =，故选：B ．【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．2．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.3．C解析：C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.4．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列，前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.5．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．6．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .7．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=，，121n n b b n --=-，所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===，所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ，即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出129S S 的值【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，63S S =3， ∴1165623232a d a d⨯+=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴112191112111212665298936392a dS a d S a d a d ⨯++===⨯++．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．9．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+，所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.10．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===，故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．11．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ，故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.二、填空题13．【分析】利用可求得数列的通项公式【详解】由于数列的前项和当时；当时满足因此对任意的故答案为：【点睛】易错点点睛：本题考查利用求一般利用来求解在求出通项时要注意对是否满足通项进行检验解析：65n -【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由于数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-.当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦.11a =满足65n a n =-.因此，对任意的n *∈N ，65n a n =-. 故答案为：65n -. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用n S 求n a ，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在求出通项时，要注意对1a 是否满足通项进行检验.14．【分析】首先判断出数列与项的特征从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差利用等差数列的求和公式求得结果【详解】因为数列是以2为首项以2为公差的等差数列数列是以1首项以3为公差的等差数列所以解析：23n n +【分析】首先判断出数列{2}n 与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{2}n 是以2为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以4为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和2(1)4632n n n S n n n -=⋅+⋅=+，故答案为：23n n +. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于中档题.15．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ，所以第n +1个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=，即数列{n a }是首项为15a =，公比为2的等比数列，152n n a -∴=⋅，数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212n n nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5016．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+，当2n ≥时，1121n n a S --=+，两式相减，得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.17．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求解析：50【分析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===.故答案为：50. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为：解析：n a n =【分析】令1n =，由()2*1122n n n S a a n =+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】由题意可得：当1n =时，211111122a S a a ==+，所以11a =，当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，所以()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221111112222n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =. 故答案为：n a n = 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.19．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.20．14【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档题解题时解析：14 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<，又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<，所以130S >，140S <，150S <，当<0n S 时n 的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题21．（1）2n n a =；（2）13(1)26n n T n +=-⋅+【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件24a =，532a =，可得1,a q ，即可求得n a ；（2）由（1）知3n b n =，23nn c n =⋅，利用错位相减法即可求数列{}n c 的前n 项和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由已知24a =，532a =，可得141432a q a q =⎧⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -== （2）由（1）知223log 3log 23nn n b a n ===，23n n c n =⋅12336222293n n T n =+++⨯+∴⨯⋅⨯ ①2341236922223n n T n +=++++⋅⨯⨯⨯ ②①-②得：12312223333232n n n T n +=++++-⨯⨯⋅-⨯⨯()111231122222223331232n nn n n n +++-=++++-⋅=-⋅⨯⨯-()11122332n n n ++=--⋅⨯()13126n n +=⨯-⋅-13(1)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法：（1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法.22．（Ⅰ）存在，3x =，1y =-；（Ⅱ）1(31)441(1)92n n n n +-⋅+++.【分析】（Ⅰ）直接利用存在性问题的应用和等比数列的性质的应用建立等量关系，进一步求出x 和y 的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【详解】（Ⅰ）假设存在,x y R ∈，则对任意*n ∈N ，1(1)n n a x n yq a xn y++++=++（常数）由96449644n n n n x x y a n a n xn x y q a xn y a xn y++-⎛⎫++ ⎪+-+++⎝⎭==++++，得9,464x x x y y +⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩即3,1x y =⎧⎨=-⎩由3x =，1y =-代入验证知数列{}n a xn y ++是首项为4，公比为4的等比数列，故存在实数x ，y ，使得数列{}n a xn y ++是等比数列，且3x =，1y =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）得131444n n n a n -+-=⋅=，431n n a n =-+，因为()()343134iii i a i i i i i i +=-++=⋅+所以()()()()()123131412423434nn ii i a i n n =+=⋅++⋅++⋅+++⋅+∑，()1231424344(123)n n n =⋅+⋅+⋅++⋅+++++，(1)2n n n S +=+，其中1231142434(1)44n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，（1）所以23414142434(1)44n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，（2）由（1）-（2）得()12311414344444414n n n n n S n n ++--=++++-⋅=-⋅-，所以1(31)449n n n S +-⋅+=，故所求()11(31)4413(1)92n ni i n i a i n n +=-⋅++=++∑. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点在于数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，利用等比数列的定义求x ，y ,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．（1）14n n a -=；32n b n =-；（2）14. 【分析】（1）由题意得等比数列{}n a 的公比为4q =，等差数列{}n b 的公差3d =，进而得14n n a -=，32n b n =-；（2）由（1）得31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而利用裂项相消求和法得21214S =，故2114S =. 【详解】解：（1）因为11a =，24a =，所以公比4q =，则{}n a 的通项公式为14n n a -=.又因为11b =，6316b a ==，所以公差161361d -==-，则{}n b 的通项公式为()13132n b n n =+-=-. （2）因为31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以2116111111612111344761643644S ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故21212121154444S ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，裂项相消求和法，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于正确的使用裂项得31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而根据裂项相消求和即可得21S ，最后根据定义计算即可.24．（1）13-=n n a ，43n b n =-；（2）9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，. 【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得{}n a ，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）利用错位相减法求出()34391223nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易得92n T <，进而可得结果. 【详解】（1）∵()*121n n a S n N+=+∈，当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减化简可得：13n n a a +=, 即数列{}n a 是以3为公比的等比数列，又∵24S =，∴1134a a +=，解得14a =，即13-=n n a ，设数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，∵127,,b b b 成等比数列，∴()()21161d d ⨯+=+，解得4d =或0d =（舍去），即43n b n =-， ∴数列{}n a 和{}n b 的通项公式为13-=n n a ，43n b n =-. （2）由（1）得1433n n n n b n c a --==， ∴()0121111159433333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111594333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：()1212111114444333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13433nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴()34391223nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即有92n T <恒成立， n T m <恒成立，可得92m ≥，即m 的范围是9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 25．答案见解析【分析】设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，将13,b b 用2,b q 表示，建立q 的方程，求解得出4b ，即为1a ，选①或②或③，均可求出等差数列的公差，进而求出n S ，从而得出1nS ，最后利用裂项相消法求出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和k T ，然后求解不等式34kT ≥，即可求出k 的最小值. 【详解】解：由题可知，28b =，1334b b -=，设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则218b b q q==，328b b q q ==，于是8384q q -⨯=，即2620q q +-=，解得：12q =，23q =-（舍去），所以22421822b b q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，若选①：则142a b ==，420S =，则41434202S a d ⨯=+=，解得2d =，所以()21222n n n S n n n -=+⨯=+，则()111111n S n n n n ==-++，于是121111111111122311k k T S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令13114k -≥+，解得：3k ≥，因为k 为正整数，所以k 的最小值为3；若选②：则142a b ==，332S a =，则()311323222S a d a d ⨯=+=+，解得：12a d ==，下同①；若选③：则142a b ==，3423a a b -=，则()()113238a d a d +-+=，解得：43d =，于是()2142422333n n n S n n n -=+⨯=+，则()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭，于是3111111114324112k T k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311114212k k ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭93118412k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，令34k T ≥，即9311384124k k ⎛⎫-+≥ ⎪++⎝⎭，得111122k k +≤++，得240k k --≥，所以12k +≥或12k ≤，又因为k 为正整数，解得：3k ≥，所以k 的最小值为3.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的基本量的计算、等差数列的前n 项和以及利用裂项相消法求数列和，解题的关键在于熟练掌握等差等比和数列相关公式以及裂项相消法求和，考查计算求解能力.26．（1）3n n a n n =⨯-；（2）1(21)3344n n n T +-=+.【分析】（1）由13(1)(2)n n n S S n a n +=+++整理可得1321n n a a n n +=⨯++；进而得到1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出其通项，从而求得结论；（2）利用第一问的结论，求得数列{}n b 的通项，再结合错位相减法即可求得结论．【详解】解：（1）由题知113(1)2n n n n a a S S n n ++⎛⎫=-=++⎪⎝⎭，即1321n n a a n n +=⨯++，即11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，∵11a =，∴1130a +=≠，∴10n a n +≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列， ∴13n n a n+=，∴3n n a n n =⨯-；（2）由（1）知，3n n b n =⨯，∴221323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， ① ∴23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯， ②①-②得，()12311313(12)3323333331322n n n n n n n T n n +++---=++++-⨯=-⨯=--， ∴1(21)3344n n n T +-=+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

上海民办杨浦实验学校选修二第一单元《数列》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．472．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+3．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 4．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:35．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项6．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（） A ．376B ．382C ．749D ．7667．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（） A ．9B ．10C ．12D ．138．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．174B ．184C ．188D ．16011．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题13．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.14．若数列{a n }为单调递增数列，且212n na n λ=-+，则a 3的取值范围为__________.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________.16．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =_______.18．中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.则总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率是_____. 19．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．20．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式；（2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S . 22．在数列{}n a 中，已知114a =，(),m t m t a a a m t +++=⋅∈∈N N ，1423log n nb a +=，（n ∈+N ）（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ． 23．对于任意的*n N ∈，数列{}n a 满足1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 24．设数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，n *∈N .记11n nb a =-，n *∈N . （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设32nna n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足不等式12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++⎪⎝⎭的正整数n 的集合.25．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：12113b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列；（2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.26．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10=110，且a 2，a 4，a 8成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n b a a =-+，求数列{b n }的前n 项和T n .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项．【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =，所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个，当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个，所以45m =，故选：B ．【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．2．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.3．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.4．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．5．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.6．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题7．A解析：A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=．故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，()()n a f n n N *=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n N *=∈得数列{}n a∴()633,7,7n n a n n a a n -⎧--≤=⎨>⎩()n N *∈且数列{}na 为递增数列，得()230,1,733,a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--<⎩解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.10．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ，故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】先根据题意得由于数列是以为首项为公比的等比数列进而利用分组求和法求和即可得答案【详解】解：由等比数列的前项和公式得由于数列是以为首项为公比的等比数列设的前项和则故答案为：【点睛】本题考查等比解析：3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】解：由等比数列的前n 项和公式得()13141121818211212n n nn n a q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，设{}n S 的前n 项和n T ，则31412188812881212n nn nT n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出382n n S -=-，再结合数列{}32n -是以4为首项，12为公比的等比数列，再次求和即可. 14．(-∞6)【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8再求a3的取值范围【详解】当n≥2时因为数列{an}为单调递增数列所以对n≥2(n ∈N)恒成立即λ＜2n+1对n≥2(n ∈N)恒成立所以λ＜8所以故a3解析：(-∞，6) 【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8，再求a 3的取值范围. 【详解】当n ≥2时，1121(23)2222n n nn n a a n n λλλ---=-+--+=-，因为数列{a n }为单调递增数列，所以202nλ->对n ≥2(n ∈N )恒成立，即λ＜2n +1对n ≥2(n ∈N )恒成立，所以λ＜8，所以3568a λ=+<，故a 3的取值范围为(-∞，6). 故答案为：(-∞，6). 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是如何转化数列单调递增，转化数列的单调性一般利用单调性的定义即10(2,)n n a a n n N -->≥∈.转化出了数列的单调性，后面就容易解答.15．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+，当2n ≥时，1121n n a S --=+，两式相减，得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.16．【解析】分析：当时求得；当时类比写出由求出再将代入检验即可求出答案详解：当时当时由得两式相减将代入上式通项公式为故答案为点睛：本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法其求解过程分为三步：（解析：0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案. 详解：当1n =时，110a S ==当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+，两式相减，145n n n a S S n -=-=-，将1n =代入上式，110a =-≠， ∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．17．【分析】用代入已知等式得变形可得说明是等差数列求其通项公式可得的值【详解】整理可得则即所以是以为公差的等差数列又则故答案为：【点评】本题考查数列递推式考查等差数列的判定训练了等差数列通项公式的求法是解析：2020-【分析】用11n n n a S S ++=-，代入已知等式，得11n n n n S S S S ++-=⋅，变形可得1111n nS S +-=-，说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求其通项公式，可得20191S 的值.【详解】11n n n a S S ++=-，1111111n n n n nS S a S S ++⎛⎫∴-== ⎪-⎝⎭，整理可得11n n n n S S S S ++-=⋅，则111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即1111n nS S +-=-，所以，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为公差的等差数列，又11112S a ==-， ()()()12111nn n S ∴=-+-⋅-=-+，则201912020S =-. 故答案为：2020-. 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.18．【分析】构造等差数列求得比赛场次再利用概率公式即可求得结果【详解】根据题意每场比赛的没票收入构成首项为公差为的等差数列设该数列为即可得由可得或（舍）故该比赛共比赛了场前场比赛比分是且第6场比赛是领先解析：516【分析】构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，每场比赛的没票收入，构成首项为500，公差为100的等差数列，设该数列为{}n a ，即可得1500a =，100d =，由4500n S =，可得6n =或15n =-（舍），故该比赛共比赛了6场，前5场比赛比分是2:3，且第6场比赛是领先队获胜.故其概率为53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：516. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和基本量的计算，以及n 次独立重复试验的概率求解，属综合中档题.19．【分析】由递推公式可得即以为首项为公比的等比数列根据等比数列的通项公式求出的通项公式即可得解；【详解】解：因为所以即所以以为首项为公比的等比数列所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通解析：1231n -⨯-【分析】由递推公式可得()1131n n a a ++=+，即{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出{}1n a +的通项公式，即可得解；【详解】解：因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+ 所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯ 所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯- 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.20．5【分析】设偶数项和为则奇数项和为由可得的值根据公差求得结果【详解】设偶数项和为则奇数项和为由可得故公差故答案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质得到公差是解题的关键解析：5 【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k += 可得k 的值，根据公差32276k kd -=求得结果．【详解】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =，故公差32275566k k kd -===，故答案为：5．【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键．三、解答题21．（1）()*112n n a n -=∈N ；（2）137142n n n S -+=-. 【分析】（1）令1212x x ==，求出102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而可得11a =，再有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得12n n a a +=，利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由1312n n n n a b -+=，利用错位相减法即可求解. 【详解】解：（1）令1212x x ==，则()111122f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11112a f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∵1111111111112*********n n n n n n n a f f f f a +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴112n n a a +=，∴{}n a 为以1为首项，12为公比的等比数列，∴()*112n n a n -=∈N . （2）∵1312n n n n a b -+=， ∴21471031S 1222n n n -+=++++①，由①12⨯，得23147103122222n nn S +=++++②，由①-②，得21133331422222n n n n S -+=++++- 1131374317222n n nn n -++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭， ∴137142n n n S -+=-. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与数列的综合，解题的关键是根据关系式求出()*112n n a n -=∈N ，考查了计算能力. 22．（1）14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-；（2）232334n n n s +=-⨯. 【分析】（1）令,m n =1t =，可得数列{}n a 是等比数列，即可求出通项公式，进而求出n b ；（2）利用错位相减法可求出. 【详解】（1）令,m n =1t =，则11n n a a a +=⋅，114n n a a +∴=，114a =，∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；（2）由（Ⅰ）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()*32nb n n N=-∈，则()1324nn c n ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭， ()2311111+4+7++324444nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()234+1111111+4+7++3244444n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()234+13111111+3+3+3++3324444444nn n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1+1+131116411132+321442414n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⨯=- ⎪⎝⎭-，232334n nn S +∴=-⨯．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 23．（1）7,121,2n n n a n n =⎧=⎨++≥⎩；（2）217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得结果；（2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，分组后利用等差等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】（1）1212121212121n na n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++①，当2n ≥时，得()112121112212121n n a n a a n ------++⋅⋅⋅+=+++②. ①-②得121n na n -=+，∴()212nn a n n =++≥，又11112721a a -=⇒=+不满足上式，综上得7,121,2n nn a n n =⎧=⎨++≥⎩. （2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，23722123121nn S n =++++++++++()()()()212121271122n n n n ---+=+++--213222n n n +++=+，综上得，217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【点睛】易错点点睛：第一问利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，容易忽视1n =的情况造成错误；第二问求和是也容易忽视1n =的情况. 24．（1）证明见解析；（2）{}1,2,3. 【分析】（1）利用112n na a +=-证明出1n n b b +-是常数，进而可证明出数列{}n b 为等差数列；（2）求得132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出33291122nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设3322nt ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，可得出不等式221190t t -+<，解出t 的取值范围，由此可得出符合条件的正整数n 的值.【详解】（1）数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，则211122a a ==-，321223a a ==-，依次类推可知，对任意的n *∈N ，2n a ≠，()1121111111112111111122n n n n n n n n nn na b b a a a a a a a a ++--∴-=-=-=-==----------，所以，数列{}n b 是等差数列，且首项为11111b a ==-，公差为1， ()11111n n b n n a ∴==+-⨯=-，解得1n n a n-=；（2）132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1123n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，11332232nn n n c c +-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为等比数列，同理可知，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，则1233132223212nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==⋅- ⎪⎝⎭-， 12321111123332313nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==-⋅ ⎪⎝⎭-，由12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭可得23912232n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅->⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，32291123nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设32nt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N *∈，则32t ≥，可得9211t t +<，整理可得221190t t -+<，解得912t <<，即39122n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n N *∈，所以，正整数n 的集合为{}1,2,3.【点睛】方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法：（1）定义法：证明1n n a a +-为常数；（2）等差中项法：对任意的n *∈N ，证明出122n n n a a a ++=+. 25．（1）证明见解析；（2）21n a n =-，113n n b -=．【分析】（1）利用等比数列的定义证明；（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求n a ，由累加法求n b ．【详解】（1）因为21340n n n b b b ++-+=，所以2111()3n n n n b b b b +++-=-，又21203b b -=-≠，所以21113n n n n b b b b +++-=-，*n N ∈，所以数列{}1n n b b +-是等比数列；（2）2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又111a S ==适合上式，所以21,*n a n n N =-∈，由（1）112133n n n b b -+⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，所以，2n ≥时，212132122121()()()133333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-+-⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121133111313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+= ⎪⎝⎭-．又11b =，所以113n n b -=．【点睛】易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由n S 求n a ，累加法求数列的通项公式．在由n S 求n a 时要注意公式1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =，求法不相同，易出错，同样在用累加法求通项公式时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-，括号中的各项成等比数列，这里不包含1b ．要特别注意首项． 26．（1）2n a n =；（2）21nn + 【分析】（1）根据题中条件求出数列{}n a 的首项和公差，即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设{}n a 的公差为()0d d ≠，则10110910+1102S a d ⨯==，即12+922a d = ①， a 2，a 4，a 8成等比数列，2428a a a ∴=，即()()()2111+3++7a d a d a d =，即1a d =②，联立①②，解得12a d ==， ()2+122n a n n ∴=-⨯=；（2）()()11111(1)(1)212122121n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭， 1112121111111+++1233522121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=--== ⎪ ⎪+⎝---+⎭⎝+⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。

上海松江区第七中学选修二第一单元《数列》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（）. A ．8B ．9C ．11D ．102．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，*,n N ∈.若564316a a +=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．16B ．28C ．32D ．483．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥4．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =5．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（）A ．102B ．203C ．204D ．2058．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列； ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列；③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a a b b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165D ．511010．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156012．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，1351a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则246a a a ++的取值范围是________ 14．已知数列{}n a 满足11a =，1122n n n a a n n++=++，则8a =_________. 15．定义：称12nn p p p +++为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 16．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________.17．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.18．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______.20．给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1个；1(2)0x x --≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.三、解答题21．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nnn a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.22．设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n n S na n -=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若0n a >且数列{}n S 也为等差数列，试求102lim n n nS a +→∞=的的值；（3）设1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立，求证：存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立.23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n n b a a n +=-+，记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .求证：43n T <，*n N ∈. 24．已知数列{}n a 满足()2123*n a a a a n n N +++⋅⋅⋅+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1141n n n n nb a a -+=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值． 25．已知正项等比数列{}n a 满足2139nn a +=⋅，3log n n b a =，且n b ，n c ，4n +成等差数列.（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前100项和100T .26．设数列}{n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，n *∈N . （1）求通项公式n a ；（2）求数列}{2n a n --的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ，令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=，即11322n n a a +=-+，即()11112n n a a +-=--，又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列， 11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，则111632170n n S --=⨯<，即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭，又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=，即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.2．C解析：C 【分析】由21n n n a a a ++=+，分别求出3456789,,,,,,a a a a a a a 关于12,a a 的表达式，再利用564316a a +=，即可求解【详解】由21n n n a a a ++=+可得，321a a a =+，432212a a a a a =+=+5432132a a a a a =+=+，6542153a a a a a =+=+，7652185a a a a a =+=+， 87621138a a a a a =+=+，987212113a a a a a =+=+， ∴129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，564316a a +=，21214(32)3(53)16a a a a ∴+++=，即21271716a a +=， ∴129212154342(2717)32a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+=故选：C 【点睛】关键点睛，利用递推式21n n n a a a ++=+，求得129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，再利用564316a a +=，求得21271716a a +=，进而求解，主要考查学生的数学运算能力，属于中档题3．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.4．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n nx x +-＝33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.5．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.6．B解析：B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.7．C解析：C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

上海松江区第四中学选修二第一单元《数列》检测(含答案解析)

一、选择题1．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+2．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（）． A ．29B ．28C ．27D ．263．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ4．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（） A ．259B ．145 C ．3111D ．1765．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项6．n S 是数列{}n a 前n 项的和，且满足11a =，12n n a S +=，则下列说法正确的是（） A ．{}n a 是等差数列B ．{}n a 中能找到三项p a 、q a 、r a 使得p q r a a a =C ．{}n a 是等比数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和74nT < 7．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列； ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列； ③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列；④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129SS =（） A ．43B ．53C ．2D ．310．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95S S =（） A ．1B ．1-C ．2D ．1211．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32D ．5012．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞二、填空题13．已知递增数列{}n a 共有2020项，且各项和均不为零，20202a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2020S =______．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41S =，83S =，则12S =______．15．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项n T =________．16．已知数列{}n a 的首项11a =，函数321()(cos)2n n n f x x a a x π+=+--为奇函数，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为__.17．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．18．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式为______． 19．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，29a =，且3a 是1a 和4a 的等比中项，则数列{}n a 的前10项和10S =________.20．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n n S a =-，()*323log 1n n b a n N=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.22．在①535S =，②122114b b S -=，③35S T =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列{}n a 的公差是等差数列{}n b 的公差的两倍，设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，且13a =，23T =，________，设2n b n n c a =⋅，求{}n c 的前n 项和n A .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，162a a +=，40a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及相应的n 的值.24．在数列{}n a 中，已知11a =，121n n a a n +=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，求数列{}n b 的前20项和20T ．25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a An Bn +=++．且11a =，232a =．（1）求证：数列{}1n a n -+是等比数列并求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n b a n =-+，求数列()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T ，若对任意n 都有n T m >，求实数m 的取值范围．26．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项.（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=，2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.2．A解析：A 【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.3．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立，∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 4．B解析：B 【分析】由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解. 【详解】由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式；对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.5．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.6．D解析：D 【分析】由n S 与n a 的关系可求得数列{}n a 的通项公式，可判断A 、C 选项的正误；设r q p >>，假设结论成立，利用数列{}n a 的单调性、通项公式以及数的整除性可判断B 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断D 选项的正误；【详解】当1n =时，211222a S a ===；当2n ≥时，由12n n a S +=可得12n n a S -=，两式相减得12n n n a a a +=-，所以，13n n a a +=，且2123aa =≠，所以，数列{}n a 从第二项开始成以3为公比的等比数列，则222323n n n a a --=⋅=⨯，所以，21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，A 、C 选项错误；由题意可知，数列{}n a 为单调递增数列，设p q <，若在数列{}n a 中能找到三项p a 、q a 、r a 使得p q r a a a =，则r q p >>且p 、q 、r N *∈，若1p =，则p r a a =，这与数列{}n a 单调递增矛盾；若2p ≥，则224323292p q p q p q a a --+-=⨯⨯⨯=⨯，232r r a -=⨯，由p q r a a a =，可得42322p q r +--⨯=，由于432p q +-⨯能被3整除，22r -不能被3整除，故B 选项错误；21,111,223n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⨯⎩，11T =；当2n ≥时，122111111113137231111112232323434413n n n n T ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++++=+=+-<+= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-.故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含n a 与n S 的关系的数列题均可考虑上述公式．7．D解析：D 【分析】结合等比数列、等差数列的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值，故{}1n n a a ++是等差数列，即①正确；对于②，设等比数列{}n a 的公比为q ，则12111n n n n n n n n a a a q a qq a a a a +++++++==++为定值，故{}1n n a a ++是等比数列，即②正确；对于③，等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为111S a =，设公差为d ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为nS n=()11a n d +-，所以()11n S na n n d =+-，则2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-，由1a 符合()121n a a n d =+-，可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-，则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值，即{}n a 是等差数列，故③正确；对于④，设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()()211231111n n n T a a a a a a q a qa q -===()12311n n aq++++-()121n n n a q-=，所以()()12122211n n nnn n n T a q a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()()2112221211n n n n n n a q q a q T T ----==为定值，即()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由()()633,7,,7.x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，()()n a f n n N *=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩ 令()()n a f n n N *=∈得数列{}n a∴()633,7,7n n a n n a a n -⎧--≤=⎨>⎩()n N *∈且数列{}na 为递增数列，得()230,1,733,a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--<⎩解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出129S S 的值【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，63S S =3， ∴1165623232a d a d⨯+=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴112191112111212665298936392a dS a d S a d a d ⨯++===⨯++．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．10．A解析：A 【分析】利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【详解】在等差数列{a n }中，由5359a a =，得()()9955115392199555952a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．11．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．12．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．2021【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果【详解】解：因为递增数列共有2020项且各项均不为0所以所以若则与是数列中的项矛盾所以所以即对上式累加得所以故答案为：2021【点睛解析：2021 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果．【详解】解：因为递增数列{}n a 共有2020项，且各项均不为0，20202a =，所以12201920202a a a a <<⋯<<=，所以2020201920202018202010a a a a a a <-<-<<-，若10a <，则202012a a ->，与20201a a -是数列{}n a 中的项矛盾，所以10a >，所以202020191202020182202012019,,,a a a a a a a a a -=-=-=，即20191201821201920202a a a a a a a +=+==+==，对上式累加，得202022019222S =⨯+⨯，所以20202021S =．故答案为：2021．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．14．7【分析】根据等比数列的片段和性质列出对应等式求解出的值【详解】由等比数列片段和的性质可知：成等比数列故故答案为：【点睛】本题考查等比数列前项和的性质难度一般已知为等比数列的前项和则成等比数列（当且解析：7 【分析】根据等比数列的片段和性质，列出对应等式求解出12S 的值. 【详解】由等比数列片段和的性质可知：4S ，84S S -，128S S -成等比数列，故()()2121213317S S ⨯-=-⇒=，故答案为：7. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，难度一般.已知n S 为等比数列的前n 项和，则232,,,......n n n n n S S S S S --成等比数列（当且仅当1q ≠-或n 为奇数）.15．【分析】首先利用求出的通项即可得【详解】∵∴当时；当时又当时符合上式∴∴∴当是偶数时当是奇数时∴∴数列的前项和故答案为:【点睛】本题主要考查了已知求考查了奇偶并项求和属于中档题解析：()1nn -【分析】首先利用2n S n =求出{}n a 的通项，即可得()()121nn b n =--.【详解】∵2n S n =，∴当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，又当1n =时，11a =符合上式，∴21n a n =-， ∴()()()1121nnn n b a n =-=--，∴()()135791113121nn n T =-+-+-+-+-+-当n 是偶数时，22n nT n =⨯=，当n 是奇数时，()1122n n T n -=-+-⨯=-， ∴()1nn T n =-，∴数列{}n b 的前项和()1nn T n =-．故答案为: ()1nn - 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，考查了奇偶并项求和，属于中档题.16．1010【分析】利用是奇函数推出推出函数的周期然后转化求解即可【详解】解：因为是奇函数所以如此继续得故答案为：1010【点睛】本题考查数列的函数的特征数列的周期性的应用考查转化思想以及计算能力是中档题解析：1010. 【分析】利用()f x 是奇函数，推出1cos 2a n n a a π+=+，推出函数的周期，然后转化求解即可. 【详解】解：因为()f x 是奇函数，()()f x f x -=-，所以1(cos)02n n n a a π+-+=，1cos 2a n n a a π+=+， 11a =，21cos 12a a π=+=，322cos02a a π=+=， 433cos 02a a π=+=，如此继续，得4n n a a +=.20201234505()50521010S a a a a =+++=⨯=. 故答案为：1010. 【点睛】本题考查数列的函数的特征，数列的周期性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.17．【分析】由递推公式可得即以为首项为公比的等比数列根据等比数列的通项公式求出的通项公式即可得解；【详解】解：因为所以即所以以为首项为公比的等比数列所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通解析：1231n -⨯-【分析】由递推公式可得()1131n n a a ++=+，即{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出{}1n a +的通项公式，即可得解；【详解】解：因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+ 所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯- 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.18．【分析】根据累加法求通项公式即可【详解】解：因为所以所以……累加得：由于所以显然当时满足所以故答案为：【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式数列前项和公式考查数学运算能力是中档题解析：2n a n =【分析】根据累加法求通项公式即可. 【详解】解：因为121n n a a n +=++，所以121n n a a n +-=+，所以()1211n n a a n --=-+，()12221n n a a n ---=-+， ()23231n n a a n ---=-+，……21211a a -=⨯+，累加得：()()211=212112112n n n a a n n n n --++-+-=⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，*2,n n N ≥∈，由于11a =，所以2n a n =，*2,n n N ≥∈ 显然当1n =时，11a =满足2n a n =，所以2n a n =，*n N ∈. 故答案为：2n a n =【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，数列前n 项和公式，考查数学运算能力，是中档题.19．【分析】设等差数列的公差为根据题中条件列出有关的方程组可求出的值计算出的值【详解】在等差数列中由是和的等比中项得解得所以故答案为；【点睛】本题考查等比中项的运用与等差数列的基本量的求解以及求前项和考解析：15-【分析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据题中条件列出有关1a 、d 的方程组，可求出1a 、d 的值，计算出10S 的值.【详解】在等差数列{}n a 中，由29a =，3a 是1a 和4a 的等比中项，得()()121119230a d a d a a d d +=⎧⎪+=⋅+⎨⎪≠⎩，解得112a =，3d =-. ()()21133271212222n n n d S na n n n n n -=+=--=-+，所以21032710101522S =-⨯+⨯=-. 故答案为15-；【点睛】本题考查等比中项的运用与等差数列的基本量的求解以及求前n 项和，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.三、解答题21．（1）32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31n b n =+；（2）3136λ<.【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 是等比数列，（10a ≠），得通项公式n a ，从而也得到n b ；（2）作差1n n c c +-，由10n n c c +->恒成立转化为13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立，引入()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，从作商法求得{()}f n 的最小值即可得λ的范围．【详解】解：（1）当1n =时，1133S a =-，∴132a =，当2n ≥时，()113333n n n n S S a a ---=---，即133n n n a a a -=-，∴132n n a a -=，又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列.∴1333222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 332233log 13log 1312nn n b a n ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭.（2）()23312nn c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为数列{}n c 为递增数列， ∴()()()122133133431181502222n n nn n c c n n n λλλ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对*n N ∀∈恒成立，即13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立设()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，()min f n λ<，()()()1133181511815222183318331322n n n f n n f n n n +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⋅=++⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()11f n f n +>，则1821n >， ∴当n 2≥时，()()1f n f n +>；当1n =时，()()21f f <. ∴()()min 32136f n f ==，即λ的取值范围为3136λ<. 【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当n a 为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值． 22．选择见解析；1(21)22n n A n +=-+.【分析】根据条件设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ，若选择条件①根据535S =，列式求d ，再代入数列{}n b 的基本量的计算，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式，若选择条件②根据条件，解出数列{}n b 的基本量1b 和d ，以及求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，若选择条件③根据条件35S T =，以及13a =，23T =，组成方程组，求1b 和d ，这三个条件都根据基本量表示数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并得到(21)2nn c n =+，利用错位相减法求和.【详解】不妨设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ，方案1：选条件①由题意得，123b d +=，54352352d ⨯⨯+⨯=，解之得，11b =，1d =，则12(1)21,n n a a n n b n =+-=+=，则(21)2nn c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.方案2：选条件②由题意得123b d +=，()114(62)b b d d d +=+，解得11b =，1d =或13b =，3d =-（舍去），则12(1)21n a a n n =+-=+，n b n =，则(21)2nn c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.方案3：选条件③由题意得，2335a b =，即()()113252a d b d +=+，化简得，1549b d +=，212123T b b b d =+=+=，联立方程组得，11b =，1d =，则{}n a 的公差为2，{}n b 的公差为1，12(1)21n a a n n =+-=+，n b n =，则(21)2n n c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.【点睛】本题考查数列基本量计算，错位相减法求和，是一道结构不良题型，属于基础题型. 方法点睛：一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.23．（1）28n a n =-+；（2）当3n =或4时，n S 最大，最大值为12. 【分析】（1）本题首先可设公差为d ，然后根据162a a +=得出1252a d +=，根据40a =得出130a d +=，最后通过计算即可求出d 、1a 的值以及数列{}n a 的通项公式；（2）本题首先可根据0d <得出数列{}n a 是递减数列，然后根据当4n >时0n a <以及当04n <<时0n a >即可求出n S 的最大值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为162a a +=，所以1252a d +=，因为40a =，所以130a d +=，联立1125230a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得2d =-，16a =，故62128na n n .（2）因为数列{}n a 是等差数列，20d =-<，所以数列{}n a 是递减数列，因为40a =，当4n >时，0n a <；当04n <<时，0n a >，所以当3n =或4时，n S 取最大值，()()34441462122S S ⨯-==⨯+⨯-=.【点睛】方法点睛：求数列通项公式的常见方法有：公式法、n S 与n a 关系法、累加法、累乘法、构造法，考查计算能力，是中档题. 24．（1）()2*n a n n =∈N ；（2）202041=T ．【分析】（1）由累加法结合等差数列的前n 项和公式即可得解；（2）转化条件为11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法运算即可得解. 【详解】（1）因为121n n a a n +=++，所以121n n a a n +-=+，所以213a a -=，325a a -=，⋅⋅⋅，()1212n n a a n n --=-≥，以上各式相加可得()()211321352112n n n a a n n -+--=++⋅⋅⋅+-==-，又11a =，所以()22n a n n =≥，显然11a =符合上式，所以()2*n a nn =∈N ；（2）由（1）知2n a n =，所以()()21111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭．所以12111111123352121n n T b b b n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭，所以202020220141T ==⨯+．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是要注意裂项相消法的适用条件及用法.25．（1）证明见解析；1112n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（2）16m <．【分析】(1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围．【详解】解：分别令12n =、，代入条件，得121212421a A B a a A B =++⎧⎨+=++⎩ 又11a =，232a =，解得12A =，12B =． ∴211122n n a S n n +=++， 2n ≥时，21111(1)(1)122n n a S n n --+=-+-+， ∴1112(21)22n n a a n n --=-+=， ∴12n n a a n -=-，∵11110a -+=≠， ∴1111(1)12222n n n n a n a n a n a n --+-+==--+-+（常数）． ∴{}1n a n -+为等比数列且首项为1，公比为12， ∴1112n n a n -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴1112n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（2）1211n n n b a n --+== ∴()()()()11112111121212121n n n n n n n n b b b ---+==-++++++ ∴0112231111111112121212121212121n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11221n =-+ 又∵n T 在*n N ∈递增， ∴1n =时，()111236n min T =-=． ∴16m <．【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．26．（1）n a n =；（2）21n n +. 【分析】（1）由11a =，且139,,a a a 成等比数列，列方程求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案；（2）结合（1）利用等差数列的求和公式求得2121121n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法可得答案.【详解】（1）设公差为,0d d ≠，由11a =，且139,,a a a 成等比数列，则1218112d d d++=+ 解得：1d =或0d =(舍去)， ()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=，故{}n a 的通项n a n =.（2）n a n =，则()2122n n n n n S ++== 所以：()212211211n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ 11111212231n T n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 11211n n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ 1121n n +-⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 21n n =+ 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。

上海洞泾学校选修二第一单元《数列》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．数列{}n a 中，112a =，()*,m n m n a a a m n +=∀∈N ，则6a =（） A ．116B ．132C ．164D ．11282．若数列{}n a 满足12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（） A ．12B ．2C ．3D ．233．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（） A ．13B ．25C ．23D ．324．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（） A ．92B ．102C ．8182D ．1125．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+7．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:38．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞09．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（） A ．511B ．513C ．1025D ．102410．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4nS S ≤，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前项和n T 为（） A ．310(103)nn -B ．10(103)nn -C ．103nn-D ．10(133)nn -11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66(S a = ) A ．6332B ．3116C ．12364 D ．12712812．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．1560二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n *∈N 时，1n n S S -的最大值与最小值之和为_________.14．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n *∈N ），且12a =，则{}n a 的公差为______．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．16．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．17．等差数列{}n a 中，若15939a a a ++=，371127a a a ++=，则数列{}n a 前11项的和为__________．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为_____________.19．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}-n a kn 的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围为________.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则789a a a ++=________.三、解答题21．设等差数列}{n a 的公差为0d >，n *∈N .且满足3616a a +=，4563a a ⋅=. （1）求数列}{n a 的通项公式. （2）记数列11n n n b a a +=，求}{n b 的前n 项和n T . 22．已知{}n a 是首项为19，公差为2-的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .23．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设+14n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．设数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，n *∈N .记11n nb a =-，n *∈N . （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设32nna n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足不等式12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭的正整数n 的集合.25．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =．（1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式；（2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++=-=．（1）证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】由,m n 的任意性，令1m =，可得112n n a a +=，即数列{}n a 是首项为12，公比为12得等比数列，即可求出答案. 【详解】由于*,m n ∀∈N ，有m n m n a a a +=，且112a = 令1m =，则1112n n n a a a a +==，即数列{}n a 是首项为12，公比为12得等比数列，所以111111222n n n n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故6611264a ⎛⎫==⎪⎝⎭ 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，解题的关键是特殊值取法，由,m n 的任意性，令1m =，即可知数列{}n a 是等比数列，考查学生的分析解题能力与运算能力，属于一般题.2．C解析：C 【分析】先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】因为12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），所以23132a a a ==，34231232a a a ===， 453112332a a a ===， 564123132a a a ===，67523213a a a ===，7862323a a a ===，，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，所以20183366223a a a ⨯+===，故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；（2）根据规律判断出数列的周期；（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果.3．C解析：C 【分析】设等比数列的公比为q ，进而根据题意得()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，从而解得13q =，故223a =【详解】解：设等比数列的公比为q ，显然1q ≠，由于等比数列{}n a 中，12a = 所以等比数列{}n a 的前n 项和为：()()112111n n n a q q S qq--==--，因为无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，所以()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，所以231q =-，解得13q =，所以2123a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，进而根据极限得13q =，考查运算求解能力，是中档题. 4．B解析：B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项．【详解】解：由题意，可知：21112n n n na a a a +++=．令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴1211322aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n na a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．D解析：D 【分析】当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解.由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===，当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=，则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.7．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．8．A解析：A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.9．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠，所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.10．B解析：B 【分析】根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T . 【详解】依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4nS S ≤，所以4151030040a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得10532d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫===⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭，所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()10310111133101031010310103n nn n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.11．A解析：A 【分析】利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=．∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．56232a ∴==，66216321S -==-．则666332S a =．故选：A ．【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+，所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出讨论n 的奇偶利用数列单调性求出的最值即可得出【详解】依题意得当为奇数时随着的增大而减小随着的增大而增大；当为偶数时随着的增大而增大随着的增大而增大因此的最大值与最小值分别为其最大值与最小解析：14【分析】求出n S ，讨论n 的奇偶利用数列单调性求出n S 的最值即可得出. 【详解】依题意得，31122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.当n 为奇数时，112n n S =+随着n 的增大而减小，∴1131122n n S S <=+≤=， 1n nS S -随着n S 的增大而增大，∴1506nn S S <-≤；当n 为偶数时，112nn S 随着n 的增大而增大，∴2311142n nS S=≤=-<， 1n nS S -随着n S 的增大而增大，71012n n S S -≤-<. 因此1n n S S -的最大值与最小值分别为56，712-，其最大值与最小值之和为5716124-=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查求数列的最值问题，解题的关键是讨论n 的奇偶根据单调性求出范围.14．【分析】本题首先可设数列的公差为则然后根据题意得出最后通过计算即可得出结果【详解】设数列的公差为因为所以因为数列是等差数列所以即解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法主要考查解析：2【分析】本题首先可设数列{}n a 的公差为d ，则22a d =+、322a d =+，然后根据题意得出2123221322a a a +=⨯，最后通过计算即可得出结果. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为12a =，所以22a d =+，322a d =+，因为数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以2123221322a a a +=⨯，即()()2222342d d +=++，解得2d =，故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法，主要考查等差中项的应用，若数列{}n a 是等差数列且2n mk ，则2n m k a a a ，考查计算能力，是中档题.15．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列解析：8 【分析】由n S 与n a 的关系化简212n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}2n S 是等差数列，进而求出2n S n =，【详解】当1n =时，111S a ==当2n ≥时，由题意可知()()21112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得2211n n S S --=所以数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =64264S ∴=，0n a >，648S ∴=故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对212n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求解.16．【解析】分析：当时求得；当时类比写出由求出再将代入检验即可求出答案详解：当时当时由得两式相减将代入上式通项公式为故答案为点睛：本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法其求解过程分为三步：（解析：0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案. 详解：当1n =时，110a S ==当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+，两式相减，145n n n a S S n -=-=-，将1n =代入上式，110a =-≠，∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．17．121【分析】由等差数列的性质可得然后利用等差数列前项和公式求解即可【详解】等差数列中由可得可得则数列前11项的和故答案为：121【点睛】本题考查等差数列性质的应用考查等差数列前项和公式的应用属于基解析：121 【分析】由等差数列的性质可得5=13a ，7=9a ，然后利用等差数列前n 项和公式求解即可. 【详解】等差数列{}n a 中，由15953=39a a a a ++=，可得5=13a ，371173=27a a a a ++=，可得7=9a ，则数列{}n a 前11项的和()()11157111111=2112212122=a a a a S ++⨯==, 故答案为：121 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题.18．22【分析】由等差数列的前项和的公式求解解出､的关系式再求出的临界条件最后得解【详解】解：等差数列的前项和为所以所以其中所以当时解得所以的最大自然数的值为22故答案为：22【点睛】本题应用公式等差数解析：22 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和的公式求解149S S =，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，最后得解. 【详解】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，149S S =，所以()114579a a a +=，1117(13)9(4)a a d a d ++=+，111a d =-，所以()12n a n d =-，其中10a >，所以0d <，当0n a =时，解得12n =，()2312312232302S a a a =+==， 1222222()1102a a S d +==->，所以0n S >的最大自然数n 的值为22.故答案为：22．【点睛】本题应用公式()12n n n a a S +=，等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，判断满足0n S >的最大自然数n 的值.19．【分析】计算再结合已知条件得到根据题意计算得到答案【详解】由题意当时由可得两式相减可得整理得由于则数列的通项公式为则由于对任意的恒成立则且解得故答案为：【点睛】本题考查了数列的新定义求数列的通项公式解析：167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】计算14a =，再结合已知条件得到22n a n =+，()22n a kn k n -=-+，根据题意660a k -≥，770a k -≤，计算得到答案.【详解】由题意，当1n =时，21124a A ===，由11222n n n nA a a a -=+++，可得()()121212221n n n a a n A a n ---++⋅⋅⋅+-=≥，两式相减可得()1112n n n n nA n A a ----=，整理得()()1111121222n nn n n n n nA n A n n a +-----⋅--⋅==()42122n n n =--=+，由于12124a =⨯+=，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，则()22n a kn k n -=-+，由于6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则2k >且660a k -≥，770a k -≤，解得16773k ≤≤.故答案为：167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20．【分析】可得出并计算出利用等比数列片断和的性质得出成等比数列可得出的值【详解】且成等比数列即因此故答案为：【点睛】本题考查利用等比数列片断和性质求值考查计算能力属于中等题解析：448【分析】可得出78996a a a S S ++=-，并计算出6356S S -=，利用等比数列片断和的性质得出3S 、63S S -、96S S -成等比数列，可得出789a a a ++的值.【详解】6363756S S -=-=，且78996a a a S S ++=-，3S 、63S S -、96S S -成等比数列，即()()263396S S S S S -=-，因此，()2263789963564487S S a a a S S S -++=-===. 故答案为：448. 【点睛】本题考查利用等比数列片断和性质求值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）21n a n =-，n *∈N ；（2）21nn +. 【分析】（1）根据等差数列性质,结合方程解的定义，可知4a ,5a 是方程216630x x -+=的两根.根据公差0d >，即可求得4a ,5a .进而求得公差d .结合等差数列通项公式求法即可得解. （2）由（1）中所得数列{}n a 的通项公式，代入可得数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法即可得数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）由364516a a a a +=+=，4563a a ⋅=，则4a ，5a 是方程216630x x -+=的两根，由0d >，则47a =，59a =，则542d a a =-=，则)(4421n a a n d n =+-⋅=-，n *∈N .（2）将21n a n =-代入可得)()(1111221212121n b n n n n ⎛⎫==-⎪ -+-+⎭⎝，则1211111111112135721212121n n T b b b n n n ⎛⎛⎫⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪⎪-++⎭⎭⎝⎝ 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎭⎝. 【点睛】结论点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.22．（1）212n a n =-；（2）12123n n b n -=-+；231202n n T n n -=-++. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1）得12123n n b n -=-+，利用分组求和即可求解.【详解】（1）因为{}n a 是首项119a =，公差2d =-的等差数列，所以192(1)n a n =--212n =-，（2）由题知{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n n b a --=，所以13n n n b a -=+12123n n -=-+，所以12n n T b b b =+++()()()()0121233333n n a a a a =++++++++ ()()21121333n n a a a -=+++++++()()()211319212402313120132222n n n n n n n n n ⨯-+----=+=+=-+-.23．(1) 31n a n =-；（2） ()24333+2n T n =-. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知求得411a =，再由等差数列的通项公式可求得答案；（2）运用裂项求和法，可求得答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得354222a a a +==，所以411a =，所以141123413a a d --===-，所以()()1+12+1331n n d n a a n -⨯=-⨯=-=，所以31n a n =-；（2）由（1）得()()+144411313+23313+2n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，所以 411111111++++32558811313+2n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41124323+2333+2n n ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 所以()24333+2n T n =-. 【点睛】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.24．（1）证明见解析；（2）{}1,2,3. 【分析】（1）利用112n na a +=-证明出1n n b b +-是常数，进而可证明出数列{}n b 为等差数列；（2）求得132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出33291122nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设3322nt ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，可得出不等式221190t t -+<，解出t 的取值范围，由此可得出符合条件的正整数n 的值.【详解】（1）数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，则211122a a ==-，321223a a ==-，依次类推可知，对任意的n *∈N ，2n a ≠，()1121111111112111111122n n n n n n n n nn na b b a a a a a a a a ++--∴-=-=-=-==----------，所以，数列{}n b 是等差数列，且首项为11111b a ==-，公差为1， ()11111n n b n n a ∴==+-⨯=-，解得1n n a n-=；（2）132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1123n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，11332232nn n n c c +-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为等比数列，同理可知，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，则1233132223212nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==⋅- ⎪⎝⎭-，12321111123332313nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==-⋅ ⎪⎝⎭-，由12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭可得23912232n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅->⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，32291123nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设32nt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N *∈，则32t ≥，可得9211t t +<，整理可得221190t t -+<，解得912t <<，即39122n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n N *∈，所以，正整数n 的集合为{}1,2,3.【点睛】方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法：（1）定义法：证明1n n a a +-为常数；（2）等差中项法：对任意的n *∈N ，证明出122n n n a a a ++=+. 25．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164nn n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可.【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =， ∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-，∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-，()()()()()12131323133n nn T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-，∴()()()()111413333n nn T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，∴()()()131********nn n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164nn n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.26．（1）证明见解析，2n n a n =⋅；（2）1(1)22+=-⋅+n n S n .【分析】（1）将1122n n n a a ++-=，变形为11122n n n na a ++-=，再利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到 2n n a n =⋅，再利用错位相减法求解.【详解】（1）∵1122n n n a a ++-=， ∴11122n n n na a ++-=，又∵112a =， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列； ∴2n n a n =，2n n a n =⋅ （2）由（1）知2n n a n =⋅，所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯，231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯，两式相减得：23122222n n n S n +-=+++-⋅ ()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，∴1(1)22+=-⋅+n n S n【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．。

上海上海市实验学校附属光明学校选修二第一单元《数列》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19B ．20C ．21D ．224．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165D ．51107．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（） A ．9B ．10C ．12D ．138．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（）A ．B ．1-C ．3-D 9．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32D ．5010．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（） A ．30B ．35C ．40D ．4511．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（） A ．255B ．375C ．250D ．20012．已知等比数列{}141,1,8n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围是（） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-+，则它的通项公式是n a =__________.14．天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.15．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n *∈N ），且12a =，则{}n a 的公差为______．16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．17．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.18．给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1个；2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.19．数列{}n a 满足()211122,3,1n n nn n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则7a =________.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为________.三、解答题21．设等差数列}{n a 的公差为0d >，n *∈N .且满足3616a a +=，4563a a ⋅=. （1）求数列}{n a 的通项公式. （2）记数列11n n n b a a +=，求}{n b 的前n 项和n T . 22．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额.23．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，给出以下三个条件：①17914,81a a S +==；②1141,++==n n n a a a ；③2111,41n n a a a n +=⋅=-.从上面①②③三个条件中任选一个解答下面的问题. （1）求n a 及n S ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 24．若数列{}n a ，12,a =且132n n a a +=+. （1）证明{}1n a +是等比数列；（2）设()131n n n a b n n +=⋅+，n T 是其前n 项和，求n T .25．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1*12n a n T n a -=-∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.【详解】 ①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确.故选：B 【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.2．B解析：B 【分析】由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43n n n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14nb ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.4．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．5．D解析：D 【分析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.6．A解析：A 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．7．A解析：A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=．故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan 1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=，所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题9．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．10．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =，同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，．（2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.11．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

上海市选修二第一单元《数列》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．数列{}n a 中，112a =，()*,m n m n a a a m n +=∀∈N ，则6a =（） A ．116B ．132C ．164D ．11282．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =4．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+5．已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ<6．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（） A ．92B ．102C ．8182D ．1127．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则121024102410241024a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．10258．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

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上海高二数学—数列单元测试卷 2013.10
班级姓名学号
一、填空题（每小题3分，共36分） 1．74
lim
35
n n n →∞+-＝．
2．将0.2∙
化为最简分数后，分子与分母之和为． 3．已知等比数列{}n a 中，,81,341==a a 则该数列的通项=n a ．
4．计算：22
342
lim (21)n n n n →∞+-+= ．
5．已知数列{}n a 为等差数列，若169a a +=，47a =，则9a = ． 6．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则=15S ．
7、在数列{}n a 和{}n b 中，21=a ，)(031*∈=-+N n a a n n ，n b 是n a 与1+n a 的等差中项，则=3b _________．
8．已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a +=-，则通项公式n a = ． 10．设()11112612
1n S n n =
++++
+，且13
4
n n S S +⋅=，则=n ．
10．若221log (9)log ()13
x x +-=，则2
lim(1)n n x x x →∞
+++＝．
11．若数列{}n a 是等差数列，则数列n
a a a
b n
n +++=
21（*∈N n ）也为等
差数列；类比上述性质，相应地，若数列{}n c 是等比数列，且0>n c ，则有
=n d 也是等比数列．
12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足
11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，
该数列前2005项和是．
二、选择题（每小题4分，共16分）
13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2
15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）
A 、7
B 、78或
C 、8
D 、9 14．用数学归纳法证明2
2
1
11(1)1n n x x x x
x x
++-+++
+=≠-，在验证当1n =等式成立时，其左边为……………………………………………………（）
A 、1
B 、1x +
C 、2
1x x ++ D 、2
3
1x x x +++
15．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（）
()A 11a ()B 10a ()C 9a ()D 8a
16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为…………………………………（） A 、}{12+k a
B 、}{13+k a
C 、}{14+k a
D 、}{16+k a
三、解答题（8+8+9+11+12=48）
17．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，6,123221-=+=+a a a a ，求 (1) {}n a 的通项公式；(2) n n S ∞
→lim ．
19．设在数列{}n a 中，3
3,21
11+==
+n n n a a a a ， (1) 求432,,a a a ；(2) 根据(1)猜测n a 的表达式； (3) 用数学归纳法证明上述n a 的表达式．
20．据有关资料，2000年我国工业废弃垃圾达8
104.7⨯吨，占地562.4平方千米。

若环保部门每回收或处理1吨废旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门2001年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量。

试问：
(1) 2005年回收废旧物资多少吨？
(2) 从2001年至2005年可节约开采矿石多少吨？
(3) 从2001年至2005年可节约多少平方千米土地？（精确到0.01）
21．我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，231
2c c c >+．
(3) 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由．
上海高二数学—数列单元测试卷参考答案
一、填空题
1、
73； 2、11 ； 3、=n a ()*
n n 3N ∈； 4、4
3； 5、 32； 6、60； 7、7
24
； 8、121n -+；
9、6； 10、3； 11、=n
d )*n N ∈； 12、1337
二、选择题
13. B ；14.C ；15. A ；16.B
三、解答题
17．解：设四个数分别为x y y x --16,12,,，根据题意得⎩⎨⎧-=-=-+2
)12()16(2)12(y x y y y x ，解得⎩⎨
⎧==40y x 或⎩⎨⎧==9
15
y x ，所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1． 18、（1）1
124()2n n a -=- （2）16 19、解：（1） 237a =，338a =，41
3a =；
（2）3
5
n a n =+；
（3）
都成立切）可知，上述猜想对一）（由（等式也成立
时，则当时，等式成立，即假设当等式成立时，当证明：*1121,5)1(3
6335
359
33153
)2(,2
1
5131)1(N n k k k k a a a k n k a k n a n k k k k ∈++=+=+++=+=+=+=
==+=
=+
20
21、（1）22
n n
nq -+；（2）22
132242420c c c q q q q +-=++--=>，故1322c c c +>。

（3）3m =可以，12
q =-。

【先设321,,c c c 成等比数列，由2
231c c c =，得 22)2(23q q q +=++，2
1-
=q . 此时 11=c ，4
9,2332==
c c ，所以321,,c c c 是一个公比为23
的等比数列.
如果4≥m ，m c c c ,,,21 为等比数列，那么321,,c c c 一定是等比数列. 由上所述，此时21
-
=q ，11=c ，49,2332==c c ，8
234=c ，… 由于2334≠c c ，
因此，对于任意4≥m ，m c c c c ,,,,321 一定不是等比数列. 综上所述，当且仅当3=m 且2
1
-=q 时，数列m c c c c ,,,,321 是等比数列.】
平方千米）（（吨
吨26.242.1102.1101010
4.74.562)
31488320)2.1102.11010(20)2(207360%)201(10)1(4
8
44
≈⨯⨯++⨯+⨯⨯=⨯++⨯+⨯=+⨯。