高中数学-《数列》单元测试题

《数列》单元测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、在数列0，3，8，x，24，35，48中，x应等于（）
A．11B．12 C．15D．17
2、已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是（）
A．B．C．D．
3、等差数列{a n}中，已知则n为（）
A．48B．49 C．50D．51
4、设a1=2，a n＋1=2a n＋3，则通项a n可能是（）
A．5－3n B．3×2n－1－1 C．5－3n2D．5×2n－1－3
5、在等差数列中，已知a1＋a4＋a7=45, a2＋a5＋a8=39，则a3＋a6＋a9的值是（）A．33B．30 C．27D．24
6、已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m 的取值范围是（）
A．（0，1）B．（1，＋∞）C．（0，8）D．（8，＋∞）
7、等差数列中a1＋3a8＋a15=120，则2a9－a10的值是（）
A．24B．22 C．20D．－8
8、已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若S9=18，S n=240，a n－4=30，则n的值是（）
A．10B．12 C．15D．18
9、已知条件甲为“三数成等比数列”，条件乙为“lgx，lg(x＋1), lg(x＋3)成等差数列”，则甲是乙成立的（）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
10、设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，那么a3a6a9…a30等于（）
A．230B．220C．240D．260
11、（）
12、已知数列{a n}满足a n＋1=a n－a n－1(n≥2), a1=a, a2=b，S n=a1＋a2＋…＋a n，则下列结论正确的是（）
A．a100=－a, S100=2b－a B．a100=－b, S100=2b－a C．a100=－b, S100=b－a D．a100=－a, S100=b－a
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上．）
13、已知数列的通项公式a n=n2－4n－12(n∈N*)，这个数列从第_______项起各项为正数．
14、在等比数列{a n}中，S n=a1＋a2＋…＋a n，已知a3=2S2＋1，a4=2S3＋1，则公比q=_____．
15、等差数列{a n}中，a1>0，前n项和为S n，且S9>0, S10<0，则n=______时，S n 最大．
16、在等比数列{a n}中，已知a2=6，且a5－2a4－a3＋12=0，则a n=______．
三、解答题（本大题共6题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）
（1）在等差数列中，a4=9，a9=－6，求满足S n=63的所有n值；
（2）在等比数列{a n}中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，S n=126，求n，q．
18、（本小题满分12分）
已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n＋b，且a1=3．
（1）求a、b的值及数列{a n}的通项公式；（2）设求数列{b n}的前n 项和T n．
19、（本小题满分12分）
已知数列{a n}的前n项和为S n，又有数列{b n}，它们满足关系b1=a1，对于n ∈N*，有a n＋S n=n, b n＋1=a n＋1－a n，求证：{b n}是等比数列，并写出它的通项公式．
20、（本小题满分12分）
给一本书的页码从1到n依次编号，把各页码的编号依次累加起来，但有一个编号被错误的多加了一次，从而导致错误的和数为2004．这个被多加了一次的页码是几？
21、（本小题满分12分）
已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}对任意自然数n，均有求c1＋c2＋c3＋…＋c2006的值．
提示：
8、
9、由甲有2－2x=x2－x x=1或x=－2，
当x=1时乙成立，当x=－2时乙不成立，即甲乙．
由乙有(x＋1)2=x(x＋3)x=1．即乙甲．
10、a
1a
30
=a
2
a
29
=…，由已知得(a
1
a
30
)15=230=415，
又a
3a
6
a
9
…a
30
=(a
3
a
30
)5=(a
1
q2a
30
)5
=(a
1
a
30
·q2)5=(4×22)5=220.
11、原式=
12、a
n＋1=a
n
－a
n－1
，a
n
=a
n－1
－a
n－2
,
即a
1, a
4
, a
7
,…,a
100
成等比，q=－1,
∴a
100=a
1
q33=－a,
a 3, a
6
,a
9
, …,a
99
成等比，q=－1,
∴a
99=a
3
q32=(a
2
－a
1
)=b－a．
∴S
100=a
1
＋a
2
＋…＋a
100
=a
1＋a
2
＋(a
2
－a
1
)＋(a
3
－a
2
)＋(a
4
－a
3
)＋…
＋(a
97－a
96
)＋(a
98
－a
97
)＋(a
99
－a
98
)
=a
2＋a
99
=b＋b－a=2b－a．
13、7 14、3 15、5
16、6，或6×(－1)n，或3×2n－1．
点拨：a
5－2a
4
－a
3
＋12=0,
∴a
2q3－2a
2
q2－a
2
q＋12=0．
∴q3－2q2－q＋2=0, q=1.或q=－1, 或q=2．
当q=1时，a
n =6；当q=－1时，a
n
=6×(－1)n－2=6×(－1)n;
当q=2时，a
n
=6×2n－2=3×2n－1．17、解：
（1）设首项为a
1，公差为d，则a
9
－a
4
=5d，
∴d=－3，且a
4=a
1
＋3d，∴a
1
=18，
∴n2－13n＋42=0, n=6或n=7．
（2）∵a
1＋a
n
=66, a
2
a
n－1
=128,
∴a
1·a
1
q n－1=a
1
a
n
=128，
∴a
1=2, a
n
=64，或a
1
=64，a
n
=2．
当a
1=2，a
n
=64时，则
∴q=2，此时n=6．
同理，当a
1=64，a
n
=2时，
18、解：（1）解法一：依题意有
解得a
2=2a，a
3
=4a，∴公比为
∴a
n
=3·2n－1．
解法二：n≥2时，a
n =S
n
－S
n－1
=2n－1·a．
由a
1=3得a=3，∴a
n
=3·2n－1．
又∵a
1
=2a＋b=3，∴b=－3．
④－⑤得
19、解：因为a n＋S n=n①
所以a
n－1＋S
n－1
=n－1（n≥2）②
所以①－②得，a
n －a
n－1
＋a
n
=1，
所以数列{b
n
}是等比数列．
20、解：设k(1≤k≤n)是被多加了一次的页码，则
1＋2＋3＋…＋n<1＋2＋…＋n＋k<1＋2＋…＋n＋n＋1．当n=62时，符合条件．
答案：这个被多加了一次的页码是51．
解：
（1）由题意得(a
1＋d)(a
1
＋13d)=(a
1
＋4d)2 (d>0)
解得d=2，∴a
n =2n－1，b
n
=3n－1．
（2）当n=1时，c
1
=3，当n≥2时，
∴c
1＋c
2
＋…＋c
2006
=3＋2×3＋2×32＋…＋2×32005 =32006．。