两个角动量耦合

Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1
Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i Jˆ
或
[Jˆx , Jˆy ] [Jˆ1x Jˆ2x , Jˆ1y Jˆ2y ] [Jˆ1x , Jˆ1y ] [Jˆ2x , Jˆ2y ]
jmax j1 j2
（2） jmin j1 j2
给定 j1 、j2 ，则 m1取值2 j1 1个，m2 取值2 j2 1个，所以无耦合
表象基矢 j1m1 j2m2 个数（即无耦合表象空间的维数）为
(2 j1 1)(2 j2 1)
另一方面，对应于一个 j 值，m有2 j 1个取值，所以耦合表象
[Jˆ1, Jˆ2 ] 0 或 [Jˆ1 , Jˆ2 ] 0 (, x, y, z)
定义：体系的总角动量
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
则 Jˆ Jˆ (Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2
]

0
综上，(Jˆ2, Jˆz , Jˆ12, Jˆ22) 是彼此对易的，它们了组成第一套力学量
完全集，其共同本征矢 j1 j2 jm 组成了正交归一完备基矢组。
2．Jˆ12、Jˆ1z、Jˆ22、Jˆ2z 彼此对易
(Jˆ12, Jˆ1z , Jˆ22, Jˆ2z ) 组成了第二套力学量完全集，它们的共同本征
矢的表象。
Jˆ 2
Jˆz Jˆ12

j1 j2 jm

j( j 1) 2
m

j1( j1 1)
2
j1 j2 jm
Jˆ22

j2 ( j2 1) 2
Jˆ12 Jˆ1z Jˆ22

j1m1 j2m2

j1( j1 1) m1
j2 ( j2 1)
i Jˆ1z i JBiblioteka Baidu2z i Jˆz
即 Jˆ 满足角动量的一般定义。
注意：Jˆ1 Jˆ2 不是角动量。
(Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i (Jˆ1 Jˆ2 )
矢 j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 组成了正交归一完备基矢组。
3．耦合表象和无耦合表象
耦合表象：以(Jˆ2, Jˆz , Jˆ12, Jˆ22) 的共同本征矢 j1 j2 jm 为基矢的表
象；
无耦合表象：以 (Jˆ12, Jˆ1z , Jˆ22, Jˆ2z ) 的共同本征矢 j1m1 j2m2 为基
Jˆx[Jˆx , Jˆz ] [Jˆx , Jˆz ]Jˆx Jˆy[Jˆy , Jˆz ] [Jˆy , Jˆz ]Jˆy
i Jˆx Jˆy i Jˆy Jˆx i Jˆy Jˆx i JˆxJˆy 0
（2） [Jˆ2, Jˆ12] [Jˆ2, Jˆ22] 0 [Jˆ2, Jˆ12 ] [Jˆ12, Jˆ12 ] [Jˆ22, Jˆ12 ] 2[Jˆ1 Jˆ2, Jˆ12 ] 0
m1 j1 m2 j2
展开系数 j1m1 j2m2 j1 j2 jm 称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数 （Clebsch—Gorden）系数，简称C-G系数。
因为
[Jˆ z , Jˆ1z ] [Jˆ1z , Jˆ1z ] [Jˆ2z , Jˆ1z ] 0
所以 Jˆ z、Jˆ1z有共同本征矢，因此
[Jˆ2, Jˆ22] 0
（3）
[ Jˆ
z
,
Jˆ12
]

[
Jˆ
z
,
Jˆ
2 2
]

0
[Jˆz , Jˆ12 ] [Jˆ1z Jˆ2z , Jˆ12] [Jˆ1z , Jˆ12 ] [Jˆ2z , Jˆ12] 0
[Jˆz , Jˆ22] 0
（4）
[
Jˆ12
,
Jˆ
2 2
二、角动量算符之间的的对易关系
1．Jˆ 2、Jˆz、Jˆ12、Jˆ22 彼此对易
Jˆ2 Jˆ12 Jˆ22 2Jˆ1 Jˆ2
（1） [Jˆ 2 , Jˆz ] 0
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
[Jˆ2, Jˆz ] [Jˆx2 Jˆy2 Jˆz2, Jˆz ] [Jˆx2, Jˆz ] [Jˆy2, Jˆz ]
m2
2．量子数 j 和 j1、j2的关系
（1） jmax j1 j2 给定 j1 、j2 ，则
m1 取值： j1, j1 1, , j1 m2 取值： j2 , j2 1, , j2 m 取值： j, j 1,, j
因为 m m1 m2 所以
最大值 m1max j1 最大值 m2max j2 最大值 mmax jmax j mmax m1max m2 max 于是
Jˆz j1m1 j2m2 (Jˆ1z Jˆ2z ) j1m1 j2m2 (m1 m2 ) j1m1 j2m2
即 Jˆz的本征值为 (m1 m2 ) ，所以 m m1 m2
则
j1 j2 jm j1, m m2, j2, m2 j1, m m2, j2, m2 j1 j2 jm
§7-4 两个角动量的耦合
一、两个角动量的相加（耦合） 二、角动量算符之间的对易关系 三、耦合表象与无耦合表象的关系
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情 况下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结 构、复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。
2 2
j1m1 j2m2
Jˆ2
z

m2

三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换
耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
j1
j2
j1 j2 jm
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
m1 j1 m2 j2
j1
j2

j1m1 j2m2 j1 j2 jm j1m1 j2m2
基矢 j1 j2 jm 个数为
jmax
(2 j 1)
j jmin
（3） j 的取值
给定 j1、j2后，j 的取值 j j1 j2 , j1 j2 1,..., j1 j2 j1 j2 j j1 j2
每一步的改变为1。
一、两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动
量分别为 Jˆ1 和 Jˆ2，它们满足
Jˆ1 Jˆ1 i Jˆ1
Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ12, Jˆ1 ] 0
[Jˆ22, Jˆ2 ] 0 ( x, y, z)
由于 Jˆ1 和 Jˆ2 属于不同子体系，所以相互对易，即