人教A数学选修23课时规范训练：221条件概率 含解析
【人教A版】数学选修2-3学案：第二章 2 2 1 条 件 概 率-含答案
2．2二项分布及其应用2．2.1条件概率导思1.条件概率是如何定义的？2.条件概率有哪些性质？如何求条件概率？1.条件概率条件设A，B为两个事件，且P(A)>0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率计算公式①事件个数法：P(B|A)＝n(AB)n(A)②定义法：P(B|A)＝P(AB)P(A)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)是多少？提示：A与B互斥，即A，B不同时发生．所以P(AB)＝0，故P(B|A)＝0.(2)若P(A)≠0，则P(A·B)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？提示：正确．由P(B|A)＝P（A·B）P（A）得P(A·B)＝P(B|A)·P(A).(3)如何从集合角度理解条件概率？提示：如图，事件的样本点已落在图形A中(事件A已发生)，问落在B(事件B)中的概率．由于样本点已落在A中，且又要求落在B中，于是落在AB 中的概率计算公式为P(B|A)＝P（AB）P（A）(P(A)>0)，类似地，P(A|B)＝P（AB）P（B）(P(B)＞0).2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是两个互斥的事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).(1)在条件概率的定义中，P(A)要求什么条件？提示：在条件概率的定义中，0<P(A)≤1.(2)在性质2中，事件B，C之间是何种关系？提示：在性质2中，事件B，C是互斥事件．(3)P(AB)与P(B|A)的大小关系如何？提示：由P(B|A)＝P（AB）P（A）可知，P(AB)≤P(B|A).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)P(B|A)<P(AB).(×)提示：因为P(B|A)＝P （AB ）P （A ）≥P(AB)，所以P(B|A)<P(AB)是错误的． (2)已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率记作P(B|A).( × ) 提示： P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率．故此种说法错误．(3)P(A|A)＝0.( × )提示：由条件概率的公式可知：P(A|A)＝P （AA ）P （A ） ＝P （A ）P （A ）＝1，所以P(A|A)＝0是错误的．(4)P(B|A)＝P(A|B).( × )提示：因为P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，而P(A|B)表示在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率．但两者不一定相等，所以P(B|A)＝P(A|B)是错误的．2．下面几种概率是条件概率的是( )A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，若每个路口遇到红灯的概率都是25 ，则小明在一次上学中遇到红灯的概率【解析】选B.由条件概率的定义知B为条件概率．3．(教材例题改编)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【解析】根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.答案：0.5类型一求条件概率(数学抽象，数学运算)利用定义求条件概率【典例】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率．(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率．(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【思路导引】(1)该问题属于古典概型．(2)该问题也可以看作是古典概型．(3)该问题属于条件概率，利用条件概率的定义以及公式直接求解．【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A26＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝A1A15＝20，4所以P(A)＝n （A ）n （Ω） ＝2030 ＝23 . (2)因为n(AB)＝A 24 ＝12，所以P(AB)＝n （AB ）n （Ω） ＝1230 ＝25 . (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝2523＝35 . 利用基本事件的范围求概率【典例】盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【思路导引】通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是玻璃球的概率．【解析】由题意得球的分布如下：玻璃 木质 总计 红2 3 5 蓝4 7 11 总计 6 10 16设A ＝{取得蓝球}，B ＝{取得蓝色玻璃球}，则P(A)＝1116 ，P(AB)＝416 ＝14 .所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝141116＝411 .1．利用条件概率的定义求条件概率的步骤(1)根据题意求P(A).(2)根据题意求P(AB).(3)根据条件概率的定义求P(B|A)＝P （AB ）P （A ）. 2．利用基本事件数求条件概率(1)列出基本事件的空间．(2)在基本事件空间内求出事件A 发生的事件数n(A).(3)在基本事件空间内求出事件A ，事件B 同时发生的事件数n(AB).(4)根据条件概率的定义求P(B|A)＝n （AB ）n （A ）. 【补偿训练】1.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解析】选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n(A)＝A 66 ，n(AB)＝A 55 ，所以P(B|A)＝A 55 A 66＝16 .2．一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率；(2)求P(B|A).【解析】(1)P(A)＝25 ，P(B)＝2×1＋3×25×4 ＝820 ＝25 ，P(AB)＝2×15×4 ＝110 .(2)P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝11025＝14 . 类型二 条件概率性质的应用(数学运算、逻辑推理)【典例】有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．【思路导引】另一瓶是红色与是黑色是两个互斥事件，且都是在取得的两瓶中有一瓶是蓝色的情况下求解，因此它可依据条件概率的性质求解．【解析】设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C 且B 与C 互斥．又P(A)＝C 12 C 13 ＋C 22 C 25 ＝710 ，P(AB)＝C 12 C 11 C 25 ＝15 ，P(AC)＝C 12 C 12 C 25 ＝25 ，故P(D|A)＝P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝P （AB ）P （A ） ＋P （AC ）P （A ）＝67 . 答案：67较复杂事件概率的求法(1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率，(2)再利用P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B 与C 互斥”这一前提下才成立．1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解析】记事件A 为最后从2号箱中取出的是红球；事件B 为从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23 ，P(B )＝1－P(B)＝13 . (1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49 .(2)因为P(A|B )＝38＋1＝13 ，所以P(A)＝P(AB)＋P(A B )＝P(A|B)P(B)＋P(A|B )P(B )＝49 ×23 ＋13 ×13 ＝1127 .2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第二个球为黑球”为事件C.方法一：(定义法)由题意知P(A)＝110 ，P(AB)＝1×210×9 ＝145 ，P(AC)＝1×310×9 ＝130 .所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝145 ÷110 ＝29 ，P(C|A)＝P （AC ）P （A ）＝130 ÷110 ＝13 . 所以P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29 ＋13 ＝59 .所以所求的条件概率为59 .方法二：(直接法)因为n(A)＝1×C 19 ＝9，n(B ∪C|A)＝C 12 ＋C 13 ＝5，所以P(B ∪C|A)＝59 .所以所求的条件概率为59 .类型三 条件概率的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．表示不超过2次按对密码．②P(A|B)＝P(A 1|B)＋P((A 1A 2)|B).题后反思 已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求P(B|A)，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即P(B|A)＝n （AB ）n （A ） ＝n （AB ）n （Ω）n （A ）n （Ω）＝P （AB ）P （A ） .若事件B ，C 互斥，则P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．箱子里有20张奖券，其中只有5张能中奖，从中任意摸出2张，打开其中1张发现中奖，求这2张都中奖的概率．【解析】若A 表示摸出1张中奖，B 表示摸出的2张都中奖，所求概率为P(B|A).P(A)＝C 15 C 120＝14 ， P(AB)＝P(B)＝C 25 C 220 ＝119 所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝419 .1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930 ，下雨的概率为1130 ，既吹东风又下雨的概率为830 .则在下雨条件下吹东风的概率为( )A ．25B ．89C ．811D ．911【解析】选C.在下雨条件下吹东风的概率为8301130＝811 .2．若P(AB)＝35 ，P(A)＝34 ，则P(B|A)＝( )A.54 B ．45 C ．35 D ．34【解析】选B.由公式得P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝3534＝45 . 3．(教材练习改编)4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14 B ．13 C ．12 D ．1【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13 .4．(2021·焦作高二检测)掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，则“掷出点数之和大于等于10”的概率为________．【解析】设“第一颗骰子掷出6点”为事件A，“掷出点数之和大于等于10”为事件B.P(B|A)＝P（AB）P（A）＝336636＝12.答案：12。
人教版高中数学选修2-3练习：2.2.1条件概率
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不一样的数，事件A ＝“取到的 2 个数之和为偶数 ”，事件 B ＝“取到的 2 个数均为偶数 ”，则 P(B|A)＝()1 1 A.8B.4 2 1C.5D.222＋C 322【分析】 ∵P(A)＝C＝24，P(AB)＝C 2＝ 1，C 5 10C 510P AB1∴P(B|A)＝ PA ＝4.【答案】 B2．以下说法正确的选项是 ( )P B是可能的A ．P(B|A)＜P(AB)B ．P(B|A)＝P AC ．0＜P(B|A)＜1D ． P(A|A)＝0PAB【分析】 由条件概率公式 P(B|A)＝ PA及 0≤P(A)≤1 知 P(B|A)≥P(AB)，P B 故 A 选项错误；当事件 A 包括事件 B 时，有 P(AB)＝ P(B)，此时 P(B|A)＝ P A ，故 B 选项正确，因为 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故 C ，D 选项错误．应选 B.【答案】 B3．(2014 ·全国卷Ⅱ )某地域空气质量监测资料表示，一天的空气质量为优秀的概率是 0.75，连续两天为优秀的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优秀，则 随后一天的空气质量为优秀的概率是()A ．0.8B ． 0.75C ．0.6D ． 0.45【分析】 已知连续两天为优秀的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下， 要求随后一天的空气质量为优秀的概率，可依据条件概率公式， 得0.6P ＝0.75＝0.8.【答案】A4．(2016 ·州期末泉 )从 1,2,3,4,5 中任取两个不一样的数， 事件 A 为 “取到的两个数之和为偶数 ”，事件 B 为“取到的两个数均为偶数 ”，则 P(B|A)等于 ()1 1 A.8B.421 C.5D.22 23＋C 2 2【分析】CC 5法一： P(A) ＝＝5，22 1P AB1C 2P(AB)＝ C＝10， P(B|A)＝ PA＝4.2法二：事件 A 包括的基本领件数为C 32＋C 22＝ 4，在 A 发生的条件下事件 B2 1包括的基本领件为 C 2＝ 1，所以 P(B|A)＝ .4【答案】 B5．投掷两枚骰子，则在已知它们点数不一样的状况下，起码有一枚出现6 点的概率是 ()1 1 A.3B.181 1C.6D.9【分析】设 “起码有一枚出现 6 点”为事件 A ，“两枚骰子的点数不一样 ”为事件 B ，则 n(B)＝6×5＝ 30，n(AB)＝ 10，nAB 10 1所以 P(A|B)＝ n B ＝30＝ 3.【答案】 A二、填空题6．已知 P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则 P(A|B)＝ ________，P(B|A)＝ ________.P AB0.12 2 P AB0.12 3【分析】 P(A|B)＝ P B ＝ 0.18＝3；P(B|A)＝ P A＝ 0.2 ＝5.【答案】2 33 537．设 A ， B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概率为 10，在事件 A 发1生的条件下，事件 B 发生的概率为 2，则事件 A 发生的概率为 ________. 【导学 号： 97270038】31【分析】由题意知， P(AB)＝ 10，P(B|A)＝2.P AB P AB 3由 P(B|A)＝ P A ，得 P(A)＝P B|A ＝ 5.3【答案】 58．有五瓶墨水，此中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若拿出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．【分析】 设事件 A 为“此中一瓶是蓝色 ”，事件 B 为“另一瓶是红色 ”，事件 C 为 “另一瓶是黑色 ”，事件 D 为 “另一瓶是红色或黑色 ”，则 D ＝B ∪C ，且 B 与 C 互斥，1 1 22 C 3＋C 2 7 ，又 P(A)＝C2 ＝C 510C 21·C 11 1P(AB)＝ C ＝5，21 12P(AC)＝ C 2C 22 ＝ ，C 5 5 故 P(D|A)＝P(B ∪C|A)＝ P (B|A)＋P(C|A)PAB P AC 6 ＝ P A＋ P A ＝7.【答案】6 7三、解答题9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数同样的小球若干．每个袋子中标号为 0 的小球为 1 个，标号为 1 的 2 个，标号为 2 的 n 个．从一个袋子中1任取两个球，取到的标号都是2 的概率是 10.(1)求 n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知此中一个的标号是1 的条件下，求另一个标号也是 1 的概率．2n n －1【解】 (1)由题意得：C n＝＝ ，解得 n ＝2.2n ＋n ＋C n ＋310(2)记 “此中一个标号是 1”为事件 A ，“另一个标号是 1”为事件 B ，所以 P(B|A)2n AB＝ n A ＝ C 25－C 23＝7.C 2110．随意愿 x 轴上 (0,1)这一区间内掷一个点，问：1(1)该点落在区间 0，3 内的概率是多少？1(2)在 (1)的条件下，求该点落在 5，1 内的概率．【解】 由题意知，随意愿 (0,1)这一区间内掷一点，该点落在 (0,1)内哪个位1置是等可能的，令A ＝ x|0＜x ＜3 ，由几何概率的计算公式可知．13 1(1)P(A)＝1＝3.11 1(2)令 B ＝ x 5 ＜ x ＜ 1 ，则 AB ＝ x|5＜x ＜ 3 ，1 1 3－ 52 P(AB)＝ 1 ＝15.故在 A 的条件下 B 发生的概率为2P AB152P(B|A)＝ PA＝ 1 ＝ 5.3[ 能力提高 ]1．一个家庭有两个儿童，假定生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )1 211 A.4B.3C.2D.3【分析】一个家庭中有两个儿童只有 4 种可能： (男，男 )，(男，女 )，(女，男)，(女，女 )．记事件 A 为“此中一个是女孩”，事件 B 为“另一个是女孩”，则 A＝{( 男，女 )，(女，男 )，(女，女 )} ，B＝{( 男，女 )，(女，男 )，(女，女 )} ，AB＝{( 女，女 )} ．31于是可知P(A)＝4，P(AB)＝4.问题是求在事件 A 发生的状况下，事件 B 发生141的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝3＝3.4【答案】D2．(2016 ·封高二检测开 )将 3 颗骰子各掷一次，记事件 A 表示“三个点数都不同样”，事件 B 表示“起码出现一个 3 点”，则概率P(A|B)等于 ()915601 A.216 B.18 C.91 D.2【分析】事件 B 发生的基本领件个数是n(B)＝6×6×6－ 5×5×5＝91，事件A，B 同时发生的基本领件个数为n(AB)＝3×5×4＝ 60.n AB60所以 P(A|B)＝n B＝91.【答案】C3．袋中有 6 个黄色的乒乓球， 4 个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为 ________．【分析】记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，“第4 64二次才取到黄球”为事件 C，所以 P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝× ＝.109154【答案】154．如图 2-2-1，三行三列的方阵有 9 个数 a ij (i＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到 a22的条件下，求起码有两个数位于同行或同列的概率．(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)图 2-2-1【解】事件 A＝{ 任取的三个数中有 a22，事件＝三个数起码有两个数} B {位于同行或同列 } ，则 B ＝{ 三个数互不一样行且不一样列} ，依题意得 n(A)＝C28＝28， n(A B )＝2，故 P( B |A)＝nA B＝2＝1 ，则n A2814P(B|A)＝1－P( B |A)＝1－1＝13的条件下，起码有两个数位.即已知取到 a22141413于同行或同列的概率为14.。
2020-2021学年数学人教A版选修2-3课件：课时作业 2-2-1 条件概率
个黑球，则 P(B|A)＝151.
二、填空题(每小题 6 分，共计 18 分) 9．高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生 占全班人数的16，而且三好学生中，女生占一半．现在从该班同 学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件
1 下，选上的是三好学生的概率为___8____.
3 次拿出绿皮咸鸭蛋的概率为 P(B|A)＝PPAAB＝130＝12.
5
解析：设事件 A 表示“任选一名同学是男生”；事件 B 为 “任选一名同学为三好学生”，则所求概率为 P(B|A)．依题意
1 得 P(A)＝4600＝23，P(A∩B)＝650＝112.故 P(B|A)＝PPA∩AB＝122＝18.
3
10．一种耐高温材料，能承受 200 度高温不熔化的概率为 0.9； 能承受 300 度高温不熔化的概率为 0.45.现有一些这样的材料，在 能承受 200 度高温不熔化的情况下，还能承受 300 度高温不熔化
＝16.
5．某种元件用满 6 000 小时未坏的概率是34，用满 10 000 小
时未坏的概率是12.现有一个此种元件，已经用过 6 000 小时未坏，
则它能用到 10 000 小时的概率( A )
2
3
A.3
B.4
1
1
C.2
D.4
解析：设 A＝{用满 10 000 小时未坏}，B＝{用满 6 000 小
1 时未坏}，显然 P(AB)＝P(A)，所以 P(A|B)＝PPABB＝PPAB＝23＝23.
4
6．甲、乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班
有 30 名同学，而女同学有 15 名．则在碰到甲班同学时正好碰到
数学人教A版选修2-3优化练习第二章 2.2 2.2.1 条件概率 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．已知()＝，()＝，则()等于( )解析：由()＝得()＝()·()＝×＝.答案：．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{}，令事件＝{}，＝{}，则()等于( )解析：∵∩＝{}，∴()＝.又∵()＝，∴()＝＝.答案：．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：解析：在服药的前提下，未患病的概率＝＝.答案：．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了次后还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是( )．．．．解析：记“开关了次后还能继续使用”为事件，记“开关了次后还能继续使用”为事件，根据题意，易得()＝，()＝，则()＝，由条件概率的计算方法，可得()＝＝＝.答案：．某种动物活到岁的概率是，活到岁的概率是，则现龄岁的这种动物活到岁的概率是()．．．．解析：记事件表示“该动物活到岁”，事件表示“该动物活到岁”，由于该动物只有活到岁才有活到岁的可能，故事件包含事件，从而有()＝()＝，所以现龄岁的这种动物活到岁的概率为()＝＝＝.答案：．设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为．解析：∵()＝，()＝，∴()＝.∴()＝.答案：.如图，是以为圆心，半径为的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝.解析：因为()表示事件“豆子落在正方形内”的概率，为几何概型，所以()＝＝.()＝＝＝.由条件概率计算公式，得()＝＝＝.答案：．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放在验钞机上检验发现是假钞，则第张也是假钞的概率为．解析：设事件表示“抽到张都是假钞”，事件为“张中至少有一张假钞”．所以为()．而()＝，()＝，∴()＝＝.答案：．设某种动物能活到岁的概率为，能活到岁的概率为，现有一只岁的这种动物，问它能活到岁的概率是多少？解析：设事件为“能活到岁”，事件为“能活到岁”，则()＝，()＝，而所求概率为()，由于⊆，故＝，于是()＝＝＝＝，所以一只岁的这种动物能活到岁的概率是.．任意向轴上()这一区间内掷一个点，问：()该点落在区间内的概率是多少？()在()的条件下，求该点落在内的概率．解析：由题意知，任意向()这一区间内掷一点，该点落在()内哪个位置是等可能的，令＝，。
高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测2.2.1条件概率
3．一般说来，在古典概型下都可以这样做，但若回到原 来的样本空间，则当P(B)≠0时，有：
在B发生的条件下A包含的样本点数 P(A|B)＝ 在B发生的条件下的样本点数 AB包含的样本点数 n( AB) ＝ n( A) B包含的样本点数
例如： (1)3 张奖劵中只有 1 张能中奖，现分别由 3 名同学 1 无放回地抽取，则最后一名同学抽到中奖奖劵的概率是____. 3 (2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖劵，则最后 1 一名同学抽到中奖奖劵的概率是______. 2
设 A＝“至少有一颗是 6 点”，则事件 A 共包含 11 种不 11 同情况，P(A)＝ . 36 (2)由(1)知， 共有 36 种不同情况． 又设 B＝“两颗骰子点 数不同”，则事件 A· B 共包含 10 种不同情形． 10 PA· B 36 1 P(A|B)＝ ＝ ＝ . PB 30 3 36 30 点评：事件B＝“两颗骰子点数不同”的概率P(B) ＝ ， 36 问题(2) 就是在B发生的条件下A发生的概率．因为事件A· B中 去掉基本事件(6,6)，只有10个基本事件，从而A与B同时发生 10 的概率P(AB)＝ ，从而可求(2)．故解决条件概率问题的关 36 键是求得事件同时发生的概率及作为条件的事件发生的概 率．
红球 玻璃球 木质球 2 3 蓝球 4 7 小计 6 10
小计
5
11
16
由表知n(AB)＝4，n(B)＝11，nAB 4 ຫໍສະໝຸດ P(A|B)＝ ＝ . nB 11
跟踪练习 1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记 录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为0.20和0.18， 两地同时下雨的比例为0.12，问： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？
最新整理高中数学人教A版选修2-3课前导引：2.2.1条件概率 Word版含解析.doc
2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率课前导引问题导入为了了解某地区参加会计资格考试的1 005名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，求（1）每个个体被剔除的概率；（2）每个个体不被剔除的概率；（3）每个个体被抽取的概率分别是多少？思路分析：（1）由于每个个体被剔除的概率是相等的，于是每个个体被剔除的概率为51 005.（2）每个个体不被剔除的概率为1-10055=10051000.（3）一个个体被抽到等价于这个个体不被剔除，并且被抽到.因此每个个体被抽到的概率为10051000×100550100050=. 解析：设事件A ：考生a 被剔除；事件B ：考生a 不被剔除；事件C ：考生a 被抽取.从1 005中随机抽取5个共有51005C 种结果，每一种结果出现的可能性相等.（1）事件A 包含41005C 种结果，由等可能事件的概率公式得：P(A)=5100541005C C =10055; (2)由对立事件的概率的公式得：P （B ）=1-P （A ）=10051000； （3）从不被剔除的1 000个考生中抽取50个个体，由等可能事件的概率公式得每个个体被抽取的概率：P （C ）=1000551000114999=C C C ，考生a 被抽到是在不被剔除的条件下从1 000个考生中被抽到.知识预览1.条件概率的定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且P （A ）＞0,称P （B|A ）=)()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.2.条件概率的性质：0≤P （B|A ）≤13.如果B 和C 是两个互斥事件，则P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）。
高中数学人教A版选修2-3第二章2.2.1条件概率
4. P(B|A) ∈〔0,1〕 .
5．如果B 和C 是两个互斥事件，则P(（B∪C）|A )
＝ P(B|A)＋P(C|A) .
C
B Ａ∩C Ａ∩Ｂ
A
例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 的依次抽取2道题. （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率.
PB PA
0.4 0.8
0.5，
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
条件概率的计算公式及性质
1．利用定义计算：P(B|A)＝P（AB）/P（A）
2．利用缩小样本空间的观点计算： P(B|A)＝n(AB)/n(A)
3．P(B|A) ≥P(AB) ．
4. P(B|A) ∈〔0,1〕
5．如果B 和C 是两个互斥事件，则 P(（B∪C）|A )＝ P(B|A)＋P(C|A)
已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是1/2，在第
一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯
的概率是1/3，求两次闭合都出现红灯的概率．
解：记第一次闭合出现红灯为事件A， 第二次闭合出现红灯为事件B， 则P(A)＝1/2，P(B|A)＝1/3 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝2/3.
例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
就按对的概率。
例4、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
高中数学人教A版选修2-3 精品导学案：2.2.1 条件概率 Word版含解析
2.2二项分布及其应用2．2.1条件概率1．了解条件概率的概念．2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理条件概率阅读教材P51～P53，完成下列问题．1．条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0,1]．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝________.【解析】由P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1323＝12.【答案】1 22．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【解析】根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.【答案】0.5[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用定义求条件概率一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为 B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．【精彩点拨】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．【自主解答】由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝2 5，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11025＝14.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝P(AB)P(A).2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．[再练一题]1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________. 【导学号：97270036】(2)(2016·烟台高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．【解析】(1)由公式P(A|B)＝P(AB)P(B)＝23，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝35.(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.【答案】(1)2335(2)0.72利用基本事件个数求条件概率现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【精彩点拨】第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．【自主解答】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A B.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝1220＝35.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A)计算求得P(B|A)．(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB 发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(AB)P(A).[再练一题]2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【解】由题意得球的分布如下：玻璃木质总计红23 5蓝4711总计61016设A＝{取得蓝球}则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝141116＝411.[探究共研型]利用条件概率的性质求概率探究1掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．探究2“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．探究3先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？【提示】设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．【精彩点拨】设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．【自主解答】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，P(R|A)＝12，P(W|A)＝12，P(R|B)＝45，P(W|B)＝15.事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝1 2×710＋45×310＝59100.条件概率的解题策略分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[再练一题]3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝5100×100200＋25100×100200＝21800.(2)P(A|C)＝P(AC)P(C)＝520021800＝2021.[构建·体系]1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于()A.56 B.910 C.215 D.115【解析】由P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.【答案】 C2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14 B.13 C.12D．1【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是1 3.【答案】 B3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.【解析】∵P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.【答案】1 24．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________. 【导学号：97270037】【解析】∵P(A)＝336＝112，P(AB)＝136，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝136112＝13.【答案】135．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【解】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝12，P(AB)＝2×14×3＝16，所以P(B|A)＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14，所以P(B1|A1)＝P(A1B1)P(A1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18 B.14C.25 D.12【解析】∵P(A)＝C22＋C23C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.【答案】 B2．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0【解析】由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B) P(A)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.【答案】 B3．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝0.60.75＝0.8.【答案】 A4．(2016·泉州期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18 B.14 C.25 D.12【解析】法一：P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.法二：事件A包含的基本事件数为C23＋C22＝4，在A发生的条件下事件B包含的基本事件为C22＝1，因此P(B|A)＝1 4.【答案】 B5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是()A.13 B.118 C.16 D.19【解析】设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，所以P(A|B)＝n(AB)n(B)＝1030＝13.【答案】 A二、填空题6．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.【解析】P(A|B)＝P(AB)P(B)＝0.120.18＝23；P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.120.2＝35.【答案】23357．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为________. 【导学号：97270038】【解析】由题意知，P(AB)＝310，P(B|A)＝12.由P(B|A)＝P(AB)P(A)，得P(A)＝P(AB)P(B|A)＝35.【答案】3 58．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝C12C13＋C22C25＝710，P(AB)＝C12·C11C25＝15，P(AC)＝C12C12C25＝25，故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A)＝P(AB)P(A)＋P(AC)P(A)＝67.【答案】6 7三、解答题9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是1 10.(1)求n的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．【解】(1)由题意得：C2nC2n＋3＝n(n－1)(n＋3)(n＋2)＝110，解得n＝2.(2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 22C 25－C 23＝17. 10．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率．【解】 由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜13，由几何概率的计算公式可知． (1)P (A )＝131＝13. (2)令B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪15＜x ＜1，则AB ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |15＜x ＜13，P (AB )＝13－151＝215.故在A 的条件下B 发生的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝21513＝25.[能力提升]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A.14B.23C.12D.13【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A )＝1434＝13.【答案】 D2．(2016·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于()A.91216 B.518 C.6091 D.12【解析】事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60.所以P(A|B)＝n(AB)n(B)＝6091.【答案】 C3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝410×69＝415.【答案】4 154．如图2-2-1，三行三列的方阵有9个数a ij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．()a11a12a13a21a22a23a31a32a33图2-2-1【解】事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C28＝28，n(A B)＝2，故P(B|A)＝n(A B)n(A)＝228＝114，则P(B|A)＝1－P(B|A)＝1－114＝1314.即已知取到a22的条件下，至少有两个数位13 14.于同行或同列的概率为。
数学人教A版选修2-3教案：2.2.1条件概率含解析
2．2二项分布及其应用2．2。
1 条件概率错误!教材分析条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，教科书只是简单介绍条件概率的初等定义．为了便于学生理解，教材以简单事例为载体，逐步通过探究，引导学生体会条件概率的思想．课时分配1课时教学目标知识与技能通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义，掌握简单的条件概率的计算．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想．重点难点教学重点：条件概率定义的理解．教学难点：概率计算公式的应用．错误!错误!抓阄游戏:三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小．活动结果：法一:若抽到中奖奖券用“Y”表示,没有抽到用“错误!”表示,那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y错误!错误!,错误!Y错误!和错误!错误! Y.用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B仅包含一个基本事件错误!错误!Y。
由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P（B)＝1 3。
故三名同学抽到中奖奖券的概率是相同的．法二：（利用乘法原理）记A i表示：“第i名同学抽到中奖奖券"的事件，i＝1,2,3，则有P（A1)＝错误!，P(A2）＝错误!＝错误!，P(A3）＝错误!＝错误!.提出问题：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少?设计意图:引导学生深入思考，小组内同学合作讨论，得出以下结论,教师因势利导．学情预测：一些学生缺乏用数学语言来表述问题的能力，教师可适当辅助完成．师生共同指出：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有错误!错误!Y和错误!Y错误!。
而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y错误!Y。
由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为错误!，不妨记为P（B｜A），其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”．进一步提出：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？共同指出：在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A一定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件A中,从而影响事件B发生的概率,使得P（B｜A)≠P(B）．提出问题：对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？活动结果：用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由三个基本事件组成,即Ω＝｛Y Y Y,错误!Y错误!，错误!错误!Y}．既然已知事件A必然发生，那么只需在A＝{错误!Y错误!,错误!错误!Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件错误!Y错误!和错误!错误!Y。
2019-2020学年高中人教A版数学选修2-3学案：2.2.1 条件概率 含解析
2．2二项分布及其应用2。
2.1 条件概率Q错误!错误!在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5道题供考生回答,答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题；那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情况下你及格的概率又是多少？X错误!错误!1．条件概率一般地,设A、B为两个事件，且P(A)〉0，称P（B｜A）＝__错误!__为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．一般把P（B｜A）读作__A发生的条件下B发生的概率__．如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生,显然知道了A的发生,研究事件B时，基本事件发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是__条件概率__要研究的问题．2．条件概率的性质性质1：0≤P(B|A)≤1；性质2:如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A）＝P(B|A)＋P(C｜A)．Y错误!错误!1．已知P（AB）＝错误!，P（A）＝错误!，则P（B｜A)为( B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析］由公式P(B｜A)＝错误!得P(B｜A）＝错误!．2．（2019·武汉高二检测）据某地区气象台统计，在某季节该地区下雨的概率是错误!,刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上风又下雨的概率为错误!，设事件A为下雨,事件B为刮四级以上的风，那么P（B｜A)＝__错误!__．［解析］由题意P(A）＝错误!,P（B）＝错误!，P(A∩B)＝错误!，∴P（B|A）＝错误!＝错误!．故答案为错误!．3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为__错误!__．[解析］解法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为错误!．解法二：第一次取到不合格品的概率为P1＝错误!＝错误!，两次都取到不合格产品的概率为P2＝错误!＝错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!＝错误!．4．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个,从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球,则(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为多少？（2）在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为多少？(3）在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为多少？［解析］解法一：（1)第一次取到红球不放回，此时口袋里有2个红球，5个蓝球，故第二次取到红球的概率为P1＝错误!．(2）第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球,取到红球的概率为错误!．（3）第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为P3＝错误!．解法二：（1）记事件A为“第一次取到红球”,事件B为“第二次取到红球”，∵P（A∩B)＝错误!＝错误!，P(A）＝错误!，∴P（B｜A）＝错误!＝错误!＝错误!．（2)设C＝“第一次取到蓝球",B＝“第二次取到红球”,则P(CB)＝错误!＝错误!,P(C)＝错误!,∴P(B｜C）＝错误!＝错误!．(3)记C＝“第一次取到蓝球”，D＝“第二次取到蓝球”，则P(CD）＝错误!＝错误!,P（C)＝错误!，∴P(D｜C）＝错误!＝错误!．H错误!错误!命题方向1 ⇨利用条件概率公式求条件概率典例1 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个,已知取到的是蓝球,问该球是E型玻璃球的概率是多少?[思路分析］通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是E型玻璃球的概率．[解析］(1)令事件A＝{取得蓝球｝，B＝｛取得蓝色E型玻璃球}．解法一：∵P(A）＝1116,P(A∩B）＝错误!＝错误!，∴P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!．解法二：∵n(A）＝11，n(A∩B)＝4，∴P(B|A)＝错误!＝错误!．『规律总结』（1）在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率"时,一般可认为是条件概率．(2)条件概率的两种计算方法①在原样本空间中，先计算P（AB),P(A)，再利用公式P（B|A）＝错误!计算求得P（B|A）；②若事件为古典概型，可利用公式P（B｜A)＝错误!，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．〔跟踪练习1〕(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。
2013-2014学年高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测2.2.1条件概率
解析：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为 事件B，根据题意得P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，所 以：
(P1()A乙|B地)＝为P雨PA天BB时＝，00..甲1128地≈也0.是67雨. 天的概率是
＝
150×
5 11
＋
120×
4 11
＋130
5 ×141＝292，故①⑤错误；②P(B|A1)＝10
× 1 151＝151故②正确；
2
③事件 B 与 A1 的发生有关，故错误；④A1，A2，A3 不可能同 时发生，是互斥事件．
答案：②④
小时未6．坏某的种概元率件是用1满，6现00有0小一时个未此坏种的元概件率，是已经34 用，过用6满00100小000 时未坏，则它能用到2 10000小时的概率为________．
设 A＝“至少有一颗是 6 点”，则事件 A 共包含 11 种不
同情况，P(A)＝1316.
(2)由(1)知，共有 36 种不同情况．又设 B＝“两颗骰子点
数不同”，则事件 A·B 共包含 10 种不同情形．
10
P(A|B)＝PPAB·B ＝3360＝13.
点评：事件B＝“两36颗骰子点数不同”的概率P(B)33＝06
10
跟踪练习
2．掷两颗均匀的骰子，问： (1)至少有一颗是6点的概率是多少？ (2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的 概率又是多少？
分析：第(2)小题即为条件概率，条件是两颗骰子点数不 同，可用条件概率计算公式求解．
解析：(1)对两颗骰子加以区别，则共有36种不同情况， 它们是等可能的．
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3课时达标训练 2-2-1条件概率 含解析 精品
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课时达标训练1.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.某人第一次失败,第二次成功的概率为P==.2.一个口袋中装有2个白球和3个黑球,则先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.袋子中共计有5个球,2个白球,3个黑球,有放回地摸球,每次摸到白球的概率都是相等的,都等于=.3.P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(A|B)=___ _____,P(B|A)=________.【解析】P(A|B)===.P(B|A)===.答案:4.一批零件共100个,次品率为10%,接连两次从其中任取一件,第一次取出的次品零件不放回,则第二次才取得正品的概率为__________.【解析】记事件A={第一次取出的零件是次品},事件B={第二次才取出的零件是正品},则P(A)=,P(B|A)=,从而P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=.答案:5.由长期统计资料可知,某地区在4月份下雨(记为事件A)的概率为,刮五级以上风(记为事件B)的概率为,既刮五级以上风又下雨的概率为,则P(A|B)=________,P(B|A)=______ __.【解析】P(A|B)===,P(B|A)===.答案:6.已知男人中有5%患色盲,女人中有0.25%患色盲,从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率.(2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.(以上各问结果写成最简分数形式)【解析】设“任选一人是男人”为事件A,“任选一人是女人”为事件B,“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.(2)由(1)得P(AC)=,又因为P(C)=,所以P(A|C)===.关闭Word文档返回原板块。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3课时作业 2-2-1条件概率
课时作业(十六)1．下列选项正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．P (A ∩B |A )＝P (B ) C.P (AB )P (B )＝P (B |A ) D ．P (A |B )＝n (AB )n (B )答案 D解析 正确理解好条件概率的公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝n (AB )n (B )是解决本题的关键．2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14 B.13 C.12 D ．1答案 B解析 因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72答案 D解析 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗(发芽，又成长为幼苗)”为事件AB ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B |A ，由P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.4．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )A.310 B.35 C.12 D.25答案 D解析 令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B ，则P (AB )＝C 12·C 14C 16·C 15＝415，P (A )＝C 14·C 13＋C 12·C 14C 16·C 15＝23. 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415×32＝25. 5．把一枚硬币任意抛掷两次，事件B 为“第一次出现反面”，事件A 为“第二次出现正面”，则P (A |B )为( )A.14B.12C.13D.34答案 B解析 事件B 包含的基本事件数有1×C 12＝2个，BA 包含的基本事件数为1，由条件概率公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝n (AB )n (B )＝12.6．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )和P (B |A )分别等于( )A.13，25 B.23，25 C.23，35 D.12，35答案 C 解析 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝35.7．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.110 C.59 D.25答案 C解析 A ＝{第一次取得新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝C 16C 19，n (AB )＝C 16C 15. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 16C 15C 16C 19＝59.8．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球，则(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为________；(2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为________；(3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为________．答案 (1)27 (2)37 (3)479．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．答案 15解析 甲排在第一跑道，其他同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以所求概率为A 44A 55＝15.10．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸白球的概率为________．答案 110解析 P ＝2×15×4＝110.11．如下图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (AB )＝________，P (A |B )＝________.答案 19 14解析 P (A )＝39＝13，P (B )＝49，P (AB )＝19，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1949＝14. 12．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两骰子点数之和大于8的概率为________．答案 512解析 令A ＝“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B ＝“两骰子点数之和大于8”，则A ＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．AB ＝{(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}． ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )＝512.13．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有一白球的概率为79，则白球的个数为________．现从中不放回地取球，每次1球，取两次，已知第2次取得白球，则第1次取得黑球的概率为________．答案 5 5914．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？解析 设A ＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．(1)由古典概率知P (A )＝1040＝14. (2)方法一：由古典概型知P (A |B )＝415. 方法二：P (AB )＝440，P (B )＝1540， 由条件概率的公式，得P (A |B )＝415. 15．一个家庭中有两个小孩，求： (1)两个小孩中有一个是女孩的概率； (2)两个都是女孩的概率；(3)已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率．思路分析 “有一个是女孩”记为事件A ，“另一个是女孩”记为事件B ，则其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率就是在A 发生的条件下，B 发生的概率，利用条件概率解决．解析 设“家庭中有一个是女孩”为事件A ，“另一个也是女孩”为事件B ，则“两个都是女孩”为事件AB ，家庭中有两个小孩的情况有：男、男；男、女；女、男；女、女；共4种情况，因此n (Ω)＝4；其中有一个是女孩的情况有3种，因此n (A )＝3；其中两个都是女孩的情况有1种，因此n (AB )＝1.(1)由P (A )＝n (A )n (Ω)＝34，可得两个小孩中有一个是女孩的概率为34.(2)由P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝14，可得两个都是女孩的概率为14.(3)由条件概率公式，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1434＝13或P (B |A )＝n (AB )n (A )＝13.因此，在已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率为13. ►重点班选做题16．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 解析 令事件A ＝{任取的三个数中有a 22}．令事件B ＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}．则B ＝{三个数互不同行且互不同列}．依题意可知n (A )＝C 28＝28，n (A B )＝2，故P (B |A )＝n (A B )n (A )＝228＝114，所以P (B |A )＝1－P (B |A )＝1－114＝1314.即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.17．盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解析 设事件A ：“任取一球，是玻璃球”；事件B ：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球 蓝球 小计 玻璃球 2 4 6 木质球 3 7 10 小计51116由表知，P (B )＝1116，P (AB )＝416，故所求事件的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4161116＝411.1．从一副扑克的52张(去掉大、小王)随机平均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张梅花}，B ＝{孙家得到3张梅花}．(1)计算P (B |A )； (2)计算P (AB )．解析 (1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张梅花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张梅花的概率．于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339＝0.278.(2)在52张牌中任选13张C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中元素为C 1352，A 中元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (AB )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3文档：第2章 2.2.1 条件概率 Word版含答案
2.2 二项分布及其应用2．2.1 条件概率1．了解条件概率的概念．2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理条件概率阅读教材P51～P53，完成下列问题．1．条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝错误!为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.( )(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.( )(3)P(B|A)与P(A|B)相同．( )【解析】(1)√因为事件A与B互斥，所以在事件A发生的条件下，事件B不会发生．(2)√因为事件A等于事件B，所以事件A发生，事件B必然发生．(3)×由条件概率的概念知该说法错误．【答案】(1)√(2)√(3)×2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝________.【解析】由P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】1 23．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【解析】根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.【答案】0.54．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．【解析】第一次取到不合格品后，还剩99件产品，其中4件不合格品，则第二次再取到不合格品的概率为P＝4 99.【答案】4 99[小组合作型]利用定义求条件概率一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．【精彩点拨】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．【自主解答】由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝2 5，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(AB)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝错误!.2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．[再练一题]1．从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )【导学号：29472053】A.18B.14C.25D.12【解析】P(A)＝C23＋C23C26＝25，P(AB)＝C23C26＝15.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝错误!＝1 5÷25＝12.【答案】 D利用基本事件个数求条件概率现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【精彩点拨】第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．【自主解答】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝错误!＝错误!＝错误!.(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝错误!＝错误!＝错误!.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝错误!计算求得P(B|A)．(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P(B|A )，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.[再练一题]2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【解】由题意得球的分布如下：设A＝{则P(A)＝1116，P(AB)＝416＝14.∴P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.[探究共研型]利用条件概率的性质求概率探究1掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．探究2“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．探究3先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？【提示】设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【解】法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝错误!＝错误!÷错误!＝错误!，P(C|A)＝错误!＝错误!÷错误!＝错误!.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为5 9 .法二：因为n(A)＝1×C19＝9，n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，所以P(B∪C|A)＝59.所以所求的条件概率为59.1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C 互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．[再练一题]3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝5100×100200＋25100×100200＝21800. (2)P (A |C )＝错误!＝错误!＝错误!.1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B.910 C.215 D.115【解析】 由P (B |A )＝错误!，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝错误!×错误!＝错误!. 【答案】 C2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14 B.13 C.12D ．1【解析】 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.【答案】 B3．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.【解析】 ∵P (AB )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝12.【答案】 124．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．【解析】由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A3＝6. 所以P(B|A)＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】1 25．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【导学号：29472054】【解】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果．所以P(A)＝12，P(AB)＝2×14×3＝16，所以P(B|A)＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1 3 .(2)设“先摸出1个白球后放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14，所以P(B1|A1)＝错误!＝错误!＝错误!.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为1 2 .。
人教A版高中数学选修2-3课件2.2.1条件概率
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的
概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.
1． 根据以往的临床记录 ,某种诊断癌症的试
验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件"试验反应 为阳性" ,以 C 表示事件"被诊断者患有癌症",则 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群
1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不 放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第 i 号、 第
j 号产品,则试验的样本空间为 {(1, 2), (1, 3), (1,4), (2,1),(2, 3),(2,4) , ,(4,1),(4, 2),(4, 3)},
10
（2）
P( AB)
P( A)P(B
A)
6 5 10 9
0.33
（3）
P( AB) P( A)P(B
A)
4 10
6 9
0.27
思考二.一批产品中有 4% 的次品，而合格品中 一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一 等品的概率．
解:设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出
A {(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2,1),(2, 3),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3, 4)},
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3课后提升训练 十
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课后提升训练十二条件概率(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.条件概率P(B|A)表示( )A.事件B与事件A的概率之差B.事件B与事件A的概率之商C.事件B与事件A的概率之积D.在事件A发生的条件下,事件B的概率【解析】选D.由条件概率定义可知D项正确.2.(2017·长春高二检测)甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意可知,n(B)=22=12,n(AB)==6.所以P(A|B)===.3.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.设A=“第一次取到白球”,B=“第二次取到白球”,则P(A)=,P(AB)=×=.所以P(B|A)===.4.(2017·汉中高二检测)某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( )A. B. C. D.【解析】选 A.设A为事件“数学不及格”,B为事件“语文不及格”,P(B|A)===,所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为.5.(2017·青岛高二检测)—个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取1支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 C.记“第i(i=1,2)支晶体管是好的”为事件A i(其中i=1,2).由题意可知,要求的概率为P(A2|A1),因为P(A1)=,P(A1A2)==,所以P(A2|A1)===.【补偿训练】在10支铅笔中,有8支正品,2支次品,从中任取2支,则在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到正品的概率是( )A. B. C. D.【解析】选 C.利用缩小基本事件空间求解.第一次抽到一支次品,还剩9支,其中有8支正品,所以第二次抽到正品的概率是.6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)= ( )A. B. C. D.【解析】选B.P(A)==,P(AB)=P (B)==.由条件概率计算公式,得P(B|A)===.7.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=, B=,则P(B|A)等于( )A. B. C. D.【解析】选A.P(A)==.因为A∩B=,所以P(AB)==,所以P(B|A)===.8.(2017·唐山高二检测)已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选C.设第一个路口遇到红灯的事件为A,第二个路口遇到红灯的事件为B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)==0.8.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·汉口高二检测)抛掷甲、乙两枚骰子,若事件A:“甲骰子的点数小于3”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于6”,则P(B|A)=__________.【解析】因为P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)===.答案:10.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是________.【解析】设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),由于P(B|A)=,而P(A)==,AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,故P(AB)==,于是P(B|A)==.答案:三、解答题11.(10分)(2017·济宁高二检测)根据多年的气象记录,甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为15%和20%,两地同时下雨的比例为10%,求:(1)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率.(2)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率.【解析】设事件A为“甲地为雨天”,事件B为“乙地为雨天”,则根据题意有P(A)=15%,P(B)=20%,P(AB)=10%,所以:(1)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为P(B|A)====.(2)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率是P(A|B)===.【能力挑战题】如图,三行三列的方阵中有9个数a ij(i=1,2,3,j=1,2,3),从中任取三个数,已知取到a22的条件下,求至少有两个数位于同行或同列的概率.a11a12a13a21a22a23a31a32a33【解析】令事件A={任取的三个数中有a22}.令事件B={三个数至少有两个数位于同行或同列}.则={三个数互不同行且互不同列}.依题意可知n(A)==28,n(A)=2,故P(|A)===,所以P(B|A)=1-P(|A)=1-=.即已知取到a22的条件下,至少有两个数位于同行或同列的概率为.关闭Word文档返回原板块。
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第二章 2.2 2.2.1
【基础练习】
1．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于( )
A.2
5 B.1
2 C.3
5 D.45
【答案】A
2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A ．0.2
B ．0.33
C ．0.5
D ．0.6 【答案】A
3.(2019年东莞期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为310，下雨的概率为11
30，既吹东风又下雨的概率为4
15，则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A.89 B.25 C.911 D.811
4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )
A.18
B.12
C.25
D.14 【答案】A
5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他周六晚上值班的概率为________．
【答案】1
6
【解析】设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16
C 27，P (AB )＝1C 27
，
∴P (B |A )＝
P (AB )P (A )＝1
6
.
6．设袋中有3个白球，2个红球．现从袋中随机抽取2次，每次取一个，取后不放回，则第二次取得红球的概率为________．
【答案】2
5
7．从1到100的整数中，任取一个数，已知取出的数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．
【解析】A ＝{任取一数且该数不大于50}，B ＝{取出的该数是2或3的倍数}，则n (A )＝50，n (AB )＝33.
∴P (B |A )＝
n (AB )n (A )＝3350
，即该数是2或3的倍数的概率为33
50.
8．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
【解析】记事件A ＝{最后从2号箱中取出的是红球}， 事件B ＝{从1号箱中取出的是红球}． P (B )＝46＝23，P (B )＝1－P (B )＝1
3.
P (A |B )＝49，P (A |B )＝39＝13
.
从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝49×23＋13×13＝11
27，
即从2号箱取出红球的概率是11
27
.
【能力提升】
A.34
B.58
C.716
D.916
【答案】B
【解析】记第1球投进为事件A,第2球投进为事件B ，则由题意得P(B|A)=34,P(B|_A)=14,P(A)=3
4，则P(B)=P(A)(B|A)+P(_A)P(B|_A)=34×34+(1-34)×14=5
8.故选B.
10．(2018年深圳模拟)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一
颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝( )
A ．3
10
B ．2
7
C ．1
4
D ．13
【答案】C
【解析】由题意得事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH
S 圆O
，事件AB 表示“豆子落在△EOH
内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O
，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝S △EOH S 正方形EFGH ＝1
4.
【解析】在男生甲被选中的情况下，只需要从n －1中选出2人，有C 2n －1
种情况，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，有C 1n －2种情况，故
C 1n －2
C 2n －1
＝0.4，解得n ＝6.故选C. 11．一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是男孩，则另一个是女孩的概率是________．
【答案】2
3
【解析】设A ＝{其中一个是男孩}，B ＝{其中一个是女孩}，则n (A )＝3，n (AB )＝2，P (B |A )＝
n (AB )n (A )＝23
. 12.已知P(_A)=12,P(_B|A)=2
3,P(B|_A)=14
,求P(_B),P(_A|B).
【解析】因为P(_B|A)=P(A _B)P(A)=P(A _
B)1-P(_A)
，所以P(A _B)=23×(1-12)=1
3
.
因为P(_B|_A)=1-P(B|_A)，P(_B|_A)=P(_A _
B)P(_A)
，所以P(_A _B)=(1-14)×12=3
8.
所以P(_B)=P(A _B)+P(_A _B)=13+38=17
24
.
因为P(B|_A)=P(_AB)P(_A)，所以P(_AB)=14×12=1
8.
所以P(_A|B)=P(_AB)P(B)=P(_
AB)1-P(_B)
=3
7
.。