圆中的基本概念及定理(讲义及答案)

圆中的基本概念及定理（讲义）

➢课前预习

在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为．

在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．

一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．

顶点在圆心的角叫做圆心角．

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➢知识点睛

1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，

另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”．

2.圆中概念：

弧：，弧包括和；

弦：；

圆周角：；

圆心角：；

弦心距：；

等圆：；

等弧：．

3.圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是；

圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：

*（1）垂径定理：

．推论：

．（2）四组量关系定理：在中，如果

、、、

中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

（3）圆周角定理：

．推论1：．

推论2：，

．推论3：

．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路：

①找圆心，连半径，转移边；

②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；

③遇直径，找直角，由直角，找直径；

④由弧找角，由角看弧．

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➢ 精讲精练

1.

如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（ ）

︵ ︵

A ．CM =DM

B ． CB = B D

C ．∠AC

D =∠ADC

D ．OM =MB

第 1 题图

第 2 题图

2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为

．

，则⊙O 3.

工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为

mm ．

第 3 题图

第 4 题图

4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为

．

5.

如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2

，则∠BCD =

．

6 3

6.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD=50°，则

∠ACD= ．

第6 题图第7 题图

7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥

AB 长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为．

8.如图，在半径为3 的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E，

连接AC，BD，若AC=3，则∠D= ．

9.如图，∠AOB=100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A，B 重合，

则∠ACB 的度数为（）

A．50°B．80°

或50°

C．130°

D．50°或130°

10.如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD=DO．以

O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E，交AB 于F，G 两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．

11.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角

∠DCE=64°，那么∠BOD 的度数为．

12.如图，⊙O 的两条弦AB，CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，

已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．

13.已知⊙O 的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，

则AB，CD 之间的距离为．

2 【参考答案】 ➢ 课前预习

圆心；半径；2πr ；πr 2

➢ 知识点睛

1. 圆；圆心；半径；⊙O ．

2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；

连接圆上任意两点的线段叫做弦；

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距； 能够重合的两个圆叫做等圆；

在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧 3. 任意一条过圆心的直线；圆心．

4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（2） 同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心

距．

（3） 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

同弧或等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．

➢ 精讲精练

1. D

2. 2

3. 8

4. 13 m

5. 30°

6.

40°

7. 100 cm 8. 60° 9. D 10. 33° 11. 128° 12.

13. 7 cm 或 17 cm

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