投影面平行线

2-2 点、线、面的投影特性

2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。

如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。

图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。

分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。

图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。

分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。

2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。

两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。

X坐标确定两点的左右位置关系。

X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。

Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。

Z坐标值大的点在上。

图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。

3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。

此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。

第二章直线的投影

如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。如果两直线都平行于某投影面，则必须根据第三投影或比例关系判断。
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上
直线水平线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧面投影e"f "//oz 轴，且均短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正面投影e f //oz 轴，且均短于实长。
• 1．直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2．直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该直线的同面投影上。
2.直线上的点，

投影的基本知识

Z b’ a’ b” a”
X
Yw
b a
（2）投影面垂直线的投影

投影面垂直线在空间与一个投影面垂直，与另两个投影面平行。投影面垂直线分为：铅垂线、正垂线、侧垂线三种。投影面垂直线的投影特点为：一个投影积聚为点，另两个投影垂直于相应的投影轴，且反应实长。
投影面垂直线的投影图
（3）投影面平行线的投影

影子与投影区别
投影的分类

根据投射中心与投影面位置的不同，投影可分为两大类：中心投影和平行投影。中心投影：投射线都是由投射中心发出的，这种投影方法称为中心投影法。由此得到的投影图称为中心投影图。平行投影：投射中心距投影面为无限远时，所有投射线成为平行线，这种投影方法称为平行投影法，由此得到的投影图称为平行投影图。
（1）两直线平行

投影特点：两直线在空中平行，则其各同面投影平行。
（2）两直线相交

投影特点：两直线在空间相交，则其各同面投影必相交，且交点符合点的投影规律
求相交两直线
（3）两直线交叉

投影特点：两直线在空间既不平行也不相交。
两直线交叉
平面的投影

用几何元素表示平面
各种位置平面的投影
如图
正投影特性
类似性：当直线或平面与投影面倾斜时，其投影为缩短的线段或缩小的平面。
A B C b aA bA c A BA
a H
H`
正投影特性
全等性：当直线或平面与投影面平行时，其投影反映实长或实形。
A B
C
a
b
a
b
H
H
c
正投影特性

积聚性：当直线或平面与投影面垂直时，其投影积聚成一点或一直线。

第二章投影的基本知识

第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。

【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。

第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。

投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。

图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。

需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。

(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。

（一）中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。

图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。

优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。

（二）平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。

平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。

（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。

(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。

正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。

三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。

画法几何制图—平面投影及相对位置

② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判例别判下断列下平列面两与平平面面是是否否平平行行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜一般位置平面
三峡大学
9
1）投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线，与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’

投影面平行线设计教学课件

侧平线：W（左视）
直线投影-投影面平行线
直线投影-投影面平行线
本节关键词：一平行二倾斜三条线四实长
直线投影-投影面平行线
本节关键词：
一平行（平行一个投影面）二倾斜（倾斜另外两个面）三条线（水平线、正平线、侧平线）四实长（在所平行的投影面反映实长）
直线投影-投影面平行线
随堂练习：投影面平行线有什么投影特点?
教材：《水利工程制图》
课题:投影面平行线
直线投影-投影面平行线
概念解读：平行于一个投影面，同时倾斜于其他
两个投影面的直线称投影面平行线
直线投-投影面平行线
投影面平行线：平行于一个投影面，同时倾斜于其他两个投影面的直线称投影面平行线。图3-12中AB∥V面，倾斜于（∠）H面及面，它的正面投影a″b″反映实长及其于H、W面的倾角α 、γ （直线与其相应投影的夹角即直线对相应投影面的倾角，它于H、V、W面的倾角分别用α βγ 表示）。因Ya=Yb，所以ab∥OX，a″b″∥OZ。
直线投影-投影面平行线
本节重点部分投影面平行线共有三种投影面平行线：平行于水平投影面（H面）的直线：水平线平行于正立投影面（V面）的直线：正平线平行于侧立投影面（W面）的直线：侧平线
直线投影-投影面平行线
水平线：H（俯视）
直线投影-投影面平行线
正平线：V（主视）
直线投影-投影面平行线
知识点拓宽：（）一个投影面的平面称为投影面平行面. A.平行于 B.垂直于 C.倾斜于 D.相交于
谢谢各位！敬请批评指正！

各种位置直线的投影特性

各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。

后两类直线又称为特殊位置直线。

1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。

2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。

直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。

投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。

图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。

3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。

又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。

表3-1为投影面平行线的投影特性。

表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。

第三讲平面和直线投影特性

平行于侧面的直线称为侧平线
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线投影特性：（1）在所垂直的投影面上投影积聚为一点。（2）其他两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于相应的投影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线投影特性：（1）在所垂直的投影面上投影积聚为一点。（2）其他两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于相应的投影轴。
一、正投影的特性
二、点、线、面的投影特性
一、正投影法的基本特性
1.真实性：当直线、曲线或平面平行于投影面时，直线或曲线反映实长，平面反映真实形状。
2.积聚性: 当直线、曲面或平面垂直于投影面时，直线积聚成一点，曲面或平面积聚成曲线或直线。
3.类似性：当直线、曲线或平面倾斜于投影面时，直线或曲线投影仍为直线或曲线，但小于实长。平面应小于真实投影大小，与原平面外形类似。
垂直于正面的平面称为正垂面
三、平面的投影分析
3.投影面垂直面投影特性： (1)在所垂直的投影面内投影积聚为一段斜线。 (2)其他两个投影面上的投影均为缩小的类似形。
垂直于侧面的平面称为侧垂面
投影举例：根据物体的立体图，画出其三视图。
平行于水平面的平面称为水平面
三、平面的投影分析
2.投影面平行面投影特性：（1）在所平行的投影面上投影反映实形。（2）其他两个投影面上的投影积聚为直线，且分别平行于相应的投影轴。
平行于正面的平面称为正平面
三、平面的投影分析
2.投影面平行面投影特性：（1）在所平行的投影面上投影反映实形。（2）其他两个投影面上的投影积聚为直线，且分别平行于相应的投影轴。

4-5投影原理-线的投影

相对于投影面名称规定夹角的名称 H V W

1．投影面垂直线的投影
在三投影面体系中，当直线垂直于某一个 A
投影面时，则必同时平行于另两个投影面，
这样的直线称为投影面垂直线。共有三种投影面垂直线：直线⊥投影面 H：铅垂线 B
P
a（ b ）
直线⊥投影面 V：正垂线
直线⊥投影面 W：侧垂线
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
z a
a
A
b
a
b
b

a

X
O
YW
B
b
a

a b 投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、角的真实大小
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b a B b
b
a

a
b a

O
A

X
YW
a
b
a
b YH
2.4 线的投影
一、直线在单一投影面上的投影
A C D B P
a（ b ）
E F
P c
P
e
f
d
• 直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点 • 直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长 • 直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短
二、直线在三投影面体系中的投影
直线与投影面夹角的规定名称
（1）．求直线的实长及对水平投影面的倾角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab

|zA-zB |

AB
AB |zA-zB| ab

直线的投影

2.投影面垂直线
正垂线
立体及其三视图
投影轴测图
直线投影图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性：在所垂直的
投影面上的投影积聚为一点；
另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。
直线的投影二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影

平行投影和中心投影

中心投影与平行投影知识点一中心投影与平行投影1、投影：光线通过物体,向选定的面(投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.3、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。

平行投影的投影线是平行的。

在平行投影中,投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形全等;4、中心投影与平行投影的区别与联系（1）中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体,画实际效果图时，一般用中心投影法;(2）平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征。

画立体几何中的直观图形时一般用平行投影法。

例1、判断下列命题是否正确（1）直线的平行投影一定为直线（2）一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段（3）矩形的平行投影一定是矩形（4）两条相交直线的平行投影可以平行知识点二三视图1、概念：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。

线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图。

光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。

光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图。

2、三视图画法规则高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等例2、画出下列几何体的三视图分析:一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。

画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。

解：这二个几何体的三视图如下例3、如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）变式1、如图，E、F分别为正方形的面ADD1A1、BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影不可能为回顾与反思变式2、三视图如下，试判断该几何体的形状变式3、个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题:（1）该物体有多少层？ (2）该物体的最高部分位于哪里?(3)该物体一共由几个小正方体构成？【解】(1)该物体一共有两层,从正视图和侧视图都可以看出来．(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．（3）从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有;第三排左侧1个,右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成.知识点三直观图-———斜二测画法基本步骤如下：1、建系:在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒。

画法几何与工程制图第四章直线的投影

[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节两直线的相对位置
一、平行两直线二、相交两直线三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影必互相平行。若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间一定互相平行。
第四章直线的投影
第一节直线的投影
第二节直线与投影面的相对位置
第三节线段的实长及其对投影面的倾角第四节直线上的点第五节两直线的相对位置直线的投影
第六节垂直两直线的投影
第一节直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线二、直线的投影可由直线上两点的同面投投影确定
一.直线的投影一般仍为直线

W
H
三、投影面垂直线
铅垂线正垂线
侧垂线

垂直于W 面的线

小结：
⑴.

投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定

第二节直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线二、投影面平行线三、投影面垂直线
平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）投影面垂直线侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）

各位置直线和平面投影特性总结

事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是，的对边一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面一般位置平面
投影面平行面投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小

第三章平面立体的投影及线2

b’ a’ V X H a d’ c’
b
d c
0

c1’
b1’ a1’
例题
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 距离
例题
已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d e
N
d
2、投影面平行面（目的是得到反映平面实形的投影）
平面与投影面的位置关系有三种：平行、垂直、任意斜平面。投影面平行面其投影已反映实形，不需作辅助投影。
H
YH (a)投影面水平面
YH
（2）正平面：平行于正立投影面的平面 a、在V面投影反映实形 b、在H 、W面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OX、OZ
Z Z V W YW X X YW
H
YH
YH
(b)投影面正平面
（3）侧平面：平行于侧立投影面的平面 a、在W面投影反映实形 b、在H 、V面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OYH、OZ Z Z V W YW X X YW
⑴反映投影面垂直面实形的辅助投影
投影面垂直面本身垂直于原投影面之一，因此在垂直于原投影面内作一平行于垂直面的平面即可。作图步骤： a.作O1X1∥ac(b),建立新投影体系V1/H. b.过a作的O1X1垂线，在垂线上量取a1´ax´=a´ax´,得a1´. c.过c(b)点作O1X1的垂线，在垂线上量取b1´b´x=b´bx´, c1´bx´=c´bx,得b1´和c1´. d.连接a1´b1´和a1´c1´和b1´c1´得△a1´ b1´c1´，即为△ABC的实形。
第三章立体上直线的投影分析 3.2.5 直线的辅助投影
两直线位置关系的判定：判定两直线与投影面的位置关系一、两条都为投影面斜直线。 1、其两面投影均相交。看交点是否符合点的投影规律：符合，则两直线相交；否则就是交错。

《机械制图》第二章直线的投影

1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两点连线构成。该直线垂直于某一投影面，对另外两个投影面都平行。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别平行于直线一斜二平）
名称
直观图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章直线的投影
第三节直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。

直线投影

1、已知直线AB的三面投影
试判别有关性质：
aˊ
（1）AB是侧平线
（2）它同V面—倾—斜
bˊ
它同W—平—行
Xa
它同H 倾斜（平行或倾斜）
（3）它在 W 投影面上的投影 b
a〞b〞反映实长
Z a〞
b〞
O
YW
YH
2、已知直线AB的三面投影，试判别有关性质：
Z
a'(b')
X
b
b"
O
a"
AB是正垂线，
bˊ
a〞 b〞
A X
B O b〞 X
O
YW
a
H
b
a
Y
b
YH
投影特性：1、ab=AB且 ab且倾斜于投影轴（一斜）
2、a′b′、a〞b〞＜AB且平行于相应投影轴（二平）
3、侧平线（平行W面且倾斜V面、H面）
Z
V
aˊ
aˊ A
W a〞
bˊ
bˊ
Z a〞b〞Xa来自OXaO
YW
B
b〞
Hb
b Y
YH
投影特性：1、a〞b〞 =AB且 a′b′且倾斜于投影轴（一斜）
（垂直于投影轴→二垂）
辩认：一点二垂
（三）一般位置直线这类直线对三个投影面均处于倾斜位置
V
Z
b' B b" W
a'
X
A a b a"
Z b' b"
a'
O a"
X
b
YW
H
Y
a YH
1）直线的三面投影长度均小于实长

点、线、面的三面投影

0 2 （3）直角投影定理
两直线在空间上垂直（垂直相交或垂直交叉），当其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。利用直角投影原理，可完成过点作投影面平行的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。
0 2
0 4）曲线投影 2 （1）曲线的形成和分类
②三个投影的长度都小于实长。
事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线
一定是一条一般位置直线。
0 2）直线上点的投影特性 2
（1）从属性（2）定比性点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。
0 2
例题：
0 3）空间两直线的相对位置 2
0 2 （ 3）常见曲线的投影
·当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。
·当圆所在平面为一般位置平面时，
圆的两个投影均为椭圆。
0 2
②圆柱螺旋线的投影一动点在正圆柱表面上绕其轴线作等速回转运动，同时沿圆柱的轴线方向作等速直线运动，则动点在圆柱表面上的轨迹称为圆柱螺旋线。常见实例为螺旋楼梯、弧形楼梯
正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴
0 2
侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。
侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴
0 投影面平行线的投影特性可概括如下： 2
面的倾角。
①直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投
影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投影 ②该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。

第0章-迹线平面

m
e
p
三、迹线平面
空间平面与投影面的交线称为迹线，用迹线表示的平面称为迹线平面。
N1 N2 PV PV
B
C A M1 PH K D M2
P x Px PH
Px
O
一般位置平面有：正面迹线、水平迹线、侧面迹线，且各迹线都倾斜于投影轴。
三、迹线平面
PV
PV P
P
PH
x
O
PH
投影面平行面，在所平行的投影面上没有迹线，其他两投影面迹线平行于相应的投影轴。
三、迹线平面
QV Q QH x QH
QV
PV
O
Qx RV
投影面垂直面，在所垂直的投影面上的迹线与平面积聚性投影重合，另一迹线与对应投影轴垂直（一般不画出来）。
需要注意的是：由于迹线是平面与投影面的公有线，迹线在该
投影面上的投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。
三、迹线平面
例题4
图中由Q 面上直线EF的投影e'f'，求作直线的水平投影ef。
e' x b'
k' c'
f'
5 mm
10
15
20
a'
d'
O
10 20 15 5 mm
a e
b c
k
f
d
二、平面上的特殊直线
2.平面上的最大斜度线 P F A E M2
m2
2
M1 m
1
1
a PH
e
平面上的最大斜度线的基本性质：
1）平面上的最大斜度线，一定垂直于该投影面的平行线。
2）最大斜度线对投影面的倾角，等于平面对该投影面的倾角。