画法几何制图平面的投影及相对位置

侧平面
V
c
b
B
b
a
b
W
a
c
A
a
aபைடு நூலகம்
a
bC
c
b
b a
c
Hc
c
投影特性：
1.abc//OYY、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
水平面
1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。 2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴 平行的直线。
b’
RV PV a’
PH a
b QH
5.已知平面图形的两个投影，求作第三个投影，并判断平面的空间位置。
a)
b)
c)
b
a
c
三角形是水平 面
平面图形是正垂面
投影面平行面:两线一实形 投影面垂直面:一斜两类似
平面图形是侧垂面
三、平面上的直线和点
⒈平面上取任意直线
在平面内取 直线的方法
定理一
若一直线过平面上的 两点，则此直线必在 该平面内。
a.一般位置平面的迹线表示法
V
PV
P
PV
H PH b.特殊位置平面的迹线表示法 PV
V
QV
PH QV
PH
PH
H
二、平面的投影
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
平面//投影面 投影反映实形面
垂直
平面⊥投影面
投影积聚成直线
倾斜
平面∠投影面
投影类似原平面
实形性
积聚性
类似性
⒉ 各种位置平面的投影(三类七种情况)
侧垂面
V
S B
b
SW
b
W a
b c β c
α a
c
C
a
A
H
b c
投影特性：
a
1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角；
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
类似性
b
b
类似性
是什么位置
的平面？
a
积聚性
γ
a
c c
βc b
a
铅垂面
投影特性：
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2.另两个投影面上的投影有类似性。
a
同面投影互相平行(注意投影面平行线)。
b
d
c
c bd
c k b
a
d
⒉ 相交
同面投影相交，交点是两直线的 共有点，且符合点的投影特性。
⒊ 交叉
同面投影可能相交，但“交点” 不符合点的投影特性。所谓“交点” 是两直线上一对重影点的投影。
a
d
ck b
b c 1 3(4)
2
d
a
X
4
b
c
3
a
1(2)
d
四、相互垂直的两直线的投影特性
投影特征：两线一实形
3） 一般位置平面的投影（三类似）
b
a
B
一般位置平面 b
b
a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
c
a
c
a
投影特性
1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形； 2.不反映、、 的真实角度。
2.用有积聚性的迹线表示下列平面:
例：用过有直线 积AB聚的性正垂 的面迹P；线过表点C示的下正平列面平Q；面过：直线 过DE直线AB的 正垂的面水P平；面R过。点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
实长且垂直于相应的投影轴。
b
b
a
b
a
a b a b
a
a
b
a β γ
b
●
a(b)
a b
小结
二、直线上的点
⒈ 从属性：点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
c
b
a
b
c
a
b
cb
ac
c
a
b
c a
三、两直线的相对位置
a
⒈ 平行
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
● c
● c
●c
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一直线 直线及线外一点 两平行直线 上的三个点
两相交直线* 平面图形
2.迹线表示法
空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。 平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面 迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
c a
b
正垂面
V
b
QV
a
A
c
b
c
W B
a
α
b c
a
Q C
H
c a
投影特性：
b
1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映α、 角；
2.abc、abc为 ABC的类似形。
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c a
W
b
A
a b
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投 影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上 的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时，在三个投 影面上的投影都不反映直角。
直角投影 定理
b
c
a
即要在投影图中画垂直或判断
垂直，必须有投影面平行线。
.b
a
c
1.4 平面的投影
一、平面的表示法
定理二
若一直线过平面上的一点， 且平行于该平面上的另一 直线，则此直线在该平面 内。
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
d b
c
m a
b nc
b d
a
c
有无数解。
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
水平面
V
a
a
b c
b
AB
a
cW
C
b
a
a
b c
b
c H
投影特性：
c
1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线;
2 .水平投影abc反映 ABC实形。
b a c
正平面
V
b
a
b
b
B
b
c
W
A a
c
C
c
a
a
c
c H
b
a
c
ba
投影特性：
1.abc//OX 、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2 .正面投影abc反映 ABC实形。
一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线)
⒈ 一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的
夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映