高等代数试题库上课讲义
高等代数试题库上课讲义
高等代数试题库上课讲义高等代数试题库《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。
A ．1B ．2C ．3D ．4 3．以下命题不正确的是（）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n nn nnA A A A A A A A A =( ) 。
数学高等代数习题详解
数学高等代数习题详解一、代数式简化与展开代数式的简化是指将一个复杂的代数式化简为更简单的形式，而代数式的展开则是将一个多项式拆分成多个单项式相加的形式。
在进行代数式的简化和展开时，可以运用代数运算中的基本性质：1. 加法性质：a + b = b + a，a + (b + c) = (a + b) + c2. 乘法性质：a * b = b * a，a * (b * c) = (a * b) * c3. 分配性质：a * (b + c) = a * b + a * c示例1：将代数式 2x(3x - 4y) - 5y(x - y) 进行展开和简化。
解：首先，按照分配性质将代数式展开：2x(3x - 4y) - 5y(x - y) = 2x * 3x - 2x * 4y - 5y * x + 5y * y= 6x^2 - 8xy - 5xy + 5y^2= 6x^2 - 13xy + 5y^2接下来，将代数式简化：没有进一步可以简化的形式。
二、代数方程与不等式代数方程是一个包含了未知数和已知数之间相等关系的等式，而不等式则描述了未知数和已知数之间的大小关系。
在解代数方程和不等式时，可根据不同情况运用以下方法：1. 移项：通过加减法将含有未知数的项移到一个侧边，将常数项移到另一个侧边。
2. 因式分解：将复杂的代数式分解成几个简单的代数式的乘积形式。
3. 分离变量：若方程中存在多个未知数，则将未知数分离到各自一侧，然后分别解方程。
4. 同解法：通过变形将两个方程或不等式转化为相同形式，然后在相等形式下进行求解。
示例2：解方程 2x^2 + 5x - 3 = 0。
解：首先，尝试应用因式分解来解方程。
通过分解2x^2 + 5x - 3 = 0，得到：（2x - 1）(x + 3) = 0根据零乘法，得到2x - 1 = 0 或 x + 3 = 0解得x = 1/2 或 x = -3因此，方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 的解为x = 1/2 或 x = -3。
《高等代数》（上）题库
《高等代数》（上）题库《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
武汉大学高等代数内部讲义
武汉大学高等代数（基础课程内部讲义)目录武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析........................................................................................ 第一章多项式 ................................................................................................................................................... 第二章行列式 ................................................................................................................................................... 第三章线性方程组 ........................................................................................................................................... 第四章矩阵 ....................................................................................................................................................... 第五章二次型 ..................................................................................................................................................... 第六章线性空间 ................................................................................................................................................. 第七章线性变换 ................................................................................................................................................. 第八章入—矩阵与约当标准型 ......................................................................................................................... 第九章欧几里得空间 ......................................................................................................................................... 第十章双线性函数与辛空间 .............................................................................................................................武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析真题分析年份题型分值考察范围考察难度（了解、理解、掌握、应用）2009 计算40 行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明110 证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似,线性变换证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2008 计算70 行列式求值球线性空间的位数和一组基，求满足条件的正交变换，求零化多项式,极小多项式，Jordan标准型,求双线性变换的矩阵。
高等代数习题精选精讲
高等代数习题精选精讲高等代数是数学中非常重要的一个研究方向，它不仅深刻地影响了很多数学分支的发展，也对其他学科产生了广泛的影响。
作为数学领域中的一个重要学科，高等代数的习题也是非常重要的一部分。
本文将精选几道高等代数习题，帮助读者更好地掌握和应用高等代数的相关知识。
1. 对于一个域F上的矩阵A，如果它满足A²=I，其中I表示单位矩阵。
请问，A的行列式是多少？解: 首先，根据特征值的性质，A的特征值必须是1或-1，因为从A²=I可以推出A的特征值一定是这两个值之一。
又因为A的两个特征值都不为0，所以A可逆，因此有det(A)≠0。
考虑如果A 的特征值都是1，则A=I；如果特征值都是-1，则A=-I。
因此，要么det(A)=1，要么det(A)=-1，这取决于矩阵A的实际情况。
2. 设有一个域F上的线性空间V和它的两个子空间U和W，如果V=U⊕W，则有什么性质？解: 首先，由V=U⊕W可知，任何向量v∈V都可以唯一地表示为v=u+w，其中u∈U，w∈W。
又因为U和W是子空间，所以它们都有零向量0，即u+w=0当且仅当u=0且w=0。
由于向量v可以被唯一地表示为u和w的和，如果v=0，则必有u=0且w=0，即U∩W={0}。
因此，V的维数等于U的维数加上W的维数。
此外，任何向量v∈V都可以表示为U和W中向量的线性组合，证明了V=U+W。
3. 将一个4行3列的矩阵A按列分成两个2行3列的矩阵B和C，设D=B-C的转置，求D的秩。
解: 首先，由于A是一个4行3列的矩阵，所以B和C都是2行3列的矩阵，因此D是一个3行2列的矩阵。
又因为D=B-C的转置，所以D的转置为D的相反数，即D+(-D^T)=0。
因此，D和它的转置具有相同的秩，即rank(D)=rank(D^T)。
又因为D和C的列空间相同，所以rank(D)=rank(C)。
综上所述，只需求出C的秩即可。
C是一个2行3列矩阵，其列向量线性无关的充要条件是它的行列式不为0，而C的行列式是0。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ )。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式;D ．设()'()1p x f x k -是的重因式,则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ） 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A 。
如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B 。
如果)()(,)()(x h x f x g x f ,那么))()(()(x h x g x f ±C 。
如果)()(x g x f ,那么][)(x F x h ∈∀,有)()()(x h x g x fD 。
如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲:将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立;B 。
甲不成立， 乙成立；C .甲, 乙均成立;D ．甲， 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B 。
代数基本定理适用于复数域;C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中， ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数讲义 (PDF经典版)
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。
，则称K 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈−=10，。
进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。
最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。
A B A \定义（集合的映射） 设、A B 为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。
高等代数教案高等代数试题以及解答
高等 代 数(上 )(No. 8)一、填空 ( 每小 1 分 , 共 8分 )1．一非空复数集 P 数域 ,假设其 包含 0 和 1, 且 加减乘除四种运算封 .2．d(x) f (x), g(x) 的一个最大公因式 ,d(x)与 (f (x), g(x)) 的关系倍数关系即 d(x)＝ k(f (x), g(x)) .3． { i 1,i 2, ⋯,i⋯ in )+( i n i n 1 ⋯ i1)=n(n 1).n }={1 ,2, ⋯,n}, ( i 1 i 22x a 1 ... a 14． n ≥ 2, a 1, ⋯,a n 两两不同 ,a2x ... a 2 的不同根a 1, a 2,⋯,a n.... ... ... ...a n a n (x)r 1 ), i =1, ⋯,r 性无关.5． t 1, ⋯,t r 两两不同 ,i =(1,t i , ⋯,ti6．假设 可由 1, ⋯,r 唯一表示 , 1, ⋯,r 性 无关.7． 1, ⋯,m n 向量 , 且 R ( 1, ⋯,m )=n,n≤m. 8．假设 A n 称 且 AA = O,A=O.二、 ( 每小 1 分 ,共 8 分 )1． 于“命 甲：将n(>1) 行列式 D 的主 角 上元素反号 , 行列式D ；命 乙： 行列式中两行的位置, 行列式反号〞有 ( B) .A . 甲成立 , 乙不成立B . 甲不成立 , 乙成立C . 甲 , 乙均成立D . 甲 , 乙均不成立2．整系数多 式f (x)在 Z 不可 是 f (x)在 Q 上不可 的 ( B ) 条件 .A . 充分B . 充分必要C . 必要D . 既不充分也不必要A11A21...An13． D=|a ij |n , A ijA12 A22...An2C ) .a ij 的代数余子式 ,D=(... ... ... ...A1nA2 n...AnnA . DB . DC .D nD . ( 1)nD4．下述中 , 的是 ( D) .A . 奇数次 系数多 式必有 根B . 代数根本定理适用于复数域C . 任一数域包含 QD . 在 P[x]中 , f ( x)g(x)= f (x)h(x) g(x)=h(x)5． A, B n 方 , m N, “命 甲： | A|= A ；命 乙： (AB )m = A m B m〞中正确的选项是( D ) .A . 甲成立 , 乙不成立B . 甲不成立 , 乙成立C.甲 , 乙均成立 D .甲 ,乙均不成立6. 任 n 矩 A 与 A,下述判断成立的是 (B) .A. | A|= |A|B.AX=0与 ( A)X=0 同解C.假设 A 可逆 , (A) 1=(1)n A 1 D . A 反称 , - A 反称7．向量1, ⋯,s性无关(C) .A.不含零向量B.存在向量不能由其余向量性表出C.每个向量均不能由其余向量表出D.与位向量等价8．A, B 均 P 上矩 , 由 (A) 不能断言 A≌ B.A.R(A)= R(B)B.存在可逆 P 与 Q 使 A=PBQC. A 与 B 均 n 可逆D. A 可初等成 B三、要答复 ( 每小 5 分 ,共 20分 )1． f (x), g(x) P[x], g(x) 0,假设 f (x)= g(x)q(x)+r(x),(f (x), g( x))=( f (x), r(x))成立？什么？答 : 不一定成立 . 如： f (x)=6 x2, g (x)=2x, q(x)=3 x, r( x)=0, ( f ( x), g(x))= x, ( f (x), r (x))=x2.2．Aa bc , 当 a,b,c,d 足何条件 , A=A ？ A=A2？什么？d答 :当 b=c , A 是一个称矩 , 因此 A=A .当 a+d =1 或 c=b= 0 且 a, d{0,1} , A=A2.直接根据矩相等的定 .3．假设1, ⋯,s与1,⋯,s 均相关,1+ 1,⋯,s+s 相关？什么？答 : 不一定 . 如：1=(0, 2, 0),2=(1, 0, 1),3=(2, 1, 2), 1=(0,1, 0),2=(1, 0, 0), 3=(1, 1, 0),然 1,2,3;1,2,3两向量均相关 ,但 1+1,2+ 2,3+ 3是性无关的 .4．假设 A, B 均 n, 且 A≌ B, A 与 B 的行向量等价？什么？答：等价。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
北京大学数学系《高等代数》考点讲义
绪 论 １ 第一章 多项式 ４ 第二章 行列式 １３ 第三章 线性方程组 １９ 第四章 矩阵 ２５ 第五章 二次型 ３１ 第六章 线性空间 ３５ 第七章 线性变换 ４０ 第八章 λ－矩阵 ４３ 第九章 欧氏空间 ４４
三、教材选用
主要参考教材：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，２００３，北京大学数学系几何与代数教研 室代数小组编．
１．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点． ２．全国采用该教材的学校所占比例非常大． ３．该教材荣获全国高等学校优秀教材． ４．该教材习题编排较好，有梯度．
四、考题综述及变化趋势
— １—
量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概 念，分值占到 １５０分中的 １０５分．
厦门大学 ２０１２年考题中，１６道题中有 １０道题考察了矩阵的相关概念和理论． 中科院研究生院 ２０１２年考题中，８道题中有 ５道题考察了矩阵的相关内容． （２）线性空间和线性变换理论． 南开 ２０１２年试题中，９道题中有 ４道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到 １５０分中的 ７０分． （３）多项式理论． 多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到 １５０分的 １５分至 ２５分，但这部分内容 是各校考试题中的必考内容． ３．从方法看，考察的热点有： （１）矩阵的初等变换方法； （２）特征值和特征向量方法； （３）标准正交化方法； （４）子空间直和的判定方法． ４．发展趋势 （１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用 知识解决问题的能力． 但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势． （２）考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容． （３）注意新的概念和新的理论的出现． 中山大学 ２００１年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念． （４）反问题的讨论． （南京航天航空大学 ２０１１）（２０分）设二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ａ（ｘ２ １ ＋ｘ２ ２ ＋ｘ２ ３）＋２ｂ（ｘ１ｘ２ ＋ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２ｘ３）经过正交变换 Ｘ ＝ＣＹ化为二次型 ３ｙ２ １ ＋３ｙ２ ２，求参数 ａ，ｂ的值及正交矩阵．
丘维声高等代数讲义（学生用、含教学大纲、两套试题）
丘维声高等代数讲义（学生用、含教学大纲、两套试题）《高等代数》教学大纲（教学计划）第一学期第一周：（第一章§1）代数系统的概念；数域的定义；定理任一数域都包含有理数域；集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。
（第一章§2）高等代数基本定理及其等价命题；推论数域上的两个次数小于m 的多项式如果在m 个不同的复数处的取值相等，则此二多项式相等；韦达定理；实系数代数方程的根成对出现；推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
第二周：（第一章§3）数域K 上的线性方程组的初等变换的定义；命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解；线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的以及矩阵的初等变换的定义；线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的判别准则；命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。
（第二章§1）向量和n 维向量空间的定义及性质；线性组合和线性表出的定义；向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述。
第三周：（第二章§1）向量组的秩；向量组的线性等价；极大线性无关组；集合上的等价关系。
（第二章§2）矩阵的行秩与列秩，行（列）初等变换不改变行（列）秩；命题矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩；矩阵的转置；推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵A 的秩记为r ( A) ；满秩方阵；矩阵的相抵；相抵是等价关系；秩是相抵等价类的完全不变量；用初等变换求矩阵的秩。
第四周：（第二章§3）齐次线性方程组的基础解系；定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；基础解系的求法；非齐次线性方程组的解的结构。
（第二章§4）矩阵的加法和数乘的定义；矩阵的乘法的定义，矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质；矩阵的和与积的秩。
高等代数课件
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
武汉大学高等代数内部讲义
武汉大学高等代数（基础课程内部讲义）目录真题分析 (3)参考书目知识点分析 (4)重点知识点汇总分析（大纲） (4)武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析 (13)第一章多项式 (13)第二章行列式 (13)第三章线性方程组 (16)第四章矩阵 (20)第五章二次型 (28)第六章线性空间 (32)第七章线性变换 (37)第八章入-矩阵与约当标准型 (41)第九章欧几里得空间 (42)第十章双线性函数与辛空间 (45)武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析真题分析年份题型分值考察范围考察难度（了解、理解、掌握、应用）2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明110证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似，线性变换证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2008计算70行列式求值球线性空间的位数和一组基，求满足条件的正交变换，求零化多项式，极小多项式，Jordan标准型，求双线性变换的矩阵。
计算的题目都不是很难，只是有些计算起来有些复杂，只要细心就可以了，这基本属于理解定义就可以的题目证明80证明满足某种条件矩阵存在性的问题，线性子空间的直和证明矩阵可逆，证明矩阵正定、合同，证明不变子空间，证明矩阵之间秩的关系前面两个证明存在性的问题看起来是比较新的题型，但具体分析一下就知道这都是很简单的，只是最后一个证明矩阵之间秩的不等式难度较大，是已有知识的一个应用2007计算70求满足一定条件的矩阵，求行列式的值，求线性方程组的基础解系，求不变因子，约当标准型，极小多项式，线性变换的基计算题的题目都不是很难，一般只要是考生能正确的应用定义就可以做出来。
证明80线性方程组是否有公共解，关于代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵的正定，矩阵的相似，线性子空间的直和，线性变换的对角化问题，两个线性变换之间的关系证明题相对于计算题来说难度稍微大一些，但根据最近这些年武汉大学线性代数出题的规律来看，代数的题目都不难，所以基础一定要扎实。
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
《高等代数》（上）题库
《高等代数》上题库第一章多项式填空题 1.71、设用x-1除fx余数为5用x1除fx余数为7则用x2-1除fx余数是。
1.52、当px是多项式时由px fxgx可推出pxfx或pxgx。
1.43、当fx与gx 时由fxgxhx可推出fxhx。
1.54、设fxx33x2axb 用x1除余数为3用x-1除余数为5那么a b 。
1.75、设fxx43x2-kx2用x-1除余数为3则k 。
1.76、如果x2-12x4-3x36x2axb则a b 。
1.77、如果fxx3-3xk有重根那么k 。
1.88、以l为二重根21i为单根的次数最低的实系数多项式为fx 。
1.89、已知1-i是fxx4-4x35x2-2x-2的一个根则fx的全部根是。
1.410、如果fxgx1hxgx1 则。
1.511、设px是不可约多项式pxfxgx则。
1.312、如果fxgxgxhx则。
1.513、设px是不可约多项式fx是任一多项式则。
1.314、若fxgxhxfxgx则。
1.315、若fxgxfx hx则。
1.416、若gxfxhxfx 且gxhx1则。
1.517、若px gxhx且则pxgx或pxhx。
1.418、若fxgxhx且fxgx-hx则。
1.719、α是fx的根的充分必要条件是。
1.720、fx没有重根的充分必要条件是。
答案1、-x6 2、不可约3、互素4、a0b1 5、k3 6、a3b-7 7、k±2 8、x5-6x415x3-20x214x-4 9、1-i1i 121-2 10、fxhxgx1 11、pxfx或pxgx 12、fxhx 13、pxfx或pxfx1 14、fxhx 15、fxgxhx 16、gxhxfx 17、px是不可约多项式18、fxgx且fxhx 19、x-αfx 20、fxf’x1 判断并说明理由1.11、数集12ibabia是有理数是数域 1.12、数集12ibabia是整数是数域 1.33、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.34、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.45、若gxfxhxfx则gxhxfx 1.46、若fxgxhx1则fxhx1 gxhx1 7、若fxgxhx且fxgx则fxhx1 1.68、设px是数域p上不可约多项式那么如果px是fx的k重因式则px是fx的k-1重因式。
高等代数讲义
命题5.2.4 如果向量组{1, 2,…, r}线性无关,而向量组{1, 2,…, r,}线性相关, 则一定可以由{1, 2,…, r}线性表示.
高等代数课件
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
§5.1 向量空间的定义
一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质
一、向量空间概念的引入
例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律：
例4 向量组
1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2) 与
等价.
1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1)
定理5.2.6(替换定理) 设向量组{1, 2,…, r}线性无关, 并且每 一i都可由向量组{1, 2,…, s}线性表示. 那么必有rs, 并且必要时 对{1, 2,…, s}重新编号, 使得用1, 2,…, r替换1, 2,…, r后所得 向量组{1, 2,…, r, r+1, …, s}与{1, 2,…, s}等价.
例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间.
例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上 的一个向量空间. 二. 性质
命题5.1.1 在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对 于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负 向量记作 .
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数 讲义 第六章
3
2、映射的乘积
设映射σ : M → M ', τ : M ' → M ''，乘积 τ o σ
定义为：τ o σ(a)＝τ(σ(a)) ∀a ∈ M 即相继施行σ和τ的结果，τ o σ 是 M 到 M" 的一个
映射．
注：①对于任意映射σ : M → M '，有 IM′ oσ = σ o IM = σ
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 （不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, ∀n ∈ Z τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z
（不是） （是）
§6.1 集合 映射
3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
§6.1 集合 映射
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A 的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集． M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,∀n∈ Z
力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完
满地阐明了线性方程组的解的理论．
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
言 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，
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高等代数试题库《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
A . DB . D -C ./D D ． (1)n D -9.行列式41032657a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。
A ．4067-B ．4165C ．4067-- D ．4165- 10．以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .3145122453a a a a a ； B .4554421233a a a a a ；C ．2351324514a a a a a ；D .1332244554a a a a a11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .11233344a a a a ；B .14233142a a a a ；C ．12233144a a a a ；D .23413211a a a a12. 设,A B n 均为阶矩阵，则正确的为（ ）。
A . det()det det AB A B +=+ B .AB BA =C ． det()det()AB BA =D .222()2A B A AB B -=-+13. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ）A .133221A A A A A A --- B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .311132A A A A A +- 14. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）A .4B .52C ．52-D .815. 设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （ ）A .)(det A kB .A k detC ．A k n detD .A k n det16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。
A .det()det()det()A B A B +=+；B . det()det()kA k A =；C ．1det()det()n kA k A -=；D .det()det()det()AB A B =17. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（ ）A . **1()||n A A A -=B . **1()||n A A A +=C ．**2()||n A A A -=D .**2()||n A A A +=18.如果11AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（ ）。
A .0A =； B .0A ≠； C ．,1A k k =>； D .,1A k k =<-19.设A , B 为n 级方阵, m N ∈, 则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m m m AB A B =”中正确的是( ) 。
A . 甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C ．甲, 乙均成立；D .甲, 乙均不成立20.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*A A =（ ）。
A .2n AB .n AC ．2n n A -D .21n n A -+21.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（ ）。
A .A O =或B O =；B .A O ≠且B O ≠；C ．A O =且B O =；D .以上结论都不正确22.如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
A .至多有一个r 阶子式不为零；B .所有r 阶子式都不为零；C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；D .所有低于r 阶子式都不为零23.设n 阶矩阵A 可逆(2)n ≥，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。
A .()1n A A A *-*=；B .()1n A A A *+*=；C ．()2n A A A *-*=；D .()2n A A A *+*=24. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则||||*A A =（ ）A . 2||n AB .||n AC ．2||n n A -D . 21||n n A -+25.任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( )。
A . A A =-； B .AX O =与()A X O -=同解；C .若A 可逆, 则11()(1)n A A ---=-；D ．A 反对称, -A 反对称26.如果矩阵rankA r =,则 （ ）A . 至多有一个r 阶子式不为零；B .所有r 阶子式都不为零C ． 所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；D ．所有低于r 阶子式都不为零27. 设A 为方阵，满足11AA A A I --==，则A 的行列式||A 应该有 （ ）。
A . ||0A = B . ||0A ≠ C ． ||,1A k k => D . ||,1A k k =<- 28. A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。
A . k A ；B . k A ；C ． n k AD . ||n k A29. 设A 、B 为n 阶方阵，则有（ ）.A .A ，B 可逆，则A B +可逆 B .A ，B 不可逆，则A B +不可逆C ．A 可逆，B 不可逆，则A B +不可逆D .A 可逆，B 不可逆，则AB 不可逆30. 设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足220A A -=，则下列矩阵哪个可逆（ ）。
A .AB .A I -C ．A I +D 2A I -31. B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（ ）。
A .OB =； B .()0R B =；C ．O BA =；D .()()R A R B n +≤32. A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（ ）。
A . ACB I =； B . BAC I =； C ．CAB I =D ． CBA I =33. 设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（ ）。
A .*()3R A =；B .*()2R A =；C ．*()1R A =；D .*()0R A =34. 设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（ ）.A .OB = B .0=B 或0=AC ．O BA =D .()222B A B A +=- 35. 设矩阵00400000100000000200A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则秩A =（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．436. 设A 是m n ⨯矩阵，若（ ），则AX O =有非零解。
A .m n <；B .()R A n =；C ．m n >D .()R A m = 37. A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。
A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠； B . 0A A O =⇔=；C ．0AB A O =⇔=或B O =；D . 1||=⇔=A I A38. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.A .必有r 个行向量线性无关B .任意r 个行向量线性无关C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示39. 设A 为34⨯矩阵，B 为23⨯矩阵，C 为43⨯矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。
A .T T A BCB .T ACBC ．BACD .ABC40.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（ ）A . 对称矩阵；B . 反对称矩阵；C ．可逆矩阵；D .对角矩阵41.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足( )。
A .0A ≠B .O A =C ．O A ≠D .0≠AB42.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1)(kA （ ）A .1-A k nB .11--A k nC ．1-kAD .11-A k43.A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，则（ ） A . A 相似于B ； B . A B =； C ． A 合同于B ； D .A B =44. 设)(21I B A +=，则A A =2的充要条件是（ ） A .B I =； （B ）I B -=；C ．I B =2 D .I B -=245. 设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）A . 2A I +B . A I -C ． A I +D . A46. 设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A . 2A I -； B . A I -； C ． A I + D . A47. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.A .必有r 个列向量线性无关；B .任意r 个列向量线性无关；C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示48.设A 是m n ⨯矩阵，若（ ），则n 元线性方程组0AX =有非零解。