重点高中数学立体几何建系设点专题

重点高中数学立体几何建系设点专题

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2009-2010学年高三立几建系设点专题

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、建立空间直角坐标系的三条途径

途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直

线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得

(2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，，1

cos 3

AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．所求异面直线

所成的角是1arccos

3

． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r

，

，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r

g ，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，

，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g n

n

． 途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．

例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为

11BB AC ，的中点．

（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；

（2）设12AA AC AB ==，求二面角1

1A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为

AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，

，，，

Q

M A

B

D

C

O

P

x

y

z

M A

B

D C

O P

x

y

z

则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g ，，，，，，，即1ED BB ⊥．

同理1ED AC ⊥． 因此ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线．

（2）不妨令1a b c ===，则1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，，

100BC AB BC AA ==u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ，．

即BC ⊥AB ，BC ⊥1AA ，又∵1AB AA A =I ，∴BC ⊥面1A AD ． 又(1

01)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

g ，，，，，，，，，，0EC ED =u u u r u u u r g ， 即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又∵AE ∩ED ＝E ，∴EC ⊥面1C AD ．∴

1cos 2EC BC EC BC EC BC <>==u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u u r u u u r ，，

即得EC uuu r 和BC uuu r 的夹角为60o

．所以，二面角11A AD C --为60o

．

练2：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，

PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．

途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．

例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

，

OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

方法1：作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系.