重点高中数学立体几何建系设点专题
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重点高中数学立体几何建系设点专题
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2009-2010学年高三立几建系设点专题
引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空间直角坐标系进行向量运算,而如何建立恰当的坐标系,成为用向量解题的关键步骤之一.所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一、建立空间直角坐标系的三条途径
途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 例1(湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P -ABCD 与 Q -ABCD 的高都为2,AB =4. (1)证明:PQ ⊥平面ABCD ;
(2)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (3)求点P 到平面QAD 的距离. 简解:(1)略;
(2)由题设知,ABCD 是正方形,且AC ⊥BD .由(1),PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直
线CA DB QP ,,为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1),易得
(2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ,,,,,,1
cos 3
AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u u r u u u r ,.所求异面直线
所成的角是1arccos
3
. (3)由(2)知,点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r
,
,,,,,,,. 设n =(x ,y ,z )是平面QAD 的一个法向量,则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r
g ,,n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,
,取x =1,得(112)--,,n =.点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g n
n
. 途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面,可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且交于一点的三条直线,建立坐标系.
例2 (全国卷Ⅱ理科第19题)在直三棱柱111ABC A B C -中,AB =BC ,D 、E 分别为
11BB AC ,的中点.
(1)证明:ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线;
(2)设12AA AC AB ==,求二面角1
1A AD C --的大小. 解:(1)如图2,建立直角坐标系O xyz -,其中原点O 为
AC 的中点,设(00)A a ,,则,1(00)(02)B b B b c ,,,
,,,
Q
M A
B
D
C
O
P
x
y
z
M A
B
D C
O P
x
y
z
则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g ,,,,,,,即1ED BB ⊥.
同理1ED AC ⊥. 因此ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线.
(2)不妨令1a b c ===,则1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=u u u r u u u r u u u r ,,,,,,,,,
100BC AB BC AA ==u u u r u u u r u u u r u u u r
g g ,.
即BC ⊥AB ,BC ⊥1AA ,又∵1AB AA A =I ,∴BC ⊥面1A AD . 又(1
01)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g ,,,,,,,,,,0EC ED =u u u r u u u r g , 即EC ⊥AE ,EC ⊥ED ,又∵AE ∩ED =E ,∴EC ⊥面1C AD .∴
1cos 2EC BC EC BC EC BC <>==u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u u r u u u r ,,
即得EC uuu r 和BC uuu r 的夹角为60o
.所以,二面角11A AD C --为60o
.
练2:如图,平面PAC ⊥平面ABC ,ABC ∆
是以AC 为斜边的等腰直角三角形,,,E F O 分别为PA ,
PB ,AC 的中点,16AC =,10PA PC ==.
(I )设G 是OC 的中点,证明://FG 平面BOE ;
(II )证明:在ABO ∆内存在一点M ,使FM ⊥平面BOE ,并求点M 到OA ,OB 的距离.
途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线,可以利用这三条直线直接建系.
例3.如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形,4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅱ)求点B 到平面OCD 的距离。
方法1:作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系.