(1)弹性波的基本理论
《弹性力学》第十一章 弹性波
15
由于 e 0 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等
容波的波动方程：
2u 2 2 c u 2 2 t
2 2 2 c 2 2 t
2w 2 2 c w 2 2 t
E 其中 c2 2(1 )
v E
得
30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
31
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
11
[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
12
在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
弹性波理论在煤矿地质灾害预测中的应用
矿声波法，采矿声发射 法等预测煤矿地质 灾害的 方法，并分析 了弹性波观测法的发展前号 ，
关键词
１ 弹 性 波观 测 的 理 论 基 础
弹性波观测法是一种观测 由人工激发 的弹性波或接受煤岩 破裂 的
（ ） ２ 采矿声 发射 法 。声发 射法就是以脉 冲形式记录弱的 、低能 量的 地音 现 象 。其 主要 特性 是 振 动频 率从 几 十到 至少 ２ ０ Ｈ 或 更 ００ ｚ
弹性 波观测 法所能 够解 决的地 质问题 已从 当初 的构造探测 ，发展 到 下组煤勘探 、陷落柱 、冲刷 带探 测 、 “ 带” 、 与斯突 出监测 三 煤
和独头巷道超前探测等 范畴 ， 已取得 了不少成功 的实例 。但是 ，由 并 于煤矿井下地质条件的复杂性 ， 还存在着 许多不足之处 ，主要体现在
高；能量低于１。 ０ ，下限不定 ；振动范 围从几到大约２Ｏ Ｊ Ｏｍ。声发射研
究 的机理在 于煤岩 体是一 种非均 质体 ，其 中存在 各种微裂隙 、孔隙 等 ，以致煤岩体在受外 力作用 时就会在这些 缺陷 部位产生应力集 中。 发生突发性破裂 ， 使积 聚在煤岩体 中的能量得以释 放 ， 以弹性波的 且 形式 向外传播 。采 矿声发射方 法主要用来 确定正在掘进 的巷道或正在 开采的回采工作面的冲 击矿压危险 ，即：确 定采矿巷道或煤层部分的 冲击矿压危险状态 ；连续监测冲击矿压危险状态的变化 ；冲击矿压防 治措施 的评价及其效 果的控 制。 （ ３）采 矿声波法 。采 矿声波法主 要集 中在研究与采 矿作 业引起 的矿山动力现象 ，确定岩体的物理力学参数 ，提前认识矿床构造点等 问题。采用声波的特 点是声波研究的非破坏性 、从较大范围的岩体内 直接获得 信息 。其所用频 率为几 十￣ ０ ０ ｚ ０ Ｈ 。根 据 采矿地 质条件及
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。
应用地球物理学原理第二章04弹性波的特征
03
弹性波在地壳中的传播
地壳的分层结构
地壳是地球最外层的硬壳，由 岩石和土壤组成，具有明显的 分层结构。
地球的地壳分为多个板块，板 块之间的相互作用可以产生地 震波。
地壳的分层结构对弹性波的传 播具有重要影响，不同层中的 波速和传播方向可能不同。
弹性波在不同介质中的传播
弹性波在固体、液体和气体中传播时具有不同的特征。
地下结构的不确定性可能导致弹性波传播模型的 误差，从而影响解释结果的准确性。
需要对地下结构进行详细调查和建模，以获得更 准确的弹性波传播特征。
数据处理与解释的复杂性
01
02
03
弹性波数据的处理涉及 多种算法和技术，如滤 波、反演、成像等，处
理过程较为复杂。
弹性波数据的解释需要 丰富的专业知识和经验 ，对解释人员的素质要
应用地球物理学原理第二章 04弹性波的特征
目录
• 弹性波的基本概念 • 弹性波的物理特性 • 弹性波在地壳中的传播 • 弹性波的应用 • 弹性波的局限性
01
弹性波的基本概念
弹性波的定义
弹性波
在弹性介质中传播的波动现象，由于介质的弹性性质，当 受到外力作用时，介质发生形变并产生恢复力，这种恢复 力会以波动的形式在介质中传播。
资源开发规划
通过分析地下岩层的弹性波特征，评 估资源的可开采性和开发风险，为资 源开发提供科学依据。
环境保护监测
利用弹性波技术监测环境变化，如土 壤污染、地下水污染等，为环境保护 提供技术支持。
05
弹性波的局限性
对地下结构的依赖性
弹性波的传播特性与地下结构密切相关，不同的 地下介质对弹性波的传播有显著影响。
弹性波的传播方式
弹性波可以通过反射、折射、散射等方式传播， 其传播路径和速度受到介质的不均匀性和边界条 件的影响。
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xxσ，yyσ，zzσ剪切应力xyσ，xzσ，yxσ，yzσ，zxσ，zyσ。
弹性波场论基础
//创建文件********** if((fp=fopen("wavefront.dat","w+"))!=NULL) { fprintf(fp,"%d\n",Xn); fprintf(fp,"%d\n",Zn); for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) { fprintf(fp,"%f\n",u[i][j][200]); //地震波传播 0.2 秒是的波前快照 } fclose(fp); } return 0; }
double**er_wei(int x,int y)
{ double **m; m=(double **)malloc(x*sizeof(double*)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double*)malloc(y*sizeof(double)); } rwavefront.dat 文件，用 mat lab 画出此 时的波前。
double**er_wei(int x,int y);//建立动态数组 double***san_wei(int x,int y,int z); int main() { FILE* fp; int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; //动态数组 u=san_wei(Xn,Zn,Tn); v=er_wei(Xn,Zn); w = (double*)malloc(Tn*sizeof(double)); //边界条件 dt=0.001;dh=5.0; loc=0; r=2.50;/*滤波主频*/ f=25.0;/*频带宽参数*/
《弹性力学》第十一章 弹性波
E (1 ) 令：c1 (1 )(1 2 )
则上式简写成
2ur 2 ur 2ur 1 2ur r 2 2 0 2 r r r r c1 t
假定
（a）
ur r
27
则 (r, t ) 是位移的势函数。代入（a）式得
3 2 2 2 1 2 2 2 2 0 3 2 r r r r r c1 t r
2u E 1 e 2 ( u) 2 t 2(1 ) 1 2 x
2 E 1 e 2 ( ) 2 t 2(1 ) 1 2 y
2w E 1 e 2 ( w) 2 t 2(1 ) 1 2 z
E (1 ) 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
14
二、等容波 所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。 假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：
u w e 0 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
显然，球面波的传播速度等于 c1 (球面波是无旋波）。f 1 表示由内向外传播的球面波， f 2 表示由外向内传播的球面 波。
(1)弹性波的基本理论
在拉伸变形中，物体的伸长总是伴 随着垂直方向的收缩，所以把介质横 向应变与纵向应变之比称泊松比，
d / d L着横向缩短，为使泊松比为正，要加 负号。 显然泊松比是表示物体变形性质 的一个参数，如果介质坚硬，在同样 作用力下，横向应变小，泊松比就小， 可小到0.05 。
U U ( ) grad F 2 t
2 2
(1 1 7)
该式称为矢量弹性波方程。
式中矢量U表示介质质点受外力(F)作用后的 位移，称为位移矢量： U=U（u,v,w） u,v,w分别为三个坐标轴的位移分量。
矢量F表示对介质的外力，称为力矢量，
而对于软的未胶结的土或流体， 泊松比可高达0.45-0.5。 一般岩石的泊松比为0.25左右。
设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产 生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原 体积， △v 是体积变化量。但形状未发 生变化。则这种情况下的应力与应变的比 称为体变模量。
p K v / v
;
E 3K 2 ; 2(1 ) 6 K 2
三、波动方程
• • 是地震波传播规律的方程。 在不同的介质模型中，地震波传播 有不同的规律，各种不同的传播规律需 用不同的传播方程描述。
均匀、各向同性、理想弹性介质是 一种最简单的介质模型。 根据固体弹性动力学理论，地震 波在均匀、各向同性、理想弹性介 质中传播满足以下偏微分方程
界面 h厚度 界面
将速度v是空间连续变化函数的介质 定义为连续介质。连续介质是层状介质的 一种极限情况。即当层状介质的层数无限 增加，每层的厚度h无限减小，层状介质 就过渡为连续介质，如 v=v0(1+z) 叫线性连续介质。V0是表层介质的速度， z是深度，是速度随深度的变化率。
弹性波场论基础
此即为时间 t=△t*490=0.49 时刻的波前快照，震源在中心位置（150,150）激发，传 播 0.49 秒后的波前，由图可以看出，波前达到了边界后又发生反射。 区域大小为 300*300，网格点间隔为 5m，时间采样间隔为△t=0.001s，即在地质剖面 上，宽度为 1500m，深度为 1500m，假设介质均匀各向同性，且边界为自由界面，所 以在介质中速度 v 为一常数，设为 2000m/s，震源在中心（150,150）激发，地震波是 球对称的，波阵面为球面，在空间二维上显示为深度，宽度的圆形波阵面。波传播到 边界时将发生反射，在时间 t=△t*375=0.375s 内，波传播了 s=v*t=750m,此时波传 播到边界，开始反射，到时间 t=△t*490=0.49s 时间内，反射波又传播了 s=v*t=230m,形成如图所示的波阵面。
double**er_wei(int x,int y);//建立动态数组 double***san_wei(int x,int y,int z); int main() { FILE* fp; int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; //动态数组 u=san_wei(Xn,Zn,Tn); v=er_wei(Xn,Zn); w = (double*)malloc(Tn*sizeof(double)); //边界条件 dt=0.001;dh=5.0; loc=0; r=2.50;/*滤波主频*/ f=25.0;/*频带宽参数*/
dx=1; dz=1; for i=1:m for j=1:n x(j)=(i-1)*dx+wavefront((i-1)*n+j+2)*15*dx; y(j)=(j-1)*dz; end plot(x,y,'k'); hold on end axis ij; title('波场值的波前快照');
弹性波的传播
弹性波的传播弹性波是一种在固体、液体和气体中传播的机械波，具有很广泛的应用。
在地震学、地质勘探、无损检测、声波成像等领域，弹性波的传播特性研究具有重要意义。
本文将从弹性波的定义及分类、传播方式、传播速度、传播特性以及应用等方面进行详细论述。
一、弹性波的定义及分类弹性波是一种沿着固体、液体和气体中传播的机械波，其能量主要以弹性势能和动能的形式传播。
根据传播介质的状态，弹性波可以分为固体波、液体波和气体波。
固体波包括纵波(压缩波)和横波(剪切波)两种类型。
纵波是指介质中颗粒沿波的传播方向振动，具有压缩和膨胀的特点；横波则是介质中颗粒沿垂直于波的传播方向振动，具有剪切的特点。
液体波主要是纵波，而气体波则主要是横波。
二、弹性波的传播方式弹性波在传播过程中可以存在多种传播方式，如直接波传播、折射波传播、反射波传播和散射波传播等。
直接波传播是指直接从波源向外传播的波，沿着传播路径传递能量。
折射波传播是指当弹性波传播介质发生密度、速度等物理特性发生变化时，波传播方向发生偏离的现象。
反射波传播则是指当弹性波遇到介质界面时，部分能量被反射回原介质，形成反射波。
散射波传播是指当弹性波遇到界面或者障碍物时，部分能量被散射到各个方向，形成多个散射波。
三、弹性波的传播速度弹性波的传播速度与介质的物理性质有关。
在固体介质中，纵波的传播速度比横波的传播速度要大，这是因为纵波是介质颗粒沿波的传播方向振动，颗粒之间的相互作用比较紧密，传播速度相对较高。
而横波则是介质颗粒沿垂直于波的传播方向振动，颗粒之间的相互作用较弱，传播速度相对较低。
液体介质中的弹性波传播速度相对较低，而气体介质中的弹性波传播速度最低。
这是因为液体和气体的分子之间相互作用较弱，颗粒振动传递能量相对困难，导致传播速度较慢。
四、弹性波的传播特性弹性波的传播特性主要包括衰减、折射、反射和散射等。
弹性波传播过程中会发生能量的损耗，即衰减现象。
这是因为弹性波在传播过程中受到介质内部的摩擦力和介质之间的摩擦力的作用，导致波幅逐渐减小。
声学基础第一章-弹性波理论基础1-3(2012年新版)
弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’
n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1
其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n
n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
弹性波
斯通利波
在两种不同介质的半空间体的交界面上传播的波称为斯通利波，因斯通利首先发现并研究这种波而得名。它是一种波速与两个介质的性质有关的变态瑞利波。斯通利波的存在与介质的弹性拉梅常数和介质密度有关。在两个介质的拉梅常数λ1、G1和λ2、G2满足λ1/G1=λ2/G2=1的情况下，存在条件如图所示，如果两个介质的密度ρ1和ρ2之比ρ1/ρ2和G1/G2在图示坐标系中对应的点落在曲线A和曲线B之间，斯通利波就存在。在地震学中，理论上已证明斯通利波是存在的，但尚未观测到。
式中为拉普拉斯算符；α和β分别为纵波波速和横波波速;嗞=嗞(x,y,z,t)为标量势；ψx=ψx(x,y,z,t)、ψy=ψy(x,y,z,t)、ψz=ψz(x,y,z,t)为矢量势φ(x,y,z,t)的三个分量。ψx、ψy、ψz统称为波函数，它们和嗞同坐标系中的三个位移分量u、v、w的关系为：
上述波动方程是根据下面的假设导出的：①弹性介质中各质点间的相对位移为无穷小量；②介质是完全线弹性的，即应力和应变之间呈均匀线性关系，服从胡克定律；③介质是各向同性的；④不计外力（如重力、体积力、摩擦力等）。
在精确理论发展的同时，近似解理论也得到发展。有限差分方法先被用于解决短杆中弹性波的传播问题，后被推广到一些复杂结构中波的传播问题。有限元法逐步用于研究弹性波问题，开始用于分析细杆中弹性波的传播，后用于分析各种结构（柱、板、壳体）中的波的传播以及层状介质、正交异性介质中的波的传播等。非线性弹性波的传播问题的研究也取得初步成果。
弹性波动理论详解
图1.6 波前、波后和射线
菲涅尔补充：由波前面上各点所产生的子波，在观测点上相互干涉叠加，其叠加 结果就是我们在该点观测到的总振动。 惠更斯—菲涅尔原理（又称波前原理）：既可用于均匀介质，也可用于非均匀介 质，利用这个原理可以构制反射界面、折射界面等。 2.费马原理 弹性波的传播，除了可用波前来描述外，还可用射线来描述： 射线：波从空间一点到另一点的传播路径。在任一点上，射线总是垂直于波前。
垂直面内分量：称SV波
从波动方程知：纵、横波传播速度为
Vp
1 (1 )(1 2 ) E 1 Vs 2 (1 ) E
( 2 )
(1.15)
则纵、横波速度之比为
Vp Vs 1 0 .5
(1.16) 表1.2 Vp/Vs值与介质泊松比的关系
(2) 泊松比（σ） 在拉伸形变中，直杆的横切面会减小。反之，在轴向挤压时，横截面将增大。 也就是说，在拉伸或压缩形变中，纵向增量 L和横向增量 d的符号总是相 反的。 泊松比: 介质的横向应变与纵向应变的比值
σ =- L / L
(3) 体变模量
d / d
(1.6)
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正 截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比 P (1.7) K=-
解决某些特殊问题，如探测充满液体的洞穴（如溶洞）, Vs=0
体波：纵、横波，在整个空间 面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转） 天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向， SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
声学基础第一章-弹性波理论基础1-1(2012年新版)
这是，‘相对位移形变张量（矩阵）’； 它是产生应力的原因， 但并不是‘相对位移形变张量（矩阵）’的全部对产生应力有贡献。
根据矩阵分解定理，可知：
d dr
x x x
y y y
z 33 '33 z z
6 5 2 4 4 3
其中：正应变： xx 1; x
yy
2; y
zz 3; z
切应变： yz zy ( ) 4; z y xz zx ( ) 5 ; z x
33 和 '33 分别为3 3阶对称矩阵和 3 3阶对角 其中，
线0元素的反对称矩阵。
有：
33
x 1 ( ) 2 y x 1 ( ) 2 z x
1 ( ) 2 y x y 1 ( ) 2 z y
第一章 完全弹性体介质中弹性波传播规律
流体（液体、气体）的力学特征：流体中任取一个面元，面元所受
周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元（无切
向力）。
理想流体；流体中体元作机械运动时无机械能损耗。
理想流体中的机械波是纵波。
弹性体（固体）的力学特征：弹性体中任取一个面元，面元所受周 围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定 与面元垂直（存在切向力）。
1 ( ) 2 z x 1 ( ) 2 z y z
'33
1 0 ( ) 2 y x 1 ( ) 0 2 y x 1 ( ) 1 ( ) 2 z x 2 z y
弹性波基础理论
地震波基础知识
人工地震—由人为活动引起的振动。
工业爆破、地下核爆炸造成的振动
炸药震源—深部勘探
机械震源—浅层勘探
地震波基础知识
弹性介质：若某物体在外力作用下产生形变；当 外力去掉之后，物体能迅速恢复到受力前的形态和 大小，物体的这种性质称为弹性。具有这种性质的 物质，称为弹性介质 塑性：如果外力超过物体的弹性极限，或外力 作用时间太长，当外力消失时，物体不能恢复原 状，物体的这种性质被称为塑性。
5个弹性参数之间的关系：
Vs2 (3V p2 4Vs2 ) E 2 2 V V p s V p2 2Vs2 2(V p2 Vs2 ) Vs2 K (V p2 4 Vs2 ) 3 2 (V 2V 2 ) p s
地震波基础知识
在某一时刻t0开始在介质中激起 波源的振动。过了一段时间，到了 时刻△t(△ t> t0)，波源的振动 可能停止，而t1=t0+△t时的波正 在振动，这个时候，介质中分几个 区域，分界面S上，介质中的各点 刚刚开始振动，这一曲面S叫波在 时刻t的波前；在分界面S’上，介 质中的各质点刚刚停止了振动，这 一曲面S’叫波在△t时刻的波后 （波尾）。
地震波基础知识
P波
P波早于S波到达地面 S波破坏性更大
S波
地震波基础知识
面波 纵波和横波都在介质内部传播，统称为体波。 根据弹性力学理论，还有两种仅仅沿弹性介质表 面传播，离开表面而深入介质内部就会衰减。 一种是沿介质与大气接触的自由表面传播的面波， 称为瑞雷面波 。 另外一种则是沿 两弹性介质之间 的传播的面波 ， 称为勒夫面波。
地震波基础知识
横波 又叫做切变波或 S波。它是由旋转力作用， 弹性介质产生形状形变，这种形变引起的振动称 为横波。该波的传播方向与质点的振动方向相垂 直。质点振动在水平平面中的横波分量称为 SH 波，在垂直平面中的横波分量称为SV波。
弹性波的传播速度与频率关系分析
弹性波的传播速度与频率关系分析引言：弹性波是一种在固体、液体或气体中传播的波动现象。
弹性波的传播速度与频率之间存在着一定的关系，这种关系是通过材料的弹性性质决定的。
本文将通过分析弹性波的传播速度与频率之间的关系，来探讨弹性波在不同介质中的特性以及在地震监测和非破坏检测中的应用。
一、弹性波传播速度与频率的基本原理弹性波的传播速度与频率之间的关系可以通过弹性波方程来推导。
在固体介质中，弹性波包括纵波（P波）和横波（S波）。
纵波是沿着波的传播方向的压缩波动，而横波则是在垂直于传播方向的平面内传播的波动。
根据固体材料的弹性性质，纵波和横波的传播速度都与介质的密度和弹性模量有关。
二、弹性波在不同介质中的传播速度关系不同介质中的弹性波的传播速度与频率之间存在着明显的差异。
首先，纵波的传播速度通常要比横波的传播速度大。
这是因为纵波是用压缩力沿着波的传播方向传递的，而横波则需要克服介质的剪切力才能传播。
其次，不同类型的介质对弹性波的传播速度有着不同的影响。
固体介质中纵波和横波的传播速度都比较大，而液体介质中纵波传播速度较大，横波传播速度较小。
气体介质中，纵波传播速度相对较小，且不会出现横波。
三、弹性波传播速度与频率的实际应用弹性波传播速度与频率的关系在地震监测和非破坏检测中具有重要的意义。
在地震监测中，通过测量地震波的传播速度和频率分布可以获得有关地下结构的信息，如地下岩石的密度和弹性模量分布等。
这对于地震预测和地质勘探具有重要的意义。
在非破坏检测中，弹性波检测技术可以通过测量物体表面传播的弹性波速度和频率信息来评估物体的结构和材料的质量，例如管道的泄漏检测、建筑物的结构健康评估等。
四、结论弹性波的传播速度与频率关系是通过材料的弹性性质决定的。
不同介质中弹性波的传播速度与频率存在差异，固体介质中的纵波和横波传播速度较大，液体介质中纵波传播速度较大且不出现横波，气体介质中纵波传播速度相对较小。
弹性波传播速度与频率的关系在地震监测和非破坏检测中具有实际应用价值。
弹性波动理论
两个系数λ、μ（合称拉梅系数）: 应力与应变方向一致和互相垂直 以上五个弹性参量，由弹性理论可证明，对于各向同性介质，其中任意一个
参量，都可以用任意两个其它的参量表示出来，只写出其中一组：
E (3 2)
2( )
(1.9)
K 2 3
以上讨论可知，弹性参数是应力与应变的比例常数，表示介质抵抗形变的能力， 其数值愈大，表示该介质愈难以产生形变。
据试验和理论推导，E、σ、μ都大于零，泊松比(σ)在0～0.5之间变化。一般 岩石的σ值在0.25左右，极坚硬岩石的σ值仅为0.05，流体的σ值为0.5，而软的、 没有很好胶结土的σ值可达0.45。表1.1中列举出一些岩石和介质的弹性参数。
第一章： 地震勘探的理论基础
地震勘探是研究人工激发的地震波在岩、土介质中的传播规律，而这种规律的 研究又是以地壳中岩石、土壤所具有的弹性和弹性差异为前提的。在研究中，通常 把岩、土介质看作是弹性介质。因此，地震波也叫弹性波，下面，先讨论弹性理论 的一些基本概念。
第一节 弹性理论概述
1.弹性介质
一、弹性介质与粘弹性介质
一般：动弹模＞静弹模
优缺点： 静力法：测得的静弹模值与地基受力条件相似，但现场测试设备笨重，测试时间
长、费用高，因此只能选择有代表性的少数测点进行测试，而少数测点难以对整 个场地岩、土介质的力学性质做出总体评价。
动力法：是用地震或声波仪进行测试，具有简便、快速、经济等优点。 但是目前工程设计人员一般还是要求给出与地基受力条件近似的静弹模数值， 因此往往要把地震或声波测得的动弹模值换算成静弹模值。
剪切应力：相切于单位面积上的内力，用τ表示
弹性波动力学基础
第1章 绪论1.1 弹性波场论概述在普通物理的力学部分，我们曾经着重讨论过物体在外力作用下的机械运动规律。
在讨论时，由于物体变形影响很小，我们将其忽略，而将物体视为刚体或简化为质点，这是完全正确的。
然而，实际上任何物体在外力作用下不仅会产生机械运动，而且会产生变形。
由于变形物体内部将相互作用，产生内力、应力和应变。
当应力或应变达到一定极限时，物体就会破坏，这一点在研究材料和工程力学中尤其要考虑，地球介质也不例外，地壳运动或地震都会产生地质体的应力或应变。
在弹性力学中，主要讨论对物体作用时的变形效应，物体不再假定为刚体，而是弹性体、塑性体，应当视为可变形体，我们研究的视角也从外部整体过渡到内部局部。
长期的生产实际和科学实验均已表明，几乎所有的物体都具有弹性和塑性。
所谓的弹性是指物体的变形随外力的撤除而完全消失的这种属性。
所谓的塑性是指物体的变形在外力的撤除后仍部分残留的这种属性。
物体的弹性和塑性受诸多因素影响而发生改变，并在一定的条件下相互转化。
因此，确切地，应当说成物体处于弹性状态或塑性状态，而非简单地说物体是弹性体或塑性体。
在弹性力学中，只讨论物体处于弹性状态下的有关力学问题，这时物体可称为弹性体。
由上所述，弹性力学又称弹性理论，研究的对象是弹性体，其任务是研究弹性体在外界因素（包括外力，温度等）作用下的应力、应变和位移规律。
简单地说，弹性力学就是研究弹性体的应力、应变和位移规律的一门学科。
弹性力学是固体力学中很重要的一个分支。
而固体力学是从宏观观点研究固体在外力作用下的力学响应的科学，它主要研究固体由于受外力作用所引起的内力（应力）、变形（应变）以及与变形有直接关系的位移的分布规律及其随时间变化的规律。
可见，应力、应变和位移是空间和时间的函数。
与固体力学对应的还有流体力学等。
固体力学还包括材料力学，断裂力学等等。
弹性力学本身又分为弹性静力学（Elasticity Statics ）和弹性动力学（Elasticity Dynamics ）。
弹性波动理论
( 2 ) w
2
t 2 w
2
t
2
此方程代表的波称为疏密波，或压缩波。 若波动引起介质的形变，只有剪切变形和转动而无体积变化时，则方程变为
(1 . 12 )
2
t 2 v
2
0 0 0
w
E
(3 2 )
2( ) 2 K 3
(1 . 9 )
以上讨论可知，弹性参数是应力与应变的比例常数，表示介质抵抗形变的能力， 其数值愈大，表示该介质愈难以产生形变。 据试验和理论推导，E、ζ、μ都大于零，泊松比(ζ)在0～0.5之间变化。一般 岩石的ζ值在0.25左右，极坚硬岩石的ζ值仅为0.05，流体的ζ值为0.5，而软的、 没有很好胶结土的ζ值可达0.45。表1.1中列举出一些岩石和介质的弹性参数。 表1.1介质的弹性参数
V ，s
分别代表纵波（疏密波）和横波（剪切波）的传播速度。
第二节 地震波的基本类型 一、地震波动的形成 波动产生：弹性体内相邻质点间的应力变化会产生质点的相对位移，存在应力梯度时 下面讨论地震波的形成过程： 物体在受到由小逐渐增大的力作用时，大体上经历三种状态：
外力小：在弹性限度以内，物体产生弹性形变；
(3) 体变模量
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正 截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比
P
K=-
(1.7)
(4) 切变模量（μ） 切变模量（刚性模量）:表示了物体切应力与切应变之比
μ=
(1.8)
对于液体: μ=0，不产生切应变，只有体积变化。 (5) 拉梅常数（λ、μ） 弹性力学中：受力物体内任意点受力 沿坐标轴分为三个分力，每个分力 都会引起纵向和横向沿三个轴的应力与应变。 按照广义虎克定律，应力与应变之间存在线性关系，于是应有36个弹性系数。 对各向同性介质，这些系数大都对应相等，可归结为: 两个系数λ、μ（合称拉梅系数）: 应力与应变方向一致和互相垂直 以上五个弹性参量，由弹性理论可证明，对于各向同性介质，其中任意一个 参量，都可以用任意两个其它的参量表示出来，只写出其中一组：