变分原理-3_2007
变分原理——精选推荐
变分原理变分原理变分原理是⾃然界静⽌（相对稳定状态）事物中的⼀个普遍适应的数学定律，或称最⼩作⽤原理。
例如：实际上光的传播遵循最⼩能量原理：在静⼒学中的稳定平衡本质上是势能最⼩的原理。
⼀、举⼀个例⼦（泛函）变分法是⾃然界变分原理的数学规划⽅法（求解约束⽅程系统极值的数学⽅法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。
因此，引⼊弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。
在讨论⼆阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson ⽅程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson ⽅程的Neumann 问题(N)=??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这⾥)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满⾜01,=+ΓΩg f d x其中的对偶积表⽰)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯⼀的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ?v vH v RH ,V v ∈? 可以得到唯⼀解。
实际上，由定理5.8推出RH v/)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v. 定义双线性泛函R V V →?:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈=?,?,?,?),,()?,?（和线性泛函V v vv u g fdx vΩ??,?,,?:. 其右端与v v ?∈⽆关。
因此v ?中的元素仅仅相差⼀个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利⽤范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ?,)()?(,1,2/1,0∈?+≤ΓΓ-Ω，从⽽Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ??)?,?(,1,1≤≤ΩΩ 22,1?)?,?(V u u u uB γ≥=Ω也就是，双线性形式)?,?(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
浅谈变分原理
浅谈变分原理变分原理是一个优化理论，它能够在大量数值模型中求得最优解。
变分原理由拉普拉斯于1930年提出，用于对边界值问题和导数问题进行数学分析，逐渐发展成为优化理论，用于解决复杂优化问题。
变分原理是一种建立在数学分析基础上的优化方法，它建立在函数的可微性下，利用极点定理（即函数的零点就是函数的极大值或极小值点），对被求解的优化问题进行极大值或极小值求解，以达到求解最优解的目的。
从物理的角度来讲，变分原理是把被求解的目标函数（如动能或潜能）作为一个约束变量，把由原始变量构成的约束条件作为另外一个约束变量，在此基础上求解系统最小化或最大化的问题。
变分原理最主要的功能在于对复杂的非线性方程或微分方程进行数值模拟，可以用来解决许多复杂的优化问题，比如最短路径问题，能量最优结构优化问题，多尺度结构优化等。
变分原理的应用范围极为广泛，而且在众多的应用领域中都取得了很大的成功，运用变分原理可以计算出精确的最优解，从而提高工作效率和节省时间成本。
变分原理作为一种近代优化原理，在材料力学、结构力学两个领域中也得到了广泛应用。
它可以用来解决因果力学各种优化问题，比如最小力学设计、极限状态设计、最大力学功等，它还可以用来对结构安全性极限状态进行动力分析，进而求出最优的设计参数，从而节省大量的计算时间成本。
如今，变分原理在优化问题的求解上有了广泛的应用，解决了很多实际应用中的复杂问题，在研究及应用方面也取得了很大的进展，例如变分原理和深度学习结合可以更好地解决各种机器学习和生物信息学问题，也使得它在优化问题的求解上更加有效和精确。
总之，变分原理是一种强大的优化方法，能够快速有效地求得最优解，其应用范围非常广泛，在众多优化问题中都发挥了至关重要的作用，未来变分原理还将在优化问题求解上发挥更大的作用，为社会经济发展提供更多有益的支持。
弹性力学弹性力学的变分原理
静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有限元整体分析 第十一章 弹性力学的变分原理几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法 伽辽金(『anQpKUH )法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析一、内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。
一般问题的求解是十分困难的， 甚至是 不可能的。
因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。
变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。
变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。
本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。
最后，将介绍有限元方法的基本概念。
本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。
知识点、重点1几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。
§11.1弹性变形体的功能原理学习思路：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力「：，和几何可能的位移’概念；静力可能的应力和几何可能的位移；可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
力学的变分原理
t2
下面具体说明之。先介绍增广位形空间的概念。 设一完整系有N个自由度，其广义坐标为q1 , q2 ,, qN ,由这些 坐标所确定的空间称为N维位形空间。这个空间中的一个点 表示系统在某一时刻的位置，这一点包含N个不同值的广义 坐标。为了形象而简洁地表示系统的运动，设想由N个广义 坐标和时间t组成N +1维空间，这样，增广位形空间的一个点 就表示了系统在任一瞬时的位置。
t2 t1
我们按式（2）将这族函数表示为依赖于参数的函数q ( , t )；
对式（2）积分，因 可为不同的值，因此泛函J 也是的函数，
这样，泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。
由函数的极值条件 J 即 J 可得 =0
=0
=0
=0
J =0
说明，泛函的极值条件是泛函的变分等于零。
（2）泛函的概念 给定一个由任何对象组成的集合 D ，这里所说的任何对象可以是 数、数组、几何图形，也可以是函数或某系统的运动状态等。设 集合 D 中的元素用 x 表示，如果对于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y ，则称 y 是 x 的泛函，记作 y F ( x) 。有时 泛函可以看做函数，函数也可以看做泛函。 函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数 的一一对应的关系。函数概念可作为泛函概念的特殊情况。
比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严 格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。 不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身 只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝 尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则 称为积分原理（如机械能守恒原理）。
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
变分原理
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 δy (x)
引起泛函的增量
y ( x ) y ( x ) y ( x )
可以展开为线性项和非线性项
L y ( x ) ,y ( x ) y ( x ) ,y ( x ) y m a x
就是求解最速降线问题——求出的曲线就是最速降线。
A（0，0）
y
O
P（x，y）
B(x1 ，x2)
X
v
速度
利用能量守恒定律写出该问题的数学 形式： 位能= 动能
mgy= 1 mv 2 2
v= 2gy
从A点沿曲线到任一点p走过的弧长来看
速度又可表示为： v= ds = 2gy dt
ds=
1+
③ 变分 研究函数的极值的方法就是微分法 研究泛函极值的方法就是变分法
而我们过去是利用微分学来研究函数的极值 问题的。
举例：最速降线问题
平面两点： A、B，不在同一个水平面上，也不
在同一铅垂线上
一重物沿曲线受重力作用从A点向B点自由 下滑，不计重物与曲面之间的摩擦力，从A 到B自由下滑所需时间随该曲线的形状不同 而不同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？
记作：
L y( x )
x2
1 y'( x )2dx
x1
显然：当取不同函数Y对应有不同的泛函值
举例2：弹性基础梁
x l y
x0, xl: v(0)v(l)0 v"(0)v"(l)0
位能： Π =梁的变形能+弹性基础的变形能-力函数
梁的变形能
V1
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分原理是物理学的一条基本原理，以变分法来表达。
根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。
这种表示也被说成是厄米的，描述了在厄米变换下的不变量菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。
在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群(现在广义相对论中被称为规范群)定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理。
把一个力学问题(或其他学科的问题)用变分法化为求泛函极值(或驻值)的问题，就称为该物理问题(或其他学科的问题)的变分原理。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理;如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)把有约束条件的变分原理化为较少(或没有)约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求
出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有:李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
变分法(能量原理)
y
y
yz
z
) v ( zx
x
zy
y
z
z
)
w
dV
( xl xym xzn) u ( yxl ym yzn) v ( zxl zym zn) w dS
S
(Px u Py v Pz w) dS
S
V
(
x x
xy y
xz z
X ) u ( yx x
y y
yz z
Y ) v ( zx x
zy y
z z
Z
)
w
A1
B1
B1
0
A1
0
0
B1
Eab
2(1
2
)
(
A1
B1
)
q1ab
Eab
2(1
2
)
(
B1
A1
)
q2
ab
A1
q1
E
q2
B1Βιβλιοθήκη q2E
q1
u
q1
q2
E
x
v
V
S
( X u Y v Z w)dV (Px u Py v Pz w)dS
V
S
由于虚位移而产生的虚变形能为：
变分原理
我们知道，在内积空间中，可定义 x 的范数，
x
x, x
因此所有的内积空间都是线性赋范空间。
显然，在前面所阐述的正交概念，就是在内积 空间上而引进的。 例5
n 维向量空间 R n ，定义加法和数乘运算： 对于
x y 1 1 , 2 2 ,, n n ,
xi x1 i 1 xi 1 i 1 xi 1 n xn
任何含零元素的元素组都是线性相关的。 如果实数域 K 上的线性空间 H 中有一组线性 无关的元素 x1 , x2 , xn ，且 H 中任一元素 x ，都可 以表成它们的线性组合，即
x 1 x1 2 x2 n xn
例3
x max x t
a x b
显然线性空间 C a, b 是线性赋范空间，
例4 对于 f L2 a, b ，规定范数
f
b
a
f x dx
2
1 2
它显然满足条件（1）——（3），故 L2 a, b 是一线性赋范空间。
通常，对线性赋范空间的任意二元素 x, y ，称 x y 的范数 x y 为元素 x, y 间的距离，记作 d x, y ，至此， 我们可以看出，在第二章所讲述的最佳逼近问题是在 线性赋范空间上的逼近问题。
(1.2)
则 称 x1 , x2 , xn 是 H 的 一 组 基 底， 其 中
xk k 1,, n 称为基元素，实系数 k k 1,, n 称 为元素 x 在这组基底下的坐标或投影。
如果 H 中的基元素个数是有限的，则称 H 是 有限维线性空间，否则称为无限维线性空间，有 限维线性空间 H 中基元素的个数称为 H 的维数。
变分原理
虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.
三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分:
变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：
其中u是未知函数，F，E是确定的算子， 对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零即：
δ Π=0
这就是变分原理。
力学变分原理
首先来说明几个概念:
定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的
基本规律.如:牛顿三定律.
定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:
动量定理等
原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括
性,可以认为与基本定律等价.
变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.
力学的变分原理可分为两大类:
在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.
在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.
从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.
通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理
变分原理的解释概念与原理
变分原理的解释概念与原理变分原理是一种数学方法，用于解决极值问题，包括最大值和最小值问题。
它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
变分原理的核心思想是将极值的求解问题转化为一个变分问题，通过对一个泛函进行变分运算，求解该泛函在一定条件下的变分，从而得到极值条件。
变分原理的基本概念是泛函（functional）。
泛函是一个由函数组成的函数，将一个函数空间映射到实数集合。
泛函的形式可以是函数的积分、导数、逐点相加等。
泛函的极值问题是找到使泛函取得极大值或极小值的函数。
变分原理的基本原理是极值条件：若一个函数使得泛函取得极值，那么该函数满足变分原理所给出的极值条件。
变分原理的核心思想是假设一个函数使泛函取得极值，并对该函数作出一个微小的变化，然后利用极值条件推导出该函数的特性。
根据变分原理的形式不同，极值条件也不同，常见的有欧拉-拉格朗日方程和哈密顿-雅可比方程等。
欧拉-拉格朗日方程是变分原理中最常用的极值条件之一，几乎适用于所有的物理学、工程学和经济学问题。
对于给定的泛函，在一定条件下，使得泛函取得极值的函数满足欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程的推导过程主要是通过对泛函进行变分运算，将泛函写成变量和它的导数的函数形式，然后通过变分运算的操作规则对泛函进行求导、化简、边界积分等步骤，最终得到欧拉-拉格朗日方程。
哈密顿-雅可比方程是变分原理中另一个重要的极值条件，适用于哈密顿系统的求解。
哈密顿系统是一类具有一阶导数的凸函数的泛函系统，常见于动力学系统、优化问题等领域。
哈密顿-雅可比方程的推导过程类似于欧拉-拉格朗日方程，通过变分运算和泛函的特性，将泛函写成变量和它的导数、极值函数的函数形式，然后利用变分运算的法则对泛函进行求导，化简，边界积分等操作，最终得到哈密顿-雅可比方程。
总结来说，变分原理是一种通过对一个泛函进行变分运算，求解该泛函的变分，从而得到极值条件的方法。
它可以应用于各个领域的极值问题，其中欧拉-拉格朗日方程和哈密顿-雅可比方程是变分原理最常用的两种极值条件。
变分原理
变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此，应变能就是泛函。
在数学分析中，讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。
（补充图）设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。
于是，这一曲线的长度为连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y（x）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。
变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
变分原理及其应用
变分原理及其应用变分原理及其应用变分原理是数学物理学中最为广泛应用的利器之一，涉及到了许多领域，如机械、光学、电磁力学、量子力学、统计力学等。
它是通过对连续体系统的小波形改变（也可以理解成弱化）来考虑其中微小变动的原理。
变分原理的威力在于，它可以引导一个复杂系统中的规律性和简单性（或者说优美性）的联络。
在此文中，我们将介绍变分原理的基本原理与数学表述，并说明其在自然科学、社会科学中的应用。
一、变分原理的基本原理与表述最简单的变分问题中，我们需要找到一条路径，使得路径的起始点和终止点固定，但路径中间部分有着无数的选择（或者说自由度）。
我们需要找到一条这样的路径，它对我们要考察的问题，比如说能量变化，造成的影响最小。
直观上看，这个过程有点像往下找一个最小值点，但是它的复杂度更高。
假设我们要研究一个连续变量y以某种函数形式依赖于自变量x的最优（或者说平衡稳定）应答。
这时候，我们来构建这样一个泛函:S[y(x)]=∫L(x,y,y′)dx在泛函中，y是我们自变量x实验的值，(x,y,y′)是y在x处的三元组，其中y'是y在x处的一次导数，L是拉格朗日（Lagrangian）量，是处理各种量力学问题的标准工具之一。
该泛函的极小值问题又称为变分问题：对于给定的起始点x=a和终止点x=b, 找到满足条件y(a)=A,y(b)=B 的函数y(x), 使得泛函S[y(x)]取极小值。
使用变分分析的一个重要步骤就是找到变分的方向。
如果我们将y沿着一个很小的量δ移动，那么S也会跟着移动，我们的任务就是要找到一个δ，使得S的变动达到最小化。
这个求解过程可以基于变分原理的欧拉-拉格朗日方程。
二、变分原理在自然科学中的应用实际上，变分原理可以用来研究很多领域，例如在物理中，它可以用于描述粒子从一个状态到达另一个状态的最优路径，它的极值条件表达了牛顿力学、哈密顿力学、场论等物理理论中诸多高阶方程所服用的欧拉-拉格朗日方程，是人们认识自然界中微观粒子世界中的“最小作用量原理（The principle of least action）”；在牛津量子场论中，变分原理被用来推导出粒子间的相互作用，以及粒子的运动轨迹；在经典物理中，变分原理用以研究质点的运动规律、分析能量变化；在热力学中，它则用以分析物质的稳定状态，以及刻画在给定限制条件下（如既定的体积、温度、压力等），热力学系统得到的能量的最小状态；在光学中，变分原理则被用来研究光的传播路径以及折射定律等；在图像处理中，变分原理可以用于多目标的优化问题，例如去噪、图像分割等。
变分原理-第3章
6 个应变分量 在弹性力学中共有三类 15 个待求的函数—3 个位移分量 u i ，
eij ，6 个应力分量 σ ij 。
令物体所占空间为 V，V 的边界为 S，边界 S = S u + S p ，在 S u 上给定位移， 在 S p 上给定外力。在 V 中给定体积力 Fi 。 弹性力学的方程很多，其中直接从某一客观规律导出的方程称为基本方 程。弹性力学的客观规律有三条，因此相应的基本方程也有三类。 1、 连续条件—包括几何方程和位移边界条件
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（ 在 V 域 内 ）
（1）
ui − u i = 0
（在 S u 边界上）
2、 应力应变关系—又称本构方程，通常有两种表示法
∂A = σ ij ∂eij
或
∂B = eij ∂σ ij
（ 在 V 域 内 ）
（2） 3、 平衡方程—包括 V 内的平衡方程和力的边界条件
Sp Su
(
)
[(
)
]
（10）
δu i , δλi 在 S u 上， δu i 在 S p 上都是独立的， 令 δΠ * = 0 , 得 由于 δeij , δu i , δλij 在 V 内，
∂A + λij = 0 ∂eij
（在 V 域内）
（11）
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（10）
σ ij , j + Fi = 0
λi − u i = 0
（11） （12）
σ ij n j − p i = 0 η i + λi = 0
将上面各式与式（1） （2 ） （4 ） （5）对比，很容易确定
变分法原理与技术
变分法原理与技术变分法是一种在数学和物理学中常用的技术和原理，用来找到函数的最值或满足一定条件的函数。
它的思想是将寻找特定函数的问题转化为寻找一个函数空间中的曲线的问题，通过求取曲线的极值来获得原函数的特定性质。
在变分法中，首先要定义一个函数空间，通常是一组满足其中一种条件的函数。
然后，我们尝试找到在这个函数空间中的函数，使其使得一些泛函（函数的函数）取得极值。
泛函是一个把函数映射到实数的函数，它可以表示函数的其中一种性质，比如能量、曲线长度等。
变分法的关键是求解函数的变分，即函数在无穷小变换下的改变量。
这个变分可以表示为δf，其中δ表示无穷小变分符号。
利用变分法，我们可以得到一个关于δf的表达式，套用极值条件，即δf=0，从而求解出δf=0时的函数f。
变分法的实际应用非常广泛，特别是在物理学领域中。
例如，著名的欧拉-拉格朗日方程就是通过变分法得到的。
欧拉-拉格朗日方程描述了物体在作用力下运动的运动方程，它将物体的能量表示为运动路径的积分，并通过求解能量的变分获得运动路径。
另一个常见的应用是最小作用量原理，它是变分法在经典力学中的一种应用，描述了物体在满足作用力的条件下，其运动路径满足使作用量取得极小值的原则。
最小作用量原理是描述了自然界运动的基本规律之一，并被广泛用于描述多种物理现象，比如光学、电磁学等。
除了在物理学领域，变分法还广泛应用于数学的分析和控制论中。
在数学分析中，变分法常用于函数空间中的极值问题，比如计算函数的最大值、最小值等。
在控制论中，变分法常用于描述动态系统中的最优控制问题，通过设定控制函数的变分和系统的动力学方程，可以得到满足一定约束条件下的最优控制函数。
总结来说，变分法是一种求解函数最值或满足一定条件的函数的一种技术和原理。
它通过在函数空间中寻找使泛函取得极值的函数，从而求解出满足特定条件的函数。
变分法在数学和物理学中有广泛的应用，是研究和解决复杂函数问题的重要工具之一。
变分原理正文
第1章 泛函和变分1.1引言以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数12(,,...,)n y f x x x =，其在区域n R Ω⊂内任何一点12(,,...,)T n x x x =x 都可以作以下的Taylor 展开21212()()()()(||||)(),,...,T T T Tn f f f f o f f f f x x x +∆=+∆+∆∆+∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭x x x x x x D x x x x ∇∇ (1.1.1)22221121222212...()...n n n n f f f x x x x x f f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦D x函数在某一点有极值的必要条件是12,, 0n f f f f x x x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭∇但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲， 就是函数的函数，详细见后面)。
例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题图1.1最短线问题假设经过,A B 两点距离最短的曲线方程为*()y y x =(1.1.2)另有一任意的连续可导函数()x ηη=，()x η满足两端固定的边界条件01()()0x x ηη== (1.1.3)显然()()y y x x αη=+依旧是过固定两点,A B 的连续曲线，其对应的长度为1()x x L x α=⎰(1.1.4)当0α=,()y y x =时()L α取到极小值，也就是说0d ()|0d L ααα== (1.1.5) 把(1.1.4)代入(1.1.5), 展开后有()()101110001100033d ()||d |d ''''''d d 0x x x x x x x x x x x x L y x y y y x x y y y y y x xααααηηη==='⎛⎫==-⎛⎫⎪=-=-⎪⎪⎭=⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1.6)由于(1.1.6) 对于任意的()x ηη=都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到()3''0y = (1.1.7)意味着 12y C x C =+ (1.1.9)因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。
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3 弹性静力学变分原理一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij j i f σ+= 在域V 内(3.1),,()/2ij i j j i u u ε=+ (3.2) ij ijkl kl c σε= 或 ij ijkl kl s εσ= (3.3a ,b )式中ijkl ijlk jikl klij c c c c ===(3.4)边界条件：在域V 的边界B 上，12B B B =⋃，有i i u u =， 在1B 上(3.5) ij ij i p n p σ==， 在2B 上(3.6)补注1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标i X 来衡量，称为Lagrange 应变或者Green 应变，另一类则是以变形后坐标i x 来衡量，称为Euler 应变或者Almansi 应变，分别为12j i k k ij j i i j u uu u L X X X X ⎛⎫∂∂∂∂=++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (s-3.1)补注2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力作用，自然有三个分量。
但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。
也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。
如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat 理论，相应的介质称为Cosserat 介质。
事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. V oigt ，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。
E. Cosserat 和F. Cosserat 兄弟俩于1909年完善了Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。
Cosserat 兄弟的工作发表后一直少有人问津，原因是他们的理论是直接建立在非线性构架上的，而且有很多讨论与弹性理论无关，所谓的曲高和寡正是他们的论文遭到冷遇的最好写照。
到1950年代左右，由于发现诸如高频振动时经典弹性理论的预测结果和实验结果有较大的差距，Cosserat 理论才被重视起来，发表了一系列的学术论文，例如C. Truesdell ，R. A. Toupin ，R. Mindlin ，A. C. Eringen 等力学大家都曾致力于Cosserat 介质的研究。
目前文献中，也称Cosserat 介质为微极（micropolar ）介质，称Cosserat 理论为偶应力（couple stress ）理论或者非对称（asymmetric ）弹性理论。
其运动平衡方程有两组，一组与Cauchy 线动量方程（Cauchy ’s equation of linear momentum ）相同，另一组与Cauchy 角动量方程（Cauchy ’s equation of angular momentum ，即ij ji σσ=）有区别，为,0ijk jk ji j i e Y σμ++=(s-3.2)1995年后至今仍为研究热点的梯度塑性（gradient plasticity ）理论，其出发点和Cosserat 理论是类似的，都是在分析中尽量考虑材料微结构的影响。
补注3：对称性与独立材料常数对于具有某种对称性质的弹性体，其独立弹性常数的个数可进一步减少。
(1) 具有一个弹性对称面的弹性体（三斜，triclinic ）1112131612222326132333364445455516263666000000000000000c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.3)(2) 具有三个弹性对称面的弹性体（正交各向异性，orthotropic ）11121312222313233344556600000000000000000000c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.4)(3) 具有一个弹性对称轴的弹性体（横观各向同性，transversely isotropic ）11121312111313133344446600000000000000000000c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.5)其中1112662c c c =+。
(4) 中心对称的弹性体（各向同性，isotropic ）2000200020000000000000000λμλλλλμλλλλμμμμ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.6)其中λ和μ为Lamé常数，用工程常数表示为(1)(12)E νλνν=+-，2(1)Eμν=+(s-3.7)二 、变形可能位移和静力可能应力满足方程(3.2)和(3.5)的位移和应变，称为变形可能位移和变形可能应变，将变形可能应变代入(3.3a )计算所得的应力称为变形可能应力。
满足方程(3.1)和(3.6)的应力称为静力可能应力，将静力可能应力代入(3.3b )所得到的应变称为静力可能应变，如果相应此应变还有位移的话，就称为静力可能位移。
通常称方程(3.2)和(3.5)为连续条件，称方程(3.1)和(3.6)为平衡条件。
因此满足连续条件的位移称为变形可能位移，满足平衡条件的应力便是静力可能应力。
变形可能位移记成k i u ，静力可能应力记成sij σ。
三 、变形能线弹性体的比应变能（specific strain energy ）定义为 11()22ij ij x x y y z z yz yz zx zx xy xy U σεσεσεσετγτγτγ==+++++(3.7)其物理意义是微六面体的变形能。
物体总的变形能为1d d 2T ij ij VVU U V V σε==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (3.8)对于各向同性材料，有22222222(1)1111d d d 222T V E u v w u v w U x y z x y z w v u w v u x y z y z z x x y ννν⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎡⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢+-∂∂∂∂∂∂⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++++++⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎰⎰⎰(3.9)从式(3.7)可以得到ij ijUσε∂=∂ (3.10)及cij ijU εσ∂=∂ (3.11)此两者分别为卡氏（Castigliano ）第一和第二定理。
事实上对于一般的材料，我们可类似得到ij ijUσε∂=∂， (3.12)及cij ijU εσ∂=∂， (3.13)其中d ijij ij U εσε=⎰，0d ijc ij ij U σεσ=⎰(3.14)分别为比应变能和比应变余能，满足()()0ij c ij ij ij U U εσσε+-=(3.15)容易证明式(3.12)，(3.13)和式(3.15)三者是完全等价的（熊祝华和刘子廷，1988）。
对于线弹性材料，c U U =。
Born: 9 Nov 1847 in Asti, Piemonte, ItalyDied: 25 Oct 1884 in Milan, ItalyAlberto Castigliano moved from the region of his birth, Piedmont in northwestern Italy, to the Technical Institute of Terni in 1866. After four years in Terni, in Umbria, Castigliano moved north again, this time to become a student at the Polytechnic of Turin. After three years of study in Turin he wrote a dissertation in 1873 Intorno ai sistemi elastici for which he is famous.After graduating from the Polytechnic of Turin, Castigliano was employed by the Northern Italian Railways. He headed the office responsible for artwork, maintenance and service and worked there until his death at an early age.In his dissertation there appears a theorem which is now named after Castigliano. This is stated in [1] as:-... the partial derivative of the strain energy, considered as a function of the applied forces acting on a linearly elastic structure, with respect to one of these forces, is equal to the displacement in the direction of the force of its point of application.Castigliano's results contain the principle of least work as a special case and this was to lead to a dispute with Menabrea in which Castigliano came off less well than he had hoped.From: /Biographies/Castigliano.html补注4：高斯定理和格林公式高斯定理的一般形式为......d ()d jk jk i iVBT V T n B x ∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰(s-3.8)其中...jk T 为一任意阶的张量，i n 为边界外法线的分量。