协调的尺度相关连续偶应力理论简介

协调的尺度相关连续偶应力理论简介令狐烈1摘要：经典的小变形弹性力学理论比如柯西弹性力学理论忽略了偶应力，在宏观尺度的时候适用的很好，但是随着材料的尺寸越做越小，特别是在纳米技术以及微电子技术的发展，对弹性力学提出了新的要求，要求我们不得不考虑到偶应力的情况。

本文简单回顾偶应力理论的发展，并详细介绍一种偶应力理论：尺度相关协调连续偶应力理论。

除了客观地介绍该理论的原理，文中还加入了本人自己的理解，着重介绍与其物理本质相关的一般性结论。

关键词：微观尺度，偶应力，协调的尺度相关连续理论。

1．引言经典的连续介质力学基于连续性假设，认为物体是有无数多的没有体积的空间点组成，这些点没有体积，但是有确定的空间和物理特征，比如位置，质量与运动。

这样的假设就必然导致力偶被忽略，因为组成物质的基本单元是没有体积的点，这样的模型只考虑到平移改变平移特征承受力矢，不能有考虑到转动与改变转动特征的力偶。

这样得到的理论在宏观的时候适用的很好，但是随着材料的尺度发展的越来越小，比如计算机的电路集成；在处理这些微观问题的时候却出现了问题。

丢弃了连续性假设的偶应力理论的分析和计算都异常复杂，因此后来发展了尺度相关连续介质力学，把微观尺度考虑进去，但同时也能够退化为宏观尺度的连续介质力学。

这样的理论需要使用尺度相关的变形度量，比如曲率张量，结果便需要考虑到偶应力。

Toupin等人[1]使用宏观转动真实的转动得到了一种偶应力理论，他们使用转动向量的梯度来作为曲率张量。

可惜的是他们的理论遇到一些麻烦，其中最主要的是偶应力张量的球形部分和体力偶在应力张量本构关系中的表现形式无法确定。

这些不协调的偶应力理论被称为模糊偶应力理论。

另外有一个分支被称为微极理论（micropolar theories）[2, 3]，该理论使用微转动，结果却引入了额外的只有度。

还有一种第二梯度理论[4]（second gradient theories）引入应变梯度，1浙江大学航空航天学院工程力学系转动和其他的一些组合。

尽管这些理论使用真实的连续体来描述变形，但是其公式却不能够和变价条件以及虚功原理的能量对偶性保持一致。

这里要介绍的是一种协调的尺度相关连续偶应力理论（a consistent size-dependent continuum mechanics theory for couple-stress）[5]。

该理论考虑真实的连续体的运动位移与转动，结合边界条件，虚功原理，得到了不依赖与附加自由度的偶应力理论，发现偶应力张量的反对称性以及转动张量梯度的反对称部分是协调的曲率张量，它们两者之间满足虚功原理的对偶关系，而且发现应变梯度并非变形的基本度量。

除了客观地介绍该理论的原理，文中还加入了本人自己的理解。

这里着重介绍与其物理本质相关的一般性结论，相关算例还请参考原文。

2．平衡方程考虑一个体积为V，边界为S的连续体。

在该连续体中的两个有限体之间的相互作用通过二者的接触表面dS上的作用力()t nidS与作用力偶()m nidS和传递，其中()t ni是力牵引向量（force--traction vectors），()m ni是力偶牵引向量（moment-traction vectors）。

表面力和表面力偶通常使用非对称的应力张量ij σ和偶应力张量ij μ来表示：()t (1)n i ij j n σ=----- ()m (2)n i ij j n μ=-----而应力张量和偶应力张量可以进行加法分解，写为对称与反对称部分的和： ij ij ij (3)S A μμμ=+-----ij ij ij (4)S A σσσ=+-----这里的上标S 表示对称部分（symmetric ），A 表示反对称部分（antisymmetric ），与原文中的圆括弧下标表示对称，方括弧下标表示反对称有所不同，但是这只是一个记号，并没有太大的影响。

现在考虑有限体积（可以是微元体积，也可以是整个体积）的平衡，设其体积为a V ，表面为Sa 。

连续介质力学的原则是质量平衡，线动量就，角动量与能量的平衡，其一般形式为：(*)t Vsvddv d dv d =•+-----⎰⎰⎰Q F A S其中，Q 表示研究的物理量，F 表示表面作用项，S 表示源。

在准静态情形下，该部分体积的线动量和角动量平衡的方程为：()at0(5)t n j jj V savadV dv dS F dv d =+=----⎰⎰⎰()()ax t +m t x 0(6)n n i ijk j k i V Sa ijk j k i Vad dv dS d F C dv εε⎡⎤Ω=⎣⎦⎡⎤++=-----⎣⎦⎰⎰⎰这里的Fi 和Ci 分别表示单位提及的体积力和体力偶。

ijk ε是置换符号。

使用方程（1）和（2），以及散度定理，并注意体积的任意性可以得到一般偶应力理论平衡方程的微分形式：ji,i 0(7)i F σ+=-----ji,ijk +0(8)j jk i C μεσ+=-----在经典连续介质力学中，没有考虑到偶应力与体力偶，也就是 μji = 0 和Ci = 0。

因此角动量平衡方程（8）表明应力张量是对称的，这就意味着应力张量有6个独立量，这里有3个平衡方程，另外的三个方程为本构方程，这就是经典的弹性理论比如柯西理论的情形。

而在偶应力理论中，应力张量和偶应力张量一共有18个未知量，但是平衡方程只有6个，似乎另外的12个方程都要去本构方程中找。

这也正是2发展偶应力理论的麻烦之处。

本文介绍协调的尺度相关连续偶应力理论希望通过探究边界条件，虚功原理和一些运动学知识来发现变量之间的关系，减少独立未知变量的个数。

3．运动学（几何方程）这里仅仅考虑微小变形的运动学（几何方程）。

在笛卡尔坐标系中，定义u i 为连续介质的位移场。

考虑连续体重相邻的两点P 和Q ，它们在参考构型中的位置分别为xi 和 xi + dxi ，两点之间的相对位移为：d (10)i i j ij u u dx =-----，其中，u i ，j 是P 点的位移梯度张量。

事实上， 位移梯度张量本身并不适合于度量变形，因此对位移梯度张量进行加法分解为对称与反对称部分：,u (11)i j ij ij e ω=+-----,,1=u u )(12)2ij i j j i e +-----（,,1=u -u )(13)2ij i j j i ω-----（这里的张量e ij 和 ωij 分别是小变形的应变张量（strain tensor ）和转动张量（rotation tensor ）。

转动张量对应的转动向量（rotation vector ）ωi 定义为：,11=(14a)22i ijk kj ijk k j u ωεωε=-----其向量形式为：1=(14b)2u ω∇⨯-----相应地，该转动向量与转动张量的关系为j =(15)i ijk k ωεω-----其分量形式为：123213312=-==-(16a )c ωωωωωω-，，因此，相对位移可以分解为：12d d +d (17)i i i u u u =-----()()1d e d (18)i ij j u x =-----() 2d d (19)i ij j u x ω=-----()ωij 被视为为微元线段dxi 相对于P 点产生的类似刚体转动，转动导致的相对位移与微元段垂直：2d d d d 0(20)i i ij i j u x x x ω==-----()由于ωij 对于微元线段d i x 的伸长和收缩没有影响，它就不可能出现在度量材料伸缩的张量中。

因此，在经典的弹性理论，比如柯西理论中，使用对称部分应变张量用来描述微小变形的是合理的。

在偶应力理论，需要另外一个张量来度量任意微元线段的曲率。

为了找到该张量，考察转动向量ωi 。

相邻两点P ，Q 之间的相对转动为：,d =(21)i i j j dx ωω-----其中，张量ωi,j 是P 点的转动向量的梯度。

其分量ω1,1，ω2,2 和 ω3,3 表征微元线段的沿着坐标轴的扭转，第一个下标表示作用面，第二个下标表示微元线段的方向。

非对角线的元素表示微元线段的扭曲曲率，第一个下标表示观察平面，第二个下标表示观察的微元段。

综上所述，在微小变形中，连续体P 点临近点Q 点的移动总结起来有：随着P 点的平动，相对P 点的伸缩，相对P 点转动和微元线段PQ 的扭转与弯曲整个过程中，微元段dxi 就好像一根弹性纤维，后面就把它叫做微元纤维以突出扭曲变形特征。

整个过程如图1所示：曲率的适当度量方式必须是可以度量任意一个微元线段dxi 的纯曲率的张量。

因此，在曲率张量中，对角线元素ω 1,1,ω 2,2 和ω3,3不能够出现。

但是不能够把他们简单的删除。

通过把张量ωi,j 分解为对称和反对称两个部分，可以得到：i j ij (22)ij ωχκ=+-----，()ij ,,1(23)2i j j i χωω=+----- ()ij ,,1-(24)2i j j i κωω=-----对称张量χij 可以通过对转动张量使用应力算子（strain operator ）得到，而反对称张量κij 为P 点的转动向量的旋度。

从（23）可以得到：111,1222,2333,3,(25a )c χωχωχω===------()23322,33,21==+(26)2χχωω----- ()13311,33,11==+(27)2χχωω-----图1：弹性体中任意一个微元段弹性纤维的变化情况示意图()12211,22,11==+(28)2χχωω----- （25）对角线元素χ11 , χ22 和χ33代表微元纤维沿着X1，x1,x3方向的纯扭转，如上面提到的那样。

另一方面，观察（26）卡以看到，χ23 ， χ13 和 χ12 来度量平行于X2X3，X1X3，和X1X2平面变形后与球度（sphericity ）的偏离[6]。

进一步，我们可以看到对称张量χij 一定存在主值，代表沿着主轴方向的纯扭转。

因此，可以把χij 称为扭转张量（torsion tensor ）并且希望这个张量在连续介质材料中对于变形的基本度量没有影响。

相反，这里猜测基本的曲率张量是转动张量κij 的反对称的旋度。

下面通过考虑偶应力的虚功原理来证明。

注意到d ωi 中只有垂直于dxi 的那部分才会产生纯弯曲。

因此，通过把d ωi 进行分解：()()12d d +d (27)i i i ωωω=-----()2d (28)i ij j dx ωχ=-----()2d (29)i ij j dx ωκ=-----注意到：()()2i d 030i i ij j dx dx dx ωκ==-----这表明d ωi (2)是d ωi 中垂于dxi 的分量。