高中数学导数典型题

关于导数的29个典型习题

习题1设函数在0=x 的某邻域内1

C 类(有一阶连续导数），且

.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。

解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0

=-+=-+→f b a f h f b h f a h 。

.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知

).0()2(1

)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,

0)0(≠'f 故.02=+b a 联

立可解出.1,2-==b a 习题2 设

,0,

00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x

其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有

,)1()()()(])([)(2

2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x

x x ---++-'=+-+'='

当0=x 时，用定义求导数，有

.2

1

)0()(lim

)0(2

0-''=

-='-→g x e x g f x

x 二次洛

⎪⎩

⎪⎨

⎧=-'

'≠++-'='∴-.

0,21)0(0,)1()()()(2

x g x x e x x g x g x x f x

(2） 因在0=x 处有

).0(2

1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x

x x

x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛

而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022

=++++c y b x a y x

(圆),其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则

=+x

d y d dx dy 222

3

2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b

y a x y ++-=' 再导一次，

,02222

=''+'+''+y b y y y

即

.2)1(22b

y y y +'--=''

)(.42

1...1)2(21...)1(22

22

32定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

注 c b a 42122-+恰是圆022=++++c y b x a y x 的半径.

习题4 证明：若)(x f 在),(+∞a 内可导，且

,0)]()([lim ='++∞

→x f x f x 则.0)(lim

=+∞

→x f x

证 作辅助函数,)(,)()(x

x

e x G e x

f x F ==应Cauchy 中值定理.

.)()(,0,0,0)]()([lim εε<'+⇒>∀>∃>∀∴='++∞

→x f x f A x A x f x f x A x >∀，由

Cauchy 中值

定理有

x

A G F A G x G A F x F <<''=--ξξξ,)

()

()()()()((显然

)(≠'ξG )

或

)()()()(1)()(ξξf f e

e e A

f e x f e e A f x f A

x A

x x A x A '+=--=---- 或 (*)......)1()()()()(x A x A e f f e A f x f --+⋅'++⋅≤ξξ

因

,0lim =-+∞

→x A x e 即 .1,,11<<⇒>∀>∃--x A x A e e A x A A 与ε

于是，εε2)()(1

+⋅<⇒>∀A f x f A x 。即.0)(lim =+∞

→x f x

习题5 设)(x f 在),[+∞a 上有二阶导数，且,)(0

M x f ≤ ).()(02

+∞<≤≤''

M M x f ≤' 证 ),[+∞∈∀a x 以及任意),(,0+∞∈+>a h x h ，则有

].,[,)(!

21

)()()(2h x x h f h x f x f h x f +∈''+

'+=+ξξ即

].,[),(2

)]()([1)(h x x f h

x f h x f h x f +∈''--+='ξξ

由题设知.0),,[,2

2)(20>+∞∈+≤'h a x M h h M x f 下面求,h 使

202

2)(M h

h M h g +=

为最小。为此令

,02

1

2)(220=+-=

'M h M h g 解出

,2

2

0M M h =而

,04)(30

>=

''h

M h g 故知)(h g 在0h 处为最小。 .2)(200M M h g = 从而可知

))

()(),()(,0().,[,2)(020h g x f h g x f h a x M M x f ≤'≤'>∀+∞∈≤'故 习题 6 设函数

].1,0[)(C x f ∈在)1,0(内可导，且.1)1(,0)0(==f f

试证),1,0(,,,∈∃∀ηξb a 正数使得

.)

()(b a f b

f a +='+'ηξ 证 取数).1,0(∈μ由介值定理知),1,0(∈∃c 使.)(μ=c f 在区间]1[c ],0[，

与c 上分别应用微分中值定理有

.0)(,0)(.01,0),1,0(,1,111)()1()(,

0,0)0()()(≠'≠'≠-≠∴∈≠<<--=--='<<=--=

'ηξμμμξ

ηημ

ηξμ

ξf f c c

c c f f f c c c f c f f 即 从而

.)

1()

(11)()(μμμμμμμηξ---+=--+='+'a b a c b c

b c a f b f a 显然，当取 ,b a a +=μ 则,1b

a b +=-μ 且).1,0(1,∈-μμ 代入得

.)

()(b a f b

f a +='+'ηξ 习题7 求)1ln()(2

x x

x f +=在0=x 处的

100 阶导数值。

解 由Taylor 公式有)(98

...32)(100100

543

x o x x x x x f +--+-=。故

).!97(99098

!

100)0(.98

1)0(!1001)100()100(⨯-=-

=∴-=f f 习题8 设,2

e b a e <<<证明 ).(4

ln ln 222a b e

a b ->-

证 设,ln

)(2

x x f =应用Lagrange 中值定理有

.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=

-ξξ

ξ

又设,ln )(t

t t =ϕ