高中数学导数典型题
关于导数的29个典型习题
习题1设函数在0=x 的某邻域内1
C 类(有一阶连续导数），且
.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0
=-+=-+→f b a f h f b h f a h 。
.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知
).0()2(1
)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,
0)0(≠'f 故.02=+b a 联
立可解出.1,2-==b a 习题2 设
,0,
00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x
其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有
,)1()()()(])([)(2
2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x
x x ---++-'=+-+'='
当0=x 时，用定义求导数，有
.2
1
)0()(lim
)0(2
0-''=
-='-→g x e x g f x
x 二次洛
⎪⎩
⎪⎨
⎧=-'
'≠++-'='∴-.
0,21)0(0,)1()()()(2
x g x x e x x g x g x x f x
(2） 因在0=x 处有
).0(2
1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x
x x
x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛
而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022
=++++c y b x a y x
(圆),其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则
=+x
d y d dx dy 222
3
2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b
y a x y ++-=' 再导一次，
,02222
=''+'+''+y b y y y
即
.2)1(22b
y y y +'--=''
)(.42
1...1)2(21...)1(22
22
32定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴
注 c b a 42122-+恰是圆022=++++c y b x a y x 的半径.
习题4 证明：若)(x f 在),(+∞a 内可导，且
,0)]()([lim ='++∞
→x f x f x 则.0)(lim
=+∞
→x f x
证 作辅助函数,)(,)()(x
x
e x G e x
f x F ==应Cauchy 中值定理.
.)()(,0,0,0)]()([lim εε<'+⇒>∀>∃>∀∴='++∞
→x f x f A x A x f x f x A x >∀，由
Cauchy 中值
定理有
x
A G F A G x G A F x F <<''=--ξξξ,)
()
()()()()((显然
)(≠'ξG )
或
)()()()(1)()(ξξf f e
e e A
f e x f e e A f x f A
x A
x x A x A '+=--=---- 或 (*)......)1()()()()(x A x A e f f e A f x f --+⋅'++⋅≤ξξ
因
,0lim =-+∞
→x A x e 即 .1,,11<<⇒>∀>∃--x A x A e e A x A A 与ε
于是，εε2)()(1
+⋅<⇒>∀A f x f A x 。即.0)(lim =+∞
→x f x
习题5 设)(x f 在),[+∞a 上有二阶导数，且,)(0
M x f ≤ ).()(02
+∞<≤≤'' M M x f ≤' 证 ),[+∞∈∀a x 以及任意),(,0+∞∈+>a h x h ，则有 ].,[,)(! 21 )()()(2h x x h f h x f x f h x f +∈''+ '+=+ξξ即 ].,[),(2 )]()([1)(h x x f h x f h x f h x f +∈''--+='ξξ 由题设知.0),,[,2 2)(20>+∞∈+≤'h a x M h h M x f 下面求,h 使 202 2)(M h h M h g += 为最小。为此令 ,02 1 2)(220=+-= 'M h M h g 解出 ,2 2 0M M h =而 ,04)(30 >= ''h M h g 故知)(h g 在0h 处为最小。 .2)(200M M h g = 从而可知 )) ()(),()(,0().,[,2)(020h g x f h g x f h a x M M x f ≤'≤'>∀+∞∈≤'故 习题 6 设函数 ].1,0[)(C x f ∈在)1,0(内可导，且.1)1(,0)0(==f f 试证),1,0(,,,∈∃∀ηξb a 正数使得 .) ()(b a f b f a +='+'ηξ 证 取数).1,0(∈μ由介值定理知),1,0(∈∃c 使.)(μ=c f 在区间]1[c ],0[， 与c 上分别应用微分中值定理有 .0)(,0)(.01,0),1,0(,1,111)()1()(, 0,0)0()()(≠'≠'≠-≠∴∈≠<<--=--='<<=--= 'ηξμμμξ ηημ ηξμ ξf f c c c c f f f c c c f c f f 即 从而 .) 1() (11)()(μμμμμμμηξ---+=--+='+'a b a c b c b c a f b f a 显然，当取 ,b a a +=μ 则,1b a b +=-μ 且).1,0(1,∈-μμ 代入得 .) ()(b a f b f a +='+'ηξ 习题7 求)1ln()(2 x x x f +=在0=x 处的 100 阶导数值。 解 由Taylor 公式有)(98 ...32)(100100 543 x o x x x x x f +--+-=。故 ).!97(99098 ! 100)0(.98 1)0(!1001)100()100(⨯-=- =∴-=f f 习题8 设,2 e b a e <<<证明 ).(4 ln ln 222a b e a b ->- 证 设,ln )(2 x x f =应用Lagrange 中值定理有 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-= -ξξ ξ 又设,ln )(t t t =ϕ 则,ln 1)(2 t t t -='ϕ当e t >时,,0)(<'t ϕ 此时 )(t ϕ 单减。从而 ),()(2 e ϕξϕ>即 ).(4 ln ln .2ln ln 222222a b e a b e e e ->-∴=>ξξ 习题9 设)(),(),(x h x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，试证存在),,(b a ∈ξ使 得 (*)0 ) ()()()()()() () () (='''ξξξh g f b h b g b f a h a g a f 并由此导出Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理。 证 取函数,) ()()()()()() () () ()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F '''= 则,0)()(==b F a F 且 ],,[)(b a C x F ∈在),(b a 内可导。由Rolle 定理，),,(b a ∈∃ξ使,0)(='ξF 即(＊）式成 立。若取,1)(,)(==x h x x g 则(＊）式化为 ).)(()()(a b f a f b f -'=-ξ若取,1)(=x h 则(＊）式化为 ) () ()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--(要求式中分母不等于0）. 习题10 设 ) (),(x g x f 在),(+∞-∞内有定义，)(),(x f x f '''存在，且满足 .0)()()()(=-'+''x f x g x f x f 如果),(0)()(b a b f a f <==求证 .,0)(b x a x f ≤≤= 证 ],,[)(b a C x f ∈ 故 ],,[,b a ∈∃ηξ 使 )}.({min )()},({max )(] ,[] ,[x f m f x f M f b a b a ====ηξ欲证 .,0)(b x a x f ≤≤=只需证明.0==m M 反证法，若,0>M 则,0)(),(='⇒∈ξξf b a 又) (ξf 为极大,故.0)(≤''ξf 但另一方面 ,0)()()()()(>==+'-=''M f f g f f ξξξξξ矛盾.故知.0=M 若,0 习题11设],,[)(b a C x f ∈在),(b a 内二阶可导,又设联结两点))(,()),(,(b f b a f a 的直线与曲线)(x f y =相交于点))(,(c f c ，求证：在),(b a 内至少存在一点,ξ使 .0)(=''ξf 证 对)(x f 在],[],,[b c c a 上分别应用Lagrange 中值定理，),,(),,(2 1 b c c a ∈∈∃ξ ξ使 )() ()(),()()(21ξξf c b c f b f f a c a f c f '=--'=-- 由于三点 )) (,()),(,()),(,(b f b c f c a f a 在同一直线上，所以 ).()(,) ()()()(21ξξf f c b c f b f a c a f c f '='∴--=--再对)(x f y '=在],[21ξξ上应用Rolle 定理可 得：),,(2 1 ξξξ∈∃使.0)(=''ξf 习题12 设)(,x f c b a <<在],[c a 上有二阶导数 ),(x f ''试证 ),,(c a ∈∃ξ使得 )(2 1 ))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+-- 证 令 )() )(() ())(())(()())(())(()())(()(x f b c a c c f b x a x c b a b b f c x a x c a b a a f c x b x x F -----+----+----= 则)(x F 在],[c a 上二阶可导,且.0)()()(===c F b F a F 对)(x F 在],[],,[c b b a 上分别应用Rolle 定理，),,(),,(2 1 c b b a ∈∈∃ξξ使.0)(,0)(2 1 ='='ξξF F 对),(x F '由于)(x F '在],[2 1 ξξ上可导,再用Rolle 定理，),,(],[2 1 c a ⊂∈∃ξξξ使得.0)(=''ξF 而 )() )(() (2))(()(2))(()(2)(x f b c a c c f c b a b b f c a b a a f x F ''---+--+--= '' 令,ξ=x 即得所求证的等式。 习题13 设)(x f 二阶可导，且.1)(min ,0)1()0(] 1,0[-===∈x f f f x 求证 .8)(max ] 1,0[≥''∈x f x 证 )(x f 二阶可导，],1,0[)(C x f ∈∴且可导,由闭区间上连续函数的性质，),1,0(∈∃c 使1)(-=c f 为最小值，且.0)(='c f 再由Taylor 公式有 ,))((2 1 1))((21))(()()(22c x f c x f c x c f c f x f -''+-=-''+ -'+=ξξ 其中ξ介于c 与x 之间，分别取,1,0==x x 得 .0)1)((2 1 1)1(,0)(211)0(2120=-+-==''+-=c f f c f f ξξ当 ] 2 1 ,0(∈c 时，由前式推出 ;82)(20≥= ''c f ξ当)1,21 [∈c 时，由后式推出,8)1(2)(21≥-=''c f ξ由此即得 .8)(max ]1,0[≥''∈x f x 习题14 设.1,10>≤≤p x 试证 .1)1(2 1≤-+≤-p p p x x 证 令].1,0[,)1()(∈-+=x x x x f p p 则 ) (x f 在]1,0[上连续，在 ) 1,0(内可导，且 ]. )1([)(11----='p p x x p x f 由 )(='x f 得唯一驻点 . 2 1=x 由于 )().1(2)2 1 (,1)1(,1)0(1x f f f f p ∴<===-在]1,0[上的最大值为 1，最小值为.21p -于是 .1)1(21≤-+≤-p p p x x 习题15 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，,0)(,0)(='='b f a f 则在),(b a 内必存在一点,ξ使.)()()(4 )(2 a f b f a b f --≥ ''ξ 证 将 )(x f 在a x =处展开，令,2 b a x += 即 )2 ,(,)2(2)()2)(()()2( 121b a a a b a f a b a a f a f b a f +∈-+''+-+'+=+ξξ类似 ) (x f 在 b x =处展 开,令,2 b a x +=则有 ),2 (,)2(2)()2)(()()2( 222b b a b b a f b b a b f b f b a f +∈-+''+-+'+=+ξξ.)2 (2)()()2(,)2(2)()()2( ,0)()(2221a b f b f b a f a b f a f b a f b f a f -''+=+-''+=+∴='='ξξ 相减得 = -)()(a f b f ,4 )(2)()(2 21a b f f -⋅''-''ξξ 所以 ,4 )()(4)(2)()()()(2 221a b f a b f f a f b f -''≤-⋅''+''≤-ξξξ其中 ⎩⎨⎧''≤''''≥''=) ()(,) ()(212211 ξξξξξξξf f f f 当，当 ,即在),(b a 内存在一点ξ,使 .)()()(4 )(2 a f b f a b f --≥ ''ξ 习题16设)(x f 在]2,0[上二阶可导,且,1)(,1)(≤''≤x f x f 证明.2)(≤'x f 证 将 )(x f 在x 点展开，求出),2(f )0(f 的值： )2,0(,)2(2) ()2)(()()2(121∈-''+ -'+=ξξx f x x f x f f )2,0(,)0(2 ) ()0)(()()0(222∈-''+-'+=ξξx f x x f x f f 相减 ],)()2)(([21 )(2)0()2(2121x f x f x f f f ξξ''--''+'=-因此 ],)()2()([2 1 )2()0()(22121x f x f f f x f ξξ''+-''++≤'因为 ,1)(,1)(≤''≤x f x f 故有, 3)1(])2[(2 1 2)(2222+-=+-+≤'x x x x f 当20≤≤x 时，,4)(2,43)1(2 ≤'∴≤+-x f x 即.2)(≤'x f 习题17 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，且其最大值在 ) 1,0(内达到： .1)(,4 1 )(max ],[≤''=∈x f x f b a x 试证.1)1()0(<+f f 证（类似方法处理,先将)(x f 在某点展开,再将0,1分别代入x ） 设)1(<=a x 是 )(x f 的最大值点，则有0)(='a f 且.4 1 )(=a f 应用 Taylor 公式有 1,)1(2 )(41)1(2 ) ()1)(()()1(,2 )(41)0(2 ) ()0)(()()0(2222 212 12 1<<-''+=-''+-'+=<<''+= -''+ -'+=ξξξξξξa a f a f a a f a f f a o a f a f a a f a f f 因此 , )1(2141)1(2)(41)1(,21412)(41)0(222221a a f f a a f f -+≤-''+≤+≤''+≤ ξξ 于是 10,11])1([2 121)1()0(222 <<<-+=-++≤ +a a a a a f f 习题18 已知,0>a 试求a x x x f -++ += 11 11)(的最大值。 解 将 )(x f 表成分段函数 再分段求出)(x f '，可以看出)(,0)(,)0,(x f x f x >'-∞∈∀单增，由连续性可 知 a a a f ++= ++ =12111)0(为)(x f ,0,(-∞∈x ]的最大值;)(,0)(,),(x f x f a x <'+∞∈∀单减,由 连续性可知 a a a f ++= 12)(为),[),(,+∞∈a x x f 的最大值；在),0(a 内)(x f 有唯一驻 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+++≤≤-+++<-++-=a x a x x a x x a x x x a x x f ,11110,1111 0, 1111 )( 点,2a x =且;2,0)(a x a x f <<<'.20,0)(a x x f <<>'故知a a f +=24)2(为)(x f 的最大值。 .12)(max ,01224),(a a x f a a a ++=∴<++-++∞-∞ 习题19 若 )(x f 在) ,(+∞-∞内有定义，且存在常数k ,使得2 1 ,x x ∀均有 α)()()(2 1 21 x x k x f x f -≤-成立,其中.1>α试证明c x f =)((常数）. 证 原式可改为 1 212 121)()(0--≤--≤ αx x k x x x f x f ，而 ,0lim 1 2 11 2=--→αx x k x x 从而有.0) ()(lim 2 1211 2=--→x x x f x f x x 亦即 .0)() ()(lim 12 1211 2='=--→x f x x x f x f x x 再由1x 的任意性，可得,0)(='x f 从而.)(c x f = 习题20 设,02 1>x x 证明 ),()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ其中ξ在21,x x 之间。 （提示：令.1)(,)(x x G x e x F x ==不妨设,21x x <再用Cauchy 中值定理便可推出） 习题21 试证 .1,ln cos 1sin e <<=ξξ (提示:令.ln )(,ln sin )(x x G x x F ==在],1[e 上满足Cauchy 中值定理条件。从而可 证） 习题22 设],1,0[)(3 C x f ∈且.0)2 1(,2)1(,1)0(='==f f f 证明),1,0(∈∃ξ使.24)(≥'''ξf （提示：用三阶Taylor 公式，将)(x f 在2 1=x 处展开，然后分别用0,1 代x ，相减，利用条件便有 .1)()(48 1 21='''+'''ξξf f 即.48)()(21≥'''+'''ξξf f 于是 {}48)()()(,)(max 22121≥'''+'''≥ ''''''ξξξξf f f f ，即 {}∴≥''''''.24) (,)(max 21ξξf f 在(0，1)内至少存在一点,ξ使 .24)(≥'''ξf ) 习题23 设),,()(2 +∞-∞∈C x f 且,0)0(=f 试证 ⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0 ),0(0,)()(x f x x x f x g 可导，且导数连续. 证 先证明)(x g 可导。 当2)()()(,0x x f x f x x g x -'='≠； 当.) 0()(lim 0)0()(lim )0(,02 00x f x x f x g x g g x x x '-=--='=→→ 由于)(x f 连续，当0→x 时.0)0()(=→f x f 又 )0(f '有界， 故极限2 ) 0()(lim x f x x f x '-→为0 型。用洛比达法则有).0(2 1 2)0()(lim )0(0 f x f x f g x ''='-'='→因此)(x g 处处可导。再证导数的连续性。当 ,0≠x ,) ()()(2 x x f x f x x g -'= ' 又)(x f ，)(x f '都连续，可知 )(x g '连续。2 00) ()(lim )(lim x x f x f x x g x x -'='→→ ).0()0(2 12)(lim 2)()()(lim 00g f x f x x f x f x x f x x '=''=''='-''+'=→→洛可知)(x g '在0=x 处亦连续，故处处连续. 例24 设,sin ...2sin sin )(21nx a x a x a x f n +++=其中n a a a ,...,,21均为实数，n 为正整数。已知对一切x 有,sin )(x x f ≤试证 .1...221≤+++n na a a 证 由于,sin ...2sin sin )(21nx a x a x a x f n +++= 因此 ,cos ...2cos 2cos )(21nx na x a x a x f n +++=' n na a a f +++='...2)0(21 1sin lim sin lim )(lim 0)0()(lim )0(0000 ==≤=--='→→→→x x x x x x f x f x f f x x x x .1...221≤+++∴n na a a 例25 若,1>a 试证对任意],1,0[∈x 都有.21 )1(1 -> -+a a a x x 证 设,)1()(a a x x x f -+=则].)1([)(11----='a a x x a x f 令.0)0(='f 解出 驻点.21 1=x 由于],)1()[1()(22---+-=''a a x x a a x f 12221)21(,0]2121)[1()21(---=∴>+-='a a a f a a f 为极小值.又由于在端点处 ],1,0[),2 1 (211)1(),21(211)0(11∈∀∴=>==>=--x f f f f a a 都有 .2 1 )1(1->-+a a a x x 例26 设),1,0(∈x 证明(1) ;)1(ln )1(22x x x <++ (2) .2 11)1ln(112ln 1<-+<-x x 证(1)令,0)0(.)1(ln )1()(22=-++=ϕϕx x x x