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专题06 二次函数专题：等腰直角三角形问题(学生版)

专题06二次函数与等腰直角三角形问题二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。

等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。

在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则AC BF=AB BE=BC EF;若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则AC BF=AB BE=BC EF=1.【例1】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【例3】（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B （0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．1．（2022•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．2．（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．3．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．4．（2021秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N 纵坐标n的取值范围．5．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m ＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．6．（2022•城厢区模拟）抛物线y2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）．（1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．7．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C 在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．8．（2022•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）求a，b，c的值；（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．9．（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．（1）求抛物线的表达式；＝S△CDB，求点P的坐标；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．11．（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM 的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．①直接写出n关于m的函数关系式；②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．13．（2022•山西二模）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．15．（2022•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；＝2S△ABC时，求点E的坐标；（2）当S△BCE（3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．18（2021•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．19.（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；的坐标．②若C在抛物线上，求C21。

专题01 二次函数中的等腰三角形存在性问题 (学生版)

专题01 二次函数中的等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．【模型解读】如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些．故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =234C C 、5C 5CC 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，（4）求解得答案：解得：，故坐标为．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB=AC 、②AB=BC 、③AC=BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．5C 5AC =5BC =55AC BC ==236m =5C 23,06⎛⎫⎪⎝⎭【模型实例】1．如图，已知两直线，分别经过点，点，且两条直线相交于轴的正半轴上的点，当点的坐标为时，恰好有，经过点、、的抛物线的对称轴与、、轴分别交于点、、，为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明与的数量关系？并说明理由；（3）若直线绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．2．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．1l 2l (1,0)A (3,0)B -y CC 12l l ⊥A B C 1l 2l x G E FD DG DE 2l C M MCG ∆M 24y ax bx =++x (3,0)A -(4,0)B y C AC BC M OB M PM x ⊥P BC Q M Q A C QQ3．如图，抛物线与轴交于、两点，且（1）求抛物线的解析式和点的坐标；（2）如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在线段的延长线上，连接．问：以为腰的等腰的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在第二象限内，且，求的面积．（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．223y ax x =+-x A B (1,0)B A 2439y x =-x y C F Q CF Q y CF D E CD QE QD QDE ∆x A B y (0,2)C -A (2,0)P P PD x ⊥D BC E 1x =-P 14OD PBE ∆M BC x M BDM ∆BDM5．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；6．如图，在中，，且点的坐标为，点坐标为，点在轴的负半轴上，抛物线经过点和点（1）求，的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由23y ax bx =++(1,0)A -(3,0)B C C P CP x D AC DAC ∆AC P ABC ∆AB AC =A (3,0)-C By 2y x bx c =++A C b c Q ACQ ∆Q7．如图，开口向上的抛物线与轴交于，、，两点，与轴交于点，且，其中，是方程的两个根．（1）求点的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段的直线交轴于点，交线段于点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求点，，的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．x 1(A x 0)2(B x 0)y C AC BC ⊥1x 2x 2340x x +-=C BC l x D BC E CD CDE ∆D P PDE ∆P 2y ax bx c =++x (4,0)A -(2,0)B y (0,6)C y (0,2)E -AE P AEP ∆P 211242y x x =--+x A B y CA B C M ACM ∆M。

二次函数中等腰三角形存在问题

中考二次函数中等腰三角形存在问题如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6,0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)（如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP∠==，52OE=，所以256OP=．此时点P的坐标为25 (,0) 6．1.2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．3.如图，抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）经过点A （﹣1，0），B （5，﹣6），C （6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个？并请求出其中某一个点Q 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y=﹣[（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC 面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋b x＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA 的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△M ON是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。

等腰直角三角形存在性问题

等腰直角三角形存在性问题一、复习回顾二次函数存在性问题中等腰三角形的存在性、直角三角形存在性问题，等腰三角形的存在性问题有两种思路：①两圆一线确定点的位置，结合图形特点解决问题；②不考虑点的位置，利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解；直角三角形的存在性问题有两种思路：①两线一圆构图，“改斜归正”转化横平竖直线段长，②不考虑点的位置，利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解。

二、特殊三角形之等腰直角三角形存在性问题如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，点Q在直线x=-3上，是否存在以点P为顶点的等腰直角三角形△PBQ，若存在，求出点P的横坐标，若不存在说明理由。

解法分析：通过读题，不难求得A、B、C三点坐标，点P、Q是两个动点，位置不确定，如何确定它们的位置是解决问题的一个难点。

此时不妨通过草图分析，大体分两种情况：①直角顶点在BQ下方，②直角点P在BQ上方，结合上辑课讲到的直角三角形存在性问题的处理思路，容易考虑使用“改斜归正”的处理办法结合等腰直角三角形的特点构造一线三等角全等模型，从而顺利转化线段长建立等量。

三、练习1.(本小题25分)如图，抛物线y=x2-4x+3交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y 轴于点B．点D的坐标为(-1，0)，若在直线AB上存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为()A.(-1,4) 或(1/2,5/2)B. (-1，3)或(1，2)C. (-1，4)或(1，2)D. (-1，4)，(1，2)或(5，-2)2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线l，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为() A.(1,4/3)或(3/2,1) B.(-1/3,4/3)或(-1/2,1) C.(1,0)或(-1/3,0)或(1/2,0) D.(1,0)或(-1/3,0)或(4/3,0)3.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，P是x轴上的一动点（不与点A重合），连接DP，过点P作PE⊥DP交y轴于点E．当△PED是等腰直角三角形时，点P的横坐标为()A. -4B. -3C. -3或-4D. -4或44.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，D为线段AB上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C，CD的延长线交抛物线y=-x2-3x+4于点E，连接BE．若△DBE为等腰直角三角形，则点D的坐标为()A. (-2，2)B. (-2，6)C. (-3，4)或(-2，6)D. (-3，1)或(-2，2)5.如图，抛物线y=-x2+4x经过A（4，0），B（1，3）两点，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH△x轴于点H，点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，求出点M坐标，若不存在说明理由。

专题02 二次函数中的存在性问题之等腰三角形(19眉山)(解析版)

专题02 二次函数中的存在性问题之等腰三角形【典例1】（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P 的横坐标为−174；（3）∵∠DMN ＝∠DBA ， ∠BMD +∠BDM ＝180°﹣∠ADB ， ∠NMA +∠DMB ＝180°﹣∠DMN ， ∴∠NMA ＝∠MDB ， ∴△BDM ∽△AMN ，AN BM=AM BD，而AB ＝6，AD ＝BD ＝5， ①当MN ＝DM 时， ∴△BDM ≌△AMN ，即：AM ＝BD ＝5，则AN ＝MB ＝1； ②当NM ＝DN 时，则∠NDM ＝∠NMD ， ∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256，而AN BM=AM BD，即AN6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ， ∴DN ≠DM ；故AN ＝1或5536．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练1】抛物线y =−29x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【点拨】（1）函数的表达式为：y=29（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2−2m3，0），S△PCF=12×PC×DF=12（2﹣m）（2−2m3−2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）函数的表达式为：y=29（x+1）（x﹣5）=−29x2+89x+109；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=−13mx+5m3，∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为3m，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=3mx+(2−6m)，解得：x＝2−2m 3，故点F（2−2m3，0），S △PCF =12×PC ×DF =12（|2﹣m |）（|2−2m 3−2|）＝5，解得：m ＝5或﹣3，故点P （2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F 的坐标得： CP 2＝（2﹣m ）2，CF 2＝（2m 3）2+4，PF 2＝（2m 3）2+m 2，①当CP ＝CF 时，即：（2﹣m ）2＝（2m 3）2+4，解得：m ＝0或365（0舍去），②当CP ＝PF 时，同理可得：m =−9±3√132， ③当CF ＝PF 时，同理可得：m ＝±2（舍去2），故点P （2，365）或（2，﹣2）或（2，−9−3√132）或（2，−9+3√132）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练2】如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点E ，使EC +ED 的值最小，求EC +ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，即可求解；（3）分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解．【解答】解：（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{−9+3b +c =0c =3，解得：{b =2c =3，故函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，令y ＝0，则x ＝﹣1或3，故点A （﹣1，0）；（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，函数顶点D 坐标为（1，4），点C ′（0，﹣3），将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：y ＝7x ﹣3，当y ＝0时，x =37，故点E （37，0），则EC +ED 的最小值为DC ′=√1+(4+3)2=5√2；（3）①当点P 在x 轴上方时，如下图2，∵OB ＝OC ＝3，则∠OCB ＝45°＝∠APB ，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PB＝P A=√2m，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝m2+（√2m﹣m）2，解得：m2＝8+4√2，则PB2＝2m2＝16+8√2则y P=√PB2−22=2+2√2；②当点P在x轴下方时，则y P＝﹣（2+2√2）；故点P的坐标为（1，2+2√2）或（1，﹣2﹣2√2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练3】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=14OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）点A（2，0）、点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解；（2）PE=14OD，则PE＝（14x2+12x﹣2−12x+2）=14（﹣x），求得：点D（﹣5，0），利用S△PBE=12PE×BD=12（14x2+12x﹣2−12x+2）（﹣4﹣x），即可求解；（3）BD ＝1＝BM ，则y M ＝﹣BM sin ∠ABC ＝﹣11√5=−√55，即可求解．【解答】解：（1）点A 的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，则点B （﹣4，0），则函数的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x +4）＝a （x 2+2x ﹣8），即：﹣8a ＝﹣2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2+12x ﹣2；（2）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得：直线BC 的表达式为：y =−12x ﹣2，则tan ∠ABC =12，则sin ∠ABC =15，设点D （x ，0），则点P （x ，14x 2+12x ﹣2），点E （x ，−12x ﹣2），∵PE =14OD ，∴PE ＝（14x 2+12x ﹣2+12x +2）=14（﹣x ），解得：x ＝0或﹣5（舍去x ＝0），即点D （﹣5，0） S △PBE =12×PE ×BD =12（14x 2+12x ﹣2+12x +2）（﹣4﹣x ）=58；（3）由题意得：△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，①当BD ＝BM 时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ， BD ＝1＝BM ，则MH ＝y M ＝BM sin ∠ABC ＝1×5=√55，则x M =20+2√55，故点M （−20+2√55，√55）；②如图，当BD＝DM时，过点D作DH⊥BC于H，∴BM＝2BH，在Rt△BHD中，BH＝BD cos∠ABC=2√5 5，∴BM=4√5 5，过点M作MG⊥x轴于G，MG＝BM•sin∠ABC=4 5，BG＝BM•cos∠ABC=8 5，点M（−285，45）；故点M坐标为（−20+2√55，√55）或（−285，45）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【精练4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为−17 4；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，ANBM =AMBD，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM ＝DN 时，则∠NDM ＝∠NMD ， ∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256，而AN BM=AM BD，即AN6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ， ∴DN ≠DM ；故AN ＝1或5536．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =13x 2−13x ﹣4交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）点P 为线段BC 下方抛物线上的任意一点，一动点G 从点P 出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y 轴上一点M ，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x 轴上的点N ，再沿x 轴以每秒√2个单位长度运动到点B ．当四边形ACPB 面积最大时，求运动时间t 的最小值；（2）过点C 作AC 的垂线交x 轴于点D ，将△AOC 绕点O 旋转，旋转后点A 、C 的对应点分别为A 1、C 1，在旋转过程中直线A 1C 1与x 轴交于点Q ．与线段CD 交于点I ．当△DQI 是等腰三角形时，直接写出DQ 的长度．【点拨】（1）过点B 作BK ⊥BC 交y 轴于点K ，作P ′H ⊥BK 交BK 于点H 、交y 轴于点M 、交x 轴于点N ，则此时运动的时间最小，即可求解；（2）将△AOC 绕点O 旋转，相当于存在一个半径为OR 圆O ，在整个旋转过程中，AC 始终为垂直于OR 的切线，确定圆的半径OR 后，分OR 靠近x 轴、y 轴两种大情况，分别在四个象限逐次求解即可．【解答】解：（1）y =13x 2−13x ﹣4，令x ＝0，则y ＝﹣4，令y ＝0，则x ＝3或﹣4，故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，﹣4），则直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4， S 四边形ACPB ＝S △ABC +S △PBC ，∵S △ABC 为常数，∴只要S △PBC 取得最大值，四边形ACPB 面积即为最大，设点P （x ，13x 2−13x ﹣4），则点S （x ，x ﹣4），S △PBC =12×PS ×OB =12×4×（x ﹣4−13x 2+13x +4）=−23x 2+43x ， ∵−23＜0，则S △PBC 有最大值，即四边形ACPB 面积有最大值，此时，x ＝2，故点P （2，−103）；作点P 关于y 轴的对称点P ′（﹣2，−103），过点B 作BK ⊥BC 交y 轴于点K ，作P ′H ⊥BK 交BK 于点H 、交y 轴于点M 、交x 轴于点N ，则此时运动的时间最小， t ＝P ′M +MN +√22BN ＝PM +MN +HN ，直线BK ⊥BC ，则直线BK 的表达式为：y ＝﹣x +b ，将点B 的坐标代入上式并解得：直线BK 的表达式为：y ＝﹣x +4…①，同理可得直线P ′H 的表达式为：y ＝x −43⋯②，联立①②并解得：x =83，故点H （83，43），则t ＝P ′H =√(−2−83)2+(−103−43)2=14√23，故运动时间t 的最小值为14√23；（2）∵AC ⊥AD ，则直线CD 的表达式为：y =34x ﹣4，故点D （163，0）；如图2，过点O 作OR ⊥AC 于点R ，由面积公式得：12OR ×AC =12OA ×OC ，即：OR =3×45=125，设∠ACD ＝α，则tan α=34，sin α=35，则tan2α=247，tan 12α=12（证明见备注），情况一：当OR 靠近y 轴时，①当OR 在一、三象限时，如图3，4：在图3中，IQ＝ID，则OQ=ORsinα=12535=4，故QD=163+4=283；在图4中，IQ＝ID，同理QD=163−4=43；②当OR在二、四象限时，如图5，6：在图5中，DI＝DQ，则∠DQI＝∠DIQ=12∠ODC=12α，OQ=ORsin12α=12√55，则DQ=12√55−163，在图6中，同理可得：DQ=12√55+163；情况二：当OR靠近x轴时，如下图：当点R在二、四象限时，如图7，见左侧图，同理可得：DQ=163+52=476；见右侧图，同理可得：DQ=163−52=176；当点R 在一、三象限时，如图8，同理可得：DQ =163−6√53（左侧图）或163+6√53（右侧图）；综上，DQ 的长度为283或43或12√55−163或12√55+163或476或176或163−6√53或163+6√53．备注：已知tan α=34，求tan2α和tan 12α．如图△ABD 是以BD 为底的等腰三角形，AC ⊥BD ，过点D 作DH ⊥AB ，则设：∠DAC ＝∠BAC ＝α，tan α=34，设BC ＝CD ＝3a ，则AC ＝4a ，由三角形的面积公式得：12AH ×AB =12×DB ×AC ，解得：AH =6a×4a 5a=245，则sin2α＝sin ∠BAD =DHAD =2425，tan2α=247，同理可得：tan 12α=12．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，通过画图确定图象的位置，避免遗漏．【精练6】如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x ＝1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒． ①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【点拨】（1）将A 、B 关坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，根据点E 、F 关于直线x ＝1对称，即可求解；（3）①△AOC 与△BMN 相似，则MB MN=OA OC或OC OA，即可求解；②分OQ ＝BQ 、BO ＝BQ 、OQ ＝OB 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1））∵点A 、B 关于直线x ＝1对称，AB ＝4， ∴A （﹣1，0），B （3，0），代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得：{−9+3b +c =0−1−b +c =0，解得{b =2c =3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴C 点坐标为（0，3）；（2）设直线BC 的解析式为y ＝mx +n ，则有：{n =33m +n =0，解得{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3， ∵点E 、F 关于直线x ＝1对称，又E 到对称轴的距离为1， ∴EF ＝2，∴F 点的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝﹣x +3中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，连接BC交MN于Q，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC与△BMN相似，则MBMN =OAOC或OCOA，即：3−2t−4t+4t+3=3或13，解得：t=32或−13或1（舍去32、−13），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t=3 4；第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中∵∠OBQ＝45°，∴BQ=√2BM，∴BO=√2BM，即3=√2(3−2t)，∴t=6−3√24；第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0 而t＞0，故不符合题意综上述，当t=34秒或6−3√24秒时，△BOQ为等腰三角形．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

二次函数压轴与等腰三角形有关的问题(含答案)

类型三与等腰三角形有关的问题1. (2017重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－233x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；(3)点G是线段CE的中点．将抛物线y＝33x2－233x－3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2016重庆A卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－13x2＋233x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′.△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．第2题图3. (2018原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E.(1)判断直线AC与CD的位置关系，并说明理由；(2)点P是直线AC上方的抛物线上的一点，当△P AC面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△P AQ的周长最小，若存在，求点Q的坐标．若不存在，请说明理由；(3)如图②，设DE与AC相交于F，将△AEF绕点E顺时针旋转60°.再向右平移(3－3)个单位长度，得到△A1E1F1，其中点F的对应点为F1，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△CMF1是等腰三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆沙坪坝区一模)如图①，抛物线y ＝12x 2＋12x －3与x 轴相交于A 、B两点(点A 在点B 的右侧)，已知C (0，32)，连接AC .(1)求直线AC 的解析式．(2)点P 是x 轴下方的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴交直线AC 于点E ，交x 轴于点F ，过点P 作PG ⊥AE 于点G ，线段PG 交x 轴于点H .设l ＝EP －23FH ，求l 的最大值．(3)如图②，在(2)的条件下，点M 是x 轴上一动点，连接EM 、PM ，将△EPM 沿直线EM 折叠为△EP 1M ，连接AP ，AP 1，当△APP 1是等腰三角形时，试求出点M 的坐标．第4题图。

中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(学生版)

专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

要点补充：一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．7123．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是A ．16B ．15C ．14D ．134．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7B．8C．14D．165．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图△）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图△），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.26．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将ABC向右平移，直到点B 与点D 重合为止，设点B 平移的距离为x ，=2BC ，4CD =．两个三角形重合部分的面积为Y ，现有一个正方形FGHI 的面积为S ，已知sin 60Y S=︒，则S 关于x 的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．以下说法正确的是（）A ．三角形的外心到三角形三边的距离相等B ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C ．分式方程11222x x x -=---的解为x ＝2 D ．将抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y ＝2x 2－39．二次函数2(1)22y m x mx m =+-+-的图象与x 轴有两个交点()1,0x 和()2,0x ，下列说法：△该函数图象过点(1,1)-；△当0m =时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是△若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为21m -<<-；△当0m >，且21x --时，y 的最大值为(92)m +．正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△ 10．以下四个命题：△如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；△在实数-7.54-π，)2中，有4个有理数，2个无理数；△的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43； △二次函数221y ax ax =-+，自变量的两个值x 1，x 2对应的函数值分别为y 1，y 2，若|x 1-1|>|x 2-1|，则a (y 1-y 2)>0．其中正确的命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：△当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；△当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；△当m ＜0时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；△当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m =，正确的结论是________．（填写序号）12．如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30°的射线OC ，在射线OC 上取点A ，过点A作AH △x 轴于点H ，在抛物线y ＝x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 有____个．13．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．14．如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．。

2023年中考数学总复习专题1二次函数与等腰三角形问题(学生版)

专题1 二次函数与等腰三角形问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1 图2 图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△P AB的面积最大？若存在求出△P AB的最大面积；若不存在，试说明理由．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y ＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC 的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形；求出点M的坐标．（3）设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x115．（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；（2）二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．16.（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．17.（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y 轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H （点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．18.（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在P A的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH 为等腰三角形时，求线段PH的长．19.（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20.（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学二次函数与等腰三角形有关的问题知识解读

二次函数与等腰三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1，又32121131311==−=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点−C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 交x 轴于点A （﹣4，0）、B （2，0），交y 轴于点C （0，6），在y 轴上有一点E （0，﹣2），连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，∴B点平移对应点M（4﹣2m，m），C的对应点N（﹣2m，2+m），∴AM＝，AN＝，MN＝2，①当MN＝AM时，＝2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴M（﹣2，2+）或（2，2﹣）；②当MN＝AN时，＝2，解得m＝或m＝﹣（舍），∴M（4﹣2，）；综上所述：M点坐标为（﹣2，2+）或（2，2﹣）或（4﹣2，）．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n 1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2；（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，解得：x＝0或3±（舍去0和3+），故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4，故点P（3﹣，2﹣4）．综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．。

二次函数中的等腰直角三角形问题

二次函数中的等腰直角三角形问题1．如图，抛物线22=++交x轴于点(3,0)y ax bxA-和点(1,0)B，交y轴于点C．(1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D的坐标为(1,0)-，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO∆为等腰直角三角形，且MNO∠为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线23=++与坐标轴分别交于点A，(3,0)y ax bxC，点P是线段AB上方抛物线上B-，(1,0)的一个动点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P运动到什么位置时，PAB∆的面积最大？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作//PE x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE∆为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3．二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点(1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．(1)求二次函数22y ax bx =++的表达式；(2)连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积； (3)在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；(4)当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标．4．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为G ．(1)求抛物线和直线AC 的解析式；(2)如图1，设(,0)E m 为x 轴上一动点，若CGE ∆和CGO ∆的面积满足43CGE CGO S S ∆∆=，求点E 的坐标； (3)如图2，设点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts ，点M 为射线AC 上一动点，过点M 作//MN x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N ．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．。

二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河南中考

二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河
南中考
该问题还可以引生为等腰和直角共存的问题，但是无论什么样的情况，我们都需要先掌握基本的等腰三角形及直角三角形存在性问题的解法。

解这两类存在性问题，一般分三个步骤，一是寻找分类标准，而是列方程，三是解方程并验根。

（突出利用两点间距离公式的思路）。

探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面，题目中未指定哪条边是腰或底边时，需分类讨论哪两条边是腰的情况.当有两个点是定点，一个是动点时，即"两定一动"型，有两种解决方法：①"两圆一线"法；②分类讨论法.
对于直角三角形的存在性问题，应充分利用图形的几何关系，需要常常和相似三角形，锐角三角形函数提供的三角比解决，但无论是哪种方法，分类标准是共通的，而分类时寻找确定的直角顶点往往需要用到圆周角的知识。

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或者三角比列方程，有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。

等腰直角三角形与二次函数综合

等腰直角三角形与二次函数综合等腰直角三角形与二次函数综合：一、等腰直角三角形的概念1、定义：等腰直角三角形是指有三条直角的三角形，三角形的三条边都是相等的，角度分别为90°、45°、45°。

2、构造：等腰直角三角形一般都用穿孔牌、直尺和圆规，先将所要构造等腰三角形的直角点标定在牌上，再用直尺在其它两点上把水平线和斜线各画出一条，之后再穿孔后，在孔上接上转角尺，将它的测好的角度画出来，就可以得到等腰直角三角形了。

3、性质：两边相等，另一边90°；任意一内角为45°；外接圆为半圆；中央角度是钝角；其角平分线两根等长；边长比其他边和它的半周长的比值为2：1；高等于底；腰等于斜边。

二、二次函数的概念1、定义：二次函数指的是一元二次方程。

它由一个变量的一次、二次项和一个不定系数组成。

2、标准式：二次函数的标准式为：y=ax^2+bx+c3、图像：直线、曲线，如抛物线、圆、双曲线等。

三、等腰直角三角形与二次函数的综合1、应用实例：当等腰直角三角形的高就等于该等腰三角形对应的二次函数y=ax^2+bx+c的变量x时，那么可以写成 a*x^2+b*x+c=x,代入后会得出a+b=1、2c=1-b，这样就可以求出这个二次函数的解。

2、绘制及特性：等腰直角三角形与二次函数的综合，给出了一个由等腰直角三角形组成的二次函数图像，表现为y轴和x轴之间的一个对称曲线，抛物线可分为上凸曲线和下凹曲线，其中上凸曲线的二次项为正，下凹曲线的二次项为负，曲线的性质也不相同，其实现实中一般都是上凸曲线。

3、在实际应用中，等腰直角三角形和二次函数都被广泛应用于数学、物理和技术等诸多领域，如计算力学中的运动、电力学中的容性模型、工程设计中的三维运动等，还有各种求解运动轨迹的场合也会使用到等腰直角三角形和二次函数的综合。

二次函数中的等腰三角形讨论问题

1 二次函数中的等腰三角形讨论问题
1．
（坐标轴的交点特征；勾股定理表答出线段长）如图，直线交轴于A 点，交轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求
出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
2．(相似得边的关系，勾股求线段长；典型相似；勾股定理表答出线段长等腰三角形的讨论)如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 使△OCA ∽△OBC .
(1)(3分)求线段OC 的长.
(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．
(3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.。

专题一：二次函数中等腰三角形存在性问题

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案．【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求，故选：A ．【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值【详解】解：直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1；当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线．故选B ．【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴交点方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝。

4、常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结：两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。