二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

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二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法

二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。

在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。

1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。

根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。

我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。

2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。

二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。

3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。

由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。

通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。

4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。

二次函数中三角形面积问题

二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3＝-3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。

解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。

二次函数中三角形问题(含问题详解)

二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。

C 是抛物线的顶点。

（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）；（2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。

①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，（1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式；（3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。

(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。

A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点．（1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点，（1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

初中数学二次函数中三角形面积问题解析

∙∙∙∙初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。

如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。

二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。

求面积常用的方法：（1）直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。

（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。

（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。

（4）如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. 可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

三、试题讲解过程如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，－4）三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 是该抛物线上一动点，且在第四象限，当∆面积最大时，求点D 的坐标.解:（1）解法一: 由题意得，c=－4, ∴⎩⎨⎧=-+=--0441604b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==31b a , ∴=x y 解法二: 由题意得，设y=a （x+1）（x-4）, ∴∴y=（x+1）（x-4）, ∴432--=x x y ,（2）解法一:由（1）可知，y=x 2－3x －4,设点D 为（x, x 2－3x －4）,过点D 作DE ∥OC 交BC 设直线BC 的解析式为y=kx ＋b,则∙∙∙⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4, ∴E （x, x －4）∴DE=（x －4）－（x 2－3x －4）= －x 2＋4x,∵a=－1＜0, ∴当x=2时, DE 取最大值，S △BCD 解法二：由（1）可知，y=x 2－3x －4, 设点D 为（x,y ）,过点D 作DF ⊥OB 于点F,S △BCD =S 梯形OCDF ＋S △BDF －S △OBC=21x （4-y ）＋21（-y ）（4-x ）－8 =2x －2y －8=2x －2（x 2－3x －4）－8=－2x 2＋8x,∵a=－2＜0, ∴当x=2时, S △BCD 取最大值，∴D （2,－6解法三:由（1）可知，y=x 2－3x －4, 过点D 作DE ∥设直线BC 的解析式为y=kx ＋b, 则⎩⎨⎧=+-=044b k b ，∴⎩⎨⎧-==41b k ，∴y=x －4,∴设直线DE 的解析式为y=x ＋d,则x 2－3x －4=x ＋d, x 2∴当△=（-4）2-4（-4-d ）=0, d=-8, S △BCD 取最大值， ∴x 2－4x ＋4=0, ∴（x-2）2=0, ∴x 1=x 2=2, ∴D （2,－6）. 四、试题的拓展延伸及变式分析如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2C （0，3）三点.（1）若点D 是抛物线的对称轴上一点，当ACD ∆求点D 的坐标；（2）在（1）的情况下，抛物线上是否存在除点A 得PCD ∆ 的面积与ACD ∆P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3∴抛物线的对称轴l 是x=231+=2， ∵△ACD 的周长=AD+AC+CD, AC 是定值， ∴当AD+CD 最小时，△ACD 的周长最小，∵点A 、点B 关于对称轴l 对称，∴连接BC 交l 于点D ，即点D 为所求的点, 设直线BC 的解析式为n kx y +=，∴ ⎩⎨⎧=+=033n k n ，∴⎩⎨⎧=-=31n k ,∴直线BC 的解析式为3+-=x y ，∙∙当x=2时，y=-x+3=-2+3=1，∴点D 的坐标是（2，1）.（2）解：由（1）可知，∵抛物线c bx ax y ++=2经过A （1，0），B （3，0），C （0，3）三点，∴c=3, ∴⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ,解得：⎩⎨⎧-==41b a ,∴342+-=x x y ,解法一：如图，①过点A 作AP 1∥CD 交抛物线于点P 1，∴设直线AP 1的解析式为d x y +-=， ∴∴d=1,∴直线AP 1的解析式为1+-=x y ，解方程1+-x =342+-x x ，（x-1）（x-2）∴x 1=1, x 2=2,当x 1=1时，11+-=x y =0当x 2=2时，12+-=x y =-1，∴点P 1②设直线AP 1交y 轴于点E （0，1）把直线BC 向上平移2个单位交抛物线于P 2得直线P 2P 3的解析式为5+-=x y ，解方程5+-x =342+-x x ， x 2－3x －2=0,∴x 3=2173+, x 4=2173-, 当x 3=2173+时，53+-=x y =2177-，当x 4=2173-时，54+-=x y =2177+， ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 解法二：如图,过A 点作AE∥y 轴，交BC 于点E ．则E 点的纵坐标为231=+-．∴ AE＝2．设点P 为（n ，342+-n n ），过P 点作PF∥y 轴，交BC 于点F ，则点F 为（n ，n -3），PF∥AE．若PF ＝AE ，则△PCD 与△ACD 的面积相等．∙∙①若P 点在直线BC 的下方，则PF ＝（n -3）-（342+-n n ）=n 2-∴n n 32+-=2．解得21=n ，12=n ．当2=n 时，3-n-2∴P 1点坐标为（2，-1）．同理当1=n 时，P 点坐标为（1，0）（不合题意，舍去）．②若P 点在直线BC 的上方，则PF=（342+-n n ）-（n -3）=n n 32-∴232=-n n ．解得21733+=n ，4=n 当21733+=n 时，P 点的纵坐标为2177221733-=++-；当21734-=n 时，P 点的纵坐标为2177221733+=+--． ∴点P 2的坐标是（2173+，2177-）,点P 3的坐标是（2173-，2177+）, 综上所述, 抛物线上存在点P 1（2，-1）,P 2（2173+，2177-）, P 3（2173-，2177+）, 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为：（1）分析图形的成因；（2）识别图形的形状；（3）找出图形的计算方法。

二次函数中的三角形面积问题

探究
例1. 如图，抛物线 y = - x2 - 2x +3
与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．（至少用2种方法）
中考链接
【中考链接1】
如图，已知二次函数
的图象与直
线 AC 相交于A ，C 两点，与 x 轴的另一个交点为 B ,
（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动
点，若直线 PC 将 △ABC 的面积分成 1 : 3 两部分，求
此时点 P 的坐标．
二次函数中的三角形面积问题
A
A
HB A
C
DB
C B
C
A
C D B
思想：化难为易、化斜为直方法：公式法、割补法、铅垂法、切线法
边在坐标轴上，取三角形的底边
时，一般以坐标
轴上线段或以与坐标轴平行的线段为底边
底边

三边
数坐在标形结均在不坐合
轴上标轴上
三边均不在坐标轴上的三角形采用割或补的方法把它转化成易于求出面积的图形
抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴的交点为 E，连接
BC．其中A(-3,0),B(1,0)
（1）求直线 AC 的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点 M（不与C重合），使
S△ACM = S△ABC ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存
在，请说明理由．
探究
例2. 如图，已知抛物线 y = - x2 - 2x +3过点 O
ι 的直线将
分成△面AB积C为
1 : 2的两部分，求该直线与抛物线的交

初中数学二次函数中三角形面积问题解析

（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。

（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。

二次函数铅锤法求三角形面积

二次函数铅锤法求三角形面积二次函数铅锤法求三角形面积是一种利用二次函数和几何知识求解三角形面积的方法。

在这个方法中，我们可以通过构造一个一般式二次函数，然后以三角形的顶点作为$x,y$坐标系下的截距，进而确定这个二次函数的解析式。

然后，我们利用这个解析式和关于三角形高的知识，最终求得三角形面积。

1. 构造二次函数我们先来看一个以三角形的三个顶点为坐标系下的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$为截距的一般式二次函数：$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+b(x-x_1)(x-x_3)+c(x-x_2)(x-x_3)$$$a,b,c$为系数，根据函数图像的对称性和零点情况可解得：2. 确定顶点根据二次函数的顶点公式可得：$$x_0=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$$$y_0=f(x_0)$$$(x_0,y_0)$为函数的顶点坐标。

3. 计算高由于三角形的高为从底边上一点到对脚线的距离，我们可以将对脚线$y=-\frac{1}{a}(x-x_0)+y_0$与底边平行的直线$y=k$相交，求得交点坐标$(x_4,y_4)$；然后再计算出底边长度，从而求得三角形面积。

$a$为二次函数系数。

根据三角形的面积公式可得：$$S=\frac{1}{2}\times b\times h$$$b$为底边长度，$h$为高。

底边长度为：$$b=\sqrt{(x_4-x_1)^2+(y_4-y_1)^2}$$高为：将以上公式带入三角形面积公式中，便可求出三角形面积。

至此，二次函数铅锤法求三角形面积的求解过程已经结束。

需要注意的是，在实际应用时，需要保证所构造的二次函数符合三点共线的要求，否则将会得到无法解决的矛盾情况。

在实际应用中，二次函数铅锤法求解三角形面积有着广泛的应用。

它可以用于建筑、工程、机械制造、科学研究等领域，尤其是在需要研究弯曲表面的情况下，这种方法可以非常方便地求出弯曲表面的曲率、面积等信息。

二次函数三角形面积定值问题

二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。

本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。

一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。

其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。

3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。

4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。

二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。

此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。

2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。

正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。

三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。

此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。

以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。

二次函数压轴题专题突破练专题04 二次函数背景下的图形面积的探究(学生版)

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题04 二次函数背景下的图形面积的探究【方法综述】面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下：方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积；方法二：同底等高类的三角形面积：当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个三角形面积之比等于高（底）之比方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决；坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法例如：求抛物线在直线AC 上方一点，使得△PAC 面积最大，当把直线AC 向上平移时，与抛物线的切点即为满足条件的P 点，因此，若直线AC 斜率为k ，则可以设一条直线解析式为y=kx+b ，该直线与抛物线联立的方程有两个相等实数根时，可求得b ，进而求得P 点坐标。

另外，用铅垂高法解决面积最值问题基本模型如下：S △PAB ＝12·PQ·||x B －x A .根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅P垂线段PQ最大时，S△PAB取得最大值，此时点Q为线段AB的中点.【典例示范】类型一实际问题的面积探究例1：用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成①设DE等于xm，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②菜园的面积能不能等于110m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．针对训练1.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为xm，菜园的面积为ym2．（1）试写出y与x之间的关系式；（2）当AB的长为10m，菜园的面积是多少？2.问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．特例分析:（1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是．（2）当时，解决“问题情境”中的问题．解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．3晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系．4.2018年，汶上县县委、县政府启动创建全国卫生县城和全国文明县城工作，各单位都积极投身创城工作某单位为进一步美化我县环境，在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花圃一边靠墙，墙长18m，外围用40m的栅栏围成，如图所示，若设花圃的BC边长为x(m)，花圃的面积为y(m2)．(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)利用所学知识试着求出花圃的最大面积．5．某小区业主委员会决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为；②y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）求活动区的面积y的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造，当x为整数时，共有几种建造方案？类型二面积计算例2．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线的两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．针对训练1.如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.2.如图，已知抛物线与轴、轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与轴的另一个交点为E，求△ODE的面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出点P的坐标，若不存在说明理由．3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l 于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．4.抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.5.如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．6．已知：m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积．7.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c均为常数）的图象经过两点A（2，0），B（0，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点C（m，0）（m＞2）在这个二次函数的图象上，连接AB，BC，求△ABC的面积．9.如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点.（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）轴上存在点使的面积为9，求点的坐标.类型三三角形面积的最值问题例3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．针对训练1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．2.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．3.已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点（1）填空：b＝（用含有a的代数式表示）；（2）若a＝﹣1①点P为抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线y＝﹣x+3于点M，当点P在第一象限内时，是否存在一点P，使△PCB面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②当m≤x≤m+3时，y的取值范围是2m≤y≤4，求m的值．4．如图，直线AB和抛物线的交点是A(0，﹣3)，B(5，9)，已知抛物线的顶点D的横坐标是2．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．5.如图，已知，二次函数的图像交轴正半轴于点，顶点为，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，的正切值为.（1）求二次函数的解析式与顶点坐标；（2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值.6.如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．8.已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．9.如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点.⑴求该抛物线的解析式；⑵设⑴中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.⑶在抛物线上BC段是否存在点P，使得△PBC面积最大，若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－4，0)、B(－1，0)两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？11．如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标．类型四以面积为条件的问题计算例4：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1.如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点为，，求：抛物线的解析式；若抛物线上有一点，使得直线将的面积分成相等的两部分，求点的坐标．2.如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线y=ax2+2ax+3（a≠0）经过A，B两点．P是线段AO上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．（1）求a及AB的长．（2）连结PB，若tan∠ABP=，求点P的坐标．（3）连结BD，以BD为边作正方形BDEF，是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）连结OC，若S△BDC：S△OBC=1：2，将线段BD绕点D按顺时针方向旋转，得到DB′．则在旋转的过程中，当点A，B到直线DB′的距离和最大时，请直接写出点B′的坐标．3.如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.5.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A，D两点，并经过B点，对称轴交x轴于点C，连接BD，BC，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）（1）求二次函数的解析式．（2）求该函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在．请说明理由．6.如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且周长取最大值时，求点G的坐标．7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴为x=，图象交x轴于A，B，交y轴于C（0，-3），且AB=5，直线y=kx+b（k＞0）与二次函数图象交于M，N（M在N的右边），交y轴于P．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若b=-5，且△CMN的面积为3，求k的值；（3）若b=-3k，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．8.已知抛物线y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB＝2OA．（1）求抛物线解析式；（2）已知直线y＝x+2与抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M1、N1，是否存在点P，同时满足如下两个条件：①P为抛物线上的点，且在直线MN上方；②:＝6：35若存在，则求点P横坐标t，若不存在，说明理由．9.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△P AB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标．10.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，P A．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．。

二次函数与三角形面积问题

⼆次函数与三⾓形⾯积问题⼆次函数与三⾓形的⾯积问题【教案⽬标】1.能够根据⼆次函数中不同图形的特点选择合适的⽅法解答图形的⾯积。

2.通过观察、分析、概括、总结等⽅法了解⼆次函数⾯积问题的基本类型，并掌握⼆次函数中⾯积问题的相关计算，从⽽体会数形结合思想和转化思想在⼆次函数中的应⽤。

3.掌握利⽤⼆次函数的解读式求出相关点的坐标，从⽽得出相关线段的长度，利⽤割补⽅法求图形的⾯积。

【教案重点和难点】1.运⽤2铅垂⾼⽔平宽?=s；2.运⽤y；3.将不规则的图形分割成规则图形，从⽽便于求出图形的总⾯积。

【教案过程】类型⼀：三⾓形的某⼀条边在坐标轴上或者与坐标轴平⾏例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:（1）抛物线解读式；（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；（3）求下列图形的⾯积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

解题思路：求出函数解读式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。

求出下列图形的⾯积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

⼀般地，这类题⽬的做题步骤：1.求出⼆次函数的解读式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适⽅法求出图形的⾯积。

变式训练1.如图所⽰，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ，B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的⾯积为6。

（1）求点A 和B 的坐标；（2）求此抛物线的解读式；（3）求四边形ACPB 的⾯积。

类型⼆：三⾓形三边均不与坐标轴轴平⾏，做三⾓形的铅垂⾼。

（歪歪三⾓形拦腰来⼀⼑）关于2铅垂⾼⽔平宽?=S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与⽔平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“⽔平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂⾼(h )”.我们可得出⼀种计算三⾓形⾯积的新⽅法：ah S ABC 21=?，即三⾓形⾯积等于⽔平宽与铅垂⾼乘积的⼀半.想⼀想：在直⾓坐标系中，⽔平宽如何求？铅垂⾼如何求？例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解读式；(2)点P 是抛物线(在第⼀象限内)上的⼀个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂⾼CD 及CAB S ?；(3)是否存在⼀点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：求出直线AB 的解读式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ；铅垂⾼D C y y CD -=，注意线段的长度⾮负性；分析P 点在直线AB 的上⽅还是下⽅?图1图-2 xCOy ABD 1 1变式训练2.如图，在直⾓坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解读式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最⼩？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下⽅，那么△P AB 是否有最⼤⾯积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最⼤⾯积；若没有，请说明理由.变式训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解读式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最⼩？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第⼆象限上是否存在⼀点P ，使△PBC 的⾯积最⼤？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的⾯积最⼤值.若没有，请说明理由.⼀般地，①所谓的铅垂⾼度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为DC y y CD -=。

二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。

专题58 二次函数中的面积问题(解析版)

例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S AE BF CD AE BF=+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下面求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3（k≠0），把点B坐标代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x+3，设P的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），过点P作y轴的平行线交BC于M，则M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，＝PM•|x B﹣x C|＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，∴S△PBC∵﹣＜0，有最大值，最大值是，∴当x＝﹣时，S△PBC∴△PBC面积的最大值为；当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝，∴点P坐标为（﹣，）．变式训练【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；设直线AC的解析式为y＝kx+h，将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，解得：m＝﹣，即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x＝，y＝﹣＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF＝﹣1＝，∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，∴∠CAB＝45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，又∵AC＝＝3，∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标．解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得x＝4，∴C（4，0）．把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图，设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），＝•MN•OC＝（﹣a+2﹣a2﹣a﹣2）×4＝﹣a2+2a，∴S△ACMS△ABC＝•BC•OA＝×（4+2）×2＝6，＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+6＝＝﹣（a﹣2）2+8，∴S四边形ABCM∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在何处时，△ACE面积最大．解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，∴△ACE的面积＝×（2+1）×PE＝（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△ACE的面积有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：，故抛物线的表达式为：，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点，＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝则S＝S四边形ADCP＝，∵﹣1＜0，故S有最大值，当时，S的最大值为．【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1）＝x2﹣x﹣2；（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．△BCD2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）解：对于y＝﹣x2+x+2y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y ＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），+S△PHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣则△BCP的面积＝S△PHBx2+4x，∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，当x＝2时，△BCP的面积有最大值，此时，点P的坐标为（2，3），故选：A．2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则x＝4，∴B（4，0），将点B（4，0）和点C（0，2）代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）作PD∥y轴交直线BC于点D，设P（m，﹣m2+m+2），则D（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，＝×4×（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△PBC∴当m＝2时，△PBC的面积有最大值4，此时P（2，3）；（3）令y＝0，则，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵A点与B点关于对称轴对称，∴AQ＝BQ，∴AQ+CQ+AC＝BQ+CQ+AC≥BC+AC，∴当B、C、Q三点共线时，，△QAC周长最小，∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），∴BC＝2，AC＝，∴AC+BC＝3，∴△QAC周长最小值为3．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．解：（1）根据题意得：，解得，则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），设BC的解析式是y＝mx+n，则，解得，则BC的解析式是y＝x+3．x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝＝﹣（x+）2+，则S△PBC∵﹣＜0，故△PBC的面积有最大值是．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的二次函数解析式：（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得，解得y＝x2﹣4x﹣5；（2）当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），①BC为对角线，则x Q﹣x C＝x B﹣x P，y Q﹣y C＝y B﹣y P，解得，（舍去），∴P（4，﹣5），②CP为对角线，则x Q﹣x C＝x P﹣x B，y Q﹣y C＝y P﹣y B，解得或，∴P（2+，5）或（2﹣，5），③CQ为对角线时，CP∥BQ，则点P （4，﹣5）；综上P （4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；第三种，CQ 为对角线不合要求，舍去；（3）过H 作HD ∥y 轴交BC 于D ，∴S △BCH ＝S △CDH +S △BDH ＝HD （x H ﹣x C ）+HD （x B ﹣x H ）＝HD （x B ﹣x C ）＝HD ，设BC ：y ＝kx +b 1，∵BC 过B 、C 点，代入得，，，∴y ＝x ﹣5，设H （h ，h 2﹣4h ﹣5），D （h ，h ﹣5），S △BCH ＝HD ＝×[h ﹣5﹣（h 2﹣4h ﹣5）]＝﹣（h ﹣）2+，∴当h ＝时，H （，﹣）时，S △BCHmax ＝．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE＝OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE＝，∴E（0，﹣），∴点P的纵坐标为﹣，由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x2﹣2x﹣3＝﹣，∴x＝或x＝，∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴0＜x＜3，∴点P（，﹣）；（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），∴F（m，0），＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFB＝OA•OC+（OC+PF）•OF+PF•BF∴S四边形ABPC＝×1×3+（3﹣m2+2m+3）•m+（﹣m2+2m+3）•（3﹣m）＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，﹣），即点P运动到点（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．解：（1）∵点C的横坐标为3，∴y＝×3+＝2，∴点C的坐标为（3，2），把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝；（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），∵四边形DEFG为平行四边形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴当m＝时，S最大值为，∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC上一点，PE∥y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP∵﹣＜0，∴当t＝时，S＝．△BCP最大（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），∴MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝．9．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝4，则A点坐标为（4，0），把A（4，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x﹣3；（2）存在．过D点作直线AC的平行线y＝kx+b，当直线y＝kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D 到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，∵直线AC的解析式为y＝x﹣3，∴k＝，即y＝x+b，由直线y＝x+b和抛物线y＝﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12＝0，∴△＝122﹣4×3×（4b+12）＝0，解得b＝0，∴3x2﹣12x+12＝0，解得x1＝x2＝2，把x＝2，b＝0代入y＝x+b得y＝，∴D点坐标为（2，）．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，m﹣2），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，联立方程组：，解得：，．∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（﹣，﹣），∴BD+CF＝3+||＝．＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF∴S△PBC＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）×＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3）．∵﹣＜0，∴这个二次函数有最大值．的最大值为．∴当m＝时，S△PBC11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣2），设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），∴﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，∵OP∥AB，∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，＝S△ABO，∴S△P AB∵OP∥AB，∴直线PO的解析式为y＝x，联立方程组可得，解得：或，∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，＝S△ABO，∴S△AP''B∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，联立方程组可得，解得，∴点P''（2，﹣3），综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，∴点M（2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON，∴MN+ON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为y＝x，当x＝2时，点Q（2，2），∴QM＝2+3，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM＝QM＝+，∴MN+ON的最小值为+．12．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣2m2+8m，当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a+3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故点M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，∴M2（﹣，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和点C（1，0）．（1）求此抛物线的表达式．（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标（﹣，﹣）．解：（1）将点B（﹣3，0）和点C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，∴，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令x＝0，则y＝﹣3，∴A（0，﹣3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，过点P作PG⊥x轴交AB于点G，设P（t，t2+2t﹣3），则G（t，﹣t﹣3），∴PG＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，∴S△ABP＝×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+，当t＝﹣时，S△ABP有最大值，此时P（﹣，﹣）；（3）由y＝x2+2x﹣3的顶点D（﹣1，﹣4），设H（m，﹣m﹣3），∵△DHP为等腰三角形，∴DH＝PH，∴（m+1）2+（﹣m+1）2＝（m+）2+（﹣m+）2，解得m＝﹣，∴H（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1；（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，同理可得：AN＝，＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴C△ANM∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+；（3）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∴S△APC∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P 的坐标及四边形BDCP面积的最大值．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2+2x+3．（2）由解析式可得M（1，0），C（0，3），∴．∴△BCM的周长为．如图1，过点M作MN⊥BC于点N，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BMN＝45°．∴．∴．∴．＝S△BDC+S△BPC，（3）由题意可知：S四边形BDCP∵过点A的直线m∥BC，∴．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点C（0，3），∴OC＝3．∴．如图2，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，交BC于点E，直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），∵点P是直线BC上方抛物线上一动点，∴PE＝PF﹣EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．则＝．∴．当时，四边形BDCP的面积最大，最大面积为．此时，点P的坐标为．17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B （1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，①联立方程组，解得x＝2或x＝﹣2，∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；②设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交CD于点E，设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），则F（m，2m+1），E（n，2n+1），∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，∴当m＝0时，MF有最大值4，当n＝0时，NE有最大值4，＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），∵S四边形CMDN∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式．（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF＝×（）2＝；∴当m＝﹣时，S△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．。

求二次函数之内接三角形求面积的方法

S CAB

1 32 2
3
(3)、假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h，
则 h y1 y2 (x2 2x 3) (x 3) x2 3x
9 由 S△ PAB= 8 S△ CAB
1 3 (x2 3x) 9 3
= 1 �� × ��
2
AD 即为铅垂高，BF 即为 B 点与 C 点的水平宽。
明白了这个原理，让我们一起来看一下二次函数内接三角形求面积的题型。
例题 1：
如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.
(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；
设直线 AB 的解析式为： y2 kx b
由 y1 x2 2x 3求得 B 点的坐标为 (0,3)
y C
BDLeabharlann 1 O1x A图 12-2
把 A(3,0) ， B(0,3) 代入 y2 kx b 中，解得： k 1,b 3 ，所以 y2 x 3 .
(2)、因为 C 点坐标为(１,4)，所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2，所以 CD＝4-2＝2 ，
向下的函数，所以把二次函数一般式化成顶点式即可求出面积的最大值。
讲了这么多，相信同学们已经跃跃欲试了，请自己动手做一下面这个习题↓↓↓
得： 2
8
化简得： 4x2 12x 9 0
|PE|即为铅垂高 h，h 等于 P,E 两点纵坐标之差
x 3 解得， 2
将
x

3 2
代入
y1

x2

二次函数动点三角形面积最值问题

当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入，令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时，SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C （即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切）,此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。

二次函数面积最值问题的4种解法

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解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
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原题：在（ 1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点 P，使 △PBC 的面积最大？若存在，求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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解法二：铅锤定理，面积 =铅锤高度 ×水平宽度 ÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
求二次函数中三角形面积问题是一个常见的数学问题，很多学生和老师都有求解它的困惑。

那么，我们应该如何求解这个问题呢？答案是：有三种求解方法。

第一种求解方法是使用牛顿勒让公式进行计算。

牛顿勒让公式是一种高级数学方法，它试图用参数表示二次函数上的点，然后把它们连接起来从而确定三角形的面积。

第二种求解方法是使用初等函数进行计算。

初等函数是指利用函数的一阶导数或二阶导数计算函数的极值，进而求得存在的三角形的面积。

第三种求解方法是使用微积分中的定积分。

定积分是指将该函数在指定的范围内进行积分，解出积分值，从而得出三角形的面积。

通过以上三种方法，我们可以求出二次函数中三角形的面积。

其中，牛顿勒让公式是一种高级数学方法，初等函数是一种直接使用函数的导数，定积分是把函数分段积分的方法。

而这三种方法对求解二次函数中三角形面积问题都有用处，都可以取得精确而完整的结果。

中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)

专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案．【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求，故选：A ．【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值【详解】解：直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1；当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线．故选B ．【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。

二次函数与三角形最大面积的3种求法

二次函数与三角形最大面积的3种求法一．解答题（共7小题）1．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．3．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．第1页（共12页）4．（2012•黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．6．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标．二次函数与三角形最大面积的3种求法参考答案与试题解析，解得=1，解得（PN OA（y×（，（=（（﹣+时，x=+2x+3=，∴（，，）﹣×﹣﹣﹣﹣﹣（（）+∴顶点坐标为（﹣，x x+2，，解得y=y=×y=，解得x﹣于点，x+2﹣×（﹣的坐标为（﹣BC==，y=x x+4=（，==5t﹣﹣t+4，﹣t+4x+4﹣（t﹣﹣NG+NG OC=（﹣t），t=时，，t=，得：y=t+4=，﹣，y=（=﹣x+4=﹣==5t﹣﹣x+4，﹣x+4﹣（t﹣﹣NG+CE=OC=（﹣t），t=时，，t=，得：y=t+4=，﹣5．（2013•新疆），解得，解得联立，﹣x=，﹣=，，﹣，﹣1=×=，=3×，此时，﹣..（（解得﹣BE PE+（（﹣时，=时，﹣，））根据题意得：AB。