专题十六天体运动典型问题

专题十六：天体运动
基本方法：把天体运动看作是匀速圆周运动，F
万=F
向
往往还需要补充一个等式：在天体表面有——GMm/R2=mg 该式被称为黄金代换。

对卫星（行星）模型
卫星（行星）模型的特征是卫星（行星）绕中心天体做匀速圆周运动。

（1）卫星（行星）的动力学特征：中心天体对卫星（行星）的万有引力提供卫星（行星）做匀速圆周运动的向心力，即有：。

（2）卫星（行星）轨道特征：由于卫星（行星）正常运行时只受中心天体的万有引力作用，所以卫星（行星）平面必定经过中心天体中心。

1)讨论卫星（行星）的向心加速度、绕行速度、角速度、周期与半径的
关系问题。

由得，故越大，越小。

由得，故越大，越小。

由得，故越大，越小。

得，故越大，越长。

2)求中心天体的质量或密度（设中心天体的半径）
①若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期与半径
根据得，则
②若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与半径
由得，则
③若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与周期
由和得，则
④若已知中心天体表面的重力加速度及中心天体的球半径
由得，则
一、基本规律
1.关于地球的第一宇宙速度,下列说法中正确的是( )
A它是人造地球卫星环绕地球运转的最小速度
B它是近地圆行轨道上人造卫星运行的最大速度
C 它是能使卫星进入近地轨道最小发射速度
D它是能使卫星进入轨道的最大发射速度
2.地球公转的轨道半径为R
1，周期为T
1
，月球绕地球运转的轨道半径为R
2
，周期
为T
2
，则太阳质量与地球质量之比为（）
3.宇宙飞船与目标飞行器在近地圆轨道上成功进行了空间交会对接。

对接轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，下面说法正确的是（）
A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C.如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
二、赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的比较
（1）忽略地球（星球）自转影响，赤道上的物体，万有引力远大于随地球自转所需的向心力。

（2）在地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物体所受的重力就是地球（星球）对物体的万有引力。

特别的，在星球表面附近对任意质量为m的物体有：
GM gR R
Mm G
mg =⇒=22这就是黄金代换公式，此式虽然是在星球表面附近推得的，但在星球非表面附近的问题中，亦可用。

（3）地球同步卫星是指相对地面静止的、运行周期与地球的自转周期相等的卫星，这种卫星一般用于通讯，又叫做同步通信卫星，其特点可概括为“五个一定”即位置一定（必须位于地球赤道的上空）；周期一定（）；高度一定（）；速率一定（）；运行方向一定（自西向东运行）。

4.地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），
所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步
卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3．地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为，假设三者质量相等，则（ ）
A ．F 1=F 2>F 3
B ．a 1=a 2=g>a 3
C ．V 1=v 2=v>v 3
D ．ω1=ω3<ω2
5.如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引
力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，以a 1、a 2分别表示该
空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下
判断正确的是（ ）
A ．a 3＞a 2＞a 1
B ．a 2＞a 1＞a 3
C ．a 3＞a 1＞a 2
D ．a 2＞a 3＞a 1
三、变轨问题
卫星的变轨问题
卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，有．当卫星由于某种原因速度突然增大时，，卫星将做离心运动；当突然减小时，，卫星做向心运动。

6.将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3．轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分
别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道3上的速度大于轨道1上的速度
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度7.如图在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则
A．该卫星的发射速度必定大于11.2km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
8.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星被月球捕获后，首先
稳定在椭圆轨道Ⅰ上运动，其中P、Q两点分别是轨道工的近月点和远月点，Ⅱ
是卫星绕月做圆周运动的轨道，轨道Ⅰ和Ⅱ在P点相切，则（）
A．卫星沿轨道Ⅰ运动，在P点的速度大于Q点的速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动，在P点的加速度小于Q点的加速度
C．卫星分别沿轨道Ⅰ、Ⅱ运动到P点的加速度不相等
D．卫星要从轨道Ⅰ进人轨道Ⅱ，须在P点加速
9.如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，
然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为
近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点Q
时再次变轨，进入同步轨道。

设卫星在近地圆轨道上运行的速率
为v
1，在P点短时间变轨后的速率为v
2
，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为
v 3，在Q点短时间变轨后进入同步轨道后的速率为v
4。

三个轨道运动的周期分别
为T
1、T
2
、T
3
，则下列说法正确的是：
A．在P点变轨时需要加速，在Q点变轨时需要减速B．在P点变轨时需要减速，在Q点变轨时需要加速
C．T
1<T
2
<T
3
D. v
2
>v
1
>v
4
>v
3
四、多星问题
宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它
们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可
以忽略不计。

在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的
某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。

双星问题具有以下两个特点：
⑴由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然
相等，由可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。

列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。

10.两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，现测得两行星中心距离为R,周期为T,求两行星的总质量.
11.宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点上，若已知两颗星的距离均为d，如果忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕其中心O做匀速圆周运动，引力常量为G．则每颗星做圆周运动的周期T为多少？
12.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用。

设四星系统中每个星体质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分别在边长为a的正方形的四个顶点上，其中a远大于R。

已知引力常量为G。

求四颗星的周期T=?
五、其他
天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，有其自身特点。

根据万
有引力提供向心力，即，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或
相遇。

分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。

实际常见的是两类问题：①相距最近，条件：πωω221∙=-k t t ，②相距最远，条件：πωω)12(21-=-k t t ，两式中*∈N k 。

13.如图所示，有A 、B 两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R 的行星做匀速圆周运动，旋转方向相同，其中A 为近地轨道卫星，周期为T 1，B 为静止轨道卫星，周期为T 2，在某一时刻两卫星相距最近，再经过多长时间，两行星再次相距最近（引力常量G 为已知）？
14.两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星离地面的高度等于R ，b 卫星离地面高度为3R ，则：（1）a 、b 两卫星周期之比Ta ：Tb 是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？
15.飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ．如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需的时间．
16一宇航员为了估测某一星球表面的重力加速度和该星球的质量，在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h 高处自由下落，他测出经时间t 小球落地，又已知该星球的半径为R ，忽略一切阻力。

求：（1）该星球表面的重力加速度g ；（2）该星球的质量M ；（3）该星球的第一宇宙速度V.（引力常量G 为已知）
专题十六：天体运动
1. BC
2.B
3.BC
4.D
5.A
6.CD
7.CD 8。

A 9.CD 10232/4GT R π
11．Gm d 343
2π 12 13. T 1T 2/(T 2-T 1) 14.(1)1:22 (2)若两卫星同向运转，()7/24+；若两卫星反向运转
()7/2-4 15. T R
R R R R R
2400++ 16.(1)2h/t 2 (2)2R 2h/Gt 2 (3)22t hR
v =。