培优15天体运动问题讲义

高考必会的天体运动问题

【知识点汇总】

一、卫星变轨问题的判断：

(1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大． (2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．

(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同． 二、人造天体运行参量的分析与计算方法

分析与计算思路是将人造天体的运动看做绕中心天体做匀速圆周运动,它受到 的万有引力提供向心力,结合牛顿第二定律和圆周运动的规律建立动力学方程， G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2

r ＝m 4π2r T 2，以及利用人造天体在中心天体表面运行时， 忽略中心天体的自转的黄金代换公式GM ＝gR 2

.

三．万有引力公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－

11 N·m 2/kg 2

(1)重力和万有引力的关系

①在赤道上，有G Mm R 2－mg ＝mRω2

＝mR 4π2T 2.

②在两极时，有G Mm

R

2＝mg

(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系

①由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GM

R ，所以R 越大，v 越小．

②由G Mm R 2＝mω2R ，得ω＝ GM R 3，所以R 越大，ω越小．

③由G Mm R 2＝m 4π2T 2R 得T ＝ 4π2R 3

GM

，所以R 越大，T 越大．

四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星 1．环绕速度与发射速度的比较

近地卫星的环绕速度v ＝ G M

R

＝gR ＝7.9 km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的

最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．

不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝ G M

r

，其大小随半径的增大而减小．但是，由于

在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大． 2．地球同步卫星特点

(1)地球同步卫星只能在赤道上空．

(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期． (3)地球同步卫星相对地面静止． (4)同步卫星的高度是一定的． 五．重力加速度的基本计算方法

设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度．

在地球表面附近（h ＜＜R ）处： G Mm R 2=mg , g =GM

R 2=9.8m /s 2

在地球上空距地心r =R +h 处： g r =GM r 2=GM (R+h )2， g r =R 2

(R+h )2 g

在地球内部距离地心r 处： g r =GMr r 2=43Gπρr ，g r = r

R g

六．行星运动的能量 ⑴行星的动能

当一颗质量为m 的行星以速度v 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： E K =12mv 2=G Mm

2r ，式中。 v =

GM

r

⑵行星的势能

对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距r 时，其体系的引力势能： E P = -G Mm r

⑶行星的机械能： E = E K + E P =12mv 2—G Mm r = -G Mm

2r

七、天体质量和密度的估算

1．解决天体圆周运动问题的一般思路

利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 (1)两条线索

①万有引力提供向心力F ＝F n .

②重力近似等于万有引力提供向心力． (2)两组公式

①G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2

r ＝m 4π2T

2r

②mg r ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π

2T

2r(g r 为轨道所在处重力加速度)

2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3g 4πGR

.

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3

GT 2

；

②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3πr 3

GT 2R 3

；

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π

GT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．

常见问题分析

一．地面物体、近地卫星、同步卫星

例1.如图2所示，同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )

A .a 1a 2＝r R

B .a 1a 2＝⎝⎛⎭⎫R r 2

C . v 1v 2＝r R

D . v 1v 2

＝ R

r

总结:

二．卫星变轨过程中对应参数的变化

例2、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B 为轨道 Ⅱ 上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( ) A ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的速度小于经过B 的速度

B ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的动能小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的动能

C ．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道 Ⅰ 上运动的周期

D ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的加速度小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的加速度 总结:

例3、如图4所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则 A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为

1

2

g 0R B ．飞船在A 点处点火时，动能增加

C ．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A 点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A 点的加速度

D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π R

g 0

总结:

例4、随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注．“神八”发射前，将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是( ) A ．“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号” B ．“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会

C ．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度

D ．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力 总结:

三．极地卫星特点

例5、我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T 1＝12 h ；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面在赤道平面内，周期为T 2＝24 h ；两颗卫星相比( )． A ．“风云一号”离地面较高

B ．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大

C ．“风云一号”线速度较大

D ．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空，那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空

8、2012年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1

、

R

2，线速度大小分别为1v 、2v 。则

2

1

v v 等于