培优15天体运动问题讲义

高考必会的天体运动问题【知识点汇总】一、卫星变轨问题的判断：(1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大． (2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同． 二、人造天体运行参量的分析与计算方法分析与计算思路是将人造天体的运动看做绕中心天体做匀速圆周运动,它受到 的万有引力提供向心力,结合牛顿第二定律和圆周运动的规律建立动力学方程， G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T 2，以及利用人造天体在中心天体表面运行时， 忽略中心天体的自转的黄金代换公式GM ＝gR 2.三．万有引力公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2(1)重力和万有引力的关系①在赤道上，有G Mm R 2－mg ＝mRω2＝mR 4π2T 2.②在两极时，有G MmR2＝mg(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系①由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GMR ，所以R 越大，v 越小．②由G Mm R 2＝mω2R ，得ω＝ GM R 3，所以R 越大，ω越小．③由G Mm R 2＝m 4π2T 2R 得T ＝ 4π2R 3GM，所以R 越大，T 越大．四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星 1．环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v ＝ G MR＝gR ＝7.9 km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝ G Mr，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大． 2．地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空．(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期． (3)地球同步卫星相对地面静止． (4)同步卫星的高度是一定的． 五．重力加速度的基本计算方法设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度．在地球表面附近（h ＜＜R ）处： G Mm R 2=mg , g =GMR 2=9.8m /s 2在地球上空距地心r =R +h 处： g r =GM r 2=GM (R+h )2， g r =R 2(R+h )2 g在地球内部距离地心r 处： g r =GMr r 2=43Gπρr ，g r = rR g六．行星运动的能量 ⑴行星的动能当一颗质量为m 的行星以速度v 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： E K =12mv 2=G Mm2r ，式中。

v =GMr⑵行星的势能对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距r 时，其体系的引力势能： E P = -G Mm r⑶行星的机械能： E = E K + E P =12mv 2—G Mm r = -G Mm2r七、天体质量和密度的估算1．解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 (1)两条线索①万有引力提供向心力F ＝F n .②重力近似等于万有引力提供向心力． (2)两组公式①G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r②mg r ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r(g r 为轨道所在处重力加速度)2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．常见问题分析一．地面物体、近地卫星、同步卫星例1.如图2所示，同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )A .a 1a 2＝r RB .a 1a 2＝⎝⎛⎭⎫R r 2C . v 1v 2＝r RD . v 1v 2＝ Rr总结:二．卫星变轨过程中对应参数的变化例2、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B 为轨道 Ⅱ 上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( ) A ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的动能小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的动能C ．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道 Ⅰ 上运动的周期D ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的加速度小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的加速度 总结:例3、如图4所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则 A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为12g 0R B ．飞船在A 点处点火时，动能增加C ．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A 点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A 点的加速度D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π Rg 0总结:例4、随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注．“神八”发射前，将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是( ) A ．“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号” B ．“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会C ．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度D ．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力 总结:三．极地卫星特点例5、我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T 1＝12 h ；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面在赤道平面内，周期为T 2＝24 h ；两颗卫星相比( )． A ．“风云一号”离地面较高B ．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大C ．“风云一号”线速度较大D ．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空，那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空8、2012年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。

任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。

变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R2，线速度大小分别为1v 、2v 。

则21v v 等于A ．3231R R B ．12R RC ．2122R RD ． 12R R总结:四．双星系统特点12、北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星1和2均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图3所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是 A ．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为r 2gR 2B ．两颗卫星所受的向心力大小一定相等C ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间可能为7πr3Rr gD ．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速 总结:五．卫星能量变化问题14、2011年9月29日，中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，B 点距离地面高度为h ，地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图5所示．已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，万有引力常量为G ，地球半径为R .则下列说法正确的是A ．“天宫一号”在椭圆轨道的B 点的向心加速度大于在预定圆轨道的B 点的向心加速度B ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，机械能增加C ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，动能先减小后增大D ．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M ＝(R ＋h )34π2n 2Gt 215、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T .若以R 表示月球的半径，则A ．卫星运行时的向心加速度为4π2RT2B ．物体在月球表面自由下落的加速度为4π2RT2C ．卫星运行时的线速度为2πRTD ．月球的第一宇宙速度为2πR (R ＋h )3TR总结:六．追击问题18、2012年6月18日，我国“神舟九号”与“天宫一号”成功实现交会对接，如图1所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”的运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟九号”的运行轨道，在实现交会对接前，“神舟九号”要进行多次变轨，则( )A ．“天宫一号”在轨道Ⅰ上的运行速率大于“神舟九号”在轨道Ⅱ上的运行速率B ．“神舟九号”变轨前的动能比变轨后的动能要大C ．“神舟九号”变轨前后机械能守恒D ．“天宫一号”在轨道Ⅰ上的向心加速度大于“神舟九号”在轨道Ⅱ上的向心加速度 19、质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMmr，其中G 为引力常量，M 为地球质量，该卫星原来在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为A ．GMm ⎝⎛⎭⎫1R 2－1R 1B ．GMm ⎝⎛⎭⎫1R 1－1R 2C.GMm 2⎝⎛⎭⎫1R 2－1R 1D.GMm2⎝⎛⎭⎫1R 1－1R 220、物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m 0的质点到质量为M 0的引力源中心的距离为r 0时，其万有引力势能E p ＝－GM 0m 0r 0(式中G 为引力常量)．一颗质量为m 的人造地球卫星以半径为r 1的圆形轨道环绕地球匀速飞行，已知地球的质量为M ，要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径增大为r 2，则卫星上的发动机所消耗的最小能量为(假设卫星的质量始终不变，不计空气阻力及其他星体的影响)( )A ．E ＝GMm 2(1r 1－1r 2)B ．E ＝GMm (1r 1－1r 2)C ．E ＝GMm 3(1r 1－1r 2)D ．E ＝2GMm 3(1r 2－1r 1)总结:七．宇宙速度第一宇宙速度物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫第一宇宙速度，又叫环绕速度，第一宇宙速度是最小的发射速度，其数值是7.9km/s ．方法1：若地球质量M 约为6×1024kg ，地球平均半径为6400km ，人造卫星的半径约为地球半径即近地卫星，则其运动速度是多少？（G=6.67×10-11N·m 2/kg 2）对人造卫星，由万有引力提供向心力得：GMm R 2= m v 12R解得：v 1=G MR，代入数据得v 1=7.9km /s 方法2：根据mg = m v 12R ， 由地球表面的重力加速度和地球的半径算出：v 1=gR =7.9km /s 。