一元二次回归模型拟合方法
计量经济学实验一 一元回归模型
实验二一元回归模型【实验目的】掌握一元线性、非线性回归模型的建模方法【实验内容】建立我国税收预测模型【实验步骤】【例1】建立我国税收预测模型。
表1列出了我国1985－1998年间税收收入Y和国内生产总值（GDP）x的时间序列数据，请利用统计软件Eviews建立一元线性回归模型。
一、建立工作文件⒈菜单方式在录入和分析数据之前，应先创建一个工作文件（Workfile）。
启动Eviews软件之后，在主菜单上依次点击File\New\Workfile（菜单选择方式如图1所示），将弹出一个对话框（如图2所示）。
用户可以选择数据的时间频率（Frequency）、起始期和终止期。
图1 Eviews菜单方式创建工作文件示意图图2 工作文件定义对话框本例中选择时间频率为Annual（年度数据），在起始栏和终止栏分别输入相应的日期85和98。
然后点击OK，在Eviews软件的主显示窗口将显示相应的工作文件窗口（如图3所示）。
图3 Eviews工作文件窗口一个新建的工作文件窗口内只有2个对象(Object）,分别为c（系数向量）和resid（残差）。
它们当前的取值分别是0和NA（空值）。
可以通过鼠标左键双击对象名打开该对象查看其数据，也可以用相同的方法查看工作文件窗口中其它对象的数值。
⒉命令方式还可以用输入命令的方式建立工作文件。
在Eviews软件的命令窗口中直接键入CREATE命令，其格式为：CREATE 时间频率类型起始期终止期本例应为：CREATE A 85 98二、输入数据在Eviews软件的命令窗口中键入数据输入/编辑命令：DA TA Y X此时将显示一个数组窗口（如图4所示），即可以输入每个变量的数值图4 Eviews数组窗口三、图形分析借助图形分析可以直观地观察经济变量的变动规律和相关关系，以便合理地确定模型的数学形式。
⒈趋势图分析命令格式：PLOT 变量1 变量2 ……变量K作用：⑴分析经济变量的发展变化趋势⑵观察是否存在异常值本例为：PLOT Y X⒉相关图分析命令格式：SCAT 变量1 变量2作用：⑴观察变量之间的相关程度⑵观察变量之间的相关类型，即为线性相关还是曲线相关，曲线相关时大致是哪种类型的曲线说明：⑴SCAT命令中，第一个变量为横轴变量，一般取为解释变量；第二个变量为纵轴变量，一般取为被解释变量⑵SCAT命令每次只能显示两个变量之间的相关图，若模型中含有多个解释变量，可以逐个进行分析⑶通过改变图形的类型，可以将趋势图转变为相关图本例为：SCA T Y X图5 税收与GDP趋势图图5、图6分别是我国税收与GDP时间序列趋势图和相关图分析结果。
matlab回归（拟合）总结（一元、多元）
matlab 回归（拟合）总结前言1、学三条命令polyfit(x,y,n)---拟合成一元幂函数（一元多次） regress(y,x)----可以多元，nlinfit(x,y,’fun ’,beta0) (可用于任何类型的函数，任意多元函数，应用范围最主，最万能的)2、同一个问题，这三条命令都可以使用，但结果肯定是不同的，因为拟合的近似结果，没有唯一的标准的答案。
相当于咨询多个专家。
3、回归的操作步骤：根据图形（实际点），选配一条恰当的函数形式（类型）---需要数学理论与基础和经验。
（并写出该函数表达式的一般形式，含待定系数）------选用某条回归命令求出所有的待定系数。
所以可以说，回归就是求待定系数的过程（需确定函数的形式）一、回归命令一元多次拟合polyfit(x,y,n);一元回归polyfit;多元回归regress---nlinfit(非线性)二、多元回归分析对于多元线性回归模型(其实可以是非线性，它通用性极高)： e x x y pp ++++=βββ 110设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x x 212222111211111，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p ββββ 10 的估计值为排列方式与线性代数中的线性方程组相同（），拟合成多元函数---regress使用格式：左边用b=[b, bint, r, rint, stats]右边用=regress(y, x)或regress(y, x, alpha) ---命令中是先y 后x,---须构造好矩阵x(x 中的每列与目标函数的一项对应) ---并且x 要在最前面额外添加全1列/对应于常数项---y 必须是列向量---结果是从常数项开始---与polyfit 的不同。
回归分析
,
,
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 y n 0 1 x n1 2 x n 2 p x np n
（1）建立非线性回归模型1/y=a+b/x； （2）预测钢包使用x0=17次后增大的容积y0； （3）计算回归模型参数的95%的置信区间。
初始值要先计算，先选择已知数据中的两点（ 2,6.42）和（16,10.76）代入设定方程，得到方程组
2 6.42 6.42(2a b) 2 2a b 16 10.76(16a b) 16 10.76 16a b
ˆ 2.7991 y x 23.5493
解释：职工工资总额每增加1亿元，社会商品零售总额将增加 2.80亿。
2、一元多项式回归模型
(1) 多项式回归的基本命令 在一元回归模型中，如果变量y与x的关系是n次多项式，即
y an x an1x
n
n1
... a1x a0
试求：① 给出y与t的回归模型； ② 在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图 ③ 预测t=16时残留的细菌数；
ex006
三、多元线性回归模型 (略)
多元线性回归模型及其表示
对于总体
( X 1 , X 2 ,, X p ;Y ) 的n组观测值
( xi1 , xi 2 ,, xip ; yi )(i 1,2,, n; n p)
例为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细 菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照 射次数记为t，照射后的细菌数y如表3.3所示。
计量经济学-2.1 一元回归模型
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2585 2299 2640
1188 1364 1573 1771 2035 2310
1210 1408 1606 1804 2101
1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200
–“衍生的随机误差”包含上述所有内容，并不一定 服从极限法则，不一定满足基本假设。
–在§9.3中将进一步讨论。
四、样本回归函数 Sample Regression Function, SRF
1、样本回归函数
• 问题：能否从一次抽样中获得总体的近似信息？ 如果可以，如பைடு நூலகம்从抽样中获得总体的近似信息？
• 随机误差项主要包括下列因素：
–在解释变量中被忽略的因素的影响；
• 影响不显著的因素 • 未知的影响因素 • 无法获得数据的因素
–变量观测值的观测误差的影响；
–模型关系的设定误差的影响；
–其它随机因素的影响。
• 关于随机项的说明：
–将随机项区分为“源生的随机扰动”和“衍生的随 机误差”。
–“源生的随机扰动”仅包含无数对被解释变量影响 不显著的因素的影响，服从极限法则（大数定律和 中心极限定理），满足基本假设。
• 关于变量的术语
– Explained Variable ~ Explanatory Variable – Dependent Variable ~ Independent Variable – Endogenous Variable ~ Exogenous Variable – Response Variable ~ Control Variable – Predicted Variable ~ Predictor Variable – Regressand ~ Regressor
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
回归分析及进阶分析-多元回归与结构方程模型
用样本回归直线与推断总体回归直线 用一些指标来判断推断的是否合理（接近）
样本回归方程
求出参数
需要一个公式/准则：
◦ 所有观测点与直线的垂直距离
（称为残差
Residual）都尽可能地小，即让所有的观测点与直线的垂
直距离之和∑e为最小。
◦ 有些观测点在直线之下，因此有些e是正的，有些是负的。
用MATLAB
47
48
◦ 曲线估计没能包括控制变量
38
加入自变量的二次项
◦ 中心化
跟据二次项的方向，判断是U形还是倒U形 Note:
◦ 仍要放入一次项
39
40
中介： Baron3步检验：
调节： 1. 整体模型的F检验 2. 交互项的系数的T检验 3. R Square change的显著性
自变量的中心化问题
相加后正负抵销，有可能总和∑e很小但是个别是的e还是
很大。为了克服这个问题，我们先将e平方使它们都变成
正的，然后再求和并使之变成最小，这就是所谓的“普通 最小二乘法（OLS——Ordinary Least Squares）准则”
目标函数：min 变量：b0和b1
要想使 b0和 b1更稳定，在收集数据时，就应该 考虑 X 的取值尽可能分散一些；样本容量也应尽可
可以证明，在一元线性回归条件下，ESS和 RSS分 别服从自由度为 1和 n-2 的 卡方 分布
H0：B2＝B3＝0
等同于零假设H0：R2=0
这个假设表明两个解释变量一起对应变量Y无影响，
这是对估计的总体回归直线的显著性检验。
Note：书上的写反了。
如果分子比分母大，也即Y被回归解释的部分比未被回 归解释的部分大，F值越大，说明解释变量对应变量Y的 变动的解释的比例逐渐增大，就越有理由拒绝零假设。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
一元回归模型的参数估计思政
一元回归模型的参数估计思政一元回归模型是统计学中常用的模型之一，用于研究两个变量之间的关系。
在参数估计方面，我们需要通过样本数据来估计模型中的参数，从而得到一个可靠的模型来描述变量之间的关系。
在进行一元回归模型的参数估计时，我们首先需要收集样本数据。
这些数据应该包括两个变量：自变量和因变量。
自变量是我们希望通过来预测因变量的变量，而因变量是我们希望解释或预测的变量。
接下来，我们可以使用最小二乘法来估计一元回归模型的参数。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的目标是使观测值与模型预测值之间的差异最小化。
在最小二乘法中，我们需要计算出模型的预测值和观测值之间的差异，这个差异被称为残差。
我们的目标是使所有观测值的残差的平方和最小化。
为了达到这个目标，我们需要对模型中的参数进行估计。
在一元回归模型中，我们需要估计两个参数：截距和斜率。
截距代表了当自变量为0时，因变量的取值；斜率代表了自变量每增加一个单位时，因变量的变化。
通过最小二乘法，我们可以得到一组估计的参数值，这些参数值可以用于构建回归模型。
这个回归模型可以用来预测未来的因变量取值，或者解释自变量对因变量的影响。
在进行一元回归模型的参数估计时，我们需要注意一些问题。
首先，我们需要确保样本数据的质量和数量足够，以保证参数估计的准确性。
其次，我们需要检验模型的拟合程度，以确定模型是否能够很好地解释观测数据。
一元回归模型的参数估计是一项重要的统计学方法，它可以帮助我们了解变量之间的关系，并进行预测和解释。
通过合理的样本数据和最小二乘法的运用，我们可以得到可靠的参数估计结果，从而构建出有效的回归模型。
这对于各个领域的研究和决策都具有重要的意义。
计量经济学 第二章 一元线性回归模型
计量经济学第二章一元线性回归模型第二章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其古典假定第二节参数估计第三节最小二乘估计量的统计特性第四节统计显著性检验第五节预测与控制第一节回归模型的一般描述（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关系。
其一般表现形式为：一、回归模型的一般形式变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：（2.1)（2）统计关系或相关关系：变量之间为非确定性依赖关系。
其一般表现形式为：(2.2)例如：函数关系：圆面积S =统计依赖关系/统计相关关系：若x和y之间确有因果关系，则称(2.2)为总体回归模型，x(一个或几个）为自变量（或解释变量或外生变量），y为因变量（或被解释变量或内生变量），u为随机项，是没有包含在模型中的自变量和其他一些随机因素对y的总影响。
一般说来，随机项来自以下几个方面：1、变量的省略。
由于人们认识的局限不能穷尽所有的影响因素或由于受时间、费用、数据质量等制约而没有引入模型之中的对被解释变量有一定影响的自变量。
2、统计误差。
数据搜集中由于计量、计算、记录等导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生的代表性误差。
3、模型的设定误差。
如在模型构造时，非线性关系用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此非线性关系用彼非线性模型描述了等等。
4、随机误差。
被解释变量还受一些不可控制的众多的、细小的偶然因素的影响。
若相互依赖的变量间没有因果关系，则称其有相关关系。
对变量间统计关系的分析主要是通过相关分析、方差分析或回归分析(regression analysis)来完成的。
他们各有特点、职责和分析范围。
相关分析和方差分析本身虽然可以独立的进行某些方面的数量分析，但在大多数情况下，则是和回归分析结合在一起，进行综合分析，作为回归分析方法的补充。
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
01-一元线性回归模型的拟合优度检验
67
一、离差分解
如图2-3所示
图2-3 被解释变量的离差
yi YiY
（Yi
Yˆ）（Yˆ
i
i
Y）
ei（YˆiY）
68
n
n
n
y
2 i
（ Yˆ i Y ）2
e
2 i
i1
i1
i1
（2-37）
4) 学会进行一元线性回归模型被解释变量的总体均 值和个别值预测； 5) 学会利用Eviews软件进行一元线性回归模型的参 数估计、检验和预测。
3
第三节 一元线性回归模型的拟合优度检验
拟合优度——指样本回归线对样本数据拟合的精确程度
拟合优度检验——检验样本回归线对样本数据拟合的精确程度
拟合优度检验方法——通过构造表征拟合优度的统计量，对模型的拟合 效果作出评价
记
n
yi2 = TSS ——总体平方和或总离差平方和
i1
反映样本观察值的总体离差的大小
n
（Yˆi Y）2 = ESS
i1
n
ei2 = RSS
i1
——回归平方和 反映模型中由解释变量解释的那部分离差的大小
——残差平方和 反映模型中解释变量未解释的那部分离差的大小
这样，式（2-37）可表示为
TSS ESS RSS
求关于家庭消费支出与可支配收入关系的一元线性回归模型的拟合优度。
或
模型的拟合效果较好
71
三、决定系数与相关系数的关系
n
n
(Xi X)(Yi Y)
rXY
i1
n
第二章 一元线性回归模型
∂Q ˆ ˆ = −2∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ∂β ˆ0 ˆ ˆ ∂Q = −2∑ (Y − β − β X )X = 0 i 0 1 i i ˆ ∂β1
化简得： 化简得：
ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i )X i = 0
2.总体回归方程（线）或回归函数 总体回归方程（ 总体回归方程 即对（ ）式两端取数学期望： 即对（2.8）式两端取数学期望：
E y i）= β 0 + β 1 x i （
（2.9）
（2.9）为总体回归方程。由于随机项的影响，所 ）为总体回归方程。由于随机项的影响， 有的点（ ）一般不在一条直线上； 有的点（x,y）一般不在一条直线上；但所有的点 （x,Ey）在一条直线上。总体回归线描述了 与y ）在一条直线上。总体回归线描述了x与 之间近似的线性关系。 之间近似的线性关系。
Yi = β X i + ui
需要估计， 这个模型只有一个参数 需要估计，其最 小二乘估计量的表达式为： 小二乘估计量的表达式为：
∑XY ˆ β= ∑X
i i 2 i
例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 ：在上述家庭可支配收入-消费支出例中， 于所抽出的一组样本数据， 于所抽出的一组样本数据，参数估计的计算可通过下面 的表2.2.1进行。 进行。 的表 进行
二、一元线性回归模型 上述模型中， 为线性的， 上述模型中， 若f(Xi)为线性的，这时的模型 为线性的 一元线性回归模型： 即为 一元线性回归模型：
yi = β 0 + β1 xi + ui 其中：yi为被解释变量，xi为解释变量，ui为随机误 差项，β 0、β1为回归系数。
一元二次多项式回归模型
一元二次多项式回归模型回归分析是一种用于预测和建立变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，一元二次多项式回归模型是一种常用的模型，用于描述自变量和因变量之间的非线性关系。
一元二次多项式回归模型可以表示为：y = a + bx + cx^2其中，y是因变量，x是自变量，a、b、c是回归系数。
在实际问题中，我们经常遇到自变量和因变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线的形式。
此时，线性回归模型无法准确描述这种关系，而一元二次多项式回归模型可以更好地拟合数据。
一元二次多项式回归模型的建立过程可以分为以下几个步骤：1. 数据收集：首先需要收集包含自变量和因变量的数据样本。
这些数据样本应该具有一定的代表性，能够反映出自变量和因变量之间的关系。
2. 模型建立：利用收集到的数据样本，通过最小二乘法求解回归系数。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，可以使模型的预测结果与实际观测值之间的误差最小化。
3. 模型评估：建立模型后，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合程度和预测效果。
常用的评估指标包括决定系数R^2、均方根误差等。
一元二次多项式回归模型的优点在于可以更好地拟合非线性关系，能够提供更准确的预测结果。
然而，一元二次多项式回归模型也存在一些限制。
首先，模型的复杂度较高，会增加计算的复杂性。
其次，在数据样本较少或样本分布不均匀的情况下，模型可能存在过拟合的问题。
在实际应用中，一元二次多项式回归模型常用于解决各种问题，例如预测销售量与价格之间的关系、分析气温与降雨量的关系等。
通过建立合适的一元二次多项式回归模型，可以更好地理解和预测现象之间的关系。
一元二次多项式回归模型是一种常用的回归分析方法，可以更好地描述自变量和因变量之间的非线性关系。
通过合理建立模型并进行评估，可以提供准确的预测结果，为实际问题的解决提供支持。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的回归模型，并结合实际情况进行分析和解释。
一元线性回归模型的参数估计实验报告
一元线性回归模型的参数估计实验报告一、实验目的通过实验了解一元线性回归模型，理解线性回归模型的原理，掌握回归系数的计算方法和用途，并运用Excel对一组数据进行一元线性回归分析，并解释拟合结果。
二、实验原理1.一元线性回归模型一元线性回归模型是指只有一个自变量和一个因变量之间存在线性关系，数学为：`Y = β0 + β1X + ε`其中，Y表示因变量的数值，X表示自变量的数值，β0和β1分别是系数，ε表示误差项。
系数是待求的，误差项是不可观测和无法准确计算的。
2.回归系数的计算方法回归系数通常使用最小二乘法进行计算，最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
具体计算方法如下：（1）计算X的平均值和Y的平均值；（2）计算X和Y的样本标准差；（3）计算X和Y的协方差以及相关系数；（4）计算回归系数β1和截距β0；三、实验步骤1.导入实验数据将实验数据导入Excel，并进行清理。
2.绘制散点图在Excel中绘制散点图，判断是否存在线性关系。
3.计算相关系数通过Excel的相关系数函数计算出X和Y的相关系数。
通过Excel的回归分析函数计算出回归方程。
5.分析结果分析回归方程的拟合程度以及回归系数的意义。
四、实验结果1.数据准备通过Excel的回归分析函数，计算出回归系数为β0=1.1145，β1=2.5085，回归方程为`Y=1.1145+2.5085X`，如下图所示：（1）拟合程度：相关系数为0.870492，说明自变量和因变量之间存在一定的线性关系，回归方程的拟合程度较好。
（2）回归系数的意义：截距为1.1145，表示当自变量为0时，因变量的值为1.1145；回归系数为2.5085，表示自变量增加1个单位，因变量会增加2.5085个单位。
一元线性回归模型(计量经济学)
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法，寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析，我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的，不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差，即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度，并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果，并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中，我们将介绍一元线性回归模型，探讨回归分析的基本概念和原理， 了解一元线性回归模型所做的假设，并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧，并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后，我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格，考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势，并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩，考虑 学习时间、背景等因素。
一元二次多项式回归模型
一元二次多项式回归模型一元二次多项式回归模型是一种常用的数据拟合方法，它可以用来描述一个因变量与一个自变量之间的非线性关系。
在实际应用中，我们经常会遇到因变量与自变量之间的关系不是简单的线性关系，而是呈现出一定的曲线形状。
这时，一元二次多项式回归模型就可以派上用场了。
一元二次多项式回归模型的数学表达形式为：y = a + bx + cx^2其中，y为因变量，x为自变量，a、b、c为回归系数。
通过求解回归系数，我们可以得到一条拟合曲线，将自变量x映射到因变量y。
拟合曲线的形状由回归系数决定，可以是抛物线、开口向上或向下的曲线。
在实际应用中，一元二次多项式回归模型可以用来预测和分析各种现象。
例如，在经济学中，我们可以利用一元二次多项式回归模型来描述GDP与时间的关系，从而预测未来的经济发展趋势。
在医学研究中，我们可以利用一元二次多项式回归模型来分析药物剂量与疗效之间的关系，以确定最佳的治疗方案。
为了利用一元二次多项式回归模型进行数据拟合，我们需要先收集一组观测数据。
这些数据包括自变量x和对应的因变量y。
然后，我们可以使用最小二乘法来求解回归系数。
最小二乘法是一种常见的参数估计方法，它通过最小化观测数据与拟合曲线之间的误差平方和来确定回归系数的值。
在求解回归系数之后，我们可以使用一元二次多项式回归模型来进行预测和分析。
例如，我们可以根据回归模型来预测某个特定自变量取值对应的因变量取值，或者分析不同自变量取值对应的因变量取值之间的差异。
同时，我们还可以通过计算回归模型的拟合优度来评估模型的拟合程度，以确定模型的可靠性和适用性。
需要注意的是，一元二次多项式回归模型并不适用于所有情况。
在实际应用中，我们需要根据数据的特点和问题的需求来选择合适的回归模型。
如果数据呈现出其他形状的曲线关系，我们可以考虑使用更高次数的多项式回归模型或其他非线性回归模型。
一元二次多项式回归模型是一种常用的数据拟合方法，可以用来描述因变量与自变量之间的非线性关系。
中级经济师 经济基础 第四部分 统计 第26章 回归分析
第四部分 统计 第26章回归分析一、回归模型1、回归分析回归分析是指根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量之间的依赖关系。
回归分析和相关分析密切相关，具有共同的研究对象，应用中相互补充相关分析需要回归分析来表明现象数量相关的具体形式回归分析需要依靠相关关系表明现象数量变化的相关程度只有变量之间存在高度相关时，回归分析才有意义回归分析与相关分析在研究目的与研究方法上有明显不同相关分析研究变量之间的相关方向和相关程度，不能指出相关关系的具体形式，不能依据一个变量推测另一个变量的变化回归分析研变量之间相互关系的具体形式，对相关关系的变量进行数量的测定，确定一个数学方程式，可从已知推测未知，可用于估算和预测进行回归分析的步骤：首先，确认因变量Y（被预测被解释的变量）和自变量X（用来预测用来解释的变量）2、一元线性回归模型回归模型可以分为医院回归模型和多元回归模型一元线性回归模型是相关系最简单的回归模型一元线性回归模型公式：Y＝β0＋β1X＋ε一元线性回归模型解释：因变量Y是自变量X的线性函数（β0＋β1X）加上误差项 ε一元线性回归方程：E(Y)＝β0＋β1X β0是回归直线截距，β1是直线斜率二、最小二乘法求一元线性回归方程的截距和斜率的估计值如何确定直线：实际观测点与直线之间的距离最小规律与方法：用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤：①把数据列成表格②做散点图③判断是否线性关系④若线性相关，求出系数b，a（一般列出表格，求均值，求距离均值差额，带公式）⑤写出回归线性方程三、模型的检测与预测1、回归模型的拟合效果分析一般情况下，在使用估计回归方程之前，需要对模型进行检验结合经济理论和经验分析回归系数的经济含义是否合理分析估计的模型对数据的拟合效果如何对模型进行假设检验（1）决定系数R²（也称为拟合优度或判定系数），可测度回归模型对样本数据的拟合程度决定系数是回归模型所能解释的因变量总变化的比例，取值【0，1】之间决定系数是一个取值【0，1】之间的比例R²＝1，说明回归直线可以解释因变量的所有变化R²＝0，说明回归直线无法解释因变量的变化，与自变量无关R²越接近1，回归模型拟合效果越好，模型解释因变量的能力越强（2）回归系数的显著性检验——t检验方法（是一种反证法）用t检验方法验证自变量X对因变量Y是否有显著影响。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习70 一元线性回归模型及其应用
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题70 一元线性回归模型及其应用考点知识1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝i＝1n(x i－x)(y i－y)i＝1n(x i－x)2i＝1n(y i－y)2.(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归模型(1)我们将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的经验回归方程，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^x .(2)残差：观测值减去预测值称为残差． 常用结论1．经验回归直线过点(x ，y )．2．求b ^时，常用公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2.3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系是一种非确定性关系．(√)(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(√)(3)经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点．(×) (4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(√) 教材改编题1．在对两个变量x ，y 进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图． 则下列操作顺序正确的是() A ．①②④③B．③②④① C ．②③①④D．②④③① 答案D解析根据回归分析的思想，可知对两个变量x ，y 进行回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对所求的经验回归方程作出解释． 2．对于x ，y 两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r 如下，则线性相关性最强的是()A ．－0.82B ．0.78C ．－0.69D ．0.87 答案D解析由样本相关系数的绝对值|r |越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r ＝0.87的绝对值最大．3．某单位为了了解办公楼用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到经验回归方程y ^＝－2x ＋a ^，当气温为－4℃时，预测用电量约为() A ．68度B ．52度C ．12度D ．28度 答案A解析由表格可知x ＝10，y ＝40，根据经验回归直线必过(x ，y )得a ^＝40＋20＝60，∴经验回归方程为y ^＝－2x ＋60，因此当x ＝－4时，y ^＝68.题型一成对数据的相关性例1(1)(2023·保定模拟)已知两个变量x 和y 之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：根据表格中的数据求得经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则下列说法中正确的是()A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0 答案B解析由已知数据可知y 随着x 的增大而减小，则变量x 和y 之间存在负相关关系，所以b ^<0.又x ＝15×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，y ＝15×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5b ^＋a ^，所以a ^＝1.1－5b ^>0.(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程y ^＝b ^1x ＋a ^1，样本相关系数为r 1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程y ^＝b ^2x ＋a ^2，样本相关系数为r 2.则()A ．0<r 1<r 2<1B ．0<r 2<r 1<1C ．－1<r 1<r 2<0D ．－1<r 2<r 1<0 答案D解析根据相关变量x ，y 的散点图知，变量x ，y 具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值；方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些； 方案二中，剔除离群值，线性相关性强些； 所以样本相关系数－1<r 2<r 1<0. 思维升华 判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b ^>0时，正相关；当b ^<0时，负相关．跟踪训练1(1)某公司2017～2022年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如表所示：根据统计资料，则利润中位数() A．是16，x与y有正相关关系B．是17，x与y有正相关关系C．是17，x与y有负相关关系D．是18，x与y有负相关关系答案B解析由题意知，利润中位数是16＋182＝17，而且随着年利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正相关关系．(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为()A．r1>r2B．r1＝r2C．r1<r2D．不确定答案C解析由散点图可知，用y＝b1ln(k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1|>|r2|；又因为x ，y 负相关，所以－r 1>－r 2，即r 1<r 2. 题型二回归模型命题点1一元线性回归模型例2(2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？参考公式及数据：①b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，②∑i ＝15x i y i ＝0.9，∑i ＝15x 2i ＝0.55.解(1)如图所示．(2)由表格数据可得x ＝15×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，y ＝15×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝0.9－5×0.3×0.50.55－5×0.3×0.3＝1.5， a ^＝y －b ^x ＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故y ^＝1.5x ＋0.05.(3)设利率需上升x 个百分点，由(2)得，0.625×2＝1.5x ＋0.05，解得x ＝0.8， 所以预测利率需上升0.8个百分点． 命题点2非线性回归模型例3(2023·保山模拟)某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i ，u ＝17∑i ＝17u i .(1)根据散点图判断y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据求出y 关于x 的经验回归方程；(3)若该图书每册的售价为9元，则预测至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元(假设能够全部售出)．附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其经验回归方程v ^＝β^ω＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i ＝1n (ωi －ω)(v i －v )i ＝1n(ωi －ω)2，α^＝v －β^ω.解(1)由散点图判断y ＝c ＋d x更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的经验回归方程．(2)先建立y 关于u 的经验回归方程得y ^＝c ^＋d ^u ，由于d ^＝i ＝17(u i －u )(y i －y )i ＝17(u i －u )2＝70.7＝10，故c ^＝y －d ^u ＝3.5－10×0.2＝1.5，所以预测y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.5＋10u ，从而y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.5＋10x.(3)假设印刷x 千册，依据题意得9x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5＋10x x ≥80，解得x ≥12，所以预测至少应该印刷12 000册图书，才能使销售利润不低于80 000元． 思维升华 求经验回归方程的步骤跟踪训练2(2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP 的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x (单位：份)与收入y (单位：元)之间有如下的对应数据：(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y 关于份数x 的经验回归方程； (3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．参考数据公式：∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1380，b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解(1)作出散点图如图所示．(2)由表格数据得，x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求经验回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)当x ＝12时，y ^＝12×6.5＋17.5＝95.5，即外卖份数为12时，预测收入为95.5元． 题型三残差分析例4(1)(多选)下列说法正确的是()A ．在经验回归方程y ^＝－0.85x ＋2.3中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均减少2.3个单位B ．在经验回归方程y ^＝－0.85x ＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25 C ．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D ．若两个变量的决定系数R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 答案BCD解析对于A ，根据经验回归方程，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均减少0.85个单位，故A 错误；对于B ，当解释变量x ＝1时，响应变量y ^＝1.45，则样本点(1,1.2)的残差为－0.25，故B 正确；对于C ，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效果越好，故C 正确；对于D ，由决定系数R 2的意义可知，R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 正确．(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.28x ＋a ^，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则表中m ＝________. 答案1.4解析由题设，1.5－y ^＝1.5－(0.28×5＋a ^)＝－0.06，可得a ^＝0.16.又x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝0.5＋0.6＋1＋m ＋1.55＝3.6＋m 5，所以0.28×3＋0.16＝3.6＋m5， 可得m ＝1.4.思维升华 检验回归模型的拟合效果的两种方法(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． (2)R 2分析：通过公式计算R 2，R 2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差． 跟踪训练3(1)下列命题是真命题的为()A ．经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定不过样本点B ．可以用样本相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱C ．在回归分析中，决定系数R 2＝0.80的模型比决定系数R 2＝0.98的模型拟合的效果要D ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 答案D解析对于A ，经验回归方程不一定经过其样本点，但一定经过(x ，y )，所以A 是假命题；对于B ，由样本相关系数的意义，当|r |越接近0时，表示变量y 与x 之间的线性相关程度越弱，所以B 是假命题；对于C ，用决定系数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，所以C 是假命题；对于D ，由残差的统计学意义知，D 是真命题． (2)两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表：其经验回归方程是y ^＝b ^x ＋40，则相应于点(9,11)的残差为________． 答案－0.2解析因为x ＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，所以8＝10b ^＋40，解得b ^＝－3.2，所以y ^＝－3.2x ＋40，当x ＝9时，y ^＝11.2， 所以残差为11－11.2＝－0.2.课时精练1．下列有关线性回归的说法，不正确的是()A．具有相关关系的两个变量不是因果关系B．散点图能直观地反映数据的相关程度C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D．任一组数据都有经验回归方程答案D解析根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B，C正确；具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确．2．对于样本相关系数，下列说法错误的是()A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数r∈[－1,1]D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强答案D解析样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误．3．(2023·运城模拟)在线性回归模型中，变量x 与y 的一组样本数据对应的点均在直线y ＝12x ＋1上，R 2＝1－i ＝1n(y i －y ^i )2i ＝1n (y i －y )2，则R 2等于() A.14 B.12 C ．1 D.52 答案C解析因为样本数据对应的点均在一条直线上， 所以R 2＝1.4．(多选)某工厂研究某种产品的产量x (单位：吨)与所需某种材料y (单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集4组数据如表所示．根据表中数据可得经验回归方程为y ^＝0.7x ＋a ^，则下列四个说法中正确的为()A.变量x 与y 正相关 B ．y 与x 的样本相关系数r <0C.a ^＝0.35D ．当产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨 答案ACD解析因为经验回归方程y ^＝0.7x ＋a ^， 所以变量x 与y 呈正相关，所以样本相关系数r >0，故A 正确，B 错误； 由表格可得x ＝3＋4＋6＋74＝5，y ＝2.5＋3＋4＋5.94＝3.85， 则0.7×5＋a ^＝3.85，解得a ^＝0.35，故C 正确；所以经验回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，当x ＝8时，y ^＝0.7×8＋0.35＝5.95，即产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨，故D 正确．5．(多选)(2023·唐山模拟)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高(单位：cm)和臂展(单位：cm)进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示．已知这10名志愿者身高的平均值为176 cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的经验回归方程为u ^＝1.2v －34，则下列结论正确的是()A ．这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C ．这10名志愿者臂展的平均值为176.2 cmD ．根据经验回归方程可估计身高为160 cm 的人的臂展为158 cm 答案AD解析对于选项A ，因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确； 对于选项B ，因为1.2>0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 错误；对于选项C ，因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176－34＝177.2(cm)，故C 错误；对于选项D ，若一个人的身高为160 cm ，则由经验回归方程u ^＝1.2v －34，可得这个人的臂展的估计值为158 cm ，故D 正确．6．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且y ^＝0.8x ＋a ^，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为()A.－0.96B ．－0.8C ．0.8D ．0.96 答案C解析由题意可知，x ＝21＋23＋25＋274＝24，y ＝15＋18＋19＋204＝18，将(24,18)代入y ^＝0.8x ＋a ^，即18＝0.8×24＋a ^，解得a ^＝－1.2，所以y ^＝0.8x －1.2，当x ＝30时，y ^＝0.8×30－1.2＝22.8， 所以该数据的残差为23.6－22.8＝0.8.7．某智能机器人的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如表所示：根据此表可得经验回归方程为y ^＝5x ＋a ^，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为________万元． 答案57解析由表格，得x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝28＋31＋41＋484＝37， 所以37＝5×4＋a ^，即a ^＝17，所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8＋17＝57(万元)．8．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝2e 2x ＋1的图象附近，设z ＝ln y ，将其变换后得到经验回归方程为z ＝mx ＋n ，则mn ＝________. 答案2ln2＋2解析由z ＝ln y ，则ln y ＝ln2e 2x ＋1，即z ＝ln2＋lne 2x ＋1＝ln2＋2x ＋1，则z ＝2x ＋ln2＋1，故m ＝2，n ＝ln2＋1，所以mn ＝2ln2＋2.9．假设关于某种设备的使用年限x (单位：年)与所支出的维修费用y (单位：万元)有如下统计资料：已知∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15y 2i ≈140.8，∑i ＝15x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4.(1)求x ，y ；(2)计算y 与x 的样本相关系数r (精确到0.001)，并判断该设备的使用年限与所支出的维修费用的相关程度．附：样本相关系数r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y (∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2).解(1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.0.(2)∑i ＝15x i y i －5x y ＝112.3－5×4×5＝12.3，∑i ＝15x 2i －5x 2＝90－5×42＝10，∑i ＝15y 2i －5y2≈140.8－5×52＝15.8，所以r ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2∑i ＝15y 2i －5y2≈12.310×15.8＝12.32×79≈12.31.4×8.9≈0.987，r 接近1，说明该设备的使用年限与所支出的维修费用之间具有很高的相关性． 10．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据：并计算得∑10i ＝1x 2i ＝0.038，∑10i ＝1y 2i ＝1.6158，∑10i ＝1x i y i ＝0.2474. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：样本相关系数r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y (∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)，1.896≈1.377.解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x ＝0.610＝0.06(m 2)，样本中10棵这种树木的材积量的平均值y ＝3.910＝0.39(m 3)， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m 2，平均一棵的材积量为0.39 m 3.(2)r＝∑i＝110xiyi－10x y(∑i＝110x2i－10x2)(∑i＝110y2i－10y2)＝0.2474－10×0.06×0.39 (0.038－10×0.062)×(1.6158－10×0.392)＝0.01340.0001896≈0.01340.01377≈0.97.(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39＝186Y，解得Y＝1209.则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.11．(多选)针对某疾病，各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y 关于x的经验回归方程为y^＝6x2＋a^，则下列说法正确的是()A.a^＝4B.a^＝－8C ．此回归模型第4周的残差为5D ．估计第6周治愈人数为220 答案BC解析设t ＝x 2，则y ^＝6t ＋a ^，由已知得t ＝15×(1＋4＋9＋16＋25)＝11，y ＝15×(2＋17＋36＋93＋142)＝58，所以a ^＝58－6×11＝－8，故A 错误，B 正确； 在y ^＝6x 2－8中，令x ＝4， 得y ^4＝6×42－8＝88，所以此回归模型第4周的残差为y 4－y ^4＝93－88＝5，故C 正确； 在y ^＝6x 2－8中，令x ＝6， 得y ^6＝6×62－8＝208，故D 错误．12．2020年，全球开展了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：并求得y 与x 的经验回归方程为y ^＝0.011x ＋a ^，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N ；注射疫苗后仍被感染的人数记为n ，则估计该疫苗的有效率为________．(疫苗的有效率为1－n N，结果保留3位有效数字) 答案0.818解析 由表格中的数据可得x ＝500，y ＝5，故a ^＝5－0.011×500＝－0.5，故N ＝0.011×10 000－0.5＝110－0.5＝109.5≈110，而n ＝20，故疫苗的有效率为1－20110≈0.818.13．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 7，y 7)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，7)都在曲线y ＝a ln(x －1895)＋12.15附近波动，经计算i ＝17(x i －1895)＝210.77，i ＝17y i ＝73.50，i ＝17ln(x i －1895)＝23.10，则实数a 等于()A ．－0.5B ．0.5C ．－1D ．1 答案A解析因为17i ＝17ln(x i －1895)＝23.107＝3.3，17i ＝17y i ＝73.507＝10.5，所以10.5＝3.3a ＋12.15，解得a ＝－0.5.14．(多选)已知由样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)组成的一个样本，得到经验回归方程为y ^＝2x －0.4，且x ＝2，去除两个歧义点(－2,1)和(2，－1)后，得到新的经验回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是() A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除两个歧义点后，新样本中变量x j (j ＝1,2，…，8)的平均值变大C ．去除两个歧义点后的经验回归方程为y ^1＝3x －3 D ．去除两个歧义点后，样本数据(4,8.9)的残差为0.1 答案ABC解析对于A ，因为经验回归直线的斜率大于0，所以相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；对于B ，将x ＝2代入y ^＝2x －0.4得y ＝3.6，则去除两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为X ＝2×10－(－2＋2)8＝52，Y ＝3.6×10－(1－1)8＝92，故B 正确；对于C ，a ^＝92－3×52＝－3，新的经验回归方程为y ^1＝3x －3，故C 正确；对于D ，当x ＝4时，y ^1＝3×4－3＝9，残差为8.9－9＝－0.1，故D 错误．。
linest函数 一元二次函数相关系数
linest函数一元二次函数相关系数线性回归是统计学中的一种方法，用于建立一个变量与一个或多个自变量之间的关系。
具体而言，一元线性回归是指建立一个因变量与一个自变量之间的线性关系的模型。
在进行一元线性回归时，我们可以使用线性方程y = mx + b来表示因变量y与自变量x之间的关系，其中m和b分别表示斜率和截距。
然而，在一些情况下，使用一元线性回归可能无法很好地描述因变量与自变量之间的关系。
例如，当因变量和自变量之间的关系不是线性的，而是二次的时候，我们可以使用一元二次函数来建立它们之间的关系。
一元二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别是二次项、一次项和常数项的系数。
在一元二次函数中，二次项的系数a决定了抛物线的开口方向和形状，一次项的系数b决定了抛物线在x轴上的位置，常数项的系数c则是抛物线的纵坐标截距。
为了确定一元二次函数的相关系数，我们需要使用线性回归的方法。
具体而言，我们可以使用最小二乘法来拟合一元二次函数。
最小二乘法的目标是使所有观测点到拟合曲线的距离之和最小化。
拟合一元二次函数的过程与拟合一元线性函数类似。
我们首先收集一组包含自变量x和因变量y的数据点。
然后，通过最小二乘法求解出一元二次函数的系数。
最后，我们可以使用这些系数来预测因变量y的值。
确定一元二次函数的相关系数可以帮助我们量化因变量与自变量之间的关系。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和R-squared。
皮尔逊相关系数是一种衡量两个变量之间线性关系强度的统计量。
它的值介于-1和1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示没有线性相关性。
在拟合一元二次函数时，皮尔逊相关系数可以告诉我们因变量y与自变量x之间的线性关系的强度。
R-squared是另一种衡量因变量与自变量之间关系强度的统计量。
它的值介于0和1之间，其中1表示因变量的变化完全由自变量解释，0表示因变量的变化无法由自变量解释。
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一元二次回归模型拟合方法
一、一元线性回归模型引入
从简单的一元线性回归开始。
这里，我们以房屋面积（x）与房屋价格（y）为例，显而易见，二者是一种线性关系，房屋价格正比于房屋面积，我们假设比例为w：
y ^ = w ∗ x \hat{y} = w * x y^=w∗x
然而，这种线性方程一定是过原点的，即当x为0时，y也一定为0。
这可能并不符合现实中某些场景。
为了能够让方程具有更广泛的适应性，我们这里再增加一个截距，设为b，即之前的方程变为：y ^ = w ∗ x + b \hat{y} = w * x + b y^=w∗x+b
而以上方程，就是我们数据建模的模型。
方程中的w与b，就是模型的参数。
假定数据集如下：
线性回归是用来解释自变量与因变量之间的关系，但是，这种关系并非严格的函数映射关系。
从数据集中，我们也看到了这一点。
相同面积的房屋，价格并不完全相同，但是，也不会相差过大。
二、下一步目的，去学习（确定）w与b的值
我们现在的目的就是，从现有的数据（经验）中，去学习（确定）w与b的值。
一旦w与b的值确定，我们就能够确定拟合数据的线性方程，这样就可以对未知的数据x（房屋面积）进行预测y（房屋价格）。
1. 引入权重
eg. 房屋价格会随着房屋面积改变而改变，也符合常规认识，我们认为房屋面积越大，房屋价格越高。
对于这种线性关系，接下来我们就可以去建立这个函数的模型。
对于这个线性的模型，可以表示为x y 之间有一定的比例。
这个时候我们可以建立这样的关系，建立这样的模型。
模型就是一个映射，一个函数，通过历史数据，建立一个模型，一个函数。
Y = f(x) ，法则，成比例，法则我们不知道，可以先预设出来，用w表示比例，表示法则，W*x；W表示我们这个x的比例关系，W ：weight 权重
应用的房屋价格这个例子：Y就是房屋的价格， x就是面积，所以可以把比例认为是房屋的单价；单价不知道，应该从我们数据集中求出来，因为模型要靠历史数据集建立出来。
值是多少不知道，我们需要传递历史数据集
我们要把W学出来，y=100*x，学出来后，对于未知的x，我们也能够进行求y。
咱们就能够建立这样的模型：
y = w ∗ x y = w*xy=w∗x
注意：预测的我们一般用 y_hat ，y上面有帽子，预测值 y_hat；而y通常表示我们真实的数据。
我们有一个小小的疑问：有一点不足的地方：
这个模型建立起来了，不管w取什么 y一定过原点。
所以引入偏置b (bias)
举例打车
eg. 打车
打车有一个里程，里程和价格也是有一种固定的比例，这个线性的关系：
Y随着里程的变化而变化；
W可以看成每公里的价格；
但是打车有一个起步价，所以很多场景中，模型不一定过原地，我们可以在后面加上一个偏置b，如果线过原点， b为0就行了。
这样我们就能把线性回归更通用的模型建立起来了。
房屋的取暖费
eg. 房屋的取暖费也有起步价，而不是简单的房屋的面积和最终价格。
y ^ = w ∗ x + b \hat{y} = w*x + b
y^=w∗x+b
通过历史数据的训练，w和b就能学出来了，以后遇到未知的数据，也能学出来了。
这就体现了预测。
2. 引入噪声
有一个重要的概念噪声。
因为在我们真实的场景中，不见得数据都是线性关系，可能和真实场景有偏差。
也就是不是严格函数的映射关系；换一种说法：是一种线性，但不是完全的函数式线性关系。
eg. 跳远 Y = f(x)
Y 跳远的距离X 同学只要是同一个同学，跳远距离能相同吗？
当然做不到。
X 相同 y不一定相同。
但是偏差也不会太大，不会特别明显。
三、从回归分析到线性回归
1. 回归分析
回归分析是用来评估变量之间关系的统计过程。
用来解释自变量X与因变量Y的关系。
即当自变量X发生改变时，因变量Y会如何发生改变。
自变量，因变量是 x ， y；建立这样的映射关系
用来解释自变量x与因变量y的关系
2. 线性回归
回归分析的一种，评估自变量X与因变量Y之间是一种线性关系。
当只有一个自变量时，称为一元线性回归，当具有多个自变量时，称为多元线性回归。
线性关系的理解，2个点：
画出来的图像是直的。
每个自变量的最高次项为1。
线性回归，是一种特殊的回归分析；特殊之处在于： x y 之间是线性关系
eg. y = 2x + 1
几个特点：图像是直的，最高次项是1；换个角度讲，只有1次方不弯。
y=f(x)，X其实是一个向量，它含有很多值，x1 x2 x3 x4…，
可以有很多个
eg. 身高，体重等等；每一个都是x值
线性回归还可以根据x的数量进行划分为：
X只有1个的：即是一元线性回归（一元就是一个自变量）
X如果有很多个的：即是多元线性回归
四. 拟合
Fitting
Fit
拟合，是指构建一种算法（数学函数），使得该算法能够符合真实的数据。
从机器学习角度讲，线性回归就是要构建一个线性函数，使得该函数与目标值之间的拟合性最好。
从空间的角度来看，就是要让函数的直线（面），尽可能穿过空间中的数据点。
线性回归会输出一个连续值。
解释拟合：
从空间角度来说，这些真实点都不一定在这条线上，而是尽可能靠近，穿过。
这是二维的，不一定都是二维有可能是三维，如3个轴的体。
什么是拟合？
函数的输出值，就要尽可能和真实值进行匹配；Y有一系列值，Y尽可能靠近真实值，尽可能去切合真实值，这个过程，就是拟合过程。
引入，对于一个目标的数据，要产生一个模型，一个算法，一个函数不是一个匹配就完事了，只预测一个不行；拟合，不是完全能和真实值一致。