简并定态微扰论
简并定态微扰论
En
E (0) n
En (1)
2En(2)
L
（5.2.5）
cnv
c(0) nv
c(1) nv
Hale Waihona Puke c2 (2 nv)L
（5.2.6）
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入（5.2.4）式有：
Em(0) (cm(0u)
cm(1u)
v
（5.2.12）
5.2 简并定态微扰论
为书写方便，记同一能级En(0)中，不同简并态 u, v 之间
的矩阵元 Hm u,nv 为 Hu,v ，则上式可写为：
fn
(Huv En(1)uv )av 0
v 1
（5.2.13）
上式是一个以系数 av为未知数的线性方程组，它有非
零解的条件为：
(0) nv
E
c (0) nv nv
（5.2.3）
nv
nv
nv
5.2 简并定态微扰论
以
( 0 )* mu
左乘上式，对全空间积分后，有
Em(0)cm cnv Hm u,nv Ecm
mu
其中
Hm u,nv
(0) mu
|
Hˆ
|
(0) nv
（5.2.4）
按照微扰论的精神，将Hˆ 的本征值和在Hˆ 0表象中的本
在非简并情况下由一级微扰确定一级波函数和能量修正二级微扰来确定二级波函数和能量修正但在简并微扰情况下由一级微扰确定零级近似波函数和一级能量修正二级微扰确定一级近似波函数和二级能量修正
8.3 量子力学简并微扰论
§8.3 简并态微扰理论
一、教学目标
得 四 元一次线性方程组
∑ α
=1
k
( 1) ′ − En ( H βα ν δ βα )cαν = 0
β = 1,2,Lk
⎧ (1) 0 + 0=0 ⎪ − E 2 c1 − 3 e ε a 0 c 2 + ⎪ ⎪ ⎪ − 3 eε a c − E ( 1 ) c + 0 + 0=0 0 1 2 2 ⎨ ⎪ (1) ⎪ 0 + 0 − E2 c3 + 0 = 0 ⎪ (1) ⎪ 0 + 0 − E2 c4 = 0 ⎩ 0 +
|ψn
(0)>
已是正交归一化
(0) |ψ n >= ∑ cα | nα >
k
k
ˆ ( 0 ) − E ( 0 ) ] | ψ ( 1 ) >= − [ H ˆ ′ − E (1) ] [H ∑ cα | n α > n n n
α =1
左乘 <n β | 得： Nhomakorabea=E
(1) n
ˆ ( 0 ) − E ( 0 ) ] | ψ (1) >= E < nβ | [ H n n
E2(1) = E21 (1) = 3eεa0 代入上面方程，得：
⎧ ⎪c1 = − c2 ⎨ ⎪ ⎩c3 = c4 = 0
所以相应于能级 E2(0) + 3eεa0 的 0 级近似波函数是：
量子力学第五章微扰理论
c1(0) (0) c2 0 （４） (0) c k
有非零解的条件是系数行列式等于零。
H '11 En(1) H '12 H ' 21 H ' 22 En(1) H ' k1 H 'k 2
H '1k H '2k
' H kk En(1)
ˆ ˆ H li l* H i d
( ˆ ( i En1)li )Ci(0) 0 i
（3）
14
写成矩阵形式:
H '11 En(1) H '12 ' ' (1) H 22 En H 21 H' H 'k 2 k1
' H 2k ' (1) H kk En H '1k
( 0)
5 利用 E
( 2) n
′ ′ | H nm |2 = ∑ ( 0) ( 0 ) 求能级的二级近似 En Em m
12
5.2 简并情况下的微扰理论
( En0) 是 k 度简并的，则有 k 个本征函数 1 , 2 ,k 若
满足方程
( ˆ H (0)i En0)i
(i 1, 2,k )
(1６)
代入（9）式得
l
E (0) a (1) (0) E (0)
l l l n
l
a (1) (0) E (1) (0) H (0) ˆ l l n n n
( 以 m0)* (m n) 左乘，并积分，并注意 l(0) 的正交归一
( 性 m0)* l( 0) d ml 得到：
量子力学基础简答题(经典)
量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22∙是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
量子力学简答题题库 (1)
处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？ 在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原 子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称 为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂 为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿 算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学 量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。 （1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述； （2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程； （3）力学量由相应的线性算符表示； （4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直 角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条 件决定。 （5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色 子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简 并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。 答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置 与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源 于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有 两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级
修正公式
1简单并和非简单并定态的微扰理论
微扰理论是物理上最重要的框架，用来研究量子多体系统的结构和性质。
简单和非简单并定态的微扰理论是用来描述不可能的多原子系统的极端的应用。
它们的重要性在于能够提供一条整合多种量子效应的清楚的理论框架。
2简单并和非简单并定态微扰统一理论
简单并和非简单并定态的微扰理论是一个统一理论，用来描述在量子多体系统中发生的各种效应。
它使用一般的有效势来说明系统的性质，并预测结果。
它也包含有第一性原理，基准状态，以及不同形式的高阶内部势。
简单并和非简单并定态的微扰理论通过集中许多低能量的可解象的状态而形成的，认为它能够获得较低的能量，而且也能够提供更精确的描述。
3能量二级修正公式
能量二级修正公式是根据简单并和非简单并定态微扰理论建立起来的公式。
它使用一系列数学符号来表示量子系统的位置和力应力，以及它们之间的关系。
它的核心是一种叫做单自由维度的方法，用来对多体系统的有效势进行无穷展开，从而发现能量级修正的效应。
经
过此种修正，结果可以优化到更高的能量水平，从而更好地描述多原子系统的性质。
4结论
简单并和非简单并定态的微扰理论和能量二级修正公式是用来描述量子多体系统的重要框架。
它们统一了许多量子效应，提供了较低的能量水平，以及更可靠的结果。
它们对于更好地描述和预测多体系统的性质至关重要。
多体系统中的微扰理论简介
多体系统中的微扰理论简介引言：多体系统是指由多个粒子组成的系统，其中每个粒子都与其他粒子相互作用。
研究多体系统的行为和性质是理论物理学的重要课题之一。
微扰理论是一种常用的方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
本文将简要介绍多体系统中的微扰理论。
一、微扰理论的基本思想微扰理论是一种近似方法，通过将系统的哈密顿量分解为一个已知的简单系统和一个微小的扰动，来研究系统的性质。
基本思想是将扰动项视为小量，通过级数展开的方式求解。
微扰理论在量子力学、统计物理学等领域有广泛应用。
二、微扰理论的形式表达微扰理论的形式表达通常采用级数展开的形式，可以通过求解一系列的微扰项来逐步逼近真实的系统。
一般而言，微扰理论可以分为非简并微扰理论和简并微扰理论两种情况。
1. 非简并微扰理论非简并微扰理论适用于系统的能级不发生简并的情况。
在这种情况下，通过将扰动项加入到系统的哈密顿量中，可以得到一系列的修正能级。
通过逐阶计算修正能级，可以得到系统的能级结构的近似解。
2. 简并微扰理论简并微扰理论适用于系统的能级发生简并的情况。
在这种情况下，需要通过对简并子空间进行对角化来求解系统的能级结构。
简并微扰理论中，还存在一阶微扰和高阶微扰的概念，通过求解一系列的微扰项，可以得到系统能级的修正。
三、微扰理论的应用微扰理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 量子力学中的微扰理论微扰理论在量子力学中有广泛应用，用于求解各种系统的能级结构。
例如，氢原子中电子的自旋-轨道耦合问题可以通过微扰理论求解。
2. 统计物理学中的微扰理论统计物理学中的微扰理论可以用于求解复杂系统的平均性质。
例如，通过微扰理论可以计算气体的压强、磁化率等宏观性质。
3. 固体物理学中的微扰理论微扰理论在固体物理学中也有重要应用。
例如，可以通过微扰理论来计算固体中电子的能带结构和输运性质。
结论：微扰理论是一种重要的近似方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
量子力学讲义V. 定态微扰论
V. 定态微扰论1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。
答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。
For personal use only in study and research; not for commercial use2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值．答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。
已知。
则正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？For personal use only in study and research; not for commercial use答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解．4.一维谐振子，其能量算符为 (1)设此谐振子受到微扰作用(2)试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。
解：的本征函数、本征值记为。
如众所周知（3）在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为（4）因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：（5）（6）按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为：（7）（8）（9）本题显然可以精确求解，因为令可以写成（10）和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为（11）因为，将作二项式展开，即得：（12）和微扰论结果完全一致。
5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．)解：加电场前，基态波函数为，（波尔半径）（1）满足能量方程（2）其中视外电场为微扰，微扰作势为（3）由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0，(4)波函数的一级微扰修正满足方程（5）除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成(6)代入（5）式，并计及其中由式（5）可得满足的方程（7）为边界条件为处，。
定态微扰论的适用条件 -回复
定态微扰论的适用条件-回复定态微扰论是一种重要的量子力学近似方法，用于求解被微弱扰动影响的量子力学系统的能级和态。
它的适用条件如下：1. 系统处于定态：定态微扰论仅适用于系统在初始态和微扰作用下的定态情况。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
2. 微扰小：定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
一般来说，微扰项的大小要远小于系统的能级间隔，以保证微扰对系统的影响较小。
3. 系统的能级简并度：定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
这是因为微扰作用可以导致能级的分裂，从而使得简并态之间的能级差不再相同。
在满足以上条件的情况下，可以使用定态微扰论来计算系统的能级修正和态的变化。
下面将逐步回答关于定态微扰论适用条件的问题。
首先，定态微扰论适用于求解处于定态的系统。
对于处于定态的系统，其时间演化满足薛定谔方程，可以用定态波函数进行描述。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
其次，定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
我们假设系统的哈密顿量为H0，微扰作用为V。
微扰的大小一般用微扰参数λ来表示，即V/（H0+V）。
在定态微扰论中，我们希望微扰对系统的影响较小，即λ≪1。
这样我们可以将系统的哈密顿量拆分为两部分：H0+V0和V，其中H0+V0作为未受微扰的哈密顿量，V作为微扰项。
可以通过H0+V0的解析求解方法来求解未受微扰的系统，并利用微扰项V计算能级的修正和态的变化。
最后，定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
在无微扰作用时，这些量子态之间是完全简并的。
但是当微扰作用加入后，能级简并会被打破，简并态之间的能级差不再相同。
定态微扰论的目的就是计算能级简并态之间的能级修正，以及得到微扰后的简并态。
对于不存在能级简并的系统，定态微扰论通常不适用。
量子力学基础简答题(经典)
量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化解释各项的几率意义。
6、何为束缚态7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么 12、两个对易的力学量是否一定同时确定为什么 13、测不准关系是否与表象有关14、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
第17、18讲非简并微扰论与简并微扰论
2.常微扰。
§5.2 非简并定态微扰理论
（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
（一）微扰体系方程
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运 行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰 方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于 其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下， 计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统， 求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生 的变化。
(0) (1) ( 2) (0) (1) ( 2) ( En E n 2 E n )(| n | n 2 | n )
乘开得：
2 3
ˆ (0) | (0) H n (0) (1) (1) (0) ˆ ˆ [ H | n H | n ] 2 ˆ (0) | ( 2) H ˆ (1) | (1) ] [H n n [] 3
(1) kn
(0) n
|
(0) k
a
(1) kn
*
(1)
(0) k
|
(1)
(0) n
]
2
(1) (1) 1 [a kn nk a kn * kn ] 2 1 [a nn a nn *]
由于 归一， 所以
(1) ( 1) (1) (1) (1) [ann ann *] 0 0 [ann ann *] 0 Re [ ann ] 0
an
用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.
学号：14081601101毕业论文题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应作者届别2012学院物理与电子学院专业物理学指导老师职称教授完成时间2012年5月摘要本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。
这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。
关键词：氢原子；简并；斯塔克效应AbstractThis thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines.Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect目录摘要...............................................................................................I I Abstract............................................................................................I II 目录 (IV)第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2选题的意义 (1)1.3本文主要研究内容 (1)第二章氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍 (2)第三章氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算 (4)第四章氢原子n=3的二级斯塔克效应的计算 (7)第五章结果分析 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第一章绪论1.1引言对于能量本征值E有多个能量本征函数称为简并，只有一个独立的解称为不简并。
定态微扰论的适用条件 -回复
定态微扰论的适用条件-回复题目：定态微扰论的适用条件导言：定态微扰论是量子力学中的一种重要方法，用来计算已知粒子的哈密顿量的微小改变对其能级和波函数的影响。
它在解决简洁系统的问题上表现出很大的优势，但在某些情况下并不适用。
本文将从定态微扰论的基本原理、适用条件以及特殊情况下的处理方法等方面进行论述。
一、定态微扰论的基本原理定态微扰论是建立在量子力学哈密顿量的微小改变下研究系统能级和波函数的一种近似方法。
其基本原理可以概括为以下步骤：1. 将整个系统的哈密顿量H0按照重要程度分解为H0=H0'+V0，其中H0'为系统的主要哈密顿量，V0为微小的扰动哈密顿量。
2. 先求解主要哈密顿量H0'的本征值问题，得到本征态和对应的能级。
3. 将微小扰动哈密顿量V0加入，并将其视为微小摄动。
4. 利用微扰展开将含有微小摄动的哈密顿量进行级数展开，然后利用叠加原理计算能量和波函数的修正。
5. 根据一定的截断条件对展开后的级数进行截断，得到一阶微扰项或更高阶微扰项，并计算修正后的能量和波函数。
二、定态微扰论的适用条件定态微扰论在解决某些简洁系统的问题上非常有效，但也存在适用条件。
以下列举了几个定态微扰论适用的典型情况：1. 扰动哈密顿量V0足够小：当微小摄动V0的影响远小于主哈密顿量H0'本身时，定态微扰论才适用。
这要求扰动项V0在矩阵元上的取值较小。
2. 系统的本征态可展开为主哈密顿量H0'的本征态：对于复杂的系统，在微扰项V0下，系统的本征态是否仍然可以展开为主哈密顿量的本征态是定态微扰论能否适用的关键。
3. 系统的本征态具有简单的能级分布：当主哈密顿量的能级简单且能级的跃迁关系较少时，定态微扰论更容易求解。
三、特殊情况下的处理方法虽然定态微扰论在很多情况下都适用，但也有一些特殊的情况需要采用其他方法来求解。
以下是两种常见的特殊情况及对应的处理方法：1. 近简并情况：当扰动项引起系统出现能级近似相等的情况时，定态微扰论无法直接应用。
第六章 量子力学微扰理论与近似方法
102第六章 近似计算方法§6.1 微扰理论 一、非简并定态微扰论 1、定态微扰论的主要思想在量子力学中，当体系的哈密顿算符不显含时间时，属于定态问题，通过解其基本方程：ˆn n nH E Ψ=Ψ 可以求出Hˆ的本征值和本征函数。
如果H ˆ比较复杂，但是如果H ˆ可以写成两部分： H H H ˆˆˆ0′+= （0ˆH 和H ′ˆ都不显含时间），而且满足下列条件：（1）0ˆH 的本征方程：(0)(0)(0)0ˆnn n H E ψψ= 可以精确求解，即n ε和n Φ是已知的。
（2）0ˆH 和H ′ˆ的差别很大，或者说H ′ˆ很小，可以看作0ˆH 的基础上加一个小的微扰H ′ˆ，故H′ˆ称为微扰项。
这样，我们就可以通过微扰理论来近似求解。
(0)(1)(2)n n n n E E E E =+++ (0)(1)(2)n n n n ψψψψ=+++2、定态微扰计算假设微扰时体系的能量是哈密顿算符0ˆH 的第n 个本征值(0)nE ，这个本征值无简并，即体系于定态(0)n ψ。
当体系受到一个与时间无关的微扰H ˆ′作用时，它将处于一个新的能级nE 和状态n Ψ。
n E 和n Ψ是H H H ˆˆˆ0′+=的本征值和本征函数.即满足： ˆn n nH E Ψ=Ψ 微扰论的主要思想：H ˆ′代表一个微小的扰动，那么我们就有理由认为n E 和(0)n E 相差不多，nΨ和(0)n ψ也十分接近。
（1）、非简并能量的一级修正在非简并微扰情况下，由一级微扰确定一级近似波函数和一级能量修正103010010ˆˆn n n nE E H H Ψ′+Ψ=Ψ′+Ψ 两边左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得：()()()()()()()()τττd H d E d E H n n n n n n n n ∫∫∫Ψ′Ψ−ΨΨ=Ψ−Ψ0*00*01100*0ˆˆ 注意到0ˆH 是厄密算符，所以有： ()()()()()()[]0*ˆˆ0001100*0=Ψ−Ψ=Ψ−Ψ∫∫ττd E H d E H n n n n n n 从而得到()()()τd H E nn n 0*01ˆΨ′Ψ=∫ 即()n H n E n′=1 （2）、非简并能量的二级修正令()()()001l ll n a Ψ=Ψ∑得：000ˆˆn n n n nE E E H H Ψ′′+Ψ′′+Ψ′′=Ψ′′+Ψ′′ ()()()()()()()001010010ˆnn n ll l n l l llH E a E a EΨ′−Ψ=Ψ−Ψ∑∑ 将()()n m m ≠Ψ*0左乘上式两边后，对整个空间积分，所以有()()()()mn n m ml ll n ml l lH d H a E a H ′−=Ψ′Ψ−=−∫∑∑τδδ0*01010ˆˆ 其中()()ml l m d δτ=ΨΨ∫0*()()mnm l n H a E E ′=−100 ()01mn mnm E E H a −′=()()0001m mn mn n E E H Ψ−′=Ψ∑左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得104()()()()()()()2111200*0ˆn nl ll n nl ll n n n E a E H a d E H ++′−=Ψ−Ψ∑∑∫δτ 当n l ≠时，利用0ˆH 的厄密性可得 ()∑∑−′=′=ll n nlnlll n E E H H a E 022即()∑−′′=ll n n E E l H n l Hn E 02ˆ（3）、非简并波函数的一级修正(1)'(0)(0)(0)mn n m mn mH E E ψψ′=−∑ 二、简并定态微扰论 1、简并的处理 （1）问题假设(0)n E 是k 度简并的，0ˆH 属于本征值(0)n E 的本征函数有k 个: k φφφ,,,21 ，且它们已经是相互正交的。
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式定态微扰理论是量子力学中的一种方法，用于计算一个系统在加入微弱扰动后的能量和波函数的变化。
该理论可以分为简并和非简并两种情况。
在简并情况下，系统具有多个能量本征态对应于相同的能量值，而在非简并情况下，每个能量本征态都对应于一个唯一的能量值。
对于简并情况下的定态微扰，我们可以使用微扰能量的二级修正公式来计算能量的修正。
假设系统的哈密顿量可以分解为一个无微扰部分H0和一个微弱扰动V，那么系统的总的哈密顿量可以写为H=H0+λV，其中λ是微扰的强度参数。
简并情况的定态微扰理论包括以下步骤：1.通过求解无微扰哈密顿量H0的本征值问题，得到H0的能量本征值和能量本征态。
2.将微扰哈密顿量V加入，并求解H=H0+λV的本征值问题，得到一阶微扰能量E^(1)和能量本征态。
3.计算一阶微扰能量E^(1)对应的一阶微扰修正本征矢量：ψ^(1)=Σ(，n><n，V，ψ^(0)>)/(E^(0)-E^(n))其中，n>表示无微扰能量本征态，ψ^(0)>表示无微扰波函数。
4.计算二阶微扰修正能量E^(2)：E^(2)=Σ(，ψ^(1)><ψ^(1)，H，ψ^(0)>)/(E^(0)-E^(n))其中，ψ^(1)>表示一阶微扰修正本征矢量，H是总哈密顿量。
5.总的能量修正为E=E^(0)+E^(1)+E^(2)。
对于非简并情况下的定态微扰，可以使用非简并微扰理论来计算能量的修正。
非简并情况下定态微扰的步骤如下：1.求解无微扰哈密顿量H0的本征值问题，得到H0的能量本征值和能量本征态。
2.计算一阶能量修正：E^(1)=Σ(，<n，V，m>，^2)/(E^(0)n-E^(0)m)其中，n>和，m>表示无微扰的能态，V是微扰哈密顿量。
3.总的能量修正为E=E^(0)+E^(1)。
总的来说，简并和非简并定态微扰统一理论提供了一种计算系统在微弱扰动下能量和波函数的修正的方法。
量子力学中微扰理论的简单论述论文
量子力学中微扰理论的简单论述论文量子力学中微扰理论的简单论述摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。
因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。
常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。
对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。
关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论目录1 非简并定态微扰论 (1)2 简并定态微扰论 (8)2.1理论简述： (8)2.2简并定态微扰论的讨论 (10)(11)11v .. . ..0 引言微扰理论是量子力学的重要的理论。
对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。
我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。
这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。
应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。
当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。
基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。
假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。
这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。
微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。
不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。
1 非简并定态微扰论1.1 理论简述近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。
简并态的定态微扰理论
全消除简并，否则需将 2 P0VP1
1
E (0) D
H0
P1VP0
作为微扰，进一步用简并法求其修正。
归纳之，简并态的微扰法为： 1）对简并态的微扰态构造相应的微扰矩阵 2）解久期方程，即对角化微扰矩阵。久期方程本征
值为一阶能量修正，本征解为λ0的零阶本征矢 3）对高阶微扰使用等同于非简并的微扰理论表达式，
§5.2 简并态的定态微扰理论
未微扰态简并时，原微扰公式:
不能用，原因是1)出现分母=0情形；2)零阶态矢可为简并 态的叠加。
若取使Vnn’（n与n’简并）为零的初始态，则上述表达式有 可能仍有用。
设有g度简并态{|m(0)>},其展开的子空间为D。D中的态可 一般地写为：
记P0为投影到D的投影算符,P1=1-P0则是投影到其他态矢 组成的子空间部分的算符.本征方程可写为
[P0|l(1)>+P1|l(1)>]即为完整的一阶态矢修正。 2阶能量修正：
(2) li
l(0)
i
V
l (1)
i
l(0)
i
V
P1li(1)
l (0)
i
V
P0li(1)
2
l(0)
i
V
P1li(1)
Vkli
kD
[ ED( 0 )
E(0) k
]
形式与非简并情形类似,但求和限于D外的子空间
上述一阶波函数和二阶能级修正成立的条件是微扰完
1 a03
AS1 S2;
A 5.6me [( e )2 mp mec
1 2a03 ]
氢原子基态分裂：A
2
5.6me mp
[( e )2 mec
求解定态薛定谔方程的定态微扰论和变分法
定态微扰论和变分法量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程的定态微扰论和变分法，讨论定态波函数。
除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解，这样近似方法在量子力学中就显得十分重要。
主要介绍两种应用最广的近似方法：微扰论和变分法。
微扰论是各种近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部分，是本章学习的重点；变分法特别适用于研究体系的基态。
两种方法配合使用可以得出精确度较高的结果。
1 定态微扰论求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧（1） 时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分 ∧∧∧'+=H H H )0( ||||)0(∧∧'>>H H（2）其中 （1）∧)0(H的本征值)0(n E 和本征函数)0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果)0()0()0()0(n n n E H ψψ=∧ （3）（2）∧'H 很小，称为加在∧)0(H上的微扰，有时为了表达这种微扰的程度，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧'H λ下面以分离谱为例，分两种情况进行讨论。
1.1 非简并态微扰论（1）微扰对非简并态的影响非简并态是指∧)0(H 的每一个本征值)0(nE只有一个本征函数)0(nψ与之对应，当加上微扰∧'H 时，∧∧∧'+→H HH)0()0(，所以n nE E →)0(，n n ψψ→)0(，即微扰的出现是能级和波函数发生变化。
（2）微扰的基本思想就是以逐步近似的精神求解薛定谔方程。
当∧∧∧'+=H HH λ)0( （4）时，受微扰后的能级和波函数以λ的幂级数展开⎩⎨⎧+++=+++=)2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ （5） )0(nE与)0(nψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…把（4）、（5）式代入薛定谔方程（1）中，得到以λ的幂次区分的一系列方程 0)(:)0()0()0()0(=-∧n n E Hψλ（6）)0()1()1()0()0()1()()(:n n n n E H EHψψλ-'-=-∧∧ （7） )0()2()1()1()2()0()0()2()()(:n n n n nnE E H EH ψψψλ+-'-=-∧∧ （8）求解以上方程便可得能量和波函数的一级修正、二级修正、… （3）各级修正公式零级近似：由（6）式可得零级近似即为)0(n E 、)0(n ψ. 一级修正：首先将)1(n ψ用)0(n ψ展开)0()1()1(l l ln a ψψ'=∑ （9）'∑l代表求和项中不包含n l =项，这是因为)0(n ψ附加在)1(n ψ上仍是（6）式的解。
第二讲有简并定态微扰论
• 把上式左边n＝k的那一项从求和中分离出来，左 0 边可以写成两项，而且 k 得到
i
(1) 0 (1) Cn ( k n ) *kj d ' Cn ( k n ) *kj n d nk
• 上式可以很清楚地看到： • n=k时， k n k n 0 • n≠k时， ki 与 n 正交，所以整个等式的左边 为零。这样，等式的右边也应为零，得到：
C ,
(0) i 0 f i
1, 2, , f
(0) i
C ki ,
1, 2, , f
• 如果f个一级修正 E '互不相等，则E共有f个不相 等的一级近似能量
E k E '
1, 2,, f
• 可见当f个 E ' 不相等，则未受到微扰时的一个f度 简并的能级 E ，在都到微扰之后，分裂成了f个 不相等的能级 E ，并具有相应当f个零级近似波 函数。我们称 k 的f度简并完全消失。如果 k 中有一部分重根，则表明受到微扰后， k 分裂成 的能级少于f个，则 k 的简并只是部分消失。 • 对有简并的定态微扰论，通常只求到能量的一级 近似和波函数的零级近似。 • 下一讲我们举例说明有简并定态微扰论的应用。
1，零级近似波函数
• • • • • • •
ˆ 的，属于本征值 设无微扰时，能量算符 H 0 的本征函数有f个： k1 , k 2 , k 3 ,, kf , ˆ (i 1,2,, f ) 满足： H 0 ki k ki ˆ H ˆ H ˆ' 有微扰时，能量算符 H 0 ˆ E 本征方程为 H ˆ H ˆ ') E 或 (H 0 表示成级数形式：
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其中
Hm u,nv
(0) mu
|
Hˆ
|
(0) nv
（5.2.4）
按照微扰论的精神，将Hˆ 的本征值和在Hˆ 0表象中的本
征函数 cnv按的幂级数做微扰展开：
En
E (0) n
En (1)
2En(2)
L
（5.2.5）
cnv
c(0) nv
c(1) nv
c2 (2 nv
5.2 简并定态微扰论
归一化条件为
(0) mu
|
(0) nv
( (0)*
mu
x)
(0) nv
(
x)dx
mn uv
Hˆ 的本征方程是 Hˆ (Hˆ 0 Hˆ ) E
由于
(0) nv
是完备系，将
按
(0) nv
张开后，得
)
L
（5.2.6）
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入（5.2.4）式有：
Em(0) (cm(0u)
cm(1u)
c2 (2) mu
L
)
(cn( 0v )
cn(1v)
c2 (2) nv
L
)Hm u,nv
nv
(
E (0) n
E (1) n
2En(2)
L
nv
LL
5.2 简并定态微扰论
如果讨论的能级是第 n 个能级，则
(
E (0) n
E (0) m
)cm(0u)
0
（5.2.9）
即
c(0) mu
au mn
（5.2.10）
au是一个待定的常数。在由一级近似的薛定谔方程得
( En ( 0 )
E (0) m
)cm(1u)
E (1) n
au
4. 在非简并情况下，由一级微扰确定一级波函数和 能量修正，二级微扰来确定二级波函数和能量修 正，但在简并微扰情况下，由一级微扰确定零级 近似波函数和一级能量修正，二级微扰确定一级 近似波函数和二级能量修正。
（5.2.17）
3. 简并微扰法的重要精神在于：重新组合简并态的零
级波函数，使得 H 在简并态所构成的子空间中对
角化。在这样处理后，能级修正公式
(0) n
|
Hˆ
|
(0) n
E(1) n '
与非简并微扰公式完全相同。
（5.2.18）
5.2 简并定态微扰论
应的 fn 组解 av ，从而给出零级波函数和能量本征值
的一级修正，他们分别为：
5.2 简并定态微扰论
(0) n
a (0) v nv
v
（5.2E (1) n
（5.2.16）
由此可见，新的零级波函数实际上是原来第n 个能级上
的各简并本征函数的线性叠加。
fn
(Huv En(1)uv )av 0
v 1
（5.2.13）
上式是一个以系数 av为未知数的线性方程组，它有非
零解的条件为：
det
Huv
E (1) n uv
0
（5.2.14）
这是个 fn 次的久期方程。由这个久期方程可以解出E(1)
的 f n个根 En(1)，将这 fn 个根代入线性方程组，可得出相
mn
a Hm u,nv 0 （5.2.11）
v
当m n 时，得能级的一级修正为
En
a (1) u
av H mu,nv 0
v
（5.2.12）
5.2 简并定态微扰论
为书写方便，记同一能级En(0)中，不同简并态 u, v 之间
的矩阵元 Hm u,nv 为 Hu,v ，则上式可写为：
c (0) nv nv
（5.2.2）
nv
则 H的本征方程是
cnvEn(0)
(0) nv
cnv
Hˆ
(0) nv
E
c (0) nv nv
（5.2.3）
nv
nv
nv
5.2 简并定态微扰论
以
( 0 )* mu
左乘上式，对全空间积分后，有
Em(0)cm cnv Hm u,nv Ecm
下面我们对上述结果作一些说明：
1. 前面讨论过，简并来自对守恒量的不完全测量。
由上式可见，无微扰的能级
E
(0 n
)
经微扰后裂为
f
n
条。它们的波函数由各自相应的
(0
n
)表示。这时
简并完全消失。
5.2 简并定态微扰论
2.
经过重新组合后的零级波函数
(0 n
)
彼此正交，满足
(1) n
| (1) n
)(cm(0u)
cm(1u)
c2 (2) mu
L （) 5.2.7）
比较 的系数，给出
0
: (En(0)
E (0) m
)cm(0u)
0
1
:
( En( 0 )
E (0) m
)cm(1u)
E c (1) (0) n mu
c(0) nv
H
m u
,nv
0（5.2.8）