§5.1 简并定态微扰理论

§5.1 非简并定态微扰理论

重点：

微扰的条件，微扰能量二级修正的求解

（一）基本方程

假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰

(5.1-1)

以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程

（5.1-2）

的解是已知的，对于被微扰的体系有

（5.1-3a）

即

（5.1-3b）

（5.1-4）

并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成

（5.1-5）

由于、E n都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为

的幂级数。

（5.1-6）

（5.1-7）

式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。

将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得

（5.1-8）

空虚等式两边同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程：

（5.1-9）

（5.1-10）

（5.1-11）

将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把，

理解为能量和波函数的一级修正。

（二）一级微扰

（1）能量的一级修正

为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分

（5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边

（5.1-13）

于是由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到

（5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。

（2）波函数的一级修正

已知，由（5.1-10）式可求得。为此我们将按的本征函数系展开

（5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得

以左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到的正交归一性：

得到

（5.1-16）

令（5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得

（5.1-18）

代入（5.1-15）式，得

（5.1-19）

上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。

（三）二级微扰

为了求得量的二级修正，类似求一级微扰的方法，将（5.1-15）代入（5.1-11）式，并用左乘（5.1-11）式两边后，对整个空间积分得

这里应用了的正交归一性。和（5.1-13）式一样，上式左边为零，右边第二项由于

也为零，于是有

利用（5.1-18）式得

（5.1-20）

上式求和号上角加一撇表示求和时要除去l=n的项，最后一步是因为是厄密算符，由（5.1-17）式有。

例题

1．转动惯量为I，电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

【解】：转子在电场中的势能

取的方向为Z轴的方向，则

体系的哈密顿算符

其中其本征函数和本征能量为

基态波函数

能量的零级近似

能量的一级修正项

=0 因为，

即

二级修正：

2．设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为都是实数。用微扰公式求能量至二级修正项。

【解】：已知

能量的一级修正值：

能量一级近似

能量的二级修正：

能量的二以级近似

3．一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

【解】

是的偶函数

利用递推公式

波函数的一级修正

利用能级移动可以直接准确求出

令：

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