51非简并定态微扰理论
非简并定态微扰理论
支的发展具有重要意义。
理论的历史与发展
1 2
起源
非简并定态微扰理论起源于20世纪初的量子力学 发展初期，最初是为了解决原子结构和光谱问题。
发展
随着量子力学的发展，非简并定态微扰理论也不 断得到完善和发展，逐渐形成了完整的理论体系。
3
当前研究
目前，非简并定态微扰理论仍然是物理学研究的 重要领域之一，许多学者致力于该理论的进一步 发展和应用。
特性
该理论主要关注系统的能量本征 态，特别是当系统受到微小扰动 时，其能量本征态的变化情况。
理论的重要性
基础性
01
非简并定态微扰理论是量子力学的基本理论之一，对于理解微
观世界的本质和规律具有重要意义。
应用广泛
02
该理论在许多领域都有广泛的应用，如原子物理、分子物理、
固体物理等。
理论发展
03
非简并定态微扰理论的发展对于推动量子力学和其他物理学分
在原子物理中的应用
描述原子能级
非简并定态微扰理论可以用于描 述原子能级的分裂和跃迁，解释 原子光谱的精细结构。
计算原子辐射频率
通过非简并定态微扰理论，可以 计算出原子在不同能级间跃迁时 产生的辐射频率，从而推导出光 谱线的波长。
解释原子磁性
非简并定态微扰理论可以解释原 子的磁性，包括电子自旋磁矩和 轨道磁矩，以及原子磁矩的进动 等现象。
02 非简并定态微扰理论的基 本概念
定子在 不受外界作用力下的状态，其能量是 一定的。定态可以用波函数来描述， 波函数满足薛定谔方程。
微扰
微扰是一个小的外部作用，它可以改 变定态的能量和波函数。微扰可以分 为两类：简并微扰和非简并微扰。
微扰的分类
简并微扰
周世勋量子力学教案5
§5.1 非简并定态微扰理论如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰的影响逐级考虑进去。
代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差, 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
对任意一个归一波函数能量平均值即用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数时，的平均值才等于。
非简并态微扰论
（5）求波函数到一级近似
En
E
(0) n
H nn
kn
| H kn |2 En(0) Ek(0)
| n
|
(0 n
)
kn
H kn
E
(0) n
E
(0 k
)
|
(0) k
作业：309页第1、3、6题
解为：
Hˆ (0)
2
2
d2 dx2
1 2
2 x2
Hˆ eEx
体系是在线性谐振子的基础上加上微扰，所以其零级近似为
线性谐振子的本征值和本征能量。
所以直接利用公式计算微扰修正，则第 n 个能级的一级修正 为：
E(1) n
(0)* n
(
x)
Hˆ
(0) n
(
x)dx
eE
( (0)*
n
x)
x
(0) n
kn
| H kn |2
E n( 0 )
E
(0 k
)
得能量一级修正（此处每一能级都要修正！）：
E (1) 1
E (1) 2
H11 0 H 22 0
E (1) 3
H 33
c
能量二级修正为：
E ( 2) 1
kn
| Hk1 |2
E(0) 1
E(0) k
| H21 |2
E(0) 1
E(0) 2
| H31 |2
等的。
这说明在偶极电场中能级间隔仍然相等，仍具有谐振子的特
点。这一点通过对哈密算符配方，很容易看出。
Hˆ
2
2
d2 dx2
1 2
2 x2
eEx
2
《非简并态微扰论》课件
一阶微扰论的公式推导
1
公式1
推导步骤 1
2
公式2
推导步骤 2
3
公式3
推导步骤 3
二阶微扰论的公式推导
1
公式1
推导步骤 1
2
公式2
推导步骤 2
3
公式3
推导步骤 3
简谐振子的微扰论计算
基本概念
计算方法
简述简谐振子的特点和数学描述。
介绍如何应用微扰论计算简谐振 子的能级修正。
实际应用
描述微扰论在实际中计算简谐振 子的应用。
哈密顿量不含时的微扰论
1
概念
介绍哈密顿量不含时பைடு நூலகம்扰论的基本原理和应用条件。
2
公式推导
展示推导哈密顿量不含时微扰论的关键公式和步骤。
3
实例分析
通过实例分析，说明哈密顿量不含时微扰论的实际应用。
微扰论中的能量修正
一阶修正
计算一阶微扰论中的能级修 正，并描述其物理意义。
二阶修正
计算二阶微扰论中的能级修 正，并分析修正结果。
更高阶修正
描述更高阶微扰论中的能级 修正情况。
微扰论的基本概念
1 定义
微扰论是一种求解复杂量子系统的近似方法。
2 原理
通过在已知系统的哈密顿量中引入微小扰动，研究系统的响应。
3 适用性
适用于处理无法通过精确解析方式求解的问题。
微扰项的形式
一阶微扰项
形式： 位置 哈密顿量 等
二阶微扰项
形式： 位置 哈密顿量 等
更高阶微扰项
形式： 位置 哈密顿量 等
《非简并态微扰论》PPT 课件
本课件介绍非简并态微扰论的基本概念、推导公式、计算方法以及在量子力 学中的应用。通过丰富的实例，深入讲解微扰论的原理和意义，使学习者更 好地理解量子力学中微扰论的重要性。
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级
修正公式
1简单并和非简单并定态的微扰理论
微扰理论是物理上最重要的框架，用来研究量子多体系统的结构和性质。
简单和非简单并定态的微扰理论是用来描述不可能的多原子系统的极端的应用。
它们的重要性在于能够提供一条整合多种量子效应的清楚的理论框架。
2简单并和非简单并定态微扰统一理论
简单并和非简单并定态的微扰理论是一个统一理论，用来描述在量子多体系统中发生的各种效应。
它使用一般的有效势来说明系统的性质，并预测结果。
它也包含有第一性原理，基准状态，以及不同形式的高阶内部势。
简单并和非简单并定态的微扰理论通过集中许多低能量的可解象的状态而形成的，认为它能够获得较低的能量，而且也能够提供更精确的描述。
3能量二级修正公式
能量二级修正公式是根据简单并和非简单并定态微扰理论建立起来的公式。
它使用一系列数学符号来表示量子系统的位置和力应力，以及它们之间的关系。
它的核心是一种叫做单自由维度的方法，用来对多体系统的有效势进行无穷展开，从而发现能量级修正的效应。
经
过此种修正，结果可以优化到更高的能量水平，从而更好地描述多原子系统的性质。
4结论
简单并和非简单并定态的微扰理论和能量二级修正公式是用来描述量子多体系统的重要框架。
它们统一了许多量子效应，提供了较低的能量水平，以及更可靠的结果。
它们对于更好地描述和预测多体系统的性质至关重要。
多体系统中的微扰理论简介
多体系统中的微扰理论简介引言：多体系统是指由多个粒子组成的系统，其中每个粒子都与其他粒子相互作用。
研究多体系统的行为和性质是理论物理学的重要课题之一。
微扰理论是一种常用的方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
本文将简要介绍多体系统中的微扰理论。
一、微扰理论的基本思想微扰理论是一种近似方法，通过将系统的哈密顿量分解为一个已知的简单系统和一个微小的扰动，来研究系统的性质。
基本思想是将扰动项视为小量，通过级数展开的方式求解。
微扰理论在量子力学、统计物理学等领域有广泛应用。
二、微扰理论的形式表达微扰理论的形式表达通常采用级数展开的形式，可以通过求解一系列的微扰项来逐步逼近真实的系统。
一般而言，微扰理论可以分为非简并微扰理论和简并微扰理论两种情况。
1. 非简并微扰理论非简并微扰理论适用于系统的能级不发生简并的情况。
在这种情况下，通过将扰动项加入到系统的哈密顿量中，可以得到一系列的修正能级。
通过逐阶计算修正能级，可以得到系统的能级结构的近似解。
2. 简并微扰理论简并微扰理论适用于系统的能级发生简并的情况。
在这种情况下，需要通过对简并子空间进行对角化来求解系统的能级结构。
简并微扰理论中，还存在一阶微扰和高阶微扰的概念，通过求解一系列的微扰项，可以得到系统能级的修正。
三、微扰理论的应用微扰理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 量子力学中的微扰理论微扰理论在量子力学中有广泛应用，用于求解各种系统的能级结构。
例如，氢原子中电子的自旋-轨道耦合问题可以通过微扰理论求解。
2. 统计物理学中的微扰理论统计物理学中的微扰理论可以用于求解复杂系统的平均性质。
例如，通过微扰理论可以计算气体的压强、磁化率等宏观性质。
3. 固体物理学中的微扰理论微扰理论在固体物理学中也有重要应用。
例如，可以通过微扰理论来计算固体中电子的能带结构和输运性质。
结论：微扰理论是一种重要的近似方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
第五章 微扰理论
| H nk |2 E
(0) n
( n n0 ) k n
H kn k( 0 ) ( E n 0 ) E k( 0 )
k n
E
(0) k
(13 )
(14 )
( ˆ ˆ 就是在 n 0 ) 中 H 的平均值 能级的一级修正 H nn
( E n1) H nn exnn 0
En E
(0) n
| H nk |2 H nn ( 0 ) E k( 0 ) k n En
k n
(13 )
( n n0 )
H kn k( 0 ) ( E n 0 ) E k( 0 )
(14 )
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
( 则对应 E n1 ) 修正的 0级近似波函数改写为：
1
（二）讨论
（1）新 0 级波函数的正交归一性
1.正交性
取复共厄
1
k
k
( [ H E n1) ] c 0
(1)
1
( * [( H )* E n1) ] c 0
(10 )
(8)和(9)式是严格的，它们和（6）式等价。
( En0 ) H nn ck H nk En
(8)
( H mn Cm Em0 ) ck H mk En cm k n
k n
( 9)
ˆ 在(8)、(9)式中略去所有与 H 有关的项，就得到零级近似：
1,2, 3, , k
共轭方程
( ˆ n | [ H ( 0 ) E n0 ) ] 0
§5.1 非简并定态微扰理论
§5.1 非简并定态微扰理论重点：微扰的条件，微扰能量二级修正的求解（一）基本方程假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰(5.1-1)以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程（5.1-2）的解是已知的，对于被微扰的体系有（5.1-3a）即（5.1-3b）（5.1-4）并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成（5.1-5）、E n都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为由于的幂级数。
（5.1-6）（5.1-7）式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。
将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得（5.1-8）同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程：空虚等式两边（5.1-9）（5.1-10）（5.1-11）将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把，理解为能量和波函数的一级修正。
（二）一级微扰（1）能量的一级修正为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分（5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边（5.1-13）于是由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到（5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。
（2）波函数的一级修正已知，由（5.1-10）式可求得。
为此我们将按的本征函数系展开（5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。
为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得以左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到的正交归一性：得到（5.1-16）令（5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得（5.1-18）代入（5.1-15）式，得（5.1-19）上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。
量子力学中的非简并微扰理论
量子力学中的非简并微扰理论量子力学是一门研究微观粒子如何运动和相互作用的学科。
在这个领域中，非简并微扰理论是一个重要的工具，用于处理系统在微弱扰动下的行为。
本文将介绍非简并微扰理论的基本概念和数学表达，并探讨其在量子力学中的应用。
一、非简并微扰理论的基本概念在量子力学中，当一个系统受到外界微弱扰动时，我们可以使用微扰理论来分析系统的行为。
非简并微扰理论适用于系统的能级之间无简并（即不存在多个能级具有相同能量的情况）的情形。
根据非简并微扰理论，系统的扰动可以看作是一个微弱的干扰，该干扰可以通过一个微扰项来描述。
微扰项通常具有形式H'，其中H'是一个小的、可控制的微扰算符。
二、非简并微扰理论的数学表达非简并微扰理论可以通过微扰展开的方法来计算系统的性质。
在微扰展开中，我们通过将系统的哈密顿算符表示为扰动前的哈密顿算符H0和微扰项H'的和来处理系统。
即H = H0 + H'。
在非简并微扰理论中，我们通常使用微扰哈密顿算符的矩阵元表示。
设系统的基态为|0⟩，它的能量为E0。
我们可以得到微扰哈密顿算符的矩阵元为⟨n|H'|0⟩，其中|n⟩表示系统的激发态。
利用微扰展开方法，我们可以得到系统的能量修正。
一般而言，我们将系统的能量E表示为E = E0 + ΔE，其中ΔE是能级的修正。
通过计算各阶修正的贡献，我们可以得到能级修正的近似表达式。
三、非简并微扰理论的应用非简并微扰理论在量子力学中有着广泛的应用。
它在原子物理、固体物理等领域中被广泛运用。
以原子物理为例，非简并微扰理论可以用于计算原子能级的修正。
通过引入微弱的外场，如电磁场，我们可以使用微扰理论来计算这些能级的修正。
这对于解释原子光谱和原子发射光谱线的偏移具有重要意义。
在固体物理中，非简并微扰理论可以用于计算晶格的力常数、声子的能谱等。
通过引入微小的势场或外界扰动，我们可以分析晶格的变形和介质的声学性质。
除了原子物理和固体物理，非简并微扰理论还在其他领域具有重要的应用。
量子力学-非简并定态微扰理论
分类号编号毕业论文题目非简并定态微扰理论学院物理与信息科学学院姓名崔骁专业物理学学号271040106研究类型研究综述指导教师方玉田提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录正文 ................................................................... .１1 引言 .................................................. 错误！未定义书签。
2 非简并定态微扰理论 .................................... 错误！未定义书签。
2.1 理论定义 (1)2.1 非简并 (1)2.1.2定态 (1)2.2理论推导 (2)2.2.1一级近似计算 (3)2.2.2二级近似计算 (4)2.2.3三级近似计算 (7)3 能量和波函数的修正关系 (9)5 参考文献 (10)非简并定态微扰理论崔骁（天水师范学院物理与信息科学学院，甘肃天水 741000）摘要采用逐级近似的方法，求解非简并定态微扰理论能量和波函数的修正，能量和波函数分别修正计算至三级，并找出了能量逐级修正和波函数逐级修正之间的关系。
关键词非简并；定态微扰理论；逐级近似；能量修正；波函数修正Non-degenerate Stationary Perturbation TheoryCui xiao(College of Physics and Information Science,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu 741001)Abstract：Using the method of Progressive approximation to solve Energy level correction and Wave function in non-degenerate Stationary Perturbation Theory, energy and wave function were modified computing to level 3, and find out the relationship between Energy level correction and Wave function correction.Key words: Non-degenerate，Stationary Perturbation Theory，Energy level correction，Wave function correction，Progressive approximation1.引言学习了量子力学的基本理论之后，我们方知以前讨论的一维无限深势阱中的粒子、线性谐振子、势垒贯穿和氢原子等问题，归根到底是解这些体系的哈密顿算符的本征方程（即定态薛定谔方程），从而求出其本征值和本征函数。
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式定态微扰理论是量子力学中的一种方法，用于计算一个系统在加入微弱扰动后的能量和波函数的变化。
该理论可以分为简并和非简并两种情况。
在简并情况下，系统具有多个能量本征态对应于相同的能量值，而在非简并情况下，每个能量本征态都对应于一个唯一的能量值。
对于简并情况下的定态微扰，我们可以使用微扰能量的二级修正公式来计算能量的修正。
假设系统的哈密顿量可以分解为一个无微扰部分H0和一个微弱扰动V，那么系统的总的哈密顿量可以写为H=H0+λV，其中λ是微扰的强度参数。
简并情况的定态微扰理论包括以下步骤：1.通过求解无微扰哈密顿量H0的本征值问题，得到H0的能量本征值和能量本征态。
2.将微扰哈密顿量V加入，并求解H=H0+λV的本征值问题，得到一阶微扰能量E^(1)和能量本征态。
3.计算一阶微扰能量E^(1)对应的一阶微扰修正本征矢量：ψ^(1)=Σ(，n><n，V，ψ^(0)>)/(E^(0)-E^(n))其中，n>表示无微扰能量本征态，ψ^(0)>表示无微扰波函数。
4.计算二阶微扰修正能量E^(2)：E^(2)=Σ(，ψ^(1)><ψ^(1)，H，ψ^(0)>)/(E^(0)-E^(n))其中，ψ^(1)>表示一阶微扰修正本征矢量，H是总哈密顿量。
5.总的能量修正为E=E^(0)+E^(1)+E^(2)。
对于非简并情况下的定态微扰，可以使用非简并微扰理论来计算能量的修正。
非简并情况下定态微扰的步骤如下：1.求解无微扰哈密顿量H0的本征值问题，得到H0的能量本征值和能量本征态。
2.计算一阶能量修正：E^(1)=Σ(，<n，V，m>，^2)/(E^(0)n-E^(0)m)其中，n>和，m>表示无微扰的能态，V是微扰哈密顿量。
3.总的能量修正为E=E^(0)+E^(1)。
总的来说，简并和非简并定态微扰统一理论提供了一种计算系统在微弱扰动下能量和波函数的修正的方法。
量子力学微扰理论
E ( 2) n
E(0) n
H nn
m
Hm n 2
E(0) n
E(0) m
(23)
第五章 微扰理论 5.1、 非简并定态微扰理论
5.1.3、讨论
5.1.3、讨论
微扰理论适用的条件：级数收敛
Hm n 2 1
E(0) n
E(0) m
(
E(0) n
E(0) m
)
因此，要求，
a) 矩阵元 Hm n 很小，即： H 是一个小的扰动；
5.1.3、讨论
为求解能级 Enj
E(0) n
E (1) nj
所对应的零级近似波函数，
可以把
E (1) nj
的值带回(3)式，
k
( H li
E (1) n
il )ci(0)
0，
l 1,2,L ,k 。
(3)
i1
k
解出一组
c(0) i
，再带入(2)式，
(0) n
ci(
0) i
，即可。
i1
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
斯塔克(Stark)效应：将原子置于外电场中，它发射的光谱
线会发生分裂的现象。
氢原子：能级的裂距 E1(外电场)一级斯塔克效应
碱金属：… …
E2
第五章 微扰理论 5.3、 氢原子的一级斯塔克效应
5.1.3、讨论
无外场时，氢原子中，库仑势( es2 r )具有球对称性，
5.1.2、 非简并情况下的微扰
(b) 波函数的一级修正
当k
n
时，由
C (1) k
定态微扰论和变分法
5.2.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 变分法在量子力学中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3.1 变分法求基态能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⟨m|ϕ⟩|m⟩, 所以投影算符Pm的作用是，当它作用在任意态|ϕ⟩上时，都会
将这个态投影到|m⟩态上。由于正交性，我们很容易看出，当m ̸= n时，
PmPn = PnPm = 0, 这时候我们称这两个投影算符正交，并且这时候很容易
验证Pm + Pn也是一个投影算符。
一般的，对于正交归一本征态的任何一个子集S, 我们可以定义
具体来说，假设在扰动之后，原来H0的本征态|n⟩变成了新系统的某个 相应本征态|ψn⟩，相应的本征值也变成En, 即
H|ψn⟩ = En|ψn⟩.
(5.9)
假定原来的能量本征值εn和H0的其余本征谱之间存在着一个有限的谱隙， 即对于任何m ̸= n，|εn − εm| ≥ ∆ > 0。则，我们总是能够将|ψn⟩在分别 由Pn和Pn⊥投影出来的两个正交且互补的空间中进行正交分解，通过合适地 调整量子态整体的未定系数，我们可以设
(5.13)
这就是关于|ψn⟩按照微扰V 进行级数展开的展开式。但是这个展开式依赖 于En，而到目前为止En的值还是未知的，所以下一步我们就是要给出计 算En的方程。
量子力学第五章微扰理论
。
(1) n al(1) l(0) l 1
上式可以选取 a (1)
n
( ，使得展开式中不含 n0) 项，即 0
( ( 使 an1) n0) 0 ，则上展开式可改写为
8
( n1) al(1) l(0) l n
or
(1) n al(1) l(0) l
五、求非简并定态微扰步骤 ˆ 1 写出体系的哈密顿算符 H n En n ˆ ˆ ˆ 2 把哈密顿算符写成 H H (0) H
( ˆ ˆ 3 写出或求出 H (0) 的本征值与本征函数 En0) 及 ψ n H ˆ H ( ( ˆ ( 4 利用 En1) n0 )* H n0 ) d H nn 及 H mn (1) ( n m0) 求能级及波函数的一级近似 ( ( En0) Em0) m n
0: 1:
ˆ ( H (0) En(0) ) n(0) 0 ˆ ˆ ( H (0) En(0) ) n(1) ( H (1) En(1) ) n(0)
ˆ ˆ 2: ( H (0) En(0) ) n(2) ( H (1) En(1) ) n(1) En(2) n(0)
求零级近似波函数
组 Cij0 的值，即可求得零级近似波函数
将能量一级修正 En1的 k 个根分别代回方程（4），可得 k
nj0 C ji0i
i
(7)
17
即
(1) ' H '11 Enj H 12 (1) H '21 H '22 Enj H' H 'k 2 k1
2 2 e2 ˆ H 2m r
非简并定态微扰
5.1 非简并定态微扰
现在对定态非简并微扰作些讨论：
I. 由（5.1.28）（5.1.29）可见，微扰的适用条件是
Hkn
(
E(0) n
E(0) k
)
=
1
（5.1.30）
只有满足（5.1.30）式，才能保证微扰级数的收敛性， 保证微扰级数中后一项的结果小于前一项。（5.1.30） 式就是 H0 ? H 的明确表示。微扰方法能否应用，不仅 取决与微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两能级之 间的间距。这也说明， 微扰计算的能级必须处于分离谱，
（5.1.31）
Hˆ 0
h2 2m
d2 dx2
1 2
m2 x2
Hˆ eEx
（5.1.32） （5.1.33）
5.1 非简并定态微扰
Hˆ0 的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近
似为
E(0) n
(n 1)h
2
（5.1.34）
(0) n
1 2 x2
Nne 2 Hn ( x)
要通过微扰计算Hˆ 对 Hˆ0 的第 n个能级En(0) 的修正，
就要求
E n( 0
)无简并，它相应的波函数只有
(0 n
)一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
5.1 非简并定态微扰
4. H0 的能级组成分离谱。严格说来，是要求通过
微扰来计算它的修正的那个能级
E (0) n
处于分离谱
本征函数给出；二级修正是由相应的一级修正给 出。在这个意义上说，微扰理论其实也是一种逐 步逼近的方法。
5.1 非简并定态微扰
下面举一个应用微扰论解决问题的实例。
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E(0) n
)
(2) n
(Hˆ (1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
(5.1-10)
态矢和能量的一级修正
现在我们借助于未微扰体系的态矢ψn (0)和本征能 量 E n (0)来导出扰动后的态矢ψn 和能量 En 的表 达式。
(1)能量一级修正λ E n (1)
由(5.1-9)知,
0 :
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
(5.1-8)
1
: (Hˆ (0)
E ) (0) (1)
n
n
(Hˆ (1)
E ) (1) (0)
n
n
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(0) n
(5.1-9)
2
: (Hˆ (0)
第五章 微扰理论
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决 了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）氢原子问题。
这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂 的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近 似方法）就显得特别重要。
[ Em( 0 )
E(0) n
]
Hˆ
(1) mn
a(1) m
Hˆ
(1) mn
E(0) n
E(0) m
(0) m
|
Hˆ
(1)
|
E(0) n
E(0) m
(0) n
所以
a(1) l
Hˆ
(1) ln
E(0) n
E(0) l
代入式(5.1-14)得：
|
(1) n
a (1) l
|
( 0 )
l
l 1
=
|
(0) m
(5.1-21)
为求能量的二级修正,由
Hˆ (0)
|
(2) n
Hˆ (1)
|
(1) n
E(0) n
|
(2) n
En(1)
|
(1) n
E(2) n
|
(0) n
左乘
0
n
E(2) n
(0) n
H 1
|
(1) n
|
(1) n
a (1) l
|
( l
(Hˆ (0)
E ) (0) (1)
n
n
(Hˆ (1)
E ) (1) (0)
n
n
或写成
(Hˆ (0)
E(0) n
)
|
(1) n
(Hˆ (1)
E(1) n
)
|
(0) n
(Hˆ (0)
E(0) n
)
|
(1) n
(Hˆ (1)
E(1) n
)
|
(0) n
左乘
0
n
0
n
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
|
(1) n
|
( l
0
)
将(5.1-14)式代入l 1式(5.1-9)得：
l n
(5.1-14)
[Hˆ (0)
E (0) n
]
a (1) l
|
(0) l
[Hˆ (1)
E (1) n
]
|
(0) n
l 1
即
a (1) l
[
E (0) l
E (0) n
]
|
(0) l
[Hˆ (1)
E (1) n
]
|
(0) n
l 1
§5.1 非简并定态微扰理论
一、适用条件
求解定态薛定谔方程
Hˆ 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分
Hˆ Hˆ 0 Hˆ , H0 H
Hˆ0 的本征值和本征函数可以求出
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
(5.1-1) (5.1-2)
设
Hˆ n En n
Hˆ n En n
(5.1-3)
H’是很小,可以看作加于 H(0) 上的微小扰动。
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：
Hˆ Hˆ (1)
(5.1-4)
因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看 成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：
En
E(0) n
E (1) n
2
E(2) n
L
n
(0) n
(1) n
2
(2 n
)
L
(5.1-5)
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
(5.1-6)
而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ...
分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二 级修正等。
将(5.1-1), (5.1-4)- (5.1-6)代入 方程(5.1-3)得：
Hˆ
(1) ln
|
l 1
E (0) n
E (0) l
( 0 )
l
(5.1-17) (5.1-18)
所以波函数的一级近似为：
| n
|
(0) n
|
(1) n
所以得
(5.1-17)
n
(0) n
m
` Hm n
(0)
E(0) n
E(0) m
m
| n
|
(0) n
m
` H m n
E(0) n
E(0) m
(Hˆ (0)
Hˆ
(1)
)(|
(0) n
|
(1) n
2
|
(2) n
L
)
(
E(0) n
E (1) n
2
E(2) n
L
)(|
(0 n
)
|
(1) n
2
|
(2 n
)L)(来自.1-7)即可写为2
Hˆ (0)
|
(0 n
)
[Hˆ
(0)
|
(1) n
Hˆ
(1)
|
(0) n
]
[Hˆ (0)
|
(2 n
Hˆ (1)
|
(0) n
0
n
Hˆ
|
(0) n
(5.1-13)
即能量的一级修正为Hˆ 在 中n(0)的平均值.
态矢的一级修正
根据力学量本征矢的完备性假定， H(0)的本征矢ψn (0)是 完备的，任何态矢量都可按其展开，ψn (1) 也不例外。 因此我们可以将态矢的一级修正展开为：
|
(1) n
a (1) l
0
n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
|
(0) n
由于左边,
0
n
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
|
(1) n
0
所以右边,
0
n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
|
(0) n
0
(5.1-11) (5.1-12)
能量的一级修正
E (1) n
0
n
Hˆ (1)
|
(0) n
能量一级修正λ E n (1)
E (1) n
0
n
左乘
0
m
a(1) l
[
El(
0)
E(0) n
]
(0) m
|
(0) l
l 1
(0) m
|
Hˆ (1)
|
(0) n
E (1) n
(0) m
|
(0) n
考虑到本征基矢的正交归一性：
a(1) l
[
E(0) l
E(0) n
]
ml
l 1
Hˆ
(1) mn
E (1) n mn
由于 m n ,所以
a(1) m
)
Hˆ (1)
|
(1) n
]
2
E (0) n
|
(0) n
[ E n( 0 )
|
(1) n
E
(1) n
|
(0) n
]
[
E
(0) n
|
(2) n
E
(1) n
|
(1) n
E
(2) n
|
(0) n
]
3
[
]
3
[
]
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得 到如下一系列方程式: