51非简并定态微扰理论

第五章 微扰理论
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决 了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）氢原子问题。
这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂 的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近 似方法）就显得特别重要。
§5.1 非简并定态微扰理论
一、适用条件
求解定态薛定谔方程
Hˆ 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分
Hˆ Hˆ 0 Hˆ , H0 H
Hˆ0 的本征值和本征函数可以求出
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
(5.1-1) (5.1-2)
|
( l
0
)
将(5.1-14)式代入l 1式(5.1-9)得：
l n
(5.1-14)
[Hˆ (0)
E (0) n
]
a (1) l
|
(0) l
[Hˆ (1)
E (1) n
]
|
(0) n
l 1
即
a (1) l
[
E (0) l
E (0) n
]
|
(0) l
[Hˆ (1)
E (1) n
]
|
(0) n
l 1
(Hˆ (0)
E ) (0) (1)
n
n
(Hˆ (1)
E ) (1) (0)
n
n
或写成
(Hˆ (0)
E(0) n
)
|
(1) n
(Hˆ (1)
E(1) n
)
|
(0) n
(Hˆ (0)
E(0) n
)
|
(1) n
(Hˆ (1)
E(1) n
)
|
(0) n
左乘
0
n
0
n
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
|
(1) n
Hˆ
(1) ln
|
l 1
E (0) n
E (0) l
( 0 )
l
(5.1-17) (5.1-18)
所以波函数的一级近似为：
| n
|
(0) n
|
(1) n
所以得
(5.1-17)
n
(0) n
m
` Hm n
(0)
E(0) n
E(0) m
m
| n
|
(0) n
m
` H m n
E(0) n
E(0) m
|
(0) m
(5.1-21)
为求能量的二级修正,由
Hˆ (0)
|
(2) n
Hˆ (1)
|
(1) n
E(0) n
|
(2) n
En(1)
|
(1) n
E(2) n
|
(0) n
左乘
0
n
E(2) n
(0) n
H 1
|
(1) n
|
(1) n
a (1) l
|
( l
2
E(2) n
L
n
(0) n
(1) n
2
(2 n
)
L
(5.1-5)
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
(5.1-6)
而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ...
分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二 级修正等。
将(5.1-1), (5.1-4)- (5.1-6)代入 方程(5.1-3)得：
0
n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
|
(0) n
由于左边,
0
n
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
|
(1) n
0
所以右边,
0
n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
|
(0) n
0
(5.1-11) (5.1-12)
能量的一级修正
E (1) n
百度文库
0
n
Hˆ (1)
|
(0) n
能量一级修正λ E n (1)
E (1) n
0
n
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ (1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
(5.1-10)
态矢和能量的一级修正
现在我们借助于未微扰体系的态矢ψn (0)和本征能 量 E n (0)来导出扰动后的态矢ψn 和能量 En 的表 达式。
(1)能量一级修正λ E n (1)
由(5.1-9)知,
左乘
0
m
a(1) l
[
El(
0)
E(0) n
]
(0) m
|
(0) l
l 1
(0) m
|
Hˆ (1)
|
(0) n
E (1) n
(0) m
|
(0) n
考虑到本征基矢的正交归一性：
a(1) l
[
E(0) l
E(0) n
]
ml
l 1
Hˆ
(1) mn
E (1) n mn
由于 m n ,所以
a(1) m
Hˆ (1)
|
(0) n
0
n
Hˆ
|
(0) n
(5.1-13)
即能量的一级修正为Hˆ 在 中n(0)的平均值.
态矢的一级修正
根据力学量本征矢的完备性假定， H(0)的本征矢ψn (0)是 完备的，任何态矢量都可按其展开，ψn (1) 也不例外。 因此我们可以将态矢的一级修正展开为：
|
(1) n
a (1) l
(Hˆ (0)
Hˆ
(1)
)(|
(0) n
|
(1) n
2
|
(2) n
L
)
(
E(0) n
E (1) n
2
E(2) n
L
)(|
(0 n
)
|
(1) n
2
|
(2 n
)
L
)
(5.1-7)
即可写为
2
Hˆ (0)
|
(0 n
)
[Hˆ
(0)
|
(1) n
Hˆ
(1)
|
(0) n
]
[Hˆ (0)
|
(2 n
设
Hˆ n En n
Hˆ n En n
(5.1-3)
H’是很小,可以看作加于 H(0) 上的微小扰动。
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：
Hˆ Hˆ (1)
(5.1-4)
因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看 成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：
En
E(0) n
E (1) n
0 :
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
(5.1-8)
1
: (Hˆ (0)
E ) (0) (1)
n
n
(Hˆ (1)
E ) (1) (0)
n
n
(Hˆ
(0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ
(1)
E (1) n
)
(0) n
(5.1-9)
2
: (Hˆ (0)
[ Em( 0 )
E(0) n
]
Hˆ
(1) mn
a(1) m
Hˆ
(1) mn
E(0) n
E(0) m
(0) m
|
Hˆ
(1)
|
E(0) n
E(0) m
(0) n
所以
a(1) l
Hˆ
(1) ln
E(0) n
E(0) l
代入式(5.1-14)得：
|
(1) n
a (1) l
|
( 0 )
l
l 1
=
)
Hˆ (1)
|
(1) n
]
2
E (0) n
|
(0) n
[ E n( 0 )
|
(1) n
E
(1) n
|
(0) n
]
[
E
(0) n
|
(2) n
E
(1) n
|
(1) n
E
(2) n
|
(0) n
]
3
[
]
3
[
]
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得 到如下一系列方程式: