非简并微扰理论专题

（3）计算 En(1)
E (1) n
H nn
( 0 )* n
Hˆ
n(0)dx
e
( 0 )* n
x
(0 n
)
dx
0
（4）计算能量二级修正
欲计算能量二级修正，首先应计算 H’k n 矩阵元。
Hkn
(0)* k
Hˆ
n(0)dx
e
(0)* k
x
n(0)dx
利用线性谐振子本征函数的递推公式：
H0 是 对 角 矩 阵 ， 是 Hamilton H0 在 自身表象中的形 式。所以能量的
0 级近似为：
由非简并微扰公式
E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2
E
(1) n
H nn
E
(2) n
kn
| H kn |2
E n( 0 )
E
(0) k
能量二级修正为：
得能量一级修正：
项很小，可看成微扰。
Hˆ
2
2
d2 dx 2
1 2
2
x2
ex
Hˆ
0
2
2
d2 dx 2
1 2
2
x2
Hˆ
ex
（2）写出 H0 的本征值和本征函数 E(0), ψn(0)
(0) n
N ne 2 x2 / 2 H n (x)
Nn
2n n!
E
(0) n
(n
1 2
)
n 0,1,2,
上式积分等于 0 是因为被积函数为奇函数所致。
L
a(1) m
Hˆ
(1) mn
E(0) n
E(0) m
(m n)
a (1) n
0
(m n)
(1)
n
a(1) m
m
(0)
m
m
Hˆ m(1n)
E(0) n
E(0) m
(0) m
二级近似：2 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
(0) k
kn
e
[
] n
2 k,n1
n1 2 k,n1 (0)
En(0) Ek(0)
k
e
n
1
2
En(0)
E(0) n1
(0)
n1
n1 2
En(0)
1
E (0) n1
(0) n1
e
n 2
1
(0) n1
n1 2
1
(0) n1
e
1 2 3
n
1
(0) n1
n (0) n1
0 0 c 2
（1）设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。
解： （1）c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：
1 0 0
H0 0 3 0
0 0 2
0 c 0 H c 0 0
0 0 c
n
0
n
0 m
H m n
E
0
n
E
0
m
0
m
H kn
E (0) n
E (0) k
1
E (0) n
E (0) k
[例题]电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用， 电场沿正x方向，用微扰法求体系的定态 能量和波函数。
解：
（1）电谐振子Hamilton 量
将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两 部分，在弱电场下，上式最后一
E (0) n
E (0) k
代入
|
e
[
kn
] | n
2 k ,n1
n1
2
2 k.n1
En(0) Ek(0)
(
e
)2
kn
E (0) n
1
E (0) k
[
n 2
n1
k ,n1 2
] k .n1
对谐振子有；
(
e
)2
n 2
En(0)
1
E(0) n1
n1 2
En(0)
1
E (0) n1
x
n
1
[
Hkn e
[ (0)* 1 k
n (0)
2 n1
n1
2
(0) n1
]dx
e
1
[
(0)* k
dx n (0)
2 n1
(0)* k
n1
2
n(0)1dx]
n2 n1
] n1 2 n1
e
[
n
2 k,n1
] n1 2 k,n1
E ( 2) n
kn
| Hkn |2
nm,n1
n 1m,n1]
代入能量二级修正公式：
En(2) mn
| Hm n |2 En(0) Em(0) mn
| e 1 [ 2
n m,n1 n 1 m,n1] |2 En(0) Em(0)
e 2 2 2 2
电谐振子的精确解
实际上这个问 题是可以精确 求解的，只要
Hˆ
2 2
d2 dx2
1 2
2 x2
ex
2 2
d2 dx2
1 2
2[x2
2
e
2
x
( e
2
)2 ]
e2 2 2 2
我们将体系 Hamilton量作
以下整理：
2 2
d2 dx2
1 2
2[x
e
2
]2
e2 2 2 2
2 2
d2 dx2
1 2
2x2
e2 2 2 2
其中x’ = x – [eε/μω2 ]，可见，体系仍是一个 线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐 振子的相应能级低{e2ε2 / 2μω2 }，而平衡点向右 移动了{eε/μω2} 距离。
非简并微扰理论(不含时)专题
By Chang-Long Xia
问题： Hˆ E
Hˆ Hˆ (0) Hˆ Hˆ (0) Hˆ (1)
求解条件：Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
为能量两主要部分，可解析求解
基本精神：逐级近似
En
E(0) n
E (1) n
2
E(2) n
n
(0) n
E1(1)
E
(1) 2
H 11 H 22
0 0
E
(1) 3
H 33
c
E ( 2) 1
kn
| Hk1 |2
E (0) 1
E (0) k
| H21 |2
E(0) 1
E(0) 2
| H31 |2
E (0) 1
E (0) 3
1 2
c
2
E ( 2) 2
kn
| Hk 2 |2
E(0) 2
E(0) k
| H12 |2
0
aˆ | n n 1 | n 1
计算二级修正：
Hm n m | Hˆ | n
e m | x | n
e m | 1 [aˆ aˆ ]| n 2
e 1 [ m | aˆ | n m | aˆ | n ] 2
e 1 [ 2
n m|n1
n 1 m | n 1 ] e 1 [ 2
(1) n
2
(2 n
)
一级近似： 1 :
(Hˆ n(0)
E ) (0) (1)
n
n
(Hˆ n(1)
E(1) n
)
(0) n
(ii)
①两边同乘 n(，0)*再对空间积分得
E (1) n
(0) n
*
Hˆ
(1)
n
(0) n
dx
②令
(1) n
a(1) (0) ll
0
m
m n 左乘上式两边，对整个空间积分
升 降 算 符 法 ： 1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元
En(1)
n
|
Hˆ
|
n
e
n
|
x
|
n
e
n
|
1 2
[aˆ
aˆ
]|
n
x
1
[aˆ aˆ ]
e 1 [ n | aˆ | n n | aˆ | n ]
2
2
aˆ | n n | n 1
e 1 [ 2
n n|n1
n 1 n | n 1 ]
由于势场不再具有空间反射对称性，所以波 函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波 函数ψn已变成ψn(0), ψn+1(0), ψn-1(0) 的叠加看出。
n
(0) n
(1) n
(0) n
e
[ 1
2 3
n
1
(0) n1
n
(0) n1
]
例2. 设Hamilton量的 矩阵形式为：
1 c 0 H c 3 0
En(0) - En-1(0) = ω, En(0) - En+1(0) = - ω，
E (2) n
(
e
)2
[
n 2
1
n1 2
1
]
(
e
)2
1 2
2
e2 2 2 2
由此式可知，能级移动与 n 无关， 即与扰动前振子的状态无关。
（5）计算波函数一级修正
(1) n
kn
H k n En(0) Ek(0)
c
2
1 8
c
4
E
3
2
c
比较（1） 和（2）之解， 可知，微扰论 二级近似结果 与精确解展开 式 不 计 c4 及 以 后高阶项的结
果相同。
假定势能的“阱底”太高一个常量V0，实现对系统的微扰，求能量一级修正。
E
3
2 c
(2)精确解：
1 E c
0
c 3E 0 0
0 0 c2E
(c 2 E) (E 2 4E 3 c2 ) 0
解得：
(3) 将准确解按 c (<< 1)展开：
E1 E2
2 2
1 c2 1 c2
E3
2
c
E1 E2
2 2
1 c2
1
1 2
c
Hale Waihona Puke 21 8c4
1 c2
3
1 2
(iii)
(1) n
al(1)
( l
0)
代入,两边同时左乘
l
(0)* n
，再对空间积分
E(2) n
l
a(1) l
Hˆ
(1) nl
l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n
E(0) l
l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n
E(0) l
小结：
En En0 H nn
0 m
H nm 2 En0 Em0
E(0) 2
E(0) 1
| H32 |2
E(0) 2
E(0) 3
1 2
c
2
E ( 2) 3
kn
| Hk 3 |2
E (0) 3
E(0) k
| H13 |2
E(0) 3
E (0) 1
| H23 |2
E(0) 3
E (0) 2
0
准确到二级 近似的能量 本征值为：
E1
E2
1
1 2
c2
3
1 2
c2