电动力学期末复习

第一章一、选择题1、位移电流实质上是电场的变化率，它是（D ）首先引入的。

A). 赫兹 B). 牛顿 C). 爱因斯坦 D). 麦克斯韦3、两个闭合恒定电流圈之间的相互作用力，两个电流元之间的相互作用力，上述两个相互作用力，哪个满足牛顿第三定律（ C ）。

A). 都满足 B). 都不满足 C). 前者满足 D). 后者满足二、填空题1. 麦克斯韦 在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。

2.电荷守恒定律的微分形式为 J 0tρ∂∇⋅+=∂r 3、均匀线性介质中电磁场的能量密度w 的表达式为 1()2w E D H B =⋅+⋅r r r r。

4、电磁波（电矢量和磁矢量分别为E ρ和H ρ）在真空中传播，空间某点处的能流密度=S ρ =S ρE H ⨯r r5、线性介质的电磁能量密度w ＝___________，能流密度S r＝____ _______。

答：w ＝1()2E D H B ⋅+⋅r r r r 或2211()2E B +εμ; S r ＝E H ⨯r r 或1E B μ⨯r r6、电场、磁场的切向分量的边值关系分别为：______________________________．答：21ˆ()0n e E E ⨯-=r r r 或21t t E E =；21ˆ()n e H H ⨯-=r r r r α或21t t H H -=α三、判断题1.稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ ）√2.电介质中E D ρρε=的关系是普遍成立的。

（ ）×3.跨过介质分界面两侧，电场强度E ρ的切向分量一定连续。

（ ）√4.电磁场的能流密度S r在数值上等于单位时间流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

（ ）√5.电流元1、2分别属于两个闭合稳恒电流圈，则电流元1、2之间的相互作用力服从牛顿第三定律。

（ ）⨯四、简答题1.写出一般形式的电磁场量D r、E r 、B r 、H r 的边值关系。

答： 2102102121212121ˆ() ˆ()0ˆ()0ˆ() n n n n t t f n D D D D n B B B B n E E E E n H H σσα⎧⋅-=-=⎪⎪⋅-==⎪⎨⨯-==⎪⎪⨯-=⎪⎩r r r r r r r r r r r r r 或或或 2、介质中麦克斯韦方程组的微分形式答：B D E ; H J ; D ; B 0;t t ρ∂∂∇⨯=-∇⨯=+∇⋅=∇⋅=∂∂r r r r r r r 3、写出洛仑兹力密度表达式。

答： S f E J B E v B T t c ρρρ∂=+⨯=⋅+⨯=-∇⋅-∂2vr r r r t v v r或五、证明题1. 由场和电荷系统的能量守恒定律、麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式证明：（1） 电磁场的能量密为w D B E H t t t∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂r r r r （2） 能流密度为S E H =⨯r r r1证明：场和电荷系统的能量守恒定律为 wS f v t∂∇⋅+=-⋅∂r r r （1）由洛仑兹力密度公式 f v (E v B )v v E J E ρρρ⋅=+⨯⋅=⋅=⋅r r r r r rr r r r 将上式代入（1）式得 w S J E t ∂∇⋅+=-⋅∂r r r（2）D J H t∂=∇⨯-∂rr r Q(D J E E H E t∂∴⋅=⋅∇⨯-⋅∂rr r r r r ） （3）E (H =(E H H (E (E H t ∂⋅∇⨯-∇⋅⨯⋅∇⨯-∇⋅⨯⋅∂rr r r r r r r r r B ））+）=）-H将上式代入（3）式得 (D BJ E E H E H t t∂∂⋅=-∇⋅⨯⋅-⋅∂∂r rr r r r r r ）- （4））比较（2）、（4）式，可得电磁场的能量密为 w D B E H t t t∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂r rr r 能流密度为 S E H =⨯r r r2、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。

（提示：考虑D r、E r 的边值关系）2证明：介质2与导体1的边值关系(静电情况) 0ˆˆ0n D nE σ⎧⋅=⎪⎨⨯=⎪⎩vv（1）式 其中n 为界面法线单位矢量，D 、E 为介质2中的场量，导体内静电平衡时场量D 、E 为0。

根据线性介质性质=D E εr v ，（1）式化为 00ˆ00ˆ0n t E n D E n E εσσ⎧=≠⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⨯=⎪⎩⎩vv ，导体外的电场只有法线方向分量，即总是垂直于导体表面。

3、用边值关系证明：在线性绝缘介质与导体的分界面上，在恒定电流情况下，导体内表面的电场线总是平行于导体表面。

3证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体稳恒电流时绝缘介质与导体的边值关系为：2121()0()0n ne J J e E E ⎧⋅-=⎪⎨⨯-=⎪⎩r r r r r r绝缘介质中电流为零，因此 22210n n t t J J E E ==⎧⎨=⎩从而有 222100n n tt E E E E ==⎧⎨=≠⎩ 即电场只有平行于界面的分量4、证明当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：1212εεθθ=tg tg ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

（提示：考虑D r、E r 的边值关系）4证明：考虑分界面上不带自由电荷，由理想介质边值关系() 212122112221112121221121ˆ()0(1)cos cos (1)(2)sin sin (2)ˆ0n n n n t t t t nD D D DE E E E or E E E E E E n E E ⎧⋅-====⎧⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨⎨===⨯-=⎩⎩⎩⎪⎩r vv v εεεθεθθθ 21222111(2)/(1)tg tg tg tg ⇒=⇒=θθθεεεθε5、当两种导电媒质内流有稳恒电流时，分界面上电场线曲折满足2211tg tg θσ=θσ，其中σ1和σ2分别为两种媒质的电导率。

（提示：考虑J r 、E r的边值关系）5证明：稳恒电流时导体之间的边值关系(2) 22112122211121211121(1)()0cos cos (1)sin sin (2)()0n n J Et t E E n J J E E or E E E E n E E =⎧=⋅-==⎧⎧⎪−−−→⎨⎨⎨==⨯-=⎪⎩⎩⎩v v v v r v v r σσσσθσθθθ 21212222112111(2)/(1)t t n n E E tg tg tg E E tg θθθσ⇒=⇒=⇒=σσσσθσ6、证明214()x rπδ∇=-r ，其中||r x =r 。

6证明：（1）当r ≠ 0时，2311111()()()()x y z x y z r r r re e e e e e r x r y r z r r x y z r∂∂∂-∂∂∂∇=++=++=-∂∂∂∂∂∂rr r r r r r 而323343*********()()30r r r r r r r r r r r r r r r r r r--∇⋅=∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅+∇⋅=⋅+⨯=r r r r r r r r，因此 2110,0r r r∇=∇⋅∇=≠ （2）当r 0=时，取一小球面S 包围着原点，取对小球体积V 积分，即223211114V V S S Sr d d ds ds r d r r r r r ττπ∇=∇⋅∇=∇⋅=-⋅=-Ω=-⎰⎰⎰⎰⎰rr r 蜒? （或当r 0=时，在r 0=点，1r奇异，上式不成立。

因此21r ∇是这样一个函数，它在0 r ≠处的值为零，只有在r 0=点上可能不等于零。

为了进一步确定这样的函数，我们采用极限方法。

2222221/2225/20a 0a 0113a r dV lim dV lim d dr r (r a )(r a )Ω∞→→-∇=∇=++⎰⎰⎰⎰ 作积分变换r a ρ=，可见上式的极存在，23225/223/2001dV 12d 44r (1)(1)ρρπρππρρ∞∞∇=-=-=-++⎰⎰）因此我们证明了 214(x )rπδ∇=- 7、已知一个电荷系统的偶极矩定义为()(,)V P t x t x dV ρ'''=⎰r r r ，证明 (,)VdP J x t dV dt''=⎰r r r 7证明：方法1：()()()V V V V dP dx x x dV x dV x dV JdV dt dtt ρρρ'''''∂'''''''''====∂⎰⎰⎰⎰rr r rr r r r v方法2：由电荷守恒定律(,)()V V V dP d x t x dV x dV J x dV dt dtt ρρ'''∂'''''''===-∇⋅∂⎰⎰⎰rr r rr r由 ()()()()()()f g f g f g f g f g f g ∇⋅=∇⋅+⋅∇⇒∇⋅=∇⋅-⋅∇r r rr r rrrrrrr()()()V V dP J x dV J x J x dV dt ''⎡⎤''''''''=-∇⋅=-∇⋅-⋅∇⎣⎦⎰⎰rr r r r r r式中 ()J x J x J I J ''''⋅∇=⋅∇=⋅=r r r t r r r则()()V V S V dPJ x dV JdV J x dS JdV dt'''''''''''=-∇⋅+=-⋅+⎰⎰⎰⎰rr r r r r r r Ñ 将上式中积分区域取为大于电荷分布区域，则右边第一项的面积分为0，(,)V dP P J x t dV dt'''==⎰rr r r &五、综合题1、已知电容率为ε的均匀介质内部体自由电荷密度为ρf ，求这种介质的体极化电荷密度ρp 。

1、解： P p ρ⋅-∇=ρE E P p ρρρ⋅∇--=-⋅-∇=⋅-∇=)()(00εεεερf f p E ρεεερεεεερ)()()(0001--=--=⋅∇--=ρ2、根据算符的性质，推导下列公式 A A A A ϖϖϖ(21)(2-∇=⨯∇⨯·A ϖ)∇2解：由C A B A C ϖϖϖϖϖ()(=⨯⨯·C B B ϖϖϖ()-·)A ϖ得=⨯∇⨯)(A A ϖϖ21A ϖ(∇·)A ϖA ϖ(-·A ϖ)∇=A A ϖ(212-∇·A ϖ)∇ 3、由麦克斯韦方程组导出电流连续性方程。