机械制图第3章

Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
③ 检查、完成
d) 检查、完成
图3-26 平面截切四棱锥
2. 平面与回转体相交
截交线的性质： •截交线是截平面与回转体表面的共有线。
•截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线与直线组成。
•截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转 体轴线的相对位置。 求截交线的方法：求截平面与回转体表面的共有点。
第3章 立体的投影
3.1 基本体的投影及其表面上的点
3.2 立体表面的交线
3.1 基本体的投影及其表面上的点
3.1.1 平面立体 3.1.2 曲面立体
根据立体的组成可以把立体分为基本体和组合体。
柱、锥、球、圆环等几何体是基本体。
a) 棱柱
b) 棱锥
c) 圆柱 图3-1 基本体
d) 圆锥
e) 圆球
f) 圆环
回转体——表面有回转面的立体
母线
轴线
a)
图3-7 回转体和回转面的形成
b)
工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。
a) 圆柱
b) 圆锥
c) 圆球
d) 圆环
图3-8 常见的回转体
绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和平面 的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶的投影以及转 向轮廓线的投影。 转向轮廓线——曲面上可见面与不可见面的分界线。
s"
n a" (c")
b"
a n n
s
c
b
a) 直观图 b) 投影图 图3-6 三棱锥表面取点
3.1.2 曲面立体
曲面立体——表面是平面与曲面或曲面的实体
曲面--- 一动线（直线、圆弧或其他曲线）在空间连续运动所形成的轨迹。 母线----形成曲面的动线 素线----母线在曲面上的任一位置 回转面---母线绕固定轴线作回转运动形成的曲面
(1) 棱柱的投影
(1) 棱柱的投影
分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱 柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。 作图: 如图3-3所示。
动画
a) 直观图 图3-3 正六棱柱的投影
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 平面上取点的方法相同。
(1) 圆锥的投影
转向轮 廓线
圆锥的投影分析: 底面的水平投影反映实形 为一个圆，正面投影和侧面投 影分别重影为一直线； 圆锥面的水平投影为一个 圆，正面投影和侧面投影分别 为转向轮廓线的投影。
图3-14 圆锥的投影分析
作圆锥投影图
四条转向轮廓线 正面投影画最左、最右的 侧面投影画最前、最后的
圆锥的投影特性: •回转轴线用点画线表示； •水平投影为一个圆（底面轮 廓线），无积聚性； •正面投影和侧面投影为相同 的等腰三角形。
s'
m a" (c")
s"
(m) b' c'
n
b"
a n
m s
c
n
b
a) 直观图
b) 投影图 图3-6 三棱锥表面取点
2. 棱锥表面上点的投影
【例3-2】 已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m') 和n' ，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。
作图方法2:
s' n n n N a' b' c'
(1) 平面与圆柱相交
圆柱被截后截交线的形状,取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
与圆柱面相交截交线的形状
与轴线 截交线投影
平行 两直线
垂直 圆
倾斜
椭圆
【例3-9】 求平面与圆柱相交的三面投影。
分析：形体分析与投影分析；
3'
3"
作图步骤： ① 补全圆柱的投影 ②找特殊点
2' (4') 1' 4
4"
3. 圆球——由球面围成
球面——半圆绕其直径为 轴线回转一周而成。
图3-17 圆球的形成
(1) 球的投影
最大水平圆
a) b)
最大正平圆
最大侧平圆
c)
d) 图3-18 圆球的投影
作球的投影图
球的投影特性 • 三个投影均为平行于 投影面的最大圆的投 影（转向轮廓线的投 影）； • 圆的直径=球的直径； • 三个圆均无积聚性。
2"
1"
Ⅲ Ⅳ
1 3
Ⅱ
2
图3-27
Ⅰ
【例3-9】 求平面与圆柱相交的三面投影。
8"
7'
(8')
3' (6')
6"
分析：形体分析与投影分析； 作图步骤： 7" ①补全圆柱的投影 ②找特殊点 ③作一般点 ④光滑连线 3" ⑤完成截断体的轮廓
Ⅲ Ⅷ Ⅳ Ⅵ Ⅶ Ⅱ Ⅴ Ⅰ
6 8
3
7
图3-27
【例3-10】根据给定的形体的两面投影，求作侧面投影。
A M D
B
C
a) 直观图 图3-4 正六棱柱表面取点
【例3-1】 已知六棱柱表面上点M的正面投影m'和N点的 水平投影n ，求其另两面投影，并判别可见性。
先求点M的另两面投影
a′ m' b′ a′ m' c′
A M D C B
b′
a"
b"
m"
c′ d" c"
a"
m"
d"
b" c"
d′
d′
a(d)
c (a') (c') d' b' c" a" (b") d"
a
(d) b
图3-12 圆柱面上取点
2. 圆锥——由圆锥面、底面围成
圆锥面---- 一直线绕与 它相交的轴线回转而成。
圆锥立体分析:当圆锥的轴 线是铅垂线时,底面为水平 面，圆锥面上的所有素线 都是通过锥顶的直线。
图3-13 圆锥的形成
图3-13 圆锥的投影
(2) 圆锥面上取点
【例3-4】 已知圆锥表面上点A的一面投影，求出点的另 两面投影，并判别可见性。
作图方法1：辅助素线法
辅助素线
a'
b' A s
a)
a" b"
b
图3-16 圆锥面上取点
a
b)
作图方法2：辅助纬圆法 a'
辅助纬圆
a"
A
a
c) 图3-16 圆锥面上取点
s
d)
用辅助直线进行取点作图的方法只适用于母线为直线的曲面，而利用垂直于轴 线的辅助圆进行作图的方法，可适用于各种回转曲面。
图3-19 圆球的投影
(2) 球面上取点
【例3-3】 已知圆球表面上点A的正面投影，求水平投 影和侧面投影。
用辅助纬圆法作图 a'
a"
A
辅助纬圆
a
a) 图3-20 球面上取点
b)
4. 圆环——由环面围成
圆环面——由圆母线绕不过母线圆心，但与母线在同一平 面上的轴线回转而形成的。 （1）圆环的投影
p'
a) 题图
图3-26 平面截切四棱锥
作图步骤: ① 求正垂面与立体的交线
3'
2' (4') 1' 4" 3" 2"
1"
Ⅳ
4 3 1 2
b) 求正垂面与立体的交线
图3-26 平面截切四棱锥
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
② 整理、加深
3'
2' (4') 1' 4" 3" 2"
1"
Ⅳ
4 3 1 2
c) 整理、加深
图3-26 平面截切四棱锥
s′ s"
a′ a
c′ b′ c s b
a" (c")
b"
a) 直观图 图3-3 正三棱锥的投影
b) 投影图
2. 棱锥表面上点的投影
【例3-2】 已知三棱锥表面上两点M、N的正面投影(m') 和n' ，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。
采用什么 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1
n n n N a'
（2） 环面上取点
【例3-6】 已知圆环表面上点E的正面投影。求出其水平 投影，并判别可见性。
e'
E
辅助纬圆
e
图3-22 环面上取点
3.2 立体表面的交线
3.2.1 截交线 3.2.2 相贯线
在零件表面上常会遇到平面与立体和立体与立体相交的 情况，如图3-23所示为带交线的零件。在画图时为了准确地 表达它们的形状，必须画出它们所产生交线的投影。
图3-21 圆环的投影
圆环的投影特性
•水平投影的点画圆为母线圆心的运 动轨迹，大圆、小圆各为上半环和 下半环转向轮廓线的投影； •正面投影和侧面投影中的圆为母线 转向轮廓线的投影，两圆相切线为 环面转向轮廓线的投影；
•内环面不可见，正面投影和侧面投 影中的内环面母线转向轮廓线圆弧 画成虚线。
图3-21 圆环的投影
m a (d ) m b (c ) a) 直观图 图3-4 正六棱柱表面取点 b)点M 的投影图 b (c )
【例3-1】 已知六棱柱表面上点M的正面投影m'和N点的 水平投影n ，求其另两面投影，并判别可见性。
n'
n"
点的可见性判别： 若点所在平面的 投影可见，点的投影 可见；若平面的投影 积聚成直线，点的投 影也可见。
形体分析与投影分析； 作图步骤：①作圆柱的侧面投影； ②找点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 的投影；
(3')1' 3" 1"
2' (4')
3'
4"
2" 3"
Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅱ
(4) 3
Ⅴ
1 (2)
3
图3-28 圆柱体开出一方槽的投影
【例3-10】根据给定的形体的两面投影，求作侧面投影。
③判断可见性，连线、加深
(3')1' 3" 1"
(n)
c)点N 的投影图 图3-4 正六棱柱表面取点
2. 棱锥
棱锥——底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点的 三角形。 正棱锥----底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角形的棱锥。
(1) 棱锥的投影
S
A
C
B
(1) 棱锥的投影
分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥的底面为水平面， 在俯视图中反映实形。后侧棱面为侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。左、 右侧棱面是一般位置平面，在三个投影面上的投影为类似形。 作图: 如图3-3所示。
作图步骤（先体后面）：
② 求截平面与棱线交点的投影 2〃 ③ 判别可见性,依次连接交点的
投影
1〃
④ 补全其他轮廓线，完成侧 面投影 找截交线 的投影
6
1 2
3 4 3
投射方向
图3-23 平面截切正六棱柱
【例3-8】 四棱锥被正垂面P截切，求出四棱锥表面的截交 线，并画出被截切四棱锥的三面投影图。 形体与投影分析；
图3-10 圆柱的投影分析
作圆柱投影图
四条转向轮廓线 最左、最右 最前、最后
圆柱的投影特性:
•回转轴线用点画线表示； •水平投影积聚为一圆； •正面投影和侧面投影均为矩形。
图3-11 圆柱的投影
(2) 圆柱面上取点
【例3-3】 已知圆柱表面上点A、B、C、D的一面投影，求 出点的另两面投影，并判别可见性。 分析：点在圆柱面上， 利用水平投影积聚性， 可以求出点的水平投影。 作图：如图3-12所示。
3.1.1 平面立体
平面立体----各表面都是平面图形的实体
工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥 （棱台）。
棱柱
棱线
图3-2 平面立体
棱锥
棱台
绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有平面 的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交线(棱线)和 各顶点(棱线的交点)的投影。
1. 棱柱
直棱柱----顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形 （特征面），各侧面为矩形。 正棱柱----顶面和底面为正多边形的直棱柱。
求截交线的步骤： 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。
☆ 分析截平面投影面的相对位置，明确截交线的 投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，预见未知投影。
画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，再补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
动画
a) 顶尖（截交线）
b) 拨叉轴（截交线） 图3-23 带交线的零件实例
c) 管接头（相贯线）
3.2.1 截交线
截交线的基本概念：
截平面:截切立体的平面
截断面: 立体被截切后的断面
截交线:截平面与 立体表面的交线
切割体:基本体被平 面截切后的部分
图3-24 截交线的基本概念
截交线的性质：
•截交线是截平面与立体表面的共有线。 •截交线是封闭的平面图形。 •截交线的形状取决于: ① 立体表面的几何形状 ② 截平面与立体的相对位置
1. 平面与平面立体相交
截交线——直线围成的封闭的平面多边形 求截交线的投影，就是求出截平面与平面立体 上各被截棱线的交点的投影，然后依此连接即可。
【例3-7】已知正六棱柱被正垂面截切后的两个投影，求其侧面投影。
4' (3') 2' 1′ (6') 3' 3〃 6〃
4〃
形体分析与投影分析：
3〃 ① 补正六棱柱侧面投影
2' (4')
3'
4"
2" 3"
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Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅱ
(4) 3
Ⅴ
1 (2)
3
图3-28 圆柱体开出一方槽的投影
【例3-10】根据给定的形体的两面投影，求作侧面投影。
④检查、完成。
图3-28 圆柱体开出一方槽的投影
(2) 平面与圆锥相交
圆锥被截后截交线的形状,取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
与圆锥面相交截交线的形状
1. 圆柱——由圆柱面、顶面、底面围成
圆柱面——一直线绕与它平 行的轴线回转而成。 圆柱立体分析:当圆柱的轴线 是铅垂线时,圆柱面上的所有 素线都是铅垂线,顶面和底面 为水平面。
图3-9 圆柱的形成
(1) 圆柱的投影
转向轮廓线
圆柱的投影分析: 顶面、底面的水平投影重 合为一圆，正面投影和侧面投 影分别重影为两直线； 圆柱面的水平投影积聚为 一圆，正面投影和侧面投影分 别为转向轮廓线的投影。