大学物理 第十五讲 电流 磁感应强度

应用毕奥-萨伐尔定律求磁场 解题步骤
1.选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位 置；
2.选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特
点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单； 3.写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律； 4.计算磁感应强度的分布——叠加原理； 5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并
2 πa
圆电流的磁场
sin θ
a a2 x2
B
2a x
2

μ 0 Ia 2
23Fra bibliotek， 方向沿轴线。
2
25/56
1. 定义线圈的磁矩
m NIS ，则
μ0 Ia 2
单匝时：B 3 2 2 2a x 2 μ0 m B 3 2 2 2 Nμ0 Ia 2π a x 2 N匝时：B 3 2 2 2 2a x μ0 m Nμ 0 I 或 B 2. 圆心处 x =0 B
Fmax
F q v B ——洛仑兹力
v
q
+
B
§3 毕奥—萨伐尔定律
一、毕奥—萨伐尔定律
——电流元在空间产生的磁场
Id l
dB
0 Idl r dB 3 4π r 0 Idl r0 dB 2 4π r
dB
dB
P *
霍尔电压
12
b
I
A
Fm Fe U H
1 IB vBh nq b
I nSqv nbhqv
I hv nqb
-----------------
UH Fe qE q h
I
-
Fm
Fm ev B

Fm qvB
h
++++++++++++
U AA' 1 K nq
2a
2πa 3
3. 当 a << x，则 x≈ r
Nμ 0 Ia B 2r 3
2
μ0 m 或 B 2πr 3
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（4）几个特例 （1）
I
（2 ）
R B x 0 0 I o B0 2R
I
（4） I R

o
（5）
0 I B0 2 R 2
R1
R2
R
o
（3）
B0
B

I
（cos1 cos 2） 4π r0
0 I
o
z
1
C
+ x P
0 I
2 π r0
cos 1
（2）无限长载流长直导线的磁场
1 0, 2 π
B
0 I
2πr
I
B
X B
I
（3）半无限长载流长直导线的磁场
π 1 , 2 π 2
B
0 I
4πr
I
奥斯特 Hans Christian Oersted 1777～1851
2. 安培实验（1820年 ）
法国物理学家，在电磁作用方面的研 究成就卓著，对数学和化学也有贡献。电 流的国际单位安培即以其姓氏命名。 安培最主要的成就是1820～1827年对 电磁作用的研究 。他研究了两根载流导 线存在相互影响，相同方向的平行电流彼 此相吸，相反方向的平行电流彼此相斥。
R o r
dI

2π
2π rdr rdr


dr
向外 向内
dB
0dI
2r
0
2
R
dr
0, B 0, B
B
0
2

0
dr
0 R
2
三、磁场的高斯定理
1. 磁力线（磁感应线） 规定：曲线上每一点的切线方向表示该点的磁感强度的方 向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度的大小。
o
r
* P
例2 圆电流轴线上的磁场
圆电流 I 半径为 a，轴线沿x ，
Idl
μ 0 Idl dB 4π r 2 ，方向如图。 对称性可知，总场强沿x 方向。
a
I
r
x
θ
dB
x
μ0 I sin θ B sin θdB 2 dl 4πr 0 μ 0 Ia B sin θ r a2 x2 2r 2 其中
10
1 . 若 v // B , 磁场对粒子的作用力为零，粒子仍将以 v 作匀速直线运动。
粒子作圆周运动如图 2.若 v B ,
mv p 半径 R qB qB 2R 2m T qB v
频率



R F q
v
qB 1 f 2m T
安德烈· 玛丽· 安培 André-Marie Ampère 1775—1836
I dl r12 2 2 I1dl1
0 I 2dl2 I1dl1 r12 dF12 3 4 r12


0 4 107 N A -2
——真空磁导率。
二、磁 场
运动电荷 磁场 磁 体 运动电荷 磁 体
对任意曲面S： I J dS J cos dS
(S ) (S )
为形象描写电流分布，可以引入“电流线”的概念
I是 J 的通量
dqint 根据电荷守恒定律： J dS S dt
电流的连续性方程
单位时间内流出 S 面内的电量 应等于该闭合曲面内电量的减少
选取合适的积分变量，来统一积分变量。
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例1 求有限长载流直导线外的磁场。 解：
dB方向均沿 z 轴的负方向
0 Idl r0 dB 2 4π r
0 Idy sin
4π r2
y
D
2
dB
I
r r0 / sin y r0 ct g 2 dy r0d / sin 0 I dB sin d
三、磁感强度矢量 B 的定义
带电粒子在磁场中运动受到力的作用—— 实验发现带电粒子在磁场中沿某
一特定直线方向运动时不受力；
带电粒子在磁场中沿其他方向 运动时， F 垂直于 v 与某特定方向 所组成的平面； 当带电粒子在磁场中垂直于此 特定方向运动时受力最大；
F Fmax F
dI j dS
金属中： 载流子平均速度
qndV qn(vdt cos dS ) dI dt dt qnv cos dS
dV
dS
q
v e

n
定义电流密度矢量：
j qnv
vdt
（多种载流子也适用）
J J i ni evi e ni vi
10.1.4 欧姆定律和电阻
1. 欧姆定律
是电阻率， U l 电流 I 电阻 R , 电导率 1 R S U E l E S U 1 2 E l I E S l R I J E S S
4
欧姆定律的微分表达式： J E
(S )

B
Φm dΦm
(S )
B dS
单位：韦伯（Wb）
dS
1Wb 1T 1m 2
Φin dΦ2 B2 dS 2 0 Φout dΦ1 B1 dS1 0
r

Id l
I
r
电流元
0 Idl sin
4π r
2
0 4π 10 7 N A 2 ——真空磁导率
r dl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度：
0 I dl r0 B dB L 4 π L r 2
二、毕奥—萨伐尔定律应用举例
I
I
I
S S I N
N
2. 磁通量
磁场的高斯定理
S B
磁通量：通过某一曲面的磁力
线数为通过此曲面的磁通量。
用 Φm 表示。
B
dS

B
dS dS cos dS dSn
dΦm BdS BdS cos
s

dS
n
B
dΦm B dS
IB UH K b
——霍尔系数
h
B
Fe v
A'
B
13
14
15
§2 磁场与磁感应强度矢量
一、 电磁相互作用
1. 奥斯特实验（1820年 ）——电流激发磁场 丹麦物理学家。1794年考入哥本哈根大学， 1799年获博士学位。1806年起任哥本哈根 大学物理学教授。1820年因电流磁效应这 一杰出发现获英国皇家学会科普利奖章。 1829年起任哥本哈根工学院院长。
0 I
4R
I
I
R
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2

0 I
4 R1

0 I
4π R1
例 3 载流直螺线管轴线上的磁场
.
x
dl
1
P

dB
2
R
解：每匝线圈通过电流为Ｉ， 线元dl 的电流强度为
l 由圆电流轴线上磁感应强度公式 可得:
dI nIdl
0 dI
2R
L