应急设施鲁棒优化选址模型及算法
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第7卷 第5期 2007 年 10 月
交 通 运 输 工 程 学 报 Journal of Traffic and Transportation Engineering
Hale Waihona Puke Baidu
Vol1 7 No1 5 Oct . 2007
文章编号 :167121637 (2007) 0520101205
应急设施鲁棒优化选址模型及算法
0
d ( v3 , v2 ) d ( v n , v2 )
D = d ( v3 , v1 ) …
d ( v n , v1 )
节点集为
V = v1 , v2 , …, v n
0
ρ( v1 , v2 )
| V | = n
边集为
E = e1 , e2 , …, em
ρ ( v2 , v1 ) 0 ( v3 , v1 ) ρ ( v3 , v2 ) P = ρ … ρ ( v n , v1 ) ρ ( v n , v2 )
2 问题的分析
首先讨论范围 B 的获得 。对于 G 建立最小距 离矩阵 D 和最短路径矩阵 P
0
d ( v2 , v1 ) d ( v1 , v2 )
1 数学模型
无向连续赋权网络为
G = ( V , E)
… d ( v1 , v n ) … d ( v2 , v n ) … d ( v3 , v n ) … … 0
[ 728 ]
λ为事先给定的常数 , 表示应急设施到所有被 式中 : 服务地点的最远距离不超过 λ。问题 1 的最优目标
3 ( s) 。 函数值记为 FB
; 方磊等人在确定情形下建立了
有时间限制的重心优化选址模型[ 13 ] 。本文在权重 区间估计的情形下 , 建立有限期要求的应急设施优 化选址的偏差鲁棒优化模型 ,并提出了求解算法 。
( v1 , v n ) … ρ ( v2 , v n ) … ρ ( v3 , v n ) … ρ
… …
0
| E| = m
式中 : d ( v i , v j ) 为 v i 到 v j 的最短距离 ;ρ( v i , v j ) 为 v i 到 v j 的最短路径 ( 可能不唯一) 。 由 v i 以及 v i 和其他节点按最短路径连接构成 一个星形网络 , 称为由 v i 产生的星形网络 , 见图 1 。 当 v i 到 v j 的最短路径不唯一时 , 构成多个星形网 络 。在每个星形网络上可以找到一点 , 使其到最远 节点的最大距离最小 , 此点叫作一个局部中心 , 此值 叫作此局部中心的局部半径 。
min F ( s , x )
x ∈B
( 4)
B =
λ x ∈ G | max { d ( v i , x ) } ≤
1 ≤i ≤n
。 Ko uvelis 等对鲁棒优化方法及相关应
用进行了总结[ 11 ] ; Averbakh 等采用偏差鲁棒优化 的方法 ,分别对无限期要求的网络重心和中心选址 问题进行了研究
r = [ d ( v i , v j ) + d ( v i , v k ) ]/ 2
引理 2 x ∈G, y ∈H B , 函数
R ( x , y) = max F ( s , x ) - F ( s , y )
Abstract : In order to effectively choo se emergency establishment in uncertain case , t he weight interval estimatio n of emergency node was dealt wit h by using ro bust optimizatio n met hod , t he minimum weight distance bet ween emergency establishment and emergency node was regarded as aim f unctio n , a choice model of emergency establishment in uncertain case was built , a solving arit hmetic of t he model was p ut fo rward , and t he ro bust optimizatio n result and t he optimizatio n choice result in certain case were co mpared. Co mpariso n result show s t hat co mpared wit h t he optimizatio n f unctio n value , t he windage of t he optimizatio n solutio n in certain case is larger t han t hat of t he ro bust optimizatio n solutio n in uncertain case , so t he model availably avoid risk. 3 figs , 14 ref s. Key words : t raffic planning ; emergency establishment ; locating p ro blem ; ro bust optimizatio n Author resumes : J iang Tao ( 19782) , male , doctoral st udent of management , + 86225284895388 , jiangtao mat h520 @163. co m ; Zhu J in2f u ( 19552) , male , p rofessor , nuaa. edu. cn.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
102
交 通 运 输 工 程 学 报
2007 年
重可以认为是地点的重要程度或人口的数量等反映 地点性质的一些指标 。 随着城市规模的不断扩大 , 城市交通运输问题 受到了越来越多的关注
max Z ( x )
x ∈B
103
( 8)
问题 2 的最优解记为 x 3 , 通过对问题 1 的分 ( 7) 中的 y 限制在 H B 中 , 不改变 Z ( x ) 析 , 将式 ( 5) 、 的值 , 式 ( 7) 改写为
图1 星形网络
Fig. 1 Starlike net work
姜 涛 ,朱金福
( 南京航空航天大学 民航软科学研究所 ,江苏 南京 210016)
摘 要 : 为解决不确定情况下应急设施选址问题 , 采用鲁棒优化方法处理应急节点权重的区间估 计 ,基于最优的设施选址到各个应急节点的赋权距离之和最小 ,建立有限期要求的不确定性应急设 施选址模型 ,并给出了模型的求解算法 , 比较分析了鲁棒解与确定情况下的最优解 。分析结果表 明 : 当情况发生变化后 ,在确定情况下得到的最优解将发生较大的偏差 ,而在所有可能发生的情况 下 ,鲁棒解与最优解目标函数值的最大偏差最小 ,因此 ,不确定性应急设施选址模型的解可以有效 规避风险 。 关键词 : 交通规划 ; 应急设施 ; 选址问题 ; 鲁棒优化 中图分类号 : U491 文献标识码 :A
收稿日期 :2006212227 基金项目 : 中国民航总局应用开发科技项目 ( M HRD0622) 作者简介 : 姜 涛 (19782) ,男 ,山东青岛人 ,南京航空航天大学管理学博士研究生 ,从事交通运输规划与管理研究 。 导师简介 : 朱金福 (19552) ,男 ,江苏镇江人 ,南京航空航天大学教授 。
[ 122 ]
+ 任意 v i ∈ V , 给定 2 个正数 w v i 、 w vi , 0 < w vi ≤
w v i , v i 处权重 w v i 可以独立地取闭区间 [ w v i , w v i ]内
+
-
+
的任意值 。 定义 1 S 是区间 [ w v-i , w v+i ] , v i ∈V 的笛卡儿 积 , 任意 s ∈S 称为一个情景 。 定义 2 对给定的 s ∈S , s = { w sv i , v i ∈V } 和 x ∈G, 定义情景 s 下重心选址在 x 的成本函数为
[ 7212 ]
w ∑
s vi
d ( vi , x)
( 2)
定义 3 对 x、 y ∈G, 定义用 x 替换 y 的最大后 悔值函数为
R ( x , y) = max F ( s , x ) - F ( s , y )
s ∈S
( 3)
问题 1 对给定的 s ∈S , 有限期要求的应急设施选 址问题为
+
86225284895388 , zhujf @
0 引 言
决策者在进行应急设施优化选址时 , 往往要求 服务人员在规定的时间内到达需要服务的地点 。赋
权应急设施选址问题的目标是把需要服务的地点作 为节点 ,连接各地点的道路作为弧所构成的网络中 设置一个位置 ,在满足时间要求的条件下 ,使其到网 络中各个节点的赋权距离之和达到最小 。节点的权
Z ( x ) = max R ( x , y)
y ∈H B
( 9)
建立相应节点的星形网络 ,例如在 D 中第 i 行找该 行的最大元素 d ( v i , v j ) , 根据最短路径矩阵 P 判断 并找出第 i 行中节点不在路径ρ( v i , v j ) 上的次最大 元素 d ( v i , v k ) , 则局部中心在ρ( v i , v j ) 上 , 半径为
F ( s , x) =
vi ∈ V
,城市中设施选址问题的
理论成果也在不断丰富 [ 326 ] ,但成果多集中于节点权 重确定情形下的研究 。由于环境的不确定性 , 所以 更常见的情况是只能对权重可能取值的范围进行估 计 ( 取值范围的概率分布未知) 。在不确定情形下进 行优化选址 ,可以采用鲁棒优化的方法 。鲁棒优化 分为绝对鲁棒优化 、 相对鲁棒优化与偏差鲁棒优化 等 。其中偏差鲁棒优化方法类似于最小最大后悔值 原则 ,是对每一个可行解 ,在权重的各种可能取值下 分别计算与最优解的偏差 , 其中的最大值作为可行 解的最大后悔值 ,具有最小的最大后悔值的可行解 就称为偏差鲁棒解 。 近些年发展起来的鲁棒优化方法 , 是解决不确 定性问题的有效方法 , 已经应用于优化理论中的许 多方面
由陈伯成的理论 [ 14 ] , 距离矩阵 D 的每一行可以
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© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第 5 期 姜 涛 ,等 : 应急设施鲁棒优化选址模型及算法
Robust optimization model and algorithm of emergency establishment
J iang Tao , Zhu J in2f u
( Soft science Instit ute of Civil Aviatio n , Nanjing U niversity of Aeronautics and Ast ronautics , Nanjing 210016 , Jiangsu , China)
( 1)
对于 G 中任意两点 a 、 b , d ( a , b) 为点 a 和点 b 间的最短距离 , [ a , b]为网格 G 上由点 a 到点 b 的最 短路径上包含的点集 , 从而有
e = [ v p , vq ]
任意 a ∈[ v p , v q ]及 v i , 有
d ( v i , a) = min d ( v i , v p ) + d ( v p , a) , d ( v i , v q ) + d ( v q , a)
交 通 运 输 工 程 学 报 Journal of Traffic and Transportation Engineering
Hale Waihona Puke Baidu
Vol1 7 No1 5 Oct . 2007
文章编号 :167121637 (2007) 0520101205
应急设施鲁棒优化选址模型及算法
0
d ( v3 , v2 ) d ( v n , v2 )
D = d ( v3 , v1 ) …
d ( v n , v1 )
节点集为
V = v1 , v2 , …, v n
0
ρ( v1 , v2 )
| V | = n
边集为
E = e1 , e2 , …, em
ρ ( v2 , v1 ) 0 ( v3 , v1 ) ρ ( v3 , v2 ) P = ρ … ρ ( v n , v1 ) ρ ( v n , v2 )
2 问题的分析
首先讨论范围 B 的获得 。对于 G 建立最小距 离矩阵 D 和最短路径矩阵 P
0
d ( v2 , v1 ) d ( v1 , v2 )
1 数学模型
无向连续赋权网络为
G = ( V , E)
… d ( v1 , v n ) … d ( v2 , v n ) … d ( v3 , v n ) … … 0
[ 728 ]
λ为事先给定的常数 , 表示应急设施到所有被 式中 : 服务地点的最远距离不超过 λ。问题 1 的最优目标
3 ( s) 。 函数值记为 FB
; 方磊等人在确定情形下建立了
有时间限制的重心优化选址模型[ 13 ] 。本文在权重 区间估计的情形下 , 建立有限期要求的应急设施优 化选址的偏差鲁棒优化模型 ,并提出了求解算法 。
( v1 , v n ) … ρ ( v2 , v n ) … ρ ( v3 , v n ) … ρ
… …
0
| E| = m
式中 : d ( v i , v j ) 为 v i 到 v j 的最短距离 ;ρ( v i , v j ) 为 v i 到 v j 的最短路径 ( 可能不唯一) 。 由 v i 以及 v i 和其他节点按最短路径连接构成 一个星形网络 , 称为由 v i 产生的星形网络 , 见图 1 。 当 v i 到 v j 的最短路径不唯一时 , 构成多个星形网 络 。在每个星形网络上可以找到一点 , 使其到最远 节点的最大距离最小 , 此点叫作一个局部中心 , 此值 叫作此局部中心的局部半径 。
min F ( s , x )
x ∈B
( 4)
B =
λ x ∈ G | max { d ( v i , x ) } ≤
1 ≤i ≤n
。 Ko uvelis 等对鲁棒优化方法及相关应
用进行了总结[ 11 ] ; Averbakh 等采用偏差鲁棒优化 的方法 ,分别对无限期要求的网络重心和中心选址 问题进行了研究
r = [ d ( v i , v j ) + d ( v i , v k ) ]/ 2
引理 2 x ∈G, y ∈H B , 函数
R ( x , y) = max F ( s , x ) - F ( s , y )
Abstract : In order to effectively choo se emergency establishment in uncertain case , t he weight interval estimatio n of emergency node was dealt wit h by using ro bust optimizatio n met hod , t he minimum weight distance bet ween emergency establishment and emergency node was regarded as aim f unctio n , a choice model of emergency establishment in uncertain case was built , a solving arit hmetic of t he model was p ut fo rward , and t he ro bust optimizatio n result and t he optimizatio n choice result in certain case were co mpared. Co mpariso n result show s t hat co mpared wit h t he optimizatio n f unctio n value , t he windage of t he optimizatio n solutio n in certain case is larger t han t hat of t he ro bust optimizatio n solutio n in uncertain case , so t he model availably avoid risk. 3 figs , 14 ref s. Key words : t raffic planning ; emergency establishment ; locating p ro blem ; ro bust optimizatio n Author resumes : J iang Tao ( 19782) , male , doctoral st udent of management , + 86225284895388 , jiangtao mat h520 @163. co m ; Zhu J in2f u ( 19552) , male , p rofessor , nuaa. edu. cn.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
102
交 通 运 输 工 程 学 报
2007 年
重可以认为是地点的重要程度或人口的数量等反映 地点性质的一些指标 。 随着城市规模的不断扩大 , 城市交通运输问题 受到了越来越多的关注
max Z ( x )
x ∈B
103
( 8)
问题 2 的最优解记为 x 3 , 通过对问题 1 的分 ( 7) 中的 y 限制在 H B 中 , 不改变 Z ( x ) 析 , 将式 ( 5) 、 的值 , 式 ( 7) 改写为
图1 星形网络
Fig. 1 Starlike net work
姜 涛 ,朱金福
( 南京航空航天大学 民航软科学研究所 ,江苏 南京 210016)
摘 要 : 为解决不确定情况下应急设施选址问题 , 采用鲁棒优化方法处理应急节点权重的区间估 计 ,基于最优的设施选址到各个应急节点的赋权距离之和最小 ,建立有限期要求的不确定性应急设 施选址模型 ,并给出了模型的求解算法 , 比较分析了鲁棒解与确定情况下的最优解 。分析结果表 明 : 当情况发生变化后 ,在确定情况下得到的最优解将发生较大的偏差 ,而在所有可能发生的情况 下 ,鲁棒解与最优解目标函数值的最大偏差最小 ,因此 ,不确定性应急设施选址模型的解可以有效 规避风险 。 关键词 : 交通规划 ; 应急设施 ; 选址问题 ; 鲁棒优化 中图分类号 : U491 文献标识码 :A
收稿日期 :2006212227 基金项目 : 中国民航总局应用开发科技项目 ( M HRD0622) 作者简介 : 姜 涛 (19782) ,男 ,山东青岛人 ,南京航空航天大学管理学博士研究生 ,从事交通运输规划与管理研究 。 导师简介 : 朱金福 (19552) ,男 ,江苏镇江人 ,南京航空航天大学教授 。
[ 122 ]
+ 任意 v i ∈ V , 给定 2 个正数 w v i 、 w vi , 0 < w vi ≤
w v i , v i 处权重 w v i 可以独立地取闭区间 [ w v i , w v i ]内
+
-
+
的任意值 。 定义 1 S 是区间 [ w v-i , w v+i ] , v i ∈V 的笛卡儿 积 , 任意 s ∈S 称为一个情景 。 定义 2 对给定的 s ∈S , s = { w sv i , v i ∈V } 和 x ∈G, 定义情景 s 下重心选址在 x 的成本函数为
[ 7212 ]
w ∑
s vi
d ( vi , x)
( 2)
定义 3 对 x、 y ∈G, 定义用 x 替换 y 的最大后 悔值函数为
R ( x , y) = max F ( s , x ) - F ( s , y )
s ∈S
( 3)
问题 1 对给定的 s ∈S , 有限期要求的应急设施选 址问题为
+
86225284895388 , zhujf @
0 引 言
决策者在进行应急设施优化选址时 , 往往要求 服务人员在规定的时间内到达需要服务的地点 。赋
权应急设施选址问题的目标是把需要服务的地点作 为节点 ,连接各地点的道路作为弧所构成的网络中 设置一个位置 ,在满足时间要求的条件下 ,使其到网 络中各个节点的赋权距离之和达到最小 。节点的权
Z ( x ) = max R ( x , y)
y ∈H B
( 9)
建立相应节点的星形网络 ,例如在 D 中第 i 行找该 行的最大元素 d ( v i , v j ) , 根据最短路径矩阵 P 判断 并找出第 i 行中节点不在路径ρ( v i , v j ) 上的次最大 元素 d ( v i , v k ) , 则局部中心在ρ( v i , v j ) 上 , 半径为
F ( s , x) =
vi ∈ V
,城市中设施选址问题的
理论成果也在不断丰富 [ 326 ] ,但成果多集中于节点权 重确定情形下的研究 。由于环境的不确定性 , 所以 更常见的情况是只能对权重可能取值的范围进行估 计 ( 取值范围的概率分布未知) 。在不确定情形下进 行优化选址 ,可以采用鲁棒优化的方法 。鲁棒优化 分为绝对鲁棒优化 、 相对鲁棒优化与偏差鲁棒优化 等 。其中偏差鲁棒优化方法类似于最小最大后悔值 原则 ,是对每一个可行解 ,在权重的各种可能取值下 分别计算与最优解的偏差 , 其中的最大值作为可行 解的最大后悔值 ,具有最小的最大后悔值的可行解 就称为偏差鲁棒解 。 近些年发展起来的鲁棒优化方法 , 是解决不确 定性问题的有效方法 , 已经应用于优化理论中的许 多方面
由陈伯成的理论 [ 14 ] , 距离矩阵 D 的每一行可以
http://www.cnki.net
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第 5 期 姜 涛 ,等 : 应急设施鲁棒优化选址模型及算法
Robust optimization model and algorithm of emergency establishment
J iang Tao , Zhu J in2f u
( Soft science Instit ute of Civil Aviatio n , Nanjing U niversity of Aeronautics and Ast ronautics , Nanjing 210016 , Jiangsu , China)
( 1)
对于 G 中任意两点 a 、 b , d ( a , b) 为点 a 和点 b 间的最短距离 , [ a , b]为网格 G 上由点 a 到点 b 的最 短路径上包含的点集 , 从而有
e = [ v p , vq ]
任意 a ∈[ v p , v q ]及 v i , 有
d ( v i , a) = min d ( v i , v p ) + d ( v p , a) , d ( v i , v q ) + d ( v q , a)