锐角三角函数基础
锐角三角函数 知识梳理
锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。
专题28.17 锐角三角函数(中考常考考点专题)(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级
专题28.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ）A ．sin AB BC α= B ．sin BC AB α= C ．sin AB AC α=D ．sin AC AB α= 2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，BD 是斜边AC 上的高，AB BC ≠，则下列比值中等于sin A 的是（ ）．A ．AD AB B ．BD ADC ．BD BC D ．DC BC【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（ ）A B C ．2 D ．124．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在Rt ABC 中，90,2C BC AC ∠=︒=，则sin B =（ ）A ．12 B ．2 C D 【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．12C ．D ．6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC =米，44PCA ∠=︒，则小河宽PA 为（ ）米A ．50sin44︒B ．50cos44︒C ．50tan 44︒D ．50tan46︒【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（ ）A ．12 B C ．2 D 8．（2021·广东深圳·中考真题）计算|1tan 60|-︒的值为（ ）A ．1B ．0C 1D ．1【考点二】函数值➽➸特殊锐角9．（2022·河南焦作·()101α+︒=，则锐角α的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°10．（2021·江苏无锡·一模）已知cos A A =∠是锐角，则A ∠的度数为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算：202122sin 60|1(1)2-︒----的结果是（ ）A ．74B ．4C ．14D ．1412．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣2|）0的结果是（ ）A ．6B ．12C ．2D ．2＋【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在ABC 中，若A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =，则ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（ ） A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形15．（2022·陕西·中考真题）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．D ．103【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港口沿北偏西60︒方向出发，2h 后相遇在点P 处，如图所示．问A 港与B 港相距（ ）海里．A．B ． C ．10+D ．2018．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D 处水平向前走14米到A 点处，再沿着坡度为0.75的斜坡AB 走一段距离到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B 点观察到观景塔顶端的仰角为45︒再往前沿水平方向走27米到C 处，观察到观景塔顶端的仰角是22︒，则观景塔的高度DE 为（ ）（tan22°≈0.4）A ．21米B ．24米C ．36米D ．45米【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯AB ，扶梯总长为度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC 、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC 和平台CD 形成的ACD ∠为135°，从E 点看D 点的仰角为36.5°，AC 段扶梯长则DE 段扶梯长度约为（ ）米（参考数据：3sin 36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan 36.54︒≈）A ．43B ．45C ．47D ．4920．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD ．若六角星纸板的面积为2，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．18cmB ．C ．（）cmD ．（）cm【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45︒，在点B 处测得树顶C 的仰角为60︒，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若16m AB =，则这棵树CD 的高度是（ ）A ．8(3B ．8(3+C ．6(3D ．6(3+22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m【考点二】解直角三角形➽➸方位角23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A 测得海岛B 在其北偏东60°方向上，测得海岛C 在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B 出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C 海岛到观测点A 的距离是（ ）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（）B．（15）海里A．C．（）海里D．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高5mBC=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为AB的长度为（）A．10m B．C．5m D．26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为︒≈︒≈︒≈）（）．（sin370.6,cos370.8,tan370.75A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【考点四】解直角三角形➽➸其他问题27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是（ ）A ．12sin α米B ．12cos α米C ．12sin α米D ．12cos α米 28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为（ ）A ．()cos sin m αα-B ．()sin cos m αα-C ．()cos tan m αα-D ．sin cos m m αα- 二、填空题 【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A 点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B 点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为________米．30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝AB＝10，则△B＝_____．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin△BAC的值等于_____．32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin A＝45，则cos B＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角ABC中，90C∠=︒，根据作图痕迹，若3cmCA=，3tan4B=，则DE=________cm．34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣12）﹣2﹣4sin30°＝___． 36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算：sin 45︒=________． 【考点二】函数值➽➸特殊锐角37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则△α等于_____________度． 38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sin A ＝12，则tan A ＝_____． 【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+212-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．40．（2022·湖北荆门·一模）计算：)02112sin 45()2-+-︒--=________． 【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状41．（2020·江苏淮安·三模）在ABC ∆中,若21 02sinA tanB -+⎛ ⎝⎭= ，则ABC ∆是_____三角形．42．（2019·四川自贡·一模）在△ABC 中，（cos A ﹣12）2+|tan B ﹣1|＝0，则△C ＝_____． 【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD．若2AB=，则AD的长为_____．44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则O分斜边AB为BO：OA=1△AQC=___________．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度BD=___________m． 1.732，结果精确到0.1米）46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s，同时在地面C处分别测得A处的仰角为75︒，B处的仰角为30︒．则这架无人机的飞行高度大约是_______m 1.732≈，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填“超速”或“没有超速”） 1.732）【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米， 1.41≈ 1.73）50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30︒，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60︒方向，距离灯塔30海里的A 处，它沿北偏东30︒方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东67︒方向上的B 处，此时与灯塔P 的距离约为________海里．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A 的距离最近．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30m ，则迎水坡面AB 的长度为 ____m ．54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【考点四】解直角三角形➽➸其他问题55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A 到桥的距离是40米，测得△A ＝83°，则大桥BC 的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案1．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：△BC△AC，△△ABC 是直角三角形， △△ABC =α， △sin ACABα=， 故选：D ．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角△A 的对边与斜边之比叫做△A 的正弦，记作sin△A ．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】由同角的余角相等求得△A =△DBC ，根据正弦三角函数的定义判断即可； 解：△△ABD +△A =90°，△ABD +△DBC =90°， △△A =△DBC ， A ．ADAB=cos A ，不符合题意； B ．BDAD=tan A ，不符合题意； C ．BDBC=cos△DBC =cos A ，不符合题意； D ．DCBC=sin△DBC =sin A ，符合题意； 故选： D ．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．D【分析】首先构造以△A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 解：连接BD ，如图所示：根据网格特点可知，BD AC ⊥， △90ADB ∠=︒，△BD AD =△在Rt△ABD 中，tan A ＝BD AD 12=，故D 正确． 故选：D ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4．C【分析】根据勾股定理，可得AB 与BC 的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 解：△△C =90°，2BC AC =，△AB ，sinAC B AB ==C 正确． 故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB 与AC 的关系，再利用正弦函数的定义．5．C【分析】利用正弦的定义得出AB 的长，再用勾股定理求出BC. 解：△sinB=ACAB=0.5， △AB=2AC ， △AC=6， △AB=12，故选C.【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长. 6．C【分析】在直角三角形APC 中根据△PCA 的正切函数可求小河宽P A 的长度． 解：△P A △PB ， △△APC =90°，△PC =50米，△PCA =44°，△tan44°=PA PC，△小河宽P A=PCtan△PCA=50•tan44°米．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：△将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．△根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：sin30°=12故答案为：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：|1tan60||11-︒==故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．9．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：（α+10°）=1，△tan（α+10°）△α为锐角，△α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．A【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．解：△cos A A =∠是锐角， △A ∠=30°， 故选A ．【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 11．A【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．解：原式121)(1)4=--- 1114=+-74=． 故选：A ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．解：原式＝1-⎝⎭﹣（2+3+1＝． 故选：D ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键. 13．D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断30A ∠=︒，=60B ∠︒，从而可求出90C ∠=︒，即证明ABC 的形状是直角三角形．解：△A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =， △30A ∠=︒，=60B ∠︒，△180180306090C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，△ABC 的形状是直角三角形． 故选D ．【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．14．C解：△sin A =cos B ， △△A =△B =45°，△△ABC 是等腰直角三角形． 故选：C ． 15．D【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ． 解：△26BD CD ==， △3CD =，△直角ADC 中，tan 2C ∠=， △tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，△直角ABD △中，由勾股定理可得，AB = 故选D ．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．16．A【分析】由题意易得MN 垂直平分AD ，AB =10，则有AD =4，AF =2，然后可得4cos 5AC A AB ∠==， 进而问题可求解．解：由题意得：MN 垂直平分AD ，6BD BC ==， △1,902AF AD AFE =∠=︒， △BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，△10AB =，△AD =4，AF =2，4cos 5AC AF A AB AE ∠===， △5cos 2AF AE A ==∠； 故选A ．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．17．B【分析】先作PC AB ⊥于点C ，根据甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，求出PAC ∠和AP ，从而得出PC 的值，得出BC 的值，即可求出答案．解：作PC AB ⊥于点C ，甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，45PAC ∴∠=︒，5210AP =⨯=，PC AC ∴==乙货船从B 港沿西北方向出发，60PBC ∴∠=︒，BC ∴=AB AC BC ∴=+=，答：A 港与B 港相距海里，故选：B ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口.18．A【分析】作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,根据AB 的坡度，设3,4,BN k AN k ==表示出144,3,MB DN k DM BN k ==+==414,CM k =+在Rt EBM 中，144,EM BM k ==+ 在Rt ECM 中， 根据tan 0.4,EM C CM == 列出式子，求出k 的值，即可求解.解：如图，作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,:3:4,BN AN =可以假设3,4,BN k AN k ==则，144,3,MB DN k DM BN k ==+== 414,CM k =+在Rt EBM 中， 90,45,EMB EBM ∠=∠=144,EM BM k ∴==+在Rt ECM 中， tan 0.4,EM C CM== 1440.4,414k k +∴=+ 解得：1,k =3,18,DM EM ∴==21.DE DM EM =+=答：观景塔的高度DE 为21米.故选A.【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG ，即可得解.解：作AH△EB 于H ，延长DC 交AH 于N ，作DG△EB 于G ，如图所示：△△ACD=135°△△ACN=45°在Rt△ACN 中，AC=△ACN=45°△AN=CN=18在Rt△ABH 中，AB=AH ：BH=3:2，设3,2AH k BH k ==△()()(22232k k +=解得15k =或15k =-（不符合题意，舍去）△AH=45△HN=AH -AN=45-18=27△四边形DGHN 是矩形△DG=HN=27在Rt△DEG 中，sin sin 36.5DG DEB DE ︒==∠ △274535DE ≈≈故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.20．D【分析】过点E 作EF△AB 于点F ，设AE=x cm ，则AD=3x ,则=AB ,然后利用AB•AD=x 的值，即可得到AD,AB 的长度，则周长可求．解：如图，过点E 作EF△AB 于点F ，△六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，△设AE=x cm ，则AD=3x ，△△AEB=120°，△△EAB=30°，△AB=2AF=2cos30x︒，△六角星纸板的面积为2，△AB•AD=3393x x=解得x△AD=AB=3，△矩形ABCD的周长=3)26)⨯=cm．故选:D．【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．21．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD 中，用△B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，△CD=AD=x，△BD=16-x，在Rt△BCD中，△B=60°，△tanCDBBD =，即：16xx= -解得8(3x=，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．22．C【分析】根据题意易得OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．解：由题意得：OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，△95mOB OA AB=-=，△135==150mtan0.9OAONN=∠，95=136mtan0.7OBOMM=≈∠，△286mMN OM ON=+=；故选C．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．23．D【分析】利用平行线性质得出：△ABD=△EAB=60°，进而得出△ABC=△BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．解：由题意可得出：△EAC=80°，△EAB=60°，△DBC=40°，BC=40×2=80（海里），△△BAC=80°-60°=20°，△BCA=60°，△AE△BD，△△ABD=△EAB=60°，△△DBC=40°，△△ABC=60°-40°=20°，△△ABC=△BAC=20°，△BC=AC=80（海里）．△C海岛到观测点A的距离是80海里．故选D.【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．24．B【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x+2x＝AB，可得：x，可知AS＝（15）海里．解：过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，△AS ＝DS ，△△CDS ＝△CAS ＝30°，△△ABS ＝15°，△△DSB ＝15°，△SD ＝BD ，设CS ＝x 海里，在Rt △ASC 中，△CAS ＝30°，△AC（海里），AS ＝DS ＝BD ＝2x （海里），△AB ＝30海里，+2x ＝30，解得：x △AS ＝（15）海里．故选：B ．【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．25．A【分析】直接利用坡度的定义得出AC 的长，再利用勾股定理得出AB 的长．解：△i =5BC m =， △5BC AC AC ==解得：AC =，则10AB m =．故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC 的长是解答本题的关键． 26．D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．解：根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ △6BC =米 △6100.60.6BC AB ===米 故选：D ．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．27．A【分析】在Rt △ACB 中，利用正弦定义，sin α=BC AB ，代入AB 值即可求解． 解：在Rt △ACB 中，△ACB =90°，△sin α=BC AB， △BC = sin α⋅AB =12 sin α（米），故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．28．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD △CD ，△△BCD =α，△ACD =45°．在Rt △CDB 中，CD =m cos α，BD =m sin α，在Rt △CDA 中，AD =CD ×tan45°=m ×cos α×tan45°=m cos α，△AB =AD -BD=（m cos α-m sin α）=m （cosα-sin α）．故选：A ．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．29．100tan tan tan tan αββα- 【分析】由正切的定义分别确定tan ,tan αβ的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．解：如图，CD 为树高，点C 为树顶，则,CAD CBD αβ∠=∠=，BD =AD -100△依题意，有tan tan 100CD AD CD AD αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩①② 由△得tan CDAD α=③将△代入△，解得100tan tan =tan tan CD αββα- 故答案为：100tan tan tan tan αββα-． 【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．解：如图，△sinB ＝AC AB == △△B ＝60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．31．23【分析】利用CD ∥AB ，得到△BAC =△DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，可得sin△ACD =AD AC =23，从而可得答案． 解：如图：△CD ∥AB ，△△BAC ＝△DCA ．△同圆的半径相等，△AC ＝AB ＝3．在Rt ACD △中，sin△ACD ＝23AD AC ． △sin△BAC ＝sin△ACD ＝23．故答案为：23．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．32．45【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 解：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△sin A ＝BC AB ＝45， △cos B ＝BC AB ＝45． 故答案为：45． 【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若△A +△B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．33．158【分析】先解直角三角形ABC 求出BC 的长，从而求出AB 的长，再由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，即可得到BE 的长，再解直角△BED 即可得到答案．解：△△C =90°，AC =3cm ，3tan =4B ， △3tan ==4AC B BC ， △BC =4cm ，△AB ，由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，△DE △AB ，522AB AE BE cm ===， △3tan =4DE B BE =， △31548DE BE cm ==， 故答案为：158． 【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE 是线段AB 的垂直平分线是解题的关键．34．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==165AE ∴=125DE ∴=== DE AC ⊥90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD ∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠== 534CD DE ∴=⋅= 在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35．3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×12＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．36【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．解：sin 45︒=． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．解：△sin （α+15°）=1，△α+15°=90°，△α=75°，故答案为：75．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出△A 的度数，然后求出tanA 的值．解：△sinA ＝12，△△A ＝30°，则tanA【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练地运用进行计算．394##42+ 【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：sin45°+2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，+4．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有：sin 452=°，()10p pa a a -=≠． 403【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质即可求解．解：原式124=-14=3=．3．【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质．41．等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出△A和△B的角度，即可得出答案.解：△210 2sinA tanB-+⎛⎝⎭=△12sinA=，tanB=△△A=30°，△B=30°△△ABC是等腰三角形故答案为等腰.【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 42．75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=12，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．解：△（cos A﹣12）2+|tan B﹣1|＝0，△cos A﹣12＝0，tan B﹣1＝0，则cos A＝12，tan B＝1，△△A＝60°，△B＝45°，△△C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出△BAD=90°，△D=30°，解直角三角形即可求得．解：△ABC∆是等边三角形，△60B BAC ACB︒∠=∠=∠=，△CD AC=，。
中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．BCabc锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )(A)1 (B)2 (C) 12(D)52【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度.【答案】B；【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan∠αα=∠α的对边的邻边，故选B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( )(A) 12(B)2 (C)55(D)52【答案】选C.因为∠C=90°，522AB=AC +BC =BC ，所以BC BC 5sin A AB 55BC===.类型二、特殊角的三角函数值2．已知a ＝3，且21(4tan 45)302b bc -++-=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【思路点拨】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩°求出b 、c 的值，再求三角形面积. 【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°， 所以162S ab ==． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错． 举一反三： 【变式】 计算：.【答案】原式.3．如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．【思路点拨】为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线，即可顺利求解． 【答案与解析】解：过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ．∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．∴AD ＝AB ·cos60°＝10×12＝5； BD ＝AB ·sin60°＝10×32＝53． 又∵CD ＝CA+AD ＝10， ∴2257BC BD CD =+=，∴21sin 7BD BCD BC ∠==． 同理，可求得21sin 14ABC ∠=． ∴21213sin sin 71414ABC BCD ∠∠=⨯=． 【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．举一反三：【变式】如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为__________.(结果保留根号)．【答案】类型三、解直角三角形及应用4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．【思路点拨】由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得332BD=．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而33332BC<<，所以此题有两解．【答案与解析】解：作BD⊥AC于D．(1)C1点在AD的延长线上．在△ABC1中，13BC=，332 BD=，∴13sin2C=．∴∠C1＝60°．由勾股定理，可分别求得13 2DC=，92 AD=．∴AC1＝AD+DC1＝936 22+=．(2)C2点在AD上．由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，213 2C D C D==．∴∠BC2A＝120°，2933 22AC=-=．综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．5．（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）【思路点拨】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．【答案与解析】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?________________________________________________________. 【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x-1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x-1.6．∴CE ＝x-1.6+18.6＝x+17．∵tan tan 35MECE α==°， ∴ 1.60.717x x -=+，解得x ＝45．∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ．(2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．6．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）【思路点拨】过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在R t△BDP中求出PB即可．【答案与解析】解：过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12C ．cosB ＝32D ．tan B ＝3第1题 第2题2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为（ ）A ．53B ．255 C ．52D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=25，则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.5第4题 第6题5．一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（ ）米． A ．B ．3C ．D ． 以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（ ）A.sinA=cosAB.sinA ＞cosAC.sinA ＞tanAD.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 .8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题第12题9．计算2sin30°﹣sin245°+t an30°的结果是 .10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值为 .11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=12DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现要在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ； 【解析】sinA ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ＝33，cosB ＝BC AB ＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB=2AC BC +2=2(5)2+2=3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD． ∴ sin∠ACD=sin∠B=ACAB =53， 故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，AC= 22AD -CD =-=222（25）4，∴tan ∠CAD===2．故选A ．5.【答案】B ；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．6.【答案】B ；【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题 7．【答案】21； 【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=21．8．【答案】；【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，在Rt △ACD 中，AC=22CD AD +=25,∴sinA=CD 5=AC 5.9．【答案】21+33； 【解析】2sin30°﹣sin 245°+ t an30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33．10．【答案】3； 【解析】∵sin60°=32，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=22﹣4×22﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°， ∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】13； 【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2， ∵DC ∥EH ， ∴12PC MC PH NH ==， ∵HC=3， ∴PC=3， ∴PH=6， ∴tan ∠NPH=2163NH PH ==，故答案为：13．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，∵tanBC BDCDB ∠=．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以3040.3tan25tan1530x='+≈°°(米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝11.5 DFCF，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。
第1讲 锐角三角函数--基础版
第1讲 锐角三角函数⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正弦、余弦、正切特殊角的三角函数值锐角三角函数解直角三角形直角三角形的应用 知识点1 正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念 正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作：sinA 。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作：cosA 。
正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作：tanA 。
锐角A 的正弦，余弦，正切，都叫做A的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。
令y=sinA ，y=cosA ，y=tanA ，则函数中自变量的取值范围均为：0︒︒<<900A 函数的增减性分别为： ①y=sinA 在自变量的取值范围内，y 随A的增大而增大 ②y=cosA 在自变量的取值范围内，y 随A的增大而减小 ③y=tanA 在自变量的取值范围内，y 随A的增大而增大. 【典例】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=【答案】4；【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，∴sinA==， 2.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．【答案】【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO==2，AC==，OC==，所以，AO2=AC2+OC2=20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB===．3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=．【答案】2【解析】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=6，AC=2，∴BC===4，又∵∠D=∠A，∴tanD=tanA===2．【方法总结】1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
最新锐角三角函数讲义
一、锐角三角函数【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A =∠=斜边的邻边cos锐角A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
的邻边的对边A A A ∠∠=tan =ab2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A ，0tan >A 。
二、特殊角的三角函数值：三、增减性：当0900<<α时，sin α、tan α随角度α的增大而增大；cos α、cot α随角度α的增大而减小。
【例题巧解点拨】例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5（1）求AB 的长。
（2）求sinA ，cosA 的值。
（3）求的值。
（4）比较sinA 与cosB 的大小。
（5）比较tanA 与AAcos sin 的大小。
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0） 和点B （0，－4）， 则cos ∠OAB 等于（ ）A.43B.－43C. 53D. 54例3. 已知a 为锐角，且aa aa a cos 2sin cos sin ,3tan +-=求的值.例4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD ； (2)若sinC=54，BC=12.求AD 的长.例5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED ⊥AB 于D 点，若tan ∠BED=34，cosA=1312，CE=1333，求DE 的长。
例6、如图，M 是正方形ABCD的边AD 的中点，BE=3AE 。
求sin ∠ECM 的值。
CDE【夯实基础】1.化简：+；2、△ABC 中，若cosB=23，tan A=，且 ∠A 、∠B 为锐角，则△ABC 是 三角形； 3、若αα，则锐角）110tan(3=︒+的度数为 ； 4、已知β是锐角，且cos β=23，则tan(90°-β)= ； 5.在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 。
锐角三角函数知识点
《锐角三角函数》知识点一：锐角三角函数（正弦、余弦、正切）（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边；（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即 bcos cA A ∠==的邻边斜边；（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切， 记作tan A ，即atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
知识点二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表知识点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）两锐角之间的关系： A ＋B ＝90° （2）三条边之间的关系：（3）边角之间的关系： ①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 正比cosA 随着角度的增大而 减小 反比tanA 随着角度的增大而 增大 正比知识点一、二、三对应基础练习1.在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，则cos A 的值是 。
2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sin A 的值是（ ）A ．1515 B ．41 C ．31 D ．4153. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，则tan BCD ∠的值为 （ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．454.在△ABC 中，90C ∠=，12sin 13A =，周长为60，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是 。
第四章《锐角三角函数》(基础卷)(解析版)
第四章锐角三角函数（基础卷）一、选择题（每小题4分，共40分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】如图所示：∵∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，∴AB=13，∴sin B=ACAB =1213．2、在Rt△ABC中，∠C=90∘，则下列式子定成立的是()A.sin A=sin BB.cos A=cos BC.tan A=tan BD.sin A=cos B【答案】D【解析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，∴sin A=cos B．3、已知sinαα是锐角，则α=( )A.75∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】B【解析】根据sin60∘a的值．【解答】解：∵sinαα是锐角，∴α=60∘．4、sin58∘、cos58∘、cos28∘的大小关系是（）A.cos28∘<cos58∘<sin58∘B.sin58∘<cos28∘<cos58∘C.cos58∘<sin58∘<cos28∘D.sin58∘<cos58∘<cos28∘【答案】C【解析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】sin58∘＝cos32∘．∵58∘>32∘>28∘，∴cos58∘<cos32∘<cos28∘，∴cos58∘<sin58∘<cos28∘．5、在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正弦值是( )A.34B.43C.35D.45【答案】C【解析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】∵AC=4，BC=3，AB=5,∴sin A=BCAB =35.6、拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是BC=10m，则坡面AB的长度是（）A.15mB.C.D.20m【答案】D【解析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=10m，tan A=∴AC=BC÷tan A=，∴AB=20m．7、在Rt△ABC中，∠B=90∘．若AC=2BC，则sin C的值是( )A.12B.2【答案】C【解析】利用已知表示出各边长，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵AC=2BC，∴设BC=x，则AC=2x，∴AB=，∴sin C=ABAC=8、如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4, 3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A.35B.45C.34D.43【答案】C【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90∘，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90∘，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P(4, 3)，∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα=PNON =34，9、在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，∠A=40∘，BC=3，则AC等于（）A.3sin40∘B.3sin50∘C.3tan40∘D.3tan50∘【答案】D【解析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正切的概念解答即可．【解答】解：∵∠C=90∘，∠A=40∘，∴∠B=50∘.∵tan B=AC，BC∴AC=BC⋅tan B=3tan50∘.10、我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60∘方向走到B地，再沿北偏西37∘方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（）（参考数据sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.32）A.12千米B.(3+千米C.(3+千米D.(12―千米【答案】B【解析】作BD⊥AC于点D，根据题意可得，∠A＝60∘，AB＝6，∠CBD＝53∘，再根据锐角三角函数即可求出AD和CD的值，进而求出A，C两地的距离．【解答】如图，作BD⊥AC于点D，根据题意可知：在Rt△ADB中，∠A＝60∘，AB＝6，∴AD＝3，BD＝在Rt△CDB中，∠CBD＝53∘，≈∴CD＝BD⋅tan53∘≈×1.32≈×43∴AC＝AD+CD＝3+则A，C两地的距离为(3+千米．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11. 已知tan(α+15∘)=α的度数为________∘．【答案】15【解析】根据tan30∘=α+15∘＝30∘，再解即可．【解答】∵tan30∘=∴α+15∘＝30∘，∴α＝15∘，12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=5，则tan B的值为________．13【答案】125，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股【解析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sin A=513定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．【解答】解：∵sin A=513，∴设BC=5x，AB=13x，则AC=12x，故tan∠B=ACBC =125．13.如图，在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，若cos A=35，则BC的长为________．【答案】8【解析】根据锐角三角函数定义和勾股定理求解．【解答】∵在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，cos A=35，∴cos A=ACAB =6AB=35，∴AB＝10，∴BC8．14. △ABC中，∠C=90∘，AB=8，cos A=34，则BC的长________．【答案】【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．【解答】解：如图，∵cos A=ACAB，∴AC=AB⋅cos A=8×34=6，∴BC15. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A cos B=12，则∠C=________．【答案】60∘【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sin A cos B=12，∴∠A=∠B=60∘．∴∠C=180∘―∠A―∠B=180∘―60∘―60∘=60∘．16. 如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB=BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝________．【答案】81【解析】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．在Rt△BET中，解直角三角形求出BT，ET，BC，由△ECG ∽△EBC，求出EC，CG，再利用相似三角形的性质求出EF，BF，AE，AB，证明点T与点A重合即可解决问题．【解答】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴ECEB =EGEC=CGCB，∴EC2＝EG⋅EB＝5×(5+4)＝45，∵EC>0，∴EC＝在Rt△BET中，∵sin∠AEB=BTBEBE＝9，∴BT∴ET==∴CT＝ET+CE∴BC=∴CG=EG⋅BCEC=10，∵∠ECG＝∠FBG，∴ E ，F ，B ，C 四点共圆，∴ ∠EFG ＝∠CBG ，∵ ∠FGE ＝∠BGC ，∴ △EGF ∽△CGB ，∴ EF CB =EGCG ，∴510，∴ EF ＝5，∵ ∠AFE ＝∠ACB ，∠EAF ＝∠BAC ，∴ △EAF ∽△BAC ，∴AE AB=AFAC =EFBC =12，设AE ＝x ，则AB ＝2x ，∵ ∠FBG ＝∠ECG ，∠BGF ＝∠CGE ，∴ △BGF ∽△CGE ，∴ BF CE =BGCG ，∴410，∴ BF ∵ AE ⋅AC ＝AF ⋅AB ，∴ x (x ＝(2x ―⋅2x ，解得x =∴ AE ＝ET ∴ 点A 与点T 重合，∴ AB ＝2AE =∴ S △ABE =12×AB ×AE =12××81．三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计86分） 17. 计算(1)tan30∘sin60∘+cos 230∘―sin 245∘tan45∘；(2)2―1+∘+|―5|―(π―2013)0.解：(1)原式=×+―×1=12+34―12=34 .(2)原式=12+―1=12+32+5―1=6 .18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =4,BC =6，求cos B 及tan B 的值．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ．∵ AB =AC ，∴ BD =CD =3.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ===∴ cos B =BDAB =34,tan B =ADBD =19. 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ,b ，c ，且a :b :c =3:4:5，求证：sin A +sin B =75 证明：设a =3k ,b =4k ,c =5k (k >0)．∵ a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，∴ △ABC 是直角三角形，且∠C =90∘.∴ sin A =ac =3k5k =35,sin B =bc =4k c=45．∴ sin A +sin B =75.20. 如图，一艘船由西向东航行，在A 处测得北偏东60∘方向上有一座灯塔C ，再向东继续航行60km 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30∘方向上，已知在灯塔C 的周围47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据题意可知∠BAC =90∘―30∘=30∘，∠DBC =90∘―30∘=60∘，∵ ∠DBC =∠ACB +∠BAC ，∴ ∠BAC =30∘=∠ACB ，∴ BC =AB =60km ，在Rt △BCD 中，∠CDB =90∘，∠BDC =60∘，sin ∠BCD =ADAC ，∴ sin60∘=CD60，∴ CD =60×sin60∘=60×=km )>47km ，∴ 这艘船继续向东航行安全．21. 如图，王亮为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东45∘方向，然后沿河岸直行100米到B点，在B点测得对岸C点在其北偏西45∘方向，求河宽CD的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732).解：设GD=x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD=30∘，∠BCD=45∘，∴∠ADC=∠BDC=90∘，∴AD=米，BD=CD=x米，∵AD+BD=AB=100米，∴+x=100，解得：x=6.5，即河宽CD约为63.5米（63.4也对）.22. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF=23∘，量得树干倾斜角∠BAC=38∘，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60∘，AD=4m．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据≈1.4≈1.7≈2.4）．解：(1)如图，延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠AEF=23∘，∴∠GAE=90∘―23∘=67∘．又∵∠BAC=38∘，∴∠CAE=180∘―67∘―38∘=75∘．(2)如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60∘，AD=4，cos∠ADC=DHAD ，sin∠ADC=AHAD，∴DH=2，AH=在Rt△ACH中，∵∠C=180∘―75∘―60∘=45∘，∴CH=AH=∴AC=∴ CD =CH +DH =+2．∴ AB =AC +CD =+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形．∠ACB =90∘，点A ，C 的坐标分别为A (―4,0)，C (2,0)，tan ∠BAC =12，AB 与y 轴相交于点D ．(1)求过点A ，B 的直线的函数表达式；(2)在y 轴上找一点E ，连接EB ，使得△EDB 与△ABC 相似，求点E 的坐标．解：(1)∵ 点A (―4,0)，C (2,0)， ∴ AC =6.∵ tan ∠BAC =12=BC AC ， ∴ BC =3， ∴B 点坐标为(2,3).设过点A ，B 的直线的函数表达式为：y =kx +b ，则―4k +b =0，2k +b =3， 解得k =12，b =2，∴ 直线AB 的函数表达式为：y =12x +2.(2)①当∠BED =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE //x 轴，与y 轴交于点E ，则∠EBD =∠CAB ，∴ △EDB ∼△CBA ，则DE BC =BE AC ，即DE 3=26，解得DE =1，∴ E (0,3).②当∠DBE =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE ⊥BD ，与y 轴交于点E ，则∠DEB =∠BAC ，∴ △EDB ∼△ABC ，则DE BA =BD BC ，即=DE =5，∴ E (0,7).24、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN(如图)，在码头西端M 的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB＝40km，AC＝，∴BC＝km)．∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴80＝千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.∵AC＝km)，∴CS＝30°＝km)．∴AS＝30°＝12(km)．又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.∵AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝km)．∴AR＝40×cos60°＝40×12＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴STRT＝CSBR，STST＋20＋12＝解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又∵AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km.∵19.5<AT<20.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．。
(完整版)锐角三角函数超经典学习资料
(完整版)锐角三角函数超经典学习资料锐角三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用。
通过研究锐角三角函数，我们可以更好地理解和解决各种相关问题。
一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一，在数学中常记作sin。
正弦函数的定义如下：$$ \sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse} $$其中，$\theta$ 表示角度，$opposite$ 表示对边的长度，$hypotenuse$ 表示斜边的长度。
正弦函数有许多重要的性质和关系，比如：- 正弦函数的取值范围是[-1, 1]：即对于任意角度 $\theta$，$-1 \leq \sin(\theta) \leq 1$。
- 正弦函数是一个周期函数：即 $\sin(\theta)$ 的周期是 $2\pi$，即在每个 $2\pi$ 的区间内，$\sin(\theta)$ 的值重复。
二、余弦函数余弦函数也是锐角三角函数中的一种重要函数，在数学中常记作cos。
余弦函数的定义如下：$$ \cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse} $$其中，$\theta$ 表示角度，$adjacent$ 表示邻边的长度，$hypotenuse$ 表示斜边的长度。
余弦函数同样有许多重要的性质和关系，比如：- 余弦函数的取值范围是[-1, 1]：即对于任意角度 $\theta$，$-1 \leq \cos(\theta) \leq 1$。
- 余弦函数也是一个周期函数：即 $\cos(\theta)$ 的周期是$2\pi$，即在每个 $2\pi$ 的区间内，$\cos(\theta)$ 的值重复。
三、正切函数正切函数是锐角三角函数中的另一种常见函数，它经常用于计算角度的斜率。
正切函数的定义如下：$$ \tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent} $$其中，$\theta$ 表示角度，$opposite$ 表示对边的长度，$adjacent$ 表示邻边的长度。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。
2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。
3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。
- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。
- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。
(完整版)锐角三角函数知识点考点总结
e an dAl l th a re go 1 锐角三角函数定义锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）叫做角A 的锐角三角函数。
正弦（sin ）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos ）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan ）等于对边比邻边；tanA=a/b锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
1）锐角三角函数值都是正值。
2）当角度在0°~90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；4同角三角函数基本关系式aa a tan cos sin ⋅=5互为余角的三角函数间的关系aa cos )90sin(=-aa sin )90cos(=- 6 解直角三角形的基础知识在Rt 中，，，，所对的边分别为，，ABC ∆ 90=∠C A ∠B ∠C ∠a b c （1）三边之间的关系：222c b a =+（2）锐角之间的关系：+==A ∠B ∠C ∠ 90（3）边角之间的关系：；；；c a A =sin c b A =cos ba A =tan ；；c a B =cos c b B =sin abB =tan （4）面积公式：（为斜边上的高）ch ab S 2121==∆h 7 （正切），宁乘勿除，取原避中”。
其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。
8 解直角三角形应用题中的常见概念（1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示。
α坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则h l i αtan ==lhi（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。
专题 锐角三角函数
专题一锐角三角函数知识点1：锐角三角函数的定义在直角三角形中，锐角α的边与边的比叫做角α的正弦，记着在直角三角形中，锐角α的边与边的比叫做角α的余弦，记着在直角三角形中，锐角α的边与边的比叫做角α的正切，记着如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°sinA= sinB=cosA= cosB=tanA= tanB=知识点2：三角函数因为对于锐角α的每一个确定的值，sinα cosα tianα分别都有的值与它，所以sin α cosα tianα的值都是角α又称角α的角例1:在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=1，b=3，则c=______，sin A=______，cos A=______，tan A=______，sin B=______，cos B=______，tan B=______．根据结果，你有什么发现？若∠A+∠B=900,则，求∠A及∠B的其它三角函数值；例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=37．例3:如图，△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sin A=13(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tan B．例4:如图，在△ABC中，D为BC中点，且∠BAD=90°，tan B=1，3求sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．例5：在△ABC 中,∠A 和∠B 均为锐角,AC=6，33=BC 且33sin =A ，则cosB=练习1.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°D 是BC 边上一点，AC=2，CD=1， 设∠C AD=a 则sina=______，cosa=______，tana=______，sin （90°-a ）=______，cos （90°-a ）=______，tan （90°-a ）=______．2.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=37，求∠A 及∠B 的其它三角函数值．3.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，53sin =A ，AB=14，BD 是AC 边上的中线 （1） 求△ABC 的面积 （2）求tan ∠ABD 的值4.如图,D 是△ABC 中BC 边的中点，∠BAD =90°,32tan =B ,AD=2 求sin ∠CAD 的值5.在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3， tanC 等于 .专题二 30°45°60°的三角函数值 在Rt△ABC 中，∠C =90，(1)若∠B =60，则a:b:c=sin B =______，cos B =______，tan B =______． sin A =______，cos A =______，tan A =______．(2)若∠B =45°，则a:b:c=sin B =______，cos B =______，tan B =______． sin A =______，cos A =______，tan A =______． 角度三角函数30° 45°60° sinA cosA tanA例1：计算()60sin 833)58(cos )2(132018-+++---π例2：求适合下列条件的锐角 （1）222sin =α （2）33)16sin(6=- α例3：如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 至D 点，使AD =AB ．求： (1)∠D = ，∠DBC= ； (2)tan D 及tan∠DBC ；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．例4.已知：如图,△ABC 中,∠B =30°,P 为AB 边上一点,PD ⊥BC 于D ．当BP ∶PA =2∶1时, 求sin∠1、cos∠1、tan∠1.练 习1.计算260tan )60sin 60(cos 45sin 22+--2.在△ABC 中，若∠A、∠B 满足212cos(15)(sin )02A B --+-=︒，则∠C= .3. 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：13sin30cos30,2°°==，则22sin 30cos 30°°+= . 22sin 45cos45,°°==，则22sin 45cos 45°°+= . 31sin60cos60,2°°==，则22sin 60cos 60°°+= . 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A+cos 2A= .(1)如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想；(2)已知：∠A 为锐角(cosA ＞0)且sinA=35，求cosA ．(3)在Rt△ABC 中，∠C=90°，且sinA 、cosA 是关于x 的方程2310x mx -+=的两根， m 为实数，则sin 4A+cos 4A=______．专题三解直角三角形在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b,BC=a,AB=c(1)三边之间的等量关系为：(2)两锐角之间的关系为：(3)边与角之间的关系：sinA=cosB= ; cosA=sinB=tanA= tanB=(4)直角三角形中成比例的线段在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，CD2= AC2= BC2= （5）直角三角形的主要线段直角三角形斜边上的中线等于斜边的（6）解直角三角形由直角三角形中已知的元素（除直角外两个元素且至少有一个是边），求出所有的过程，叫做解直角三角形已知条件解法一条边和一个角斜边C和锐角A∠B= a=b=直角边a和锐角A∠B= c=b=两条边两条直角边a和bc=∠A=∠B=一条直角边a和斜cb=∠B=∠A=例1：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，c=22，解ABC；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=3，解△ABC；(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=14，b=2，求c的值；(4)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=14，S△ABC=2，求c的值．例2：把两块含有30°的相同的直角尺按如图所示摆放，使点C ，B ，E 在同一条直线上，连接CD ，若AC=6cm ，则△BCD 的面积是_____cm 2．例3： 解答下列问题(1)已知：如图1，Rt 中，90ACB ∠=︒，于D ．若，求A ∠；(2)已知：如图2，在△ABC 中，CD⊥AC 于D ，sin∠A=35，tan∠B=3， AB=2，求BC 的长．例4：已知：如图，∠C=∠ABD=90°，∠BAC=30°，AB=BD ，BC=1， 求：(1)∠CAD= ______； (2)∠CAD 的三角函数值.例5: 如图，△ABC 中，∠A=30°，∠B=135°，AC=10cm ，求AB 及BC 的长．例6：△ABC 中，∠A=30°，AC=10，52BC =，求AB 的长．ABC ∆CD AB ⊥:3:1AD DB =ABD练 习1.(1)在Rt△ABC 中，∠C=90°，21sin =A ，32=AC ，求BC 的长；(2)在Rt△ABC 中，∠C=90°，33sin =A ，3223+=+BC AC ，求BC 的长．2.把两块含有30°的相同的直角尺按如图所示摆放，连接AE ，若AC=6cm, 则△ADE 的面积是_____cm 2．3.如图，在Rt 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，BC=1 (1)如果∠BCD=30°．求AC(2)如果31tan =∠BCD ．求CD4.如图，在Rt 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，AC=2，CD=1，设α=∠CAD (1)试写出α的3个三角函数值 （2）若α=∠B ，求BD 的长5.如图，在△ABC 中，∠BCA=135°，BC=4,AC=22，求AB 的长6.在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，求AB 边上的高CD 的长ABC ∆ABC ∆专题四三角函数的应用例1：如图，Rt△AB D中，∠D=90°，∠B=45 ，∠ACD=60°．BC=10cm．求AD的长．例2：如图，小明向用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）例3：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了5003m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？例4: 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．练 习1.如图，在Rt△AB C 中，∠C =90°，AC=8，AD 为∠BAC 的角平分线，且3316=AD ，求BC 的长2.已知,如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)3.如图，在一条东西公路l 的两侧分别有村庄A 和B ，村庄A 到公路的距离为3千米，村庄A 位于村庄B 北偏东60°的方向，且与村庄B 相距10千米，现有一辆长途客车从位于村庄A 南偏西76°方向的C 处，正沿公路l 由西向东以40km/h 的速度行驶，此时，小明正以25km/h 的速度由B 村出发，向正北方向赶往公路l 的D 处搭乘这趟客车． （1）求村庄B 到公路l 的距离；（2）小明能否搭乘上这趟长途客车？（3≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）4.如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD ．。
初中数学锐角三角函数知识点
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是高中数学的重要内容，它涉及到三角函数的定义、性质以及与三角函数相关的常见解题方法。
以下将详细介绍锐角三角函数的知识点。
一、锐角三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以对边AB与斜边AC的比值作为函数值。
记作sinA = AB/AC。
2. 余弦函数（cosine function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以邻边BC与斜边AC的比值作为函数值。
记作cosA = BC/AC。
3. 正切函数（tangent function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以对边AB与邻边BC的比值作为函数值。
记作tanA = AB/BC。
4. 余切函数（cotangent function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以邻边BC与对边AB的比值作为函数值。
记作cotA = BC/AB。
5. 正割函数（secant function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以斜边AC与邻边BC的比值作为函数值。
记作secA = AC/BC。
6. 余割函数（cosecant function）：在锐角ABC中，以角A为自变量，以斜边AC与对边AB的比值作为函数值。
记作cscA = AC/AB。
二、锐角三角函数的性质1. 正弦函数的定义域为[0, π/2]，值域为[0, 1]，是一个奇函数，即sin(π/2 - A) = cosA。
2. 余弦函数的定义域为[0, π/2]，值域为[0, 1]，是一个偶函数，即cos(π/2 - A) = sinA。
3.正割函数和余割函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π)，值域为R^+∪R^-。
4.正弦函数和余弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，对称于直线x=π/25.正切函数和余切函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π)，值域为R^+∪R^-。
6.正切函数和余切函数的图像是一条周期为π的曲线，对称于直线x=π/2三、常用的锐角三角函数解题方法1. 利用定义求函数值：根据三角函数的定义，利用已知信息计算出函数值。
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AA∠=sin。
3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AA∠=cos。
4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAA∠∠=tan。
sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
考点一：锐角三角函数的定义1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（）A、3：4：5B、5：3：4C、4：3：5D、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB= = ______。
4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。
5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（）A、ncosBB、1ncosB C、cosnBD、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE BC=，DF AE⊥，垂足为F，连接DE。
（1）求证：ABE△DFA≌△；（2）如果10AD AB=，=6，求sin EDF∠的值。
6、如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。
7、如图（1），∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一个点P（3，4），则sinα=______8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于（）A5B、255C、12D、2注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
《锐角三角函数》基础练习
《锐角三角函数》基础练习二、练习1、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5， 求A sin , A cos ，A tan ，2、填空题（1）Rt △ABC 中，∠C ＝900,若AB ＝5，AC ＝4，则sinB= . （2）Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA =54，cosA= （3）=︒⨯︒45cos 2260sin 21 .（4）∠B 为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B ＝ .（5）等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 . 3、选择题（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子中正确的是（ ）． A. sinA=sinB B. sinA=cosB C. tanA=tanB D. cosA= cosB （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，已知a 和A ，则下列关系式中正确的( ) A. c=a ·sinA B. c=A a sin C. c=a ·cosA D. c=Aacos （3）在△ABC 中，若cosA=22,tanB=3，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 （4）在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定 4、计算(1)tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45° （2）23tan 303cos 302sin 30︒︒-︒5、巩固练习（1）．在△ABC 中，∠C =90°，tan A =125，△ABC 周长为60，则面积=_________．（2）．在Rt △ABC 中，sin A =54，AB =10，则BC =______，cos B =_______． （3）．在△ABC 中，∠C =90°，若cos A =21，则sin A =__________．（4）． 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______． （5）如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60，已知测角仪AB 的高为1.5米，则旗杆CE 的高等于 米．（6）．如图，河堤横断面是梯形，上底为4m ，堤高为6m ，斜坡为AD 的坡比为1︰3，斜坡BC 的坡角为45°，则河堤的横断面积为 ㎡。
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A 夯实基础 核心知识点 1 正弦的概念
1.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，下列各组边的比不能表示 sinB 的是（ ）
A. AC AB
B. CD BC
C. DC ACБайду номын сангаас
D. AD AC
C
A
D
B
答案：C
核心知识点 2 已知边长求正弦值
2.在△ABC 中，∠C＝90°，若 AC＝4，AB＝5，则 sinA＝
13.如图，点 A，B 的坐标分别为 A（3，2），B（5，0），求 sin∠ABO 的值.
y A
y A
O
Bx
O
C Bx
答案：过 A 作 AC⊥OB 于 C，则 OC＝3，AC＝2，BC＝OB－OC＝5－3＝2，
在 Rt△ABC 中，运用勾股可求 AB＝ 2 2 ，则 sin∠ABO＝ 2 . 2
14.如图，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2. （1）求 S△ABC 的值； （2）求 sinB 的值.
.
y
O1
x
P 1
答案： 4 5
6 如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，则 sinA 的值是
.
O
A
B
答案： 3 5
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sinA，sinB 的值.
A
A
6
13
8 C
图1
B
C
12
图2
B
答案：（1）sinA＝ 4 ，sinB＝ 3 ；（2）sinA＝ 12 ，sinB＝ 5 .
.
答案： 3 5
3.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AC＝2BC，则 sinA＝
.
答案： 5 5
4.如图，过直径 AB 延长线上的点 C 作⊙O 的切线，切点为 D，若 BC＝3，AB＝4，则 sinC＝ . D
A
C
O
B
答案： 2 5
5.如图，点 P 的坐标为（3，一 4），则 sin∠1＝
28.1.1 锐角三角函数（一）
自主导学
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ a . c
易错点睛
在 Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，则 sinA 的值为
.
答案： 3 或 3 54
【点睛】直角边或斜边不明，应分类讨论。
C
C
B
A
B
AE
答案：（1）作 CE⊥AB 于 E，则 AE＝1.CE＝ 3 ，∴S△ABC＝ 2 3 ； （2）∵BE＝5.CE＝ 3 .BC＝ 2 7 ，sinB＝ 21 .
14
3
C 拓广探索 15.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1，l2，l3 上，且 l1， l2 之间的距离为 2，l2，l3 之间的距离为 3，BC 交 l2 于 D 点. （1）求 AB 的长； （2）求 sin∠BAD 的值.
.
EB
D
A
C
答案： 3 5
11.如图，△ABC 内接于⊙O，AD 为直径，AD＝3，AC＝2，则 sinB＝
.
2
A
B
C
D
答案： 2 3
12.如图，△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，D 为 BC 中点，DE⊥AC 于 E，则 sinB＝ ，sin∠CDE＝ .
A
E
B
D
C
答案： 12 ， 5 13 13
A B
C l1
D l2
l3
A
E B
C l1
D
l2
F l3
答案：（1）分别过 A，C 作 AE⊥l3 于 E，CF⊥l3 于 F，则△ABE≌△BCF，
则 BE＝CF＝5，AE＝BF＝3，AB＝ 34 ；
（2）sin∠BAD＝sin∠ABE＝ 3 34 34
4
5
5
13
13
核心知识点 3 已知正弦值求边长
8.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ 3 ，BC＝6，则 AB＝
，AC＝
.
5
答案：10，8
9.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ 1 ，BC＝2，求 AB，AC 的长。 4
B
A
C
答案：AB＝8，AC＝ 2 5 .
B 综合运用
10.如图，∠ACB＝90°，DE⊥AB 于点 E，AB＝10，BC＝6，则 sin∠BDE＝