必修二圆的方程(例+练)2019年

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2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习新人教A版必修2

2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0．解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。

人教B版2019高中数学必修二学案：2.3.2 圆的一般方程_含答案

2.3.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.[知识链接]1.圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r .2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断.[预习导引]1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径等于12.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A ＝C ≠0；(2)没有xy 项，即B ＝0；(3)D 2＋E 2－4AF >0时，它才表示圆.要点一圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0；(3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0；(4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫542， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析由题意可知(－2)2＋12－4k >0，即k <54. 要点二求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解方法一设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.方法二设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.∴圆心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪演练2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程.解设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.要点三求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2 ＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5).又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1). 故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.规律方法求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解方法一设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3.且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).方法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2,－3)D.(2,－3)答案 D 解析－D 2＝2，－E 2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3). 2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( )A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12答案 D解析方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12. 3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A.以(a ，b )为圆心的圆B.以(－a ，－b )为圆心的圆C.点(a ，b )D.点(－a ，－b ) 答案 D解析原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ).4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________.答案 114 解析 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114. 5.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出适当方程，以便简化解题过程.3.曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.。

【同步练习】2019年高中数学人教A版必修2 圆的一般方程同步练习 Word版含解析

2019年高中数学人教A 版必修2 圆的一般方程同步练习一、选择题：1.方程2x 2＋2y 2-4x ＋8y ＋10=0表示的图形是( )A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在2.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示的圆过原点且圆心在直线y=x 上的条件是( )A.D=E=0，F ≠0B.D=F=0，E ≠0C.D=E ≠0，F ≠0D.D=E ≠0，F=03.由方程x 2＋y 2＋x ＋(m-1)y ＋0.5m 2=0所确定的圆中，最大面积是( ) A.23π B.43π C.3π D.不存在 4.若圆x 2＋y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y ＋a=0的距离为22，则a 的值为( ) A.-2或2 B.0.5或1.5 C.2或0 D.-2或05.若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A.x 2＋y 2=25(y ≠0)B.x 2＋y 2=25C.(x-2)2＋y 2=25(y ≠0)D.(x-2)2＋y 2=256.若圆x 2＋y 2-4x ＋2y ＋m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )A.1B.-3C.0D.2二、填空题：7.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x-y ＋2=0的对称点都在圆C 上，则a=________.8.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________.三、解答题:9.已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3=0，圆心在直线x ＋y-1=0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程.10.设定点M(-3,4)，动点N在圆x2＋y2=4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程.11.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆.参考答案1.A；2.D；3.B4.C；5.C；6.B；7.答案为：-2；8.答案为：(x-1.5)2+(y-0.5)2=0.5.9.解：圆心C(-0.5D,-0.5E)，因为圆心在直线x＋y-1=0上，所以-0.5D,-0.5E-1=0，即D＋E=-2，①又r=2，所以D2＋E2=20，②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限，所以-0.5D<0，即D>0，所以D=2,E=-4.所以圆的一般方程为：x2＋y2＋2x-4y＋3=0.10.解：11.解：(1)x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0可化为[x＋(m-1)]2＋(y-2m)2=9，∴圆心为(1-m,2m)，半径r=3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组a=1-m,b=2m, 即2a＋b=2.∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y-2=0上，且为等圆.。

高一数学必修二第四章圆与方程基础练习题及答案

高一数学（必修2）第四章圆与方程[基础训练]一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或11 5．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为。

3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为________________。

人教版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程2

小结：用待定系数法求圆的方程的步骤：
小结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程； 3. 解方程组，求出a、b、r或D、E、F的
值，代入所设方程，就得要求的方程．
例2. 圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆 x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程．
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化为圆的标准方程情势吗？
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为圆的标准方程情势，则圆心、半径分别是？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化为圆的标准方程情势吗？
探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①xD 2 yE2
D2
E2
4F
②
2 2
4
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E

高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案

高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。

(x-2)²+y²=5B。

x²+(y-2)²=5C。

(x+2)²+(y+2)²=5D。

x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1-√2D。

1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。

-3或7B。

-2或8C。

2或10D。

1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

1条B。

2条C。

3条D。

4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。

x+3y-2=0B。

x+3y-4=0C。

x-3y+4=0D。

x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。

2019-2020学年人教版数学必修二课时检测：第四章 4.1.1 圆的标准方程

A级基础巩固一、选择题1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，所以所求圆的圆心为(2，0)，易知所求圆的半径r ＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：A2．方程(x－1)x2＋y2－3＝0所表示的曲线是()A．一个圆B．两个点C．一个点和一个圆D．一条直线和一个圆解析：(x－1)x2＋y2－3＝0可化为，x－1＝0或x2＋y2＝3，所以方程(x－1)x2＋y2－3＝0表示一条直线和一个圆．答案：D3．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m 的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(－∞，5)C．(0，5) D．[0，5]解析：由题意知(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5.又m＞0，所以0＜m＜5.答案：C4．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2解析：圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案：B5．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：设圆心坐标为(a ，0)，由题意知|a |5＝5，所以|a |＝5. 因为圆C 位于y 轴左侧，所以a ＝－5，所以圆C 的标准方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.答案：D二、填空题6．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．解析：C 1(5，3)，C 2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C 1C 2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：57．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________________．解析：由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)，从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．若AB 为圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的直径且直线AB 的斜率为2，则AB 垂直平分线的方程为_________________________________．解析：易知A ，B 关于圆心(－2，1)对称，则线段AB 的垂直平分线经过(－2，1)且斜率为－12，所以所求直线方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0. 答案：x ＋2y ＝0三、解答题9．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，求该圆的标准方程．解：因为圆心在第一象限，而且与x 轴相切，所以可设圆心坐标为(a ，1)，a ＞0，且圆心到直线4x －3y ＝0的距离为1，即|4a－3|5＝1，得a＝2或a＝－12(舍去)，所以该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝1.B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，即方程x＋y－2＝0.答案：A2．已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC 为直角三角形，则圆C的方程为__________________．解析：因为圆心C在弦AB的垂直平分线上，因此设C(1，m)．由于△ABC 为等腰直角三角形，所以|AC |＝2＝1＋m 2，因为m ＞0，所以m ＝1，所以圆心坐标为(1，1)，圆的半径为 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝23．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．解：(1)根据题意，所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x ＋3y －15＝0的交点，因为AB 中点为(1，2)，斜率为1，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3，联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋3，x ＋3y ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝6.所以圆心C (－3，6)，半径r ＝（－3＋1）2＋（6－0）2＝210，所以所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40.(2)|AB|＝42＋42＝42，圆心到AB的距离为d＝42，因为P到AB距离的最大值为d＋r＝42＋210，所以△PAB面积的最大值为12×42×(42＋210)＝16＋8 5.。

圆的方程

必修二圆的方程练习题一．选择题（共8小题）1．从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．02．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣83．圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．14．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．6．以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1C．（x+3）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=27．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．48．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离二．解答题（共8小题）9．如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．10．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．11．已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．12．一圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程．13．设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5=0，（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．14．已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．15．已知过点A（﹣1，4）的圆的圆心为C（3，1）．（1）求圆C的方程；（2）若过点B（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．16．已知圆C经过A（3，2）、B（4，3）两点，且圆心在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点P（﹣1，3）且与圆C相切，求直线l的方程．必修二圆的方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016•陕西校级模拟）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．2．（2016•贵州校级模拟）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．3．（2015•潮南区模拟）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选B．4．（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．5．（2015•新课标II）过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B6．（2015•茂名一模）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1 C．（x+3）2+（y﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=2【解答】解：设圆的方程是（x﹣3）2+（y+1）2=r2∵直线3x+4y=0相与圆相切∴圆的半径r==1因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=1 故选：A．7．（2013•安徽）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．4【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为故选C．8．（2012•山东）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．二．解答题（共8小题）9．（2016春•吉林校级期末）如图所示，在Rt△ABC中，已知A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），点C在x轴上．（Ⅰ）求Rt△ABC外接圆的方程；（Ⅱ）求过点（﹣4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点C（a，0），由BA⊥BC，可得K BA•K BC=•=﹣1，∴a=4，故所求的圆的圆心为AC的中点（1，0）、半径为AC=3，故要求Rt△ABC外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9．（Ⅱ）由题意可得，要求的直线的斜率一定存在，设要求直线的方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故有d==3，求得k=±，故要求的直线的方程为3x﹣4y+12=0，或3x+4y+12=0．10．（2015秋•高安市校级期末）若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=011．（2015秋•孝义市期末）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A （2，1），求圆C的标准方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆心（a，b），半径r．∵圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），∴解得．故圆C的标准方程为．12．（2013秋•南岗区校级期末）一圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程．【解答】解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x﹣3y=0上，故设圆方程为（x﹣3b）2+（y ﹣b）2=9b2．又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1．故所求圆方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．13．（2013春•天元区校级月考）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5=0，（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．【解答】解：（1）将x2+y2﹣4x﹣5=0配方得：（x﹣2）2+y2=9∴圆心坐标为C（2.0），半经为r=3．…（6分）（2）设直线AB的斜率为k．由圆的知识可知：CP⊥AB，∴k CP•k=﹣1又K cp==1，∴k=﹣1．∴直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即：x+y﹣4=014．（2013秋•昌平区期末）已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．【解答】解：（I）∵点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），∴k AB==1，∴过A、B两点的直线方程为y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0…（4分）（II）线段AB的中点坐标（0．﹣2），k AB=1，则所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线方程是x+y+2=0…（8分）（III）设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知，解得D=3，E=1，F=﹣4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y﹣4=0．…（14分）15．（2010秋•徐州期末）已知过点A（﹣1，4）的圆的圆心为C（3，1）．（1）求圆C的方程；（2）若过点B（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆C半径r即为AC，所以，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．（2）圆心C到直线l的距离为，当直线l垂直于x轴时，方程为x=2，不满足条件，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0，由，解得，所以直线l的方程为x+2y=0．16．（2009•山东模拟）已知圆C经过A（3，2）、B（4，3）两点，且圆心在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点P（﹣1，3）且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，r＞0，，依题意得：，解得a=2，b=4，r=．所以，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（2）由于直线l经过点P（﹣1，3），当直线l的斜率不存在时，x=﹣1与圆C （x﹣2）2+（y﹣4）2=5 相离．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即：kx﹣y+3=0．因为直线l与圆相切，且圆的圆心为（2，4），半径为，所以，有=．解得k=2 或k=﹣．所以，直线l的方程为y﹣3=2（x+1）或y﹣3=﹣（x+1），即：2x﹣y+5=0 或x+2y﹣5=0．。

高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(简答题：一般)

圆的方程（简答题：一般）1、求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。

2、（1）求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程。

（2）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．3、（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程. （2）若点在圆上，求的最大值.4、已知为圆上的动点,，为定点.（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.5、求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．6、已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积7、已知圆过，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求此圆的方程．（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．8、已知直线与相较于点，直线.（1）若点在直线上，求的值；（2）若直线交直线分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程。

9、已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.（1）求圆的方程；（2）若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.10、已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）动直线：过定点，斜率为的直线过点，直线和圆相交于，两点，求的长度.11、已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点，（1）求圆方程；（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积是（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.12、(1)求与圆心在直线上，且过点A(2，-3),B(-2，-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点，求的最大值和最小值.13、已知方程表示一个圆.（1）求实数的取值范围；（2）求该圆半径的取值范围；（3）求该圆心的纵坐标的最小值.14、如图，经过点作两条互相垂直的直线和，直线交轴正半轴于点，直线交轴正半轴于点．（1）如果，求点的坐标．（2）试问是否总存在经过，，，四点的圆？如果存在，求出半径最小的圆的方程；如果不存在，请说明理由．15、已知为圆上任一点，且点．（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率．（2）求的最大值和最小值．（3）若，求的最大值和最小值．16、求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．17、若直线与两坐标轴的交点分别为，，求以为直径的圆的方程．18、已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．19、在平面直角系中，已知两点，，直线关于直线对称．（）求直线的方程．（）圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．20、已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．（Ⅰ）求圆的方程．（Ⅱ）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．21、求半径为2，圆心在直线上，且被直线：所截弦的长为的圆的方程.22、如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)23、如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。

2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程练习(含解析)北师大版必修2

2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________．答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆．答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识圆的一般方程7.已知A 解析：方法一设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22，所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)，表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0，所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2，所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法二同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。

2019年人教版高中数学必修二考点练习：求圆的方程含答案解析

为( )
( )3 4
y± A．x2＋ 3 2＝3
( )3 1
y± B．x2＋ 3±
C.
3 2＋y2＝3
( )3
1
x±
D.
3 ＋y ＝3 2 2
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19. 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(－1，1)和 B(1 ，3)，则圆 C 的方程为________.
20. 过点 A(4，1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2，1)，则圆 C 的方程为________.
x2 y2
24.
一个圆经过椭圆16＋ 4 ＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
________.
25. 求经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0 上的圆的方程．
26. 一圆经过 A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程.
27. 已知抛物线 C：y2＝2x，过点(2，0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.
(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2) ，求直线 l 与圆 M 的方程.
参考答案求圆的方程
1. 【解析】(1)∵圆心为(2,3)，半径为 2，即 a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
求圆的方程
1. 写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在点(2,3)，半径为 2； (2)经过点 P(5,1)，圆心在点 C(8，－3)．
2. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1) ＋(y＋1) ＝1 2

人教版高中数学必修二《4.1圆与方程习题课》

1
2
(1)圆C : x 2 y 2 2 x 5 0的圆心坐标是
(1， 0)
，半径长为
r 6
.
(2)圆C : x2 y 2 2by 2b2 0的圆心坐标是 (0，b)，半径长为
r 3 | b |.
变例：平面直角坐标系中有A(0,1), B(2,1), C (3, 4), D(1, 2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
题型一
题型二3)圆心C在直线l：x 2 y 1 0上，并且经过原点和点A (2,1)；
解:设所求的圆的方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 . a 2 b 2 r 2 由已知 (a 2) 2 (b 1) 2 r 2 a 2b 1 0
29 再求的r , 20 所求圆的标准方程是
2
6 2 1 2 29 (x ) ( y ) . 5 10 20
题型一
题型二
题型三
【变式训练1 】求心C在x轴上，并且过点 A (1,1)和点B(1,3)的圆的方程.
解:线段AB的垂直平分线的方程为 y x 2, 令y 0联立得，圆心C的坐标是( 2, 0).
4.1圆与方程习题课
1
2
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,其中圆心为 - 2 ,- 2 ,半径为2 �� 2 + �� 2 -4�� . (2)说明:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不一定表示圆.当且仅当 D2+E2-4F>0 时,表示圆;当 D2+E2-4F=0 时,表示一个点 - 2 ,- 2 ;当 D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.

2019年高中数学苏教版必修2学业分层测评19 圆的标准方程 Word版含解析

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题51．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以为半径的圆的方程为________．【解析】　AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】　(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】　∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】　P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】　由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】　x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】　已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】　(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________. 【导学号：60420079】【解析】　∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】　相交6．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为__________．【解析】　圆的方程化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，∵过点A (a ，a )可作圆的两条切线，∴点A (a ，a )在圆外，可得Error!解得a <－3或1<a <.32【答案】　(－∞，－3)∪(1，32)7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是________________．【解析】　设直线端点为B (x 0,0)，C (0，y 0)，则＝2，∴x 0＝4，＝－3，∴y 0＝－6，x 0＋020＋y 02r ＝＝，(4－2)2＋(0＋3)213∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.【答案】　(x －2)2＋(y ＋3)2＝138．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】　设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝＝5.(2－3)2＋(－3－4)22而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥5－4.2【答案】　－42二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】　设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．代入三点的坐标得Error!解方程组，得Error!所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．10．如图222所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个311长方形构成．已知隧道总宽度AD为6m，行车道总宽度BC为2m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.图222(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】　(1)法一　以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系．则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．33由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，∵F(3，0)，M(0,3)都在圆上，3∴Error!解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.法二　以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，|OE |＝3，|GE |＝r ，|OG |＝r －3，3由勾股定理，r 2＝(3)2＋(r －3)2，解得r ＝6，3则圆心G 的坐标为(0，－3)，圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则|CP |＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝代入圆的方程，得2＋(y ＋3)2＝36，解得1111y ＝2，或y ＝－8(舍)．所以h ＝|CP |－0.5＝(y ＋|DF |)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为3.5 m.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，)，C (2，)，则△ABC 33外接圆的圆心到原点的距离为________．【解析】　在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝|AD |＝，23233从而|OE |＝＝＝.|OA |2＋|AE |21＋43213【答案】　2132．(2016·徐州高一检测)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为__________________. 【导学号：60420080】【解析】　设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得Error!解得Error!∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±)2＝4.3【答案】　(x －2)2＋(y ±)2＝433．已知实数x ，y 满足y ＝，则t ＝的取值范围是9－x 2y ＋3x ＋1______________．【解析】　y ＝表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜9－x 2率．如图，A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝，k AC ＝－，3432∴t ≤－或t ≥.3234【答案】　t ≤－或t ≥32344．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求的最大值和最小值；yx (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】　(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k ，即3yx y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时＝，|2k －0|k 2＋13解得k ＝±.故的最大值为，最小值为－.3yx 33(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取最大值和最小值，此时＝，即b ＝－2±.|2－0＋b |236故y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.66(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋)2＝7＋4，33(x 2＋y 2)min ＝(2－)2＝7－4.33。

高中数学必修二圆的一般式方程

(x+ 4
3
)2+(y+
4
3
)2=
50
9
2、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。 x=3和5x+12y-39=0
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
解
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
P
O Q
x2 y 2 m 0 x y 1 0
1 m x1 x2 2
2x 2x (1 m) 0
2
1 m 同理y1 y2 2
OP OQ
x1 x2 y1 y2 0 (2)
1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。
2
2
( D E 4 F 0)
2
思方程Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 考什么时候可以表示圆? 2 2 A C 0, B 0, D E 4 AF 0.
2
[观察]：圆的标准方程与圆的一般方程在形式上的异同点.
圆的标准方程
2 2 ( x a ) ( y b) r 2
(2) x y 2ax y a 0表示圆, 1 a R, a 则a的取值范围是 _____ 2

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圆的方程1、已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且被直线y=x 截得的弦长为72，求该圆的方程.2、动点P 在圆4:22=+y x C 上运动，求它与定点A （3，1）相连的线段的中点Q 的轨迹方程。

()对称的圆的方程。

关于、求圆0241:322=+-=+-y x y x C1、已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.2、的方程。

求圆两点，且轴的正半轴交于与轴相切于点与圆C B A y T x C 2,|AB |,),0,1(=3、过原点O 作圆C:x 2+y 2-8x=0的弦OA 。

(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)过圆C 上任意一点A 作x 轴的垂线到B ，求AB 中点N 点的轨迹方程.4、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，求圆C 的方程。

5、求与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.6、已知点P(0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求圆C 内过点P 的弦的中点的轨迹方程.题型二直线与圆的位置关系1、已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最大，则直线l 的方程是________________；若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。

2、过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.3、若曲线21x y -=与直线b x y +=有一个交点，则b 的取值范围是；若有两个交点，则b 的取值范围是 .4、若实数x ，y 满足x 2＋y 2-6y+5＝0.求： (1)的取值范围；11y -+x (2)的取值范围；y x -3；(3)().422的取值范围y x +-.()()()()()理由。

的值；若不存在，说明求出的圆过原点。

若存在，为直径使得以两点，是否存在实数与圆交于的条件下，设直线在求，且交于与直线的条件下，若曲线在表示圆？为何值时，曲线当、已知曲线m AB m B A y x m N M y x C C m m y x y x C ,,0113;,32|MN |,0643121.042:522=--==-+=+--+1、已知直线y ＝x ＋1上和圆C ：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，则圆上的点到直线的最大距离为_____,最小距离为______;若从直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为______2、点(),P a b 在直线01=++y x 上，则22222+--+b a b a 的最小值为。

3、已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 64、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为()的直线方程。

所在相切，求光线轴上，反射光线与圆射到发出的光线、自点l y x y x x l A 07443,3522=+--+-6、若曲线241x y -+=与直线()42+-=x k y 有两个交点，则k 的取值范围是 .7、若实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3.求：(1)y x的最大值和最小值；(2)y －x 的最小值；(3)(x －4)2＋(y －3)2的最大值和最小值.8、已知圆C ：x 2+y 2－2x+4y －4=0,是否存在斜率为1的直线,使直线被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.1、两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )． A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 2、圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )．A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝03、圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的公切线有且仅有( )．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4、两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 .5、已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。

【巩固练习】一、解答题：1、如果圆的方程为x 2＋y 2＋k x ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)2、若直线30x y a ++=始终平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．3-3、点(03)P ，及圆C ：2282120x y x y +--+=，过P 的最短弦所在的直线方程为（）A 、x ＋2y ＋3＝0B 、x －2y ＋3＝0C 、2x －y ＋3＝0D 、2x ＋y －3＝04、已知直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则2l 的斜率为（）A ．12B ．－12C ．2D ．－2 5、直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定6、一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 67、过点M(1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝08、设r ＞0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( )A ．相切B ．相交C ．内切和内含D ．外切和外离9、方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定10、如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为 ( )A ．2 2B ．2C ．2D ．1二、填空题：11、两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0和x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于_________．12、已知点P(2,1)在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为、半径为．13、与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．14、当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是____15、两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，试确定常数a 的值．16、设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程是．17、设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________三、解答题：18、已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.19、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．20、已知实数x 、y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．21、若动圆C 与圆(x-2)2+y 2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C 的轨迹E 的方程.22、已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M.(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P 的轨迹方程．23、已知方程04222=+--+m y x y x .（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.。