【高中数学】专题2.2 函数的单调性(学生版)

【高中数学】函数的单调性【套路秘籍】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【套路修炼】考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ． (5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 3．设a =ln22，b =ln33，c =1e ，则( )A ． c <a <bB ． c <b <aC ． a <b <cD ． b <a <c 4．已知x =1.10.1，y =0.91.1，z =log 2343，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ． x >y >zB ． y >x >zC ． y >z >xD ． x >z >y考向三 单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)（2）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]【举一反三】1．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ． (0,23)B ． (0,23)∪(1,+∞) C ． (1,+∞) D ． (0,1)2．设函数f (x )={2x ， x ≥0x ， x <0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A ． (−∞ ， −1]B ． (1 ， +∞)C ． (−1 ， 0)D ． (−∞ ， 0)3．定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足f(log 12x)>0的x 的集合为______．4．设函数f(x)=x 3+1,若f(1−2a)<f(a),则实数a 的取值范围是 _______。

考向四 单调性运用三---求参数【例4】（1）已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a的取值范围是________.（2）已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a []ax 2－(2－a )x ＋3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则a 的取值范围是________（3）若函数f(x)={x 2−a2x +8,x ≤1ax ,x >1为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ． (4,+∞) B ． [4,+∞) C ． [4,6] D ． (0,+∞) 【举一反三】1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.2．已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0log a (x +1)+2,x ≥0（a ＞0且a ≠1）是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ． （0，34] B ． [34，1） C ． [23，34] D ． （23，34]考向五 单调性的运用四---最值【例5】（1）函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．（2）函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． （3）函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________（4）函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．（5）函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为_______（6）求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域 ．（7）y =的值域 。

【套路总结】求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有： 1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，①：换元→分离常数→反比例函数模型②：换元→分离常数→模型 ③：同时除以分子：→②的模型④：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.③形如型,可用此法求其值域.6.利用基本不等式法:先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行)(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d ++=+c a ,ax by cx d +=+2ax bx cy dx e ++=+a y x x =±2dx ey ax bx c +=++21y ax bx cdx e =+++22ax bx c y dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===()y f t =y ax b cx d =+±+【举一反三】1.函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.2.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≤b，b，a>b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.2.如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为。

考向六分类讨论思想【例6】判断函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明.【举一反三】1.判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．2.判断函数f (x )＝axx 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【套路运用】1.．下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是 。

2.．函数f(x)=√x 2+3x −4的单调增加区间是__________. 3．函数f(x)=lg(-x 2+2x )的单调增区间____________.4.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________．5．函数2213x xy的单调增区间为________．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________．7.函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．8．已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是 。