探寻神奇的幻方ppt
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北师大版初中数学七年级上 册 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件 优品课件ppt
是你吗？
游戏一：取牌游戏
有9张扑克牌，正面分别标有1到9，正面放在桌子上， 两人轮流取牌，（已取走的牌不能放回），谁先取到点 数之和为15的3张牌，谁先赢.先拿牌的人应首先拿哪张 牌？
冯诺依曼 （1903—1957) “计算机之父” “博弈论之父”
游戏2：爱因斯坦填数题
将1到9这九个数字填入圆圈， 要求这7个三角形中每个三角 形顶点的数字之和相等.
在三阶幻方中你还有什么发现？
所有数的和=幻和×3 幻和=中间数×3
活动二：开动脑筋 构造幻方
请你将下面数填入3×3的方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的三个数之和相等。 （1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
综合与实践
探寻神奇的幻方
探寻神奇的幻方
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
267 84 3 9 15
6 11 4 57 9 10 3 8
活动一：自主学习、合作探究 （1）将1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
—— 在旋转中看
归纳升华
三阶幻方新发现
幻方中每一个数加（减）同一个数字，或者同 时扩大（缩小)相同的倍数所得方格仍是幻方.
构造幻方
1）三阶幻方构成方法
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
活动三：学以致用 巧填幻方
1）这只龟姐姐背上的有些图案看不清了，你能帮它 找出来吗？
2 4 356
1
练习2 填幻方：
2）看！又来了一只龟弟弟，背上的图案缺得 更多了，请你帮帮它好吗？
课堂小结
游戏一：取牌游戏
有9张扑克牌，正面分别标有1到9，正面放在桌子上， 两人轮流取牌，（已取走的牌不能放回），谁先取到点 数之和为15的3张牌，谁先赢.先拿牌的人应首先拿哪张 牌？
冯诺依曼 （1903—1957) “计算机之父” “博弈论之父”
游戏2：爱因斯坦填数题
将1到9这九个数字填入圆圈， 要求这7个三角形中每个三角 形顶点的数字之和相等.
在三阶幻方中你还有什么发现？
所有数的和=幻和×3 幻和=中间数×3
活动二：开动脑筋 构造幻方
请你将下面数填入3×3的方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的三个数之和相等。 （1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
综合与实践
探寻神奇的幻方
探寻神奇的幻方
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
267 84 3 9 15
6 11 4 57 9 10 3 8
活动一：自主学习、合作探究 （1）将1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
—— 在旋转中看
归纳升华
三阶幻方新发现
幻方中每一个数加（减）同一个数字，或者同 时扩大（缩小)相同的倍数所得方格仍是幻方.
构造幻方
1）三阶幻方构成方法
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
活动三：学以致用 巧填幻方
1）这只龟姐姐背上的有些图案看不清了，你能帮它 找出来吗？
2 4 356
1
练习2 填幻方：
2）看！又来了一只龟弟弟，背上的图案缺得 更多了，请你帮帮它好吗？
课堂小结
北师大版初中数学七上 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件
●每行、每列、每条对角线上的三个数 之和分别是多少？你是如何计算的?
●能否改变上述幻方中数字的位置，使它 们仍然满足你发现的那些相等关系？
●在你所构造的幻方中，最核心的位置是 什么？有没有“成对”的数？
●你还有没有新的发现？
1、将2，3，4，5，6，7，8，9， 10填入到3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个 数之和相等。
谢 谢！
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要试图交到一个完美的朋友，也不要交到很多朋友。 孩子，你是老师捧在手里的微笑。——王静 熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 不过，一切纪律都当小心地施用，除了诱导学生去把他们的工作完全作好以外，没有别种目的。——夸美纽斯 在没有明智的家庭教育的地方，父母对孩子的爱只能使孩子变成畸形发展。这种变态的爱有许多种，其中主要的有”1娇纵的爱；2专横的爱； 3赎买式的爱。 世事喧嚣，人生寂寞。 青春如此华美，却在烟火在散场。 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 一个人的度量是一种精神力量，是一股强大的文明力量。 名人之所以能够成为名人，是因为他们在同伴嬉乐或休息时不停地攀登；凡人之所以成为凡人，是因为别人忙于攀登时他却安然入睡。
之和相等。
2.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每 一行、每一列和对角线上的三数之和都等于 60.
B类 3.用1,3,5,10,12,14,19,21,23构造一个三阶 幻方。
A类 4.用25个数构造一个五阶幻方.
通过人们的研究， 发现幻方种类有许许多多…….
平方幻方
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们（每 行、每列及每条对角 线上的数字）的平方 和也等于另外的定值。
《综合与实践：探寻神奇的幻方》课件
成对出现的数为：4与6，9与1，2与8，3与7。
为什么5必须放在中间? 为什么会有“成对”出现的数呢? 先独立思考，再组内交流，说说你的理由。
如图，将九个数字分别用 a,b,c,d,e,f,g,h,i来表示， ∵1-9这九个数的和为45 ∴每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都是15，
即：a+e+i=15, c+e+g=15, b+e+h=15,
日一二三四 五 六 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
第2题
五、课后作业，拓展延伸 3.（选做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，
使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都 等于60.
每行、每列、每条对角线上的三个数之和都 是中心数的3倍。
（6）你还有什么新的发现？
二、合作探索，研究幻方 想一想，学以致用
在图中所示的两个广义的三阶幻方中分别给出了 3个数，你能将其余六个数填上吗？
3 4 -1 3个数的和=6
-6 -5 -10
-2 2 6 501
中心数=6÷3 3个数的和=6
492 357 816
abc de f gh i
三式相加得(a+b+c+i+g+h)+3e=45, 又∵ a+b+c=15, i+g+h=15,
∴ e=5
492
二、合作探索，研究幻方
357
816 （5）在如图所示的三阶幻方中，中心方格中的数5
与每行、每列和每条对角线上的三个数之和之间分
北师大版七年级上册数学 综合与实践 探寻神奇的幻方 课件(共15张PPT)
现的那些相等关系？
492 357 816
三阶幻方
探究二
自主学习、合作探究
4.在你构造的幻方中，最核心 位置是什么？在这个位置上出现的 数是几？它与相邻的其它两数的和 有什么关系？有没有“成对”的数？
5.你还有什么新的发现？
492 357 816
三阶幻方
探究三
七年级数学
幻和为15时为什么中间 的数一定是 5 呢?
19 11 15 8
15
8 1 6 15 3 5 7 15 4 9 2 15
15 15 15 15
探究二
自主学习、合作探究
在图中的三阶幻方中,
1.每行、每列、每条对角线
上的三个数之和分别是多少？
2.如果把和相等的每一组数
分别连线，这些线段会构成一个
怎样的图形？
3.你能否改变上述幻方中数
字的位置，使它们仍然满足你发
“洛书”传说
传说夏禹治水时，在黄河支流的洛水中浮出一 只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，古人认 为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制伏。 他们发现，这个图案每一列、每一行及对角线加 起来的数字和都是一样的。后人称这个图案为 “洛书”。即现在的三阶幻方。
我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变 幻特征吸引了许多国外的数学家们。从16、17世 纪到现在，全世界尤其是西方构造幻方非常盛行。
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
活动三
用三阶幻方游戏实验幻和为偶数的构 造方法是否和幻和为奇数的方法一样？
如：用2、3、4、5、6、7、8、9、10 构造幻方。
神奇的幻方 ppt课件
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分， 成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
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11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
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17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
综合实践课程探寻神奇的幻方课件北师大版七年级数学上册
深入探究3
给定9个数，如何填写三阶幻方？
模型a：1 2 3 4 5 6 7 8 9
a-3：-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 2(a-3)：-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
492 357 816
1 6 -1 024 5 -2 3
2 12 -2 048 10 -4 6
深入探究3
幻方的一般规律：
新课引入
洛书（九宫 图）
49 2
四海三山八仙 洞，
35 7 81 6
九龙王子一枝 莲。
二七六郎赏月 半，
河出图，洛出书，圣人则之。 ——《易·系辞周上围》十五月团 圆。
新课引入
幻方的定义：
一般地，一个n行n列的正方形方格中，每行、 每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数
字方阵称为n阶幻方。 其中这个数字和叫作幻和。
深入探究2
【总结归纳】给定9个数，如何填写三阶幻方？
（1）确定幻和：9数之和÷3 （2）确定中心数：幻和÷3 （3）确定数字配对 （4）确定数字分布
深入探究3
给定9个数，如何填写三阶幻方？
模型a：1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1） -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 （2） -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
分享交流：为什么中心数字一定是5？
1 2345678 9
深入探究2
分享交流：将1,2,3,4,5,6,7,8,9填在方格中构
成幻方，中心数填什么？
设9个数分别为 a b c
d ef gh i
用字母表示数 具有一般性！
则：(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4 (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60 45+3e=60 e=5
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
(完整版)《探寻神奇的幻方》优质课件
28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
-1 4 -3
8 18 4
10 25 4
-2 0 2
6 10 14
7 13 19
3 -4 1
16 2 12
22 1 16
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
活动三：开动脑筋
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和相等.
• 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年 《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年 （距今 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律 依据。又如中间两列下部（系二十世纪）： “ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民 站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。
• 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+292+322+92=2947
而一般的幻方根本不具有这个特性.
• 第二，这个幻方去掉最 外面一层，中间剩下的 部分仍然是一个四阶幻 方。这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成， 其每行，每列及两条对 角线上的 4 个数之和都 是 74 。更为奇特的是， 这个4阶幻方还是一个完 美幻方。即各条泛对角 线上的4个数之和也都是 74 。
北师大版《探寻神奇的幻方》优质课一等奖课件
67 2 61 8 1 5 9③ 7 5 3④ 83 4 294
81 6 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 67 2
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 27 6 81 6
活动三：合作探究 构造幻方
在幻方中，有没有“成对”出现的数，如 何利用成对数和中间数构造三阶幻方？
492 3 57 8 16
学以致用
请你将下面三组数分别填入3×3的方格中，使 得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
（1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
（2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
-1 4 -3 -2 0 2 3 -4 1
8 18 4 6 10 14 16 2 12
本节课小结：
1.幻方的概念 2.幻方中的规律 3.构造幻方
教师寄语：
科学就是整理事实，以便从中得出普遍 的规律或结论。
——英国生物学家 达尔文
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易， 左右相更，四维挺出
杨辉构造法
随着电子计算机的进一步发展，幻方在人功智能、图论、对策论、实验设计、 电 子回路原理、位置解析学等方面有着更加广泛的应用。
92
3 57
8 16
活动二：合作探究 发现规律
1、通过连线，核心位置是什么，其它奇偶数是怎么 排列的？为什么？ 2、你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍 然满足你发现的那些相等关系？
81 6 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 67 2
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 27 6 81 6
活动三：合作探究 构造幻方
在幻方中，有没有“成对”出现的数，如 何利用成对数和中间数构造三阶幻方？
492 3 57 8 16
学以致用
请你将下面三组数分别填入3×3的方格中，使 得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
（1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
（2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
-1 4 -3 -2 0 2 3 -4 1
8 18 4 6 10 14 16 2 12
本节课小结：
1.幻方的概念 2.幻方中的规律 3.构造幻方
教师寄语：
科学就是整理事实，以便从中得出普遍 的规律或结论。
——英国生物学家 达尔文
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易， 左右相更，四维挺出
杨辉构造法
随着电子计算机的进一步发展，幻方在人功智能、图论、对策论、实验设计、 电 子回路原理、位置解析学等方面有着更加广泛的应用。
92
3 57
8 16
活动二：合作探究 发现规律
1、通过连线，核心位置是什么，其它奇偶数是怎么 排列的？为什么？ 2、你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍 然满足你发现的那些相等关系？
初中课件《探寻神奇的幻方》
找规律
2 7 6
6
9
4
2
7
6 1 ② 8
8
5 1
7
3 ① 9 4 8
2 6
5 3
1
2
9
4
1 8
8
5
3 1 5 9 3 5 7
9 ③ 7 2 4
6 2 8 6 8 6 4 8
5
9 3 5 7 9 5 1
3 ④ 4
4 9 ⑥ 2 2 7 ⑧
7 6
5 1
3 8
3 4 4 9 2
7 ⑤ 1
1 ⑦ 3
6
总结：
作业：
1. （必做）
将4、5、6、10、11、12、16、17、 18这九个数填入九宫格里，使每行、 每列及两条对角线上三个数的和都 相等。
2.（选做）
上网查阅有关幻方的资料
探寻神奇的幻方
洛
书
公元前三千多年，洛河经常发大水，皇帝 夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起 一只大乌龟，背上有奇特的图案。后人称它为 “洛书”。
龟背上的图案是 什么意思呢？
方法一：九宫图
将1~9这九个数字填入九宫格，使横行 竖列及两条对角线上三个数的和都相等
2 7 6
9
4
2
7
6 1 ② 8
2
7 6
9
5 1
4
3 8
方法二：阶梯法 1
4
7 8
2 3 6
9
杨辉
九子斜排， 上下对易， 左右相更， 四维挺出。
例1：将8 ，3，4， 7， 5，6，2 ，9， 10这九个数填入九宫格里，使每行、 每列及两条对角线上三个数的和都相 等。
练习：将1， -2， 2，3， -1，0， 4，5， 6这九个数填入九宫格里，使每行、每列 及两条对角线上三个数的和都相等。
探寻神奇的幻方 PPT课件 1 北师大版
9
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
北师大版初中数学七年级上 册 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件 优质课件PPT
在三阶幻方中你还有什么发现？
所有数的和=幻和×3 幻和=中间数×3
活动二：开动脑筋 构造幻方
请你将下面数填入3×3的方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的三个数之和相等。 （1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
综合与实践
探寻神奇的幻方
探寻神奇的幻方
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
267 84 3 9 15
6 11 4 57 9 10 3 8
活动一：自主学习、合作探究 （1）将1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
—— 在旋转中看
294 753 618
旋转的研究方法
294 618
7 5 3①7 5 3② 618 294
672
834
1 5 9③1 5 9④
834
672
816
49 2
3 5 7⑤ 3 5 7⑥
492
816
438 276 9 5 1⑦ 9 5 1⑧ 276 438
活动一：自主学习、合作探究
492 357 816
三阶幻方
活动二：开动脑筋 构造幻方
请你将下面数填入3×3的方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的三个数之和相等。 （1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4. （2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
归纳升华
三阶幻方新发现
幻方中每一个数加（减）同一个数字，或者同 时扩大（缩小)相同的倍数所得方格仍是幻方.
1探寻神秘的幻方课件(3)
描述你得到的图形中的数有什么规律？
492 357 816
（3）你能否改变上述幻方中数字 的位置，使它们仍然满足你发现 的那些相等关系吗? 播 放
492 357 816
（4）在你构造的幻方中，最核心位 置是什么？你能证明它吗？
（5）你还有什么新的发现？
492 357 816
构造三阶幻方
1、将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入 到3×3的方格中，使之成为三 阶幻方。
2、将-2，-1，0，1，2，3，4， 5，6填入到3×3的方格中，使 之成为三阶幻方。
.
归纳：将本来三阶幻方中每个数加 或减同一个整数都可以构成一个幻 方。
拓展
1.在图中空格处填上பைடு நூலகம்当的数，构成一个 三阶幻方。
3 a －2 －6 －b1 c
d 2 －e5
3 (6) d e 2 d e 5
3 a (2) a b 2 b 1
反思小结 通过本节课的学习你有哪些收获？
课后作业 必做：
1.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使 得每一行、每一列和对角线上的三数 之和都相等.
选做：
*2.用25个数构造一个五阶幻方.
教师寄语
生活如幻方,丰富多彩； 数学如幻方,变幻无穷。
同学们,愿你们多思考、多 探究,编织出自己美丽的人生 幻方!
洛书的传说
北师大版数学七年级上册
综合与实践
探寻神秘的幻方
三阶幻方
492
357 816
探究三阶幻方
在三阶幻方中 （1）你能发现哪些相等的关系？
横行、竖行、对角线的
三个数之和分别是多少？ 4 9 2 357 816
探究三阶幻方
（2）如果把和相等的每一组数分别连线， 这些连线段会构成一个怎样的图形？
492 357 816
（3）你能否改变上述幻方中数字 的位置，使它们仍然满足你发现 的那些相等关系吗? 播 放
492 357 816
（4）在你构造的幻方中，最核心位 置是什么？你能证明它吗？
（5）你还有什么新的发现？
492 357 816
构造三阶幻方
1、将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入 到3×3的方格中，使之成为三 阶幻方。
2、将-2，-1，0，1，2，3，4， 5，6填入到3×3的方格中，使 之成为三阶幻方。
.
归纳：将本来三阶幻方中每个数加 或减同一个整数都可以构成一个幻 方。
拓展
1.在图中空格处填上பைடு நூலகம்当的数，构成一个 三阶幻方。
3 a －2 －6 －b1 c
d 2 －e5
3 (6) d e 2 d e 5
3 a (2) a b 2 b 1
反思小结 通过本节课的学习你有哪些收获？
课后作业 必做：
1.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使 得每一行、每一列和对角线上的三数 之和都相等.
选做：
*2.用25个数构造一个五阶幻方.
教师寄语
生活如幻方,丰富多彩； 数学如幻方,变幻无穷。
同学们,愿你们多思考、多 探究,编织出自己美丽的人生 幻方!
洛书的传说
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综合与实践
探寻神秘的幻方
三阶幻方
492
357 816
探究三阶幻方
在三阶幻方中 （1）你能发现哪些相等的关系？
横行、竖行、对角线的
三个数之和分别是多少？ 4 9 2 357 816
探究三阶幻方
（2）如果把和相等的每一组数分别连线， 这些连线段会构成一个怎样的图形？
初中数学北师大版七年级上册探寻神奇的幻方课件
．
总归纳、思维提升
谈谈这节课你的收获？
延伸阅读
1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙飞船，试图与“外星人” 建立联系。如何使地外智慧生命理解地球人的意思，这是个很困难 的事情，世界各国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一 些。最后飞船上携带有两件与数学有关的东西，一个是勾股数，另 一个是一个4阶幻方，这个幻方是耆那幻方(Jaina Square) 。
探索新知
活动二
1.你是怎样用这九个数构造幻方的？ 2. 你构造的幻方中，最核心的位置是什么？ 你能用代数式进行说明吗。 3.四角位置可以填奇数吗？为什么？
学以致用
将0，1，2，3，4，5，6，7,8填入到3×3的方格中， 使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
拓展延伸
请自行列举出9个数，将它们填入到3×3的方格中， 使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都 等于54。
激趣导学
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾。河水 泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水。
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列， 每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1到9这9个数字．可是， 谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思？
激趣导学
49 2 35 7 81 6
分层作业
C类
B类 A类
1、将-2，-1,0,1,2,3,4,5,6填入到3×3的方 格中，使得每行、每列、每条对角线上的三 数之和相等。
2.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每 一行、每一列和对角线上的三数之和都等于 60.
3.用2,4,6,8，10,12,14,16,18,构造一个三阶 幻方。
思考：怎样的9个数可以满足三阶幻方？
优秀公开课用探寻神奇的幻方ppt
活动四：根据你探索到的3阶幻方的规律，将以下9个数填入 九宫格中,使得每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。
填之前先思考：（1）中间数为多少？ （2）幻和为多少？ （3）如何配对？
提问：先填角格数更快还是先填边格数更快？
第三环节 应用探究——制作三阶幻方
活动四：根据你探索到的3阶幻方的规律，将以下9个数填入 九宫格中,使得每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。
√ √ √√ √√ √√
你们最先填的哪个位置的数？这个数一定为5吗？ 为什么？
解：设这9个数分别为a,b,c,d,x,e,f,g,h
f+x+c=15 ∴a+b+c+d+x+e+f+g+h=45
a
b
c
∵（b+x+g）+（d+x+e）+(a+x+h)+(f+x+c)=15+15+15+15
∴b+x+g+d+x+e+a+x+h+f+x+c=60
提示：从 和 的角度进行分析
“数”——思考某些数之间的联系 “形”——思考图形的对称性
（1）观察有没有成对出现的数？
2Байду номын сангаас
4
1，2，3，4，5，6，7，8，9
3
1
（2）这些成对出现的数分别在什么位置？
2
（3）总结填幻方的方法？4
1，2，3，4，5，6，7，8，9
3
1
第三环节 应用探究——制作三阶幻方
思考：“2——10”这9个数和之前研究的“1——9”这九 个数是什么关系？ 幻方中的每个数同时加上或者减去同一个数，仍能构成幻方。
填之前先思考：（1）中间数为多少？ （2）幻和为多少？ （3）如何配对？
提问：先填角格数更快还是先填边格数更快？
第三环节 应用探究——制作三阶幻方
活动四：根据你探索到的3阶幻方的规律，将以下9个数填入 九宫格中,使得每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。
√ √ √√ √√ √√
你们最先填的哪个位置的数？这个数一定为5吗？ 为什么？
解：设这9个数分别为a,b,c,d,x,e,f,g,h
f+x+c=15 ∴a+b+c+d+x+e+f+g+h=45
a
b
c
∵（b+x+g）+（d+x+e）+(a+x+h)+(f+x+c)=15+15+15+15
∴b+x+g+d+x+e+a+x+h+f+x+c=60
提示：从 和 的角度进行分析
“数”——思考某些数之间的联系 “形”——思考图形的对称性
（1）观察有没有成对出现的数？
2Байду номын сангаас
4
1，2，3，4，5，6，7，8，9
3
1
（2）这些成对出现的数分别在什么位置？
2
（3）总结填幻方的方法？4
1，2，3，4，5，6，7，8，9
3
1
第三环节 应用探究——制作三阶幻方
思考：“2——10”这9个数和之前研究的“1——9”这九 个数是什么关系？ 幻方中的每个数同时加上或者减去同一个数，仍能构成幻方。
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初级
中级
初级
第
1
9 5 1
关
2
4
7
6
3
8
4 3 8
9 5 1
2 7 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
它们发生了怎样的变化？是通过 什么方式得到的？还可以怎样变 化？
—— 在旋转中看
2 7 6
9
4
2
7
6 1 ② 8
8
5 1
7
3 ① 9 4 8
2 6
5 3
1
2 7
9 5
4 3
6
1 8
8 3 4 4 9
龟背上的这些数填到表格中，你 能发现什么？
4 3 8
9
2
5
1
7 6
每一行、每一列、每一条对角线上三个 数的和，有什么特点？
关于幻方
每行、每列、每条对角线上的几个数字的 和都相等的方格，叫“幻方”。把幻方中位 于对角线交点的数叫做中心数。 每行、每列或每条对角线上的几个数字的 和叫“幻和”。 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 按照纵横格数字的个数，可以分为三阶 幻方(九宫格）、四阶幻方、五阶幻方、六 阶幻方„„
除了我们刚刚探究的三阶幻方 幻方的种类还有许许多多……
5
3 1 5 9 3 5 7
9 ③ 7 2 4
6 2 8 6 8 6 4 8
5
9 3 5 7 9 5 1
3 ④ 4
4 9 ⑥ 2 2 7 ⑧
7 ⑤ 1
6
1
8
1 ⑦ 3
旋转的研究方法
2
6
初级
第
2
关
3
10 6 2
5
8
7
4
9
初级
第
3 7 3
-1
关
0
2
5
4
1
6
初级
第
4
关
4
18
8
14 10 12
6
16
2
刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
2
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九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
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可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
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关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
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理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
2、这些三阶幻方中的中心数字各是 几？它与幻和有什么关系？
2 9 4 3 10 5 0 7 2 4 18 8 7 5 3 8 6 4 5 3 1 14 10 6 6 1 8 7 2 9 4 -1 6 12 2 16
3、请仔细观察这四个幻方的数字之 间有什么关系？它们能否相互转化？ 怎样转化？
归纳升华
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
2 9 4 3 10 5 0 7 2 753 8 64 531 6 1 8 7 2 9 4 -1 6
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14 12
8 10 6 2 16
18
1、这些三阶幻方的幻和各是多少？ 请举例说明。
2 9 4 3 10 5 0 7 2 4 18 8 中 7 5 3 8 6 4 5 3 1 14 10 6 心 6 1 8 7 2 9 4 -1 6 12 2 16 数
三阶幻方新发现
（1）幻方中,中心数等于幻和的三分之一， 或者说幻和等于中心数的三倍。 （2）幻方中每一个数都加、减同一个数， 所得方格仍是幻方. （3）幻方中每一个数都扩大或缩小相同的 倍数，所得方格仍是幻方.
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
中级 5 4
中级
8
18它与幻和4
的关系
第
3
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
6
16
10
14
12
2
理由：幻方中每一个数字都乘同一个不为零 的数，所得方格仍是幻方.
归纳升华
三阶幻方新发现
（1）幻方中,中心数等于幻和的三分之一， 或者说幻和等于中心数的三倍。 （2）幻方中每一个数都加、减同一个数， 所得方格仍是幻方. （3）幻方中每一个数都扩大或缩小相同的 倍数，所得方格仍是幻方.
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2、 请你设一个幻和为60 的三阶幻方。
高级
总结收获：
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘