一种证明两圆相切的方法
相切两圆的连心线经过切点的证明
相切两圆的连心线经过切点的证明
相切两圆的连心线经过切点的证明可以通过以下步骤进行证明：
假设有两个相切的圆O1和O2，它们的切点为P。
我们要证明连接两圆的连心线经过切点P。
连接两圆的圆心O1和O2，并延长连心线与切点P相交于点A和B。
作圆心连线O1P和O2P。
根据相切圆的性质，切线与半径的垂直关系，可知O1P垂直于O1P1，O2P垂直于O2P2。
由于P1和P2分别是圆O1和O2的切点，因此P1和P2到圆心的距离是各自圆的半径。
因此三角形O1PP1和三角形O2PP2为直角三角形，且O1P=O2P（半径相等），PP1=PP2（半径相等）。
由于三角形O1PP1和三角形O2PP2中有两条边相等，因此根据三角形的性质，它们的第三条边也相等，即O1P1=O2P2。
由于O1P1和O2P2分别是圆O1和O2的半径，它们与圆的切点构成直角三角形，因此O1A=O2B。
根据几何性质，连接两个相等的线段必定构成一个等腰三角形。
因此，三角形O1PA和三角形O2PB是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角对应相等，因此∠O1PA=∠O2PB。
由于∠O1PA和∠O2PB是相等的，所以线段AB是圆O1和O2的连心线。
因此，相切两圆的连心线经过切点P，证毕。
这样就完成了相切两圆的连心线经过切点的证明。
相似圆形六大证明技巧
相似圆形六大证明技巧
在几何学中，相似是指有相同形状但可能不同大小的两个物体。
本文将介绍六种证明相似圆形的技巧。
1. 弧度角证明：当两个圆的弧度角相等时，它们是相似的。
因
为弧度角是弧长和圆的半径之比，所以如果两个圆的弧度角相等，
它们的比例就相等。
2. 相等弧证明：如果两个圆的弧长相等，则它们是相似的。
因此，如果两个圆的弧长相等，它们也具有相同的弧度角。
3. 三角形证明：如果两个圆心相同且它们都与同一直线上的第
三个点相切，则它们是相似的。
这背后的原理是，根据相似三角形
的定义，如果两个三角形中有两个角度相等，则它们是相似的。
4. 内切于同一圆的圆证明：如果两个圆内切于同一圆上，则它
们是相似的。
因此，这两个圆将具有相等的弧度角，并且它们具有
相同的弧长。
5. 形心连线证明：如果两个圆的形心连线互相垂直，则它们是相似的。
因此，根据勾股定理，如果两条直线互相垂直，则它们是相似的。
6. 黄金比例证明：如果两个圆的半径之比等于黄金比例（1：1.618），则它们是相似的。
黄金比例在几何学中是一种非常重要的概念，常常出现在许多不同的证明中。
这些技巧可以帮助您证明两个圆是相似的。
使用这些技巧可以让您更好地理解几何学，并帮助您更好地解决新的几何学问题。
证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法一、通过圆的性质证明圆的切线圆的切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
我们可以通过圆的性质来证明圆的切线。
1. 方法一：利用圆的切线垂直于半径的性质证明对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。
根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。
我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到三角形OAP。
根据直角三角形的性质可知，线段OP与线段AP垂直。
因此，直线l与线段OA垂直。
我们要证明直线l只与圆相交于点A。
假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。
根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。
由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。
然而，根据直线的性质可知，直线l是直线OB的切线。
因此，线段OA与线段OB的长度相等，与直线l只与圆相交于点A的性质相矛盾。
所以，直线l只与圆相交于点A，即直线l是圆的切线。
因此，我们通过圆的切线垂直于半径的性质证明了直线l是圆的切线。
2. 方法二：利用圆的切线与半径的斜率关系证明对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。
根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。
我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到直线l的方程。
设直线l的斜率为k，直线l的方程为y = kx + b。
我们要证明直线l的斜率与线段OA的斜率相等。
由于线段OA是圆的半径，所以线段OA的斜率等于0。
根据直线的性质可知，直线l 与线段OA垂直，即直线l的斜率与线段OA的斜率的乘积为-1。
因此，直线l的斜率等于0的倒数，即k = 0。
因此，直线l的方程为y = b。
接下来，我们要证明直线l只与圆相交于点A。
假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。
根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。
由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。
然而，根据直线的性质可知，直线l与线段OB平行，即线段OA与线段OB的长度相等。
一道两圆相切问题的探究
一道两圆相切问题的探究
杨标桂
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2017(0)6
【摘要】1问题的提出笔者自编了一道平面几何题:题目如图1,AD为△ABC外接
圆的一条弦,P为AD的中点,且PD平分∠BPC、O、O1、O2分别为△ABC、△APB、△APC的外心.证明:△O1PB的外接圆与△O2PC的外接圆相切.笔者探索发现,题目中蕴含了一个丰富有趣的几何构型.2问题的分析与解如图1,设O3、O4分别为
△O1BP、△O2CP的外心.欲证⊙O3与⊙O4相切,只要证
∠O3PO1+∠O1PO2+∠O2PO4=180°.
【总页数】3页(P15-17)
【作者】杨标桂
【作者单位】福建师范大学数学与计算机科学学院,350117
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
【相关文献】
1.一种证明两圆相切的方法 [J], 金磊
2.例谈“两圆相交和相切”问题的解法 [J], 徐燕
3.关于两圆相切的问题剖析与解题探究 [J], 罗荣昭
4.关于两圆相切的问题剖析与解题探究 [J], 罗荣昭
5.一类两圆相切中考新题型探究 [J], 周继承
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圆的切线证明方法归纳
圆的切线证明方法归纳切线是指与圆相切且与圆的半径垂直的直线。
在几何学中，圆的切线是一个重要的概念。
证明圆的切线有许多不同的方法，下面将介绍一些常见的证明方法。
1.垂直切线法：这是最常见的证明方法之一。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA，并且将OA延长到交切线于点T。
（3）根据勾股定理可得：OA^2 =OT^2 + AT^2。
（4）由于OT和AT都是切线的一部分，所以OT和AT都垂直于OA。
（5）根据垂直定理可知OT和AT平方和等于OA的平方，即OT^2 + AT^2 = OA^2。
（6）根据步骤4和5可得：AT^2 = OA^2 - OT^2。
（7）OT是半径,所以OT^2= r^2，代入上式得：AT^2 = OA^2 -r^2。
（8）AT是切线的一部分，所以AT > 0。
因此，OA^2 - r^2 > 0。
（9）根据正数平方根的性质，OA^2 - r^2的平方根存在。
（10）所以，根据步骤9，AT存在，即OT与切线上的一点T并非同一点。
（11）由于OT与圆的半径相交于点O，所以OT是与半径垂直的直线，即切线。
2.切线垂直与半径的证明：这种证明方法基于一个重要的定理：切线垂直于半径。
具体步骤如下：（1）假设圆的半径r，圆心O，切点A和切线上的一点T。
（2）连接OA和OT。
（3）由于AO是圆的半径，所以AO与圆心O的向量相等，即AO = OT。
（4）由于切线与圆相切，切点A是切线上的一点，所以OA与切线垂直。
（5）根据向量几何的性质可得，向量OA与向量OT垂直。
（6）根据定义，切线上的每一个点与圆心都构成一个向量，这个向量与向量OA垂直。
（7）所以，根据步骤6，切线与所有圆心上的向量都垂直，即切线垂直于半径。
3.外切圆的切线证明：这种证明方法适用于外切圆。
具体步骤如下：（1）假设有一个三角形ABC，其中AB和BC是两条直线段，角ABC是直角。
两圆相切
两圆相切
两圆相切切点两圆外切
两圆内切
定理1 相切两圆的连心线（经过两个圆心的直线）必经过切点
例1 求证：如果两圆相切，那幺其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线.
已知：如右图，⊙O1 与⊙O2 相切于点T，AT
⊙O1 的切线。
求证：AT 是⊙O2 的切线。
证明：AT 是⊙O1 的切线O1T⊥AT⊙O1 与⊙O2 相切
O1 ，T，O2 在同一直线上O2T⊥ATAT 也是⊙O2 的切线
例2 ⊙O1 与⊙O2 内切于点T，⊙O1 的弦TA，TB 分别交⊙O2 于C，D，连结AB，CD，求证：AB ∥CDP 证明：过点T 作⊙O1 的切线PT，则PT 也是⊙O2 的切线。
即∠ATP 既是⊙O1 的弦切角，也是⊙O2 的弦切角
∴∠ABT=∠ATP，∠CDT=∠ATP
∴∠ABT= ∠CDT
∴AB∥CD
若⊙O1 与⊙O2 外切于点T，⊙O1 的弦TA，TB 反向延长分别交⊙O2 于D，C，连结AB，CD，试问AB ∥CD 还成立吗？
（成立）
（1）☉O1 与☉O2 的半径分别为5 和2，若O1O2=7，则两圆的位置关系是—————，若O1O2= 3，则两圆的位置关系是—————。
外切内切。
两圆的公切线方程
两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线是指能同时切到两个圆的直线或射线。
在解析几何中，我们常常需要研究圆与圆之间的关系，其中两圆的公切线就是一个重要的问题。
本文将讨论两个圆的公切线方程的推导过程和应用实例。
一、两个圆的公切线分类在二维平面上，两个圆可能存在以下几种情况：1. 内含关系：一个圆完全包含在另一个圆内部，此时两圆没有公共切线。
2. 相交关系：两个圆相交于两个点，此时存在两条外公切线和两条内公切线。
3. 外切关系：两个圆相切于外部，此时存在一条外公切线。
4. 内切关系：一个圆完全包含在另一个圆内部且二者相切，此时存在一条内公切线。
下面我们以相交关系为例，推导两个圆的公切线方程。
二、两个圆的公切线方程的推导设两个圆的方程分别为：圆1：(x - a1)² + (y - b1)² = r1²圆2：(x - a2)² + (y - b2)² = r2²(a1, b1)和(a2, b2)分别为两个圆的圆心坐标，r1和r2分别为两个圆的半径。
圆1和圆2相交于两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则有：(x1 - a1)² + (y1 - b1)² = r1²(x2 - a1)² + (y2 - b1)² = r1²(x1 - a2)² + (y1 - b2)² = r2²(x2 - a2)² + (y2 - b2)² = r2²由上述四个方程可得到两个未知数x1和y1的线性方程组，通过求解线性方程组即可得到两个公切点P1和P2的坐标。
进一步，我们可以根据两点式求得直线P1P2的方程，即为两个圆的公切线方程。
计算两个圆的圆心坐标和半径：圆1：圆心坐标(2, 3)，半径4圆2：圆心坐标(-1, -1)，半径3根据上述推导方法，可以求得两个公切点P1(1, 2)和P2(-0.5, -0.5)的坐标，进而求得公切线P1P2的方程。
专题课堂-九 证明圆的切线的两种类型
专题课堂-九 证明圆的切线的两种类型（PPT优秀 课件）
解：(1)BC 所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心 O 作 OE⊥BC，垂足 为 E，∵AC 是小圆的切线，AB 经过圆心 O，∴OA⊥AC，又∵CO 平分∠ACB， OE⊥BC，∴OE＝OA，∴BC 所在直线是小圆的切线
(2)连接 BD，过 D 作 DH⊥BF 于 H，∵DE 与⊙O 相切，∴∠BDE＝∠BCD， 又∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，又∵∠AFC＝∠DFB，∴∠DBF＝ ∠DFB，∴DF＝DB，即△ FDB 是等腰三角形，∴FH＝BH＝12BF＝1，∴HD＝
DF2－FH2＝3，在 Rt△ ODH 中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2， ∴OD＝5，∴⊙O 的半径是 5
(1)求点 B，P，C 的坐标； (2)求证：CD 是⊙P 的切线．
专题课堂-九 证明圆的切线的两种类型（PPT优秀 课件）
专题课堂-九 证明圆的切线的两种类型（PPT优秀 课件）
解：(1)连接 AC，∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB＝90°，在 Rt△ ABC 中，由勾股定理可求 AC＝2，∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2，∴OP＝12 AC＝1，∴P(0，1)，B(2，0)，C(－2，2)
(2)将 C(－2，2)代入 y＝2x＋b，得－4＋b＝2，∴b＝6，∴y＝2x ＋6，当 y＝0 时，x＝－3，∴D(－3，0)，∴AD＝1，由 SAS 可证 △ ADC≌△OPB，∴∠DCA＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCA ＋∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，∴CD 是⊙P 的切线
专题课堂-九 证明圆的切线的两种类型（PPT优秀 课件）
相切可吃定理
相切可吃定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：相切可吃定理，又称为相切可饮定理，是数学中的一个基础定理，属于微积分中的内容。
这个定理是讨论函数图像上两个曲线相切的情况，从而得出一个有趣的结论。
在微积分的学习中，相切可吃定理是一个非常重要的概念，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面我们将详细介绍相切可吃定理的内容和应用。
相切可吃定理的内容主要包括以下几个方面：1.相切定理的表述和理解；2.相切定理的证明和推导；3.相切定理的应用及实际意义。
我们来看一下相切可吃定理的具体内容。
相切定理是这样一个命题：如果两个函数曲线在某点处相切，那么这两条曲线在这个点处的导数值相等。
换句话说，如果两个函数在某个点处相切，那么它们在这个点处的斜率也是相等的。
接下来，我们来看一下相切定理的证明和推导。
要证明相切定理，我们可以利用导数的定义和微积分的知识来推导。
我们可以将两个函数在相切点的函数值进行展开，并利用导数的定义进行简化处理，从而得出它们在这个点的导数值相等的结论。
通过数学推导，我们可以得出相切可吃定理的结论，即如果两个函数在某个点处相切，那么它们在这个点的导数值也是相等的。
这个结论可以帮助我们更好地理解函数图像的特性，从而更好地解决和应用微积分中的问题。
我们来看一下相切定理的应用和实际意义。
相切定理在微积分教学和科学研究中有着很大的应用价值。
它可以帮助我们确定函数图像上两个曲线的相切点，进而分析函数在这个点的性质和变化规律。
在实际应用中，相切定理可以用来求解函数的最值点、拐点等相关问题，进而帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
相切可吃定理是微积分中的一个重要定理，它帮助我们理解函数图像的性质和变化规律。
通过对相切定理的内容、证明和应用的学习，我们可以更好地掌握微积分的基础知识，从而更好地应用微积分知识解决实际问题。
希望本文对大家理解相切定理有所帮助，进一步深入学习微积分知识。
谢谢！第二篇示例：相切可吃定理，又称为相切定理，是一种常见的几何学定理，它描述了当两个圆相切时，它们之间的位置关系。
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．A BO D C F方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
完整版)证明圆的切线经典例题
完整版)证明圆的切线经典例题证明圆的切线有以下两种常用方法：一、若直线l过圆O上某一点A，证明l是圆O的切线，只需连OA，证明OA⊥l即可。
这种方法简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。
举例来说，对于△ABC中，若AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，且B为切点的切线交OD 延长线于点F，要证明EF与圆O相切。
我们可以连结OE和AD，因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC。
又因为AB=BC，所以∠3=∠4，∠1=∠2，从而BD=DE。
又因为OB=OE，OF=OF，所以△BOF≌△EOF（SAS），因此∠OBF=∠OEF。
因为BF与圆O相切，所以OB⊥BF，即∠___。
因此EF与圆O相切。
这个例子是通过证明三角形全等证明垂直的。
二、若AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD，要证明___与圆O相切。
我们可以作直径AE，连结EC。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAB=∠DAC。
因为PA=PD，所以∠2=∠1+∠DAC。
因为∠2=∠B+∠DAB，所以∠1=∠B=∠E。
因为AE是圆O的直径，所以AC⊥EC，∠E+∠___，因此∠1+∠___，即OA⊥___。
因此PA与圆O相切。
这个例子是通过证明两角互余，证明垂直的，需要综合运用知识。
另外，对于例3中的问题，我们也可以通过连结OD和AD来证明DM与圆O相切。
因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC。
又因为AB=AC，所以∠1=∠2.因为DM⊥AC，所以∠2+∠4=90.因为OA=OD，所以∠1=∠3，∠3+∠4=90.因此OD⊥DM，即DM是圆O的切线。
本文将介绍证明圆的切线常用的三种方法。
第一种是利用相似三角形证明∠1=∠2.第二种是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.第三种是利用梯形的性质证明∠1=∠2，但需要先证明A、O、B三点共线。
对于第一种方法，我们可以通过观察图形发现，∆OAB与∆OCD相似，因为它们有两个对应角分别相等。
两圆的公切线方程
两圆的公切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：两圆的公切线方程是解析几何中的一个重要概念，它可以帮助我们研究两个圆之间的关系以及它们之间的相互作用。
在数学领域中，圆是一种几何图形，具有一定的特定形状和性质。
而两个圆之间的公切线则是指相切于这两个圆的直线，也就是同时与两个圆相切的一条直线。
通过求解两个圆的公切线方程，我们可以得到关于两圆的一些重要性质和结论，进而为我们的研究和分析提供依据。
在解析几何中，我们通常将两个圆分别表示为两个圆心分别为（a，b）和（c，d），半径分别为r1和r2的圆。
现在我们来研究两个圆之间的公切线。
对于一个与两个圆都相切的公切线，我们可以将其表示为y=kx+m，其中k为斜率，m为截距。
公切线同时与两个圆相切，意味着公切线上的任意一点都满足圆的切线条件。
圆的切线条件是指：圆心到切点的距离等于半径，即（中文维基百科“公切线”一词解释：两个圆的公共切线，相对于两个圆在共同的一个切线。
两个固定圆，存在两个现实的共同切线，并在除开这两个半径正好即的地方，圆心的连线在不发生穿插），公切线的形成条件如下：两个圆的圆心之间的距离等于两个圆半径之差或之和。
根据两个圆的圆心和半径的不同相对位置，可以分为以下几种情况：1. 两个圆外切：当两个圆外切时，它们之间存在4条公共外切线。
这些外切线的斜率以两圆心之间的连线为基准，可以通过简单的几何推导来得到。
3. 一个圆包含另一个圆：当一个圆完全包含另一个圆时，它们之间不存在公共切线。
对于两个圆外切的情况来说，两个圆之间的公切线方程可以通过如下的方法得到。
我们可以设公切线的斜率为k，截距为m。
然后，我们可以根据圆的切线条件，得到两个方程：（a-c）² + (b-d)² = (r1+r2)² （1）y = kx + m （2）将公切线方程（2）代入圆的切线条件方程（1）中，并解方程组，就可以得到两个圆外切时的公切线方程。
列盖尔圆盘定理证明
列盖尔圆盘定理证明欧几里得几何学中的列盖尔圆盘定理是一条基础的几何定理，它描述了在平面上如何连接不同半径的圆，以确保它们相互切于一点。
本文将介绍并证明列盖尔圆盘定理，以便更好地理解这个定理的证明过程。
一、定理的陈述列盖尔圆盘定理陈述如下：对于给定的两个不同半径的圆，存在切线使得这两个圆相切于切线的一点。
证明：为了证明这个定理，我们假设有两个不同半径的圆，一个半径为r1的圆和一个半径为r2的圆。
我们将证明，存在一条切线通过这两个圆，且在切线上存在一个点，使得这两个圆与该点相切。
令O1和O2分别表示两个圆的圆心，连接O1O2。
根据两个圆的性质，在O1O2上存在一点A，使得O1A和O2A分别与两个圆相切。
我们将证明点A就是所要求的切线与两个圆的切点。
1. 先证明点A在两个圆上根据两个圆的性质，在直径上的任意两个点构成的弦垂直于半径，所以O1A ⊥ OA，O2A ⊥ OA。
因此，点A在两个圆上。
2. 再证明点A是切线与两个圆的切点我们设点B是切线与圆O1的切点，点C是切线与圆O2的切点。
我们需要证明O1B = O2C。
连接OA，并延长OA到点D，使得OD = r2 - r1。
连接点D和点B，以及点D和点C。
由于OD ⊥ BC，所以D是BC的中点。
根据勾股定理，在△O1D和△ABO1中，有O1D² = O1A² + AD²，AB² = O1A² + OB²。
将AD的值带入到第一个等式，得到O1D² = AB² + OB² - 2r1r2。
同样地，在△O2D和△ACO2中，也有 O2D² = O2A² + AD²，AC² = O2A² + OC²。
将AD的值带入到第一个等式，得到O2D² = AC² + OC² -2r1r2。
将两个等式相减，得到O1D² - O2D² = AB² - AC² + OB² - OC²。
与两个圆都相切的直线方程
与两个圆都相切的直线方程相切的两个圆，是指两个圆正好有一个公共切点。
那么，我们如何找到这两个圆的相切直线方程呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们需要知道两个圆的圆心坐标和半径。
假设第一个圆的圆心坐标为 (x1, y1)，半径为 r1；第二个圆的圆心坐标为 (x2, y2)，半径为 r2。
我们知道，直线与圆相切时，直线与圆的切点的切线斜率与圆的半径垂直。
因此，我们可以利用这个性质来求解相切直线的方程。
首先，我们需要求解两个圆的切点坐标。
两个圆的切点坐标可以通过下面的公式求解：x = (x1r2 + x2r1) / (r1 + r2)y = (y1r2 + y2r1) / (r1 + r2)通过求解出的切点坐标，我们就可以确定直线的某一个点。
现在，我们需要确定直线的斜率。
直线的斜率可以通过两个圆心坐标的差值求得：斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)得到斜率之后，我们就可以得到直线的方程 y = kx + b。
我们只需要再求解出直线的截距 b，就可以得到与两个圆相切的直线方程了。
为了求解出直线的截距 b，我们可以利用直线过切点，代入切点坐标，然后解方程。
以其中一个切点坐标 (x, y) 代入直线方程，有：y = kx + b代入切点坐标得：y = kx + by = (kx1 - kx) + y1由于切点坐标在直线上，因此有 x = x1，y = y1，代入上面的方程有：y1 = kx1 + b解方程得到：b = y1 - kx1最后，我们把斜率 k 和截距 b 代入直线方程 y = kx + b，就可以得到与两个圆相切的直线方程了。
以上就是求解两个圆相切直线方程的方法。
通过这个方法，我们可以在给定了圆心坐标和半径的情况下，求解出与两个圆相切的直线方程。
这个方法在几何学和数学中都有重要的应用，希望能对你有所帮助。
请多多练习，加深理解。
圆正切线几种证法
圆正切线几种证法圆的切线是指圆上某点处的直线，这条直线只有一个交点与圆相切。
圆正切线是圆与其外部一点的切线，圆的正切线有多种证法。
下面将介绍几种不同的证法。
证法一：切线定理证法圆的切线定理是指直径与切线相垂直。
根据这个定理，我们可以通过证明直径与切线相垂直的关系来证明圆的正切线。
首先，我们设圆的直径为AB，切线上的切点为C。
通过证明角ACB为直角可以证明切线是圆的正切线。
根据几何学性质，我们可以得知，半径与切线的交点与圆心的连线垂直。
因此，我们可以得到角ACB为直角的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法二：切线与半径的垂直证法根据几何学知识，圆的切线与半径的关系是相互垂直。
我们可以通过证明切线与半径相垂直来证明圆的正切线。
设圆的半径为OA，切线上的切点为B。
我们可以利用垂直平分线的性质来证明切线与半径的垂直关系。
由于切线只有一个交点与圆相切，我们可以得知，切线与半径的交点为直角。
因此，我们可以得到切线与半径相垂直的结论，证明该切线是圆的正切线。
证法三：正切线的判定证法正切线的判定是指判断一个直线是否为圆的正切线。
我们可以通过判断一个直线是否满足成为圆的正切线的条件来证明圆的正切线。
首先，我们需要确定圆的切点和切线的位置关系，根据切线与圆的位置关系可以判断该直线是否为圆的正切线。
如果直线与圆只有一个交点且与交点处的切线垂直，那么该直线就是圆的正切线。
通过以上几种不同的证法，我们可以得知圆的正切线有多种不同的证法。
无论采用哪种证法，都需要运用几何学的基本性质和定理来完成证明。
掌握了这些证法，我们可以更好地理解圆的切线性质，提高我们的几何学水平。
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法圆的切线是指与圆相切且经过切点的直线。
证明圆的切线有多种方法，下面将详细介绍三种常用的方法。
方法一：使用勾股定理证明切线长度与切点到圆心距离的关系。
设圆的圆心为O，切点为A，切线与圆的交点为B。
我们需要证明OA⊥AB。
1.根据勾股定理，可知直角三角形OAB成立。
因为OA为半径，AB为切线，所以OA⊥AB取证。
2.为了得到与切线相垂直的线段，我们取切点A为起点，用圆心O为终点，连接AO。
3.连接OB。
4.观察△OAB和△OBA，它们有共边OA，且OO相等且共线，所以两个三角形是全等三角形。
5.根据全等三角形的性质可知，∠OAB=∠OBA，又∠OAB为直角，所以∠OBA也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知，线段OB⊥AB。
因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法二：使用割线定理证明切线的长度。
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线与圆的交点为B，圆上的一点为C。
1.连接OA、OB、OC。
2.观察△OAB和△OAC，它们有共边OA，且∠OAB为直角，所以两个三角形是相似三角形。
3.根据相似三角形的性质可知，AB/OB=OA/OC。
4.由于直角三角形中，OA=r，所以AB/OB=r/OC。
5.由于OA⊥AB，所以∠OAB=90°，所以∠OCB也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知，线段OC⊥CB。
由于OC⊥AB，且OC⊥CB，所以线段AB⊥CB。
因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法三：使用割线与切线的交角性质证明切线的存在性。
设圆上的一点为P，切点为A，切线与圆的交点为B。
1.连接OA、OP。
2.观察△OAP，根据三角形内角和定理可知∠OAP+∠OPA+∠POA=180°。
3.∠POA为平行于弧PA的圆心角，根据圆心角的定义可知∠POA=1/2×弧PA。
4.切线与弦的夹角等于相应弧所对的圆心角的一半，所以∠APB=1/2×弧PA。
5.因为直线和平行线有关的几何性质之一是，被两条平行线截取的弦上的两个圆心角相等。
两圆相切的判定及应用_吴远宏
数苑纵横辽宁省大连市三洋压缩机有限公司（１１６０３３） 吴远宏 初中教科书在介绍圆和圆的位置关系时，给出了两圆相切的判定方法，即：设两圆的半径分别为Ｒ和ｒ，圆心距为ｄ，若ｄ＝Ｒ＋ｒ，则两圆外切；若ｄ＝Ｒ－ｒ（Ｒ＞ｒ），则两圆内切．本文不妨统称为“圆心距法”．下面介绍另一种判定方法，这里统称为“公切线法”．一、两圆相切的判定１．两圆外切的判定 过两圆的公共点作其中一圆的切线，若这条切线也是另一圆的切线，且两圆的圆心在该切线的异侧，则两圆外切．图１已知，如图１，Ｐ是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的公共点，过点Ｐ作⊙Ｏ１的切线ＭＮ，而ＭＮ也是⊙Ｏ２的切线，且两圆的圆心Ｏ１和Ｏ２在ＭＮ的异侧．求证：⊙Ｏ１与⊙Ｏ２外切于点Ｐ．证明 连结Ｏ１Ｐ和Ｏ２Ｐ，∵ ＭＮ是⊙Ｏ１的切线，∴ Ｏ１Ｐ⊥ＭＮ，即∠Ｏ１ＰＭ＝９０°，而ＭＮ也是⊙Ｏ２的切线，同理∠Ｏ２ＰＭ＝９０°，∴ ∠Ｏ１ＰＭ＋∠Ｏ２ＰＭ＝１８０°，∴ Ｏ１、Ｐ、Ｏ２三点共线，∴ Ｏ１Ｏ２＝Ｏ１Ｐ＋Ｏ２Ｐ，显然Ｏ１Ｐ与Ｏ２Ｐ分别是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的半径，由“圆心距法”可知⊙Ｏ１与⊙Ｏ２外切于点Ｐ．２．两圆内切的判定 过两圆的公共点作其中一圆的切线，若这条切线也是另一圆的切线，且两圆的圆心在该切线的同侧，则两圆内切．证明 略，与图１的证明类似．二、应用举例例１ 如图２，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的ＡＢ和ＡＣ反向延长线上的点，且ＤＥ∥ＢＣ，求图２证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ外切于点Ａ．证明 过点Ａ作⊙ＡＢＣ的切线ＭＮ，则∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＮ＝∠ＥＡＭ，∵ ＤＥ∥ＢＣ，∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，∴ ∠ＥＡＭ＝∠ＡＤＥ，∴ ＭＮ是⊙ＡＤＥ的切线（弦切角定理的逆定理），显然⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ的圆心在ＭＮ的异侧，由“公切线法”可知⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ外切于点Ａ．图３例２ 如图３，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ和ＡＣ上的点，且ＤＥ∥ＢＣ，求证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ内切于点Ａ．证明 略，与例１的证明类似．注 图３中Ｄ、Ｅ点在ＡＢ和ＡＣ的延长线上，其它条件不变结论仍成立．图４例３ 图４中Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点，且∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，求证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ内切于点Ａ．证明 过点Ａ作⊙ＡＢＣ的切线ＭＮ，设⊙ＡＤＥ交ＡＢ于点Ｆ，连结ＤＦ，则∠ＡＥＣ＝∠ＡＦＤ，（下转第２２页）重庆市合川太和中学（４０１５５５） 袁安全 贵刊２０１０年３月（下）刊登了文［１］．其中有如下两个推广问题：图１推广１ 如图１，Ｐ是⊙Ｏ中的弦ＡＢ上的任意一点，过Ｐ点任作两弦ＣＤ和ＥＦ，ＣＥ、ＤＦ分别交ＡＢ于点Ｍ、Ｎ，ＦＣ和ＥＤ的延长线分别交直线ＡＢ于点Ｍ′、Ｎ′．则１ＰＭ－１ＰＮ＝１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′．参考文献利用了一个已证的关系式证明的．本文笔者从分析结论入手，利用面积关系以及相似三角形性质，给出如下巧妙简单自然的证明．分析 欲证 １ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′，即证 １ＰＡ－１ＰＭ′＝１ＰＢ－１ＰＮ′，亦证 ＡＭ′ＰＡ·ＰＭ′＝ＢＮ′ＰＢ·ＰＮ′，需证 ＡＭ′ＰＭ′·ＰＮ′ＢＮ′＝ＰＡＰＢ．上式可用面积关系及相似三角形证得．证明 如图１所示．连接ＡＣ、ＡＥ、ＢＤ、ＢＦ．则 ＡＭ′ＰＭ′·ＰＮ′ＢＮ′＝Ｓ△ＡＣＥＳ△ＰＥＣ·Ｓ△ＰＤＦＳ△ＢＤＦ＝Ｓ△ＡＣＥＳ△ＢＤＦ·Ｓ△ＰＤＦＳ△ＰＣＥ＝ＡＣ·ＡＥ·ＣＥＢＤ·ＢＦ·ＤＦ·ＤＦ（）ＣＥ２＝ＡＣＢＤ·ＡＥＢＦ·ＤＥＰＥ＝ＰＡＰＤ·ＰＥＰＢ·ＰＤＰＥ＝ＰＡＰＢ．所以 １ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′．由坎迪定理知１ＰＭ－１ＰＮ＝１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′．图２推广２ 如图２，Ｐ是⊙Ｏ中的弦ＡＢ上的任意一点，过Ｐ点作两弦ＣＤ和ＥＦ，ＣＥ、ＤＦ分别交ＡＢ于点Ｍ、Ｎ，ＦＣ和ＤＥ的延长线分别交ＢＡ的延长线于点Ｍ′、Ｎ′．则１ＰＭ－１ＰＮ＝１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′＋１ＰＮ′．注 此推广的证明方法与推广１的证明方法完全一致，请读者自己完成证明．参考文献［１］吴远宏．一道课外练习题的推广及联想［Ｊ］．中学生数学（下），２０１０，３．（责审 周春荔檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪）（上接第２１页）∵ ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，∴ △ＡＥＣ∽△ＡＦＤ，∴ ∠ＡＣＥ＝∠ＡＤＦ，而ＭＮ是⊙ＡＢＣ的切线，∴ ∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＝∠ＭＡＢ，∴ ∠ＡＤＦ＝∠ＭＡＢ，因此ＭＮ是⊙ＡＤＥ的切线（弦切角定理的逆定理），显然⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ的圆心在ＭＮ的同侧，由“公切线法”可知⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ内切于点Ａ．图５例４ 如图５，Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ延长线上两点，且∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＦ，求证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ外切于点Ａ．证明 略，与例３的证明类似．（责审 周春荔）。
高联几何证两圆相切
在几何学中，两个圆相切意味着它们只有一个公共点。
这通常发生在两个圆的半径之和或之差等于这两个圆心之间的距离时。
为了证明两个圆相切，我们可以采用以下步骤：
设两个圆的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。
O1O2是两个圆心之间的距离。
步骤1：首先，我们需要证明两个圆只有一个公共点。
这可以通过多种方法实现，例如通过代数方法，利用圆的方程和点的坐标来求解。
步骤2：接下来，我们需要证明r1 + r2 = O1O2或|r1 - r2| = O1O2。
这可以通过构造一个直角三角形，其中一个角是O1和O2之间的夹角，而两条直角边分别是两个圆的半径，斜边是两个圆心之间的距离。
步骤3：使用勾股定理，我们可以证明上述关系。
如果r1^2 + r2^2 = O1O2^2，则两个圆外切；如果(r1 - r2)^2 = O1O2^2，则两个圆内切。
步骤4：最后，我们可以通过作图来验证我们的结论。
在图上，我们可以看到两个圆只有一个公共点，并且满足上述关系。
综上所述，我们已经证明了两个圆相切。
这个过程涉及到了代数、几何和三角学等多个领域的知识。