第二章1信号与系统,课后答案

第二章

2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入相应（1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1

解：微分方程对应的特征方程为λ2+5λ+6=0

其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统的零输入响应可写为

y zi (t)=C1e-2t+C2e-3t

又(0-)=y(0-)=1, ()=()=-1,则有

1=+

-1=-2-3

由以上两式联立，解得=2=-1

即系统的零输入响应为(t)=2-,t

(2)

微分方程的特征方程为

其特征根系统的零输入响应可写为

又()=()=-2,则有

)=

以上两式联立，解得

因此系统的零输入响应为，(3)

微分方程对应的特征方程为

其特征根为=-1，系统的零输入响应可写为

又)=()=则有)=，()=-=1

以上两式联立，解得

因此系统的零输入响应为

,

(4)

微分方程对应的特征方程为

其特征根为系统的零输入响应可写为

又)=()=则有

)=()==0

因此系统的零输入响应为

(5)

微分方程对应的特征方程为

其特征根为, 系统的零输入响应可写为

+

又)=()=

则有

)=

() =

以上三式联立，解得

，

因此系统的零输入响应为

,t

2.2已知描述系统的微分方程和初始态度如下，试求其

(1)

输入则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即

(2)

将代入微分方程，有

○1

由于方程右端含有项，则，设

(t)+ ○2其中不含及其导数项。

对○2式两边从-到t积分，得

(t)+b+○3其中(t)，而(t)=(故不含及其导数项。

同理，对○3式两边从-到t积分，得

○4其中及其导数项。

将○2○3○4式代入○1式，整理得

a(t)+(8a+6b+c)+

比较上式两端及其各阶导数前的系数，有

a=1

6a+b=0

8a+6b+c=0

以上三式联立，解得

a=1,b=-6,c=28

对○2○3两式两端从积分，得

=b=-6

则有

（3）

将代入微分方程，有

○1由于方程右端含有项，则中含有，设

(t)+c○2其中不含及其导数项。

对○2式两端从-到t积分，得

(t)+b○3其中(t),不含及其导数项。

对○3式两端从-到t积分，得

○4其中=b+，不含及其导数项。

将○2○3○4式代入○1中，整理得

(t)+(3a+4b+c)

=

比较上式两端及其导数前的系数，有

a=1

4a+b=0

3a+4b+c=1

以上三式联立，解得

a=1,b=-4,c=14

对○2○3两断从积分，得

则有

(4))=2,

f(t)=

由f(t) =求得

将上式代入微分方程，得

○1由于方程右端含项，则中含，设

○2其中不含及其导数项。

对○2式两端从-到t积分，得

=(t) ○3其中=a+(t)，不含及其导数项

将○2○3与上式代入○1式，整理得a +4+5(t)=-2

比较上式两端前系数，知

a=1

对○2○3式两端从积分，得

a=1

因此，

2.3

如图所示RC电路中，已知R=1，

C=0.5F，电容的初始状态

-1V，试求激励电压源为下列函数时电容电压的全响应(t)

(1)= (2) (3)=(4)

解：根据电路列出微分方程，有+

-

R

C

+

-

代入元件参数值，整理得

(1)当时，系统的微分方程为由于方程右端不含冲激项，故

微分方程的齐次解为

易求其特解为

故微分方程的完全解为

代入初始值

故

因此，电路在的激励作用下的全响应为(2)当时，系统的微分方程为

由于方程右端不含冲激项，故

微分方程的齐次解为

易求其特解为

故微分方程的完全解为

代入初始值，有

因此电路在时全响应为

(3)当时，系统的微分方程为由于方程右端不含冲激项，故

微分方程的齐次解为

易求其特解为

故微分方程的完全解为

代入初始值，有

因此电路在时全响应为（4）当时，系统的微分方程为

由于方程右端不含冲激项，故

微分方程的齐次解为

易求其特解为

故微分方程的完全解为

代入初始值，有

因此电路在时全响应为

2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应，零状态响应和全响应。

（1）

(2)

,

解：

（1）由零输入响应的定义，可知