【VIP专享】第3章 抽样分布与参数估计1328
抽样分布与参数估计
抽样分布与参数估计首先，我们来了解什么是抽样分布。
在统计学中，抽样分布是指从总体中多次抽样得到的样本统计量的分布。
假设我们的总体是指所有感兴趣的个体的集合，而样本是从总体中选取的一部分个体。
抽样分布的形状和性质取决于总体的分布和样本的大小。
通过分析抽样分布，可以得到有关总体参数的有用信息。
例如，我们想要知道一些城市成年人的平均年收入。
在实际情况下，我们无法调查每个人的收入情况，因此我们需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本，并计算他们的平均年收入。
如果我们多次从总体中抽取样本并计算平均年收入，然后绘制这些平均值的分布图，我们就可以得到平均年收入的抽样分布。
这个抽样分布将给我们提供有关总体平均年收入的估计和推断。
接下来，我们将讨论参数估计。
参数估计是指使用样本数据来估计总体参数的过程。
总体参数是用于描述总体特征的数值，如总体平均值、总体标准差等。
通过从总体中抽取样本，并计算样本统计量，我们可以利用样本统计量来估计总体参数。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是指用单个数值来估计总体参数，例如用样本均值来估计总体均值。
点估计给出了一个单一的值，但不能提供关于估计的精度的信息。
因此，我们常常使用区间估计。
区间估计是指给出一个区间，这个区间内有一定的置信水平使得总体参数落在这个区间内的概率最高。
区间估计能够向我们提供关于估计的精确程度的信息。
区间估计依赖于抽样分布的性质。
中心极限定理是制定抽样分布理论的一个重要原则。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
这使得我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。
构建置信区间的一种常用方法是使用样本均值的标准误差。
标准误差是样本均值的标准差，它用来衡量样本均值和总体均值之间的误差。
根据正态分布的性质，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的误差可以用标准误差来估计。
通过计算标准误差并结合正态分布的性质，我们可以得到样本均值的置信区间。
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
第3章 抽样分布与参数估计13
P( X 7.5) P(
X 7 7.2 7 X 7 • （2） P( X 7.2) P( 0.39 0.39 ) P( 0.39 0.51) 0.69
• （3）
P(7.2 X 7.5) P( 7.2 7 X 7 7.5 7 ) P(0.51 Z 1.28) 0.21 0.39 0.39 0.39
Std. Deviation 4.130
Variance 17.053
Valid N (listwise)
净重均值、方差估计值，结果同Statistics表
3.3 区间估计
3.3 区间估计
• 用一个区间去估计未知参数， 即把未知参数值估计在某 两界限之间 • 设 x1 , x2 ,, xn是来自密度 f ( X , ) 的样本 • 对给定的 (0 1) ，如能找到两个统计量 1 ( x1 , x2 ,, xn ) 及 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ，使得 P{1 ( x1 , x2 ,, xn ) 2 ( x1 , x2 ,, xn )} 1 • 1 是置信度，置信度也称为置信概率 • 1 x1, x2 ,, xn ,2 x1, x2 ,, xn 是置信度为 1 的θ的置信区间 • 称为显著性水平（Significance Level） 。
• 样本统计量是一个随机分布量。
第三章
• • • •
抽样分布与参数估计
设由四个同学组成的总体， 样本总体N＝4。 随机变量X表示某个学生的年龄 X的所有取值为18，20，22，24。 21 2.236
• 总体均值和总体方差各为多少？
• 总体概率分布？
第三章
抽样分布与参数估计
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
概率论参数估计和抽样分布
概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。
3 理论分布与抽样分布
【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
第3章理论分布与抽样分布
P( x m) Pn (k m)
k m
k Cn
p q
m2
k
n k
5、P(m1 x m2 ) p n (m1 k m2 )
（m1<m2）
k m1
k Cn
p q
k
nk
(３ - ６ )
二项分布由n和p两个参数决定： 1、当p值较小且n不大时 ，分 布 是偏
1.2.2 泊松分布的概率计算及应用条件
例3- 4 食品店每小时光顾的顾客人数服从λ=3 的泊松分布，即x~p(3)分布。 （1）计算每小时恰有5名的顾客的概率；
（2）1小时顾客不超过5人的概率；
（3）1小时内顾客最少有6人的概率。
但是在大多数服从泊松分布的实
例中，分布参数λ往往是未知的，只能 从所观察的随机样本中计算出相应的 样本平均数作为 λ 的 估计值，将其代 替(3-10)式中的λ，计算出 k = 0，
内的任何实数。
如果表示试验结果的变量x，其可能取 值一一列出 ，且 以各种确定的概率取这些 不同的值 ， 则 称 x 为 离 散 型 随 机 变 量 ( discrete random variable)；
如果表示试验结果的变量x ，其可能取 值为某范围内的任何数值 ，且x在其取值范 围内的任一区间中取值时，其概率是确定 的，则称x为 连续 型 随 机 变 量 (continuous random variable)。
x表示可食用的罐头听数，则x的取值为0、1、
【例】 孵化一枚种蛋可能结果只有两 种，即“孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验的两种结果，则可令 x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表示“孵出 小鸡”。 【例】 测定某产品净重 ，表示测定 结
第3章 抽样分布
样本方差s2
s2取值的概率
0.0 0.5
4/16 6/16
2
4.5
39
4/16
2/16
0.00 0.0 0.5 s的取值 2.0 4.5
(用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的CHIDIST统计函数，计算2分布 右单尾的概率值
2. 语法为 CHIDIST(x,df) ，其中 df 为自由度， x 是随 机变量的取值 3. 给定自由度和统计量取值的右尾概率，也可以利 用“插入函数”命令来实现 4. 计算自由度为8，统计量的取值大于10的概率
σ2 =1.25
23
x 2.5
x2 0.625
样本均值的抽样分布
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数 学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n=4 x 5 n =16 x 2.5
37
2分布
(图示)
选择容量为n 的 不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
总体
简单随机样本
计算样本方差s2
计算卡方值
n=20
2 = (n-1)s2/σ2
计算出所有的
2
2值
38
2分布
(例题的图示)
16个样本方差的分布
s取值的概率
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
13
三种不同性质的分布
1 2 3
14
总体分布 样本分布 抽样分布
总体分布
(population distribution)
3抽样分布与参数估计
分布的图形和特征为： （二）t分布的图形和特征为： 分布的图形和特征为 为中心，左右对称的单峰分布。 1、以0为中心，左右对称的单峰分布。 分布曲线是一簇曲线， 2、t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度的大 小有关。自由度越小， 值越分散 曲线越低平； 值越分散， 小有关。自由度越小，t值越分散，曲线越低平；自由 度逐渐增大时， 分布逐渐逼近正态分布 分布逐渐逼近正态分布（ 度逐渐增大时，则t分布逐渐逼近正态分布（标准正态 分布）。 ）。当 分布即为u分布 分布）。当 ν = ∞ 时，t分布即为 分布。 分布即为 分布。
α
2 ,v
,v
表
表示。 表示。
2、举例 、 例如， 例如，单侧 t0.05,30 =1.697 ，表示 v = 30 时， 的概率或 t
≤ 1.697
的概率为0.05， ， 的概率为
记作： 记作： (t ≤ 1.697) = 0.05 P 其通式： 其通式： 单侧： 单侧： P (t ≤ tα ,v ) = α 或
二、总体均数的估计 统计推断： 统计推断：总体均数估计和假设检验 总体均数的估计： 总体均数的估计：点值估计和区间估计 1、 、
σ
未知， 未知，且n较小 较小
2 2
P(tα ,v < t < tα ,v ) =1α
P(tα
X t = sX
2
,ν
X < < tα ,ν ) = 1α 2 sX
( 总体均数的 1001α)% 可信区间：
第三章 抽样分布与参数估计 资料分析： 资料分析：统计描述
统计推断：参数估计 统计推断： 假设检验 进行统计推断即利用样本信息推断总体特 征（抽样研究） 抽样研究）
第一节 抽样误差
管理统计学第章抽样分布与参数估计
管理统计学第章抽样分布与参数估计引言抽样分布是管理统计学中的一个重要概念，它为我们理解样本统计量与总体参数之间的关系提供了基础。
参数估计是利用样本数据来估计总体参数的方法。
在本文档中，我们将介绍抽样分布的概念以及参数估计的基本原理。
抽样分布抽样分布是指从总体中抽取多个样本，并计算样本统计量的分布情况。
对于一个固定的总体，不同的样本会得到不同的样本统计量。
抽样分布的性质与样本容量、总体分布以及样本选取方式等因素密切相关。
抽样分布的中心与散布抽样分布的中心是指样本统计量的均值，通常与总体参数相同或接近。
抽样分布的散布是指样本统计量的变异程度，通常用标准误差来衡量。
标准误差越小，表示样本统计量与总体参数估计值之间的差距越小。
样本容量对抽样分布的影响样本容量对抽样分布的形态有很大的影响。
当样本容量较小时，抽样分布往往呈现非正态分布，且散布较大；而当样本容量较大时，抽样分布逐渐接近正态分布，并且散布较小。
中心极限定理中心极限定理是统计学中一个十分重要的定理，它指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从正态分布。
不管总体分布是什么样的，只要样本容量足够大，抽样分布就可以近似正态分布。
参数估计参数估计是利用样本数据来估计总体参数的方法。
参数是总体特征的度量，而估计则是基于样本数据来计算总体参数的近似值。
点估计与区间估计在参数估计中，可以采用点估计和区间估计两种方法来估计总体参数。
点估计是通过计算样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计则是通过计算样本统计量的置信区间来估计总体参数的范围。
置信区间置信区间是一种常用的区间估计方法。
它给出了总体参数估计值的范围，该范围内包含了真实总体参数的真实值的概率。
置信区间的计算需要考虑样本容量、抽样分布以及置信水平等因素。
假设检验假设检验是参数估计的一个重要部分，它用于判断总体参数的假设是否成立。
假设检验通常包括原假设和备择假设，以及统计量的计算和p值的判定。
抽样分布与参数估计概述
抽样分布与参数估计概述引言在统计学中，我们经常需要推断整个总体的性质，并据此进行决策或推断。
然而，由于种种原因，我们往往无法直接观察到整个总体的数据。
这时，我们通过对样本的观察和分析来进行总体的推断，这就涉及到了抽样分布和参数估计。
抽样分布抽样分布是指由相同样本大小的一系列独立随机样本所得到的统计量的分布。
在统计学中，我们通常将样本平均值、样本比例或者其他统计量作为总体参数的估计量。
而抽样分布那么将这些统计量的取值范围进行了描述。
中心极限定理中心极限定理是抽样分布的重要定理之一。
它指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
换言之，即使总体分布未知或不是正态分布，样本均值的抽样分布将会趋近于正态分布。
中心极限定理的意义在于，它允许我们利用正态分布的性质来对总体参数进行估计和推断。
通过对样本数据进行观察和分析，我们可以得到样本的均值和标准差，进而利用正态分布的性质来进行置信区间的构造、假设检验等。
参数估计参数估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的过程。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计点估计是通过单个统计量来估计总体参数的方法。
例如，我们可以用样本均值作为总体均值的估计值，用样本比例作为总体比例的估计值。
点估计能够给出一个具体的数值作为总体参数的估计，但是无法给出估计值的准确性。
区间估计区间估计是通过一个区间来估计总体参数的范围。
而这个区间通常使用置信区间来表示。
置信区间是指总体参数估计值在一定置信水平下的上下限范围。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的构造通常基于抽样分布的性质。
利用样本数据和抽样分布的知识，我们可以计算出参数估计值的抽样分布，并根据置信水平选择适当的临界值，从而得到置信区间。
总结抽样分布和参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过对样本数据的观察和分析，我们可以利用抽样分布和参数估计方法来推断总体的性质，并进行统计推断和决策。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似于正态分布，从而允许我们利用正态分布的性质对总体参数进行估计和推断。
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计
【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计【数据分析师 Level 1 】3.抽样分布及参数估计1.随机实验随机实验是概率论的⼀个基本概念。
概括的讲，在概率论中把符合下⾯三个特点的试验叫做随机试验可以在相同的条件下重复的进⾏每次试验的可能结果不⽌⼀个，并且能事先明确试验的所有可能结果进⾏⼀次试验之前不能确定哪⼀个结果会出现随机事件在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是⼀个被赋予⼏率的事物的集合，也就是样本空间中的⼀个⼦集。
简单来说，在⼀次随机试验中，某个特定时间可能会出现也可能不会出现；但是当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。
随机变量设随机试验的样本空间S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X为随机变量2.正态分布的图像形式既然介绍变量的分布情况，就要介绍⼀下正态分布。
⾸先，正态分布是关于均值左右对称的，呈钟形，如下图所⽰。
其次，正态分布的均值和标准差具有代表性，只要知道其均值和标准差，这个变量的分布情况就完全知道了。
在正态分布中，均值=中位数=众数3.中⼼极限定理从均值为 µ\muµ,⽅差为σ2\sigma^2σ2的⼀个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分⼤时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 µ\muµ ,⽅差为σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正态分布根据中⼼极限定理，我们知道如果做很多次抽样的话会得到很多个样本均值，⽽这些样本均值排列起来会形成正态分布,他们的平均数是µ\muµ,标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ换句话说，有约68% 的样本均值会落在 µ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±nσ之间，有约 95 %的样本均值会落在 µ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±2nσ有约 99.7 %的样本均值会落在 µ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±3n σ把上述说法稍微转换⼀下就变成：有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ会包含着 µ\muµ有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ会包含着 µ\muµ有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ会包含着µ\muµ⽽这就是抽样和估计最根本的道理我们从全体之中以随机抽样⽅式抽取n个样本，取得样本观察值，计算它们的平均数 x‾\overline xx ,然后加减两倍的σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ得到⼀组上下区间，然后说：我们有95 % 的信⼼，这个上下区间⼀定会包含着全体的平均数 µ\muµ。
抽样分布与参数估计
2. 每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、后 次的结果无关。
3. 每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。
13/47
不重复抽样
概念
不重复抽样（不重置抽样），即每次从总体抽取 一个单位，登记后不放回原总体，不参加下一轮 抽样。
作用：
不可能采用全面调查时可采用抽样调查。 不必要进行全面调查时可采用抽样调查。 由于时间经费限制或误差要求不高时可采用抽样调查。 满足紧急需要，来不及进行全面调查，可用抽样调查。 在全面调查后，对某些数据进行修正时采用抽样调查。
3/47
（二）抽样调查的原理
1. 必然现象与偶然现象 2. 大数定理 3. 中心极限定理
17/47
2.设定总体框架
总体框架就是一份清单或一个系统，在 它上面列出了总体中的每一个成员。
获得清单
清单的问题
• 解决遗漏的问题
• 处理无被选资格问题 • 处理加倍问题
• 处理聚类问题
给没有清单的问题加上一个框架
18/47
获得清单
尽量使用现有的清单，实在不行才亲自获得.
（1）一般总体的地区级清单
4. 抽样
15/47
1.定义总体
定义总体单元
总体是由哪些单元个体构成的(个人、家庭、 公司、工厂……) 。
设定总体边界
总体边界,是将与调研项目相关的人员和无 关人员区分开的条件。
16/47
定义总体cont.
设定总体边界
应该用操作数语表示清楚 ex.
雅安地区的成年人 啤酒饮用者 VS 年满18周岁,长期居住雅安地区的人 VS 过去三个月至少喝一次啤酒的人
抽样分布和估计培训
抽样分布和估计培训简介抽样分布和估计是统计学中的重要概念，用于推断总体参数的特征。
在实际应用中，我们往往无法对总体进行全面调查，而只能从中抽取一部分样本进行研究。
因此，了解抽样分布和估计方法是进行统计推断的基础。
本文将介绍抽样分布的概念和一些常见的估计方法，帮助读者理解这些概念并能够运用到实际问题中。
抽样分布的概念总体和样本在统计学中，总体指的是我们希望研究的对象的全体，可以是人群、产品、事件等等。
样本则是从总体中抽取的一部分个体，用于对总体进行推断和估计。
抽样分布抽样分布是指在总体中随机抽取多个样本，并记录某个统计量（如均值、比例、方差等）的频数分布。
通过多次重复抽样和记录，我们可以得到样本统计量的分布情况。
这个样本统计量的分布就被称为抽样分布。
中心极限定理中心极限定理是指在样本容量足够大的情况下，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布。
这意味着，即使总体并不服从正态分布，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布也会近似于正态分布。
这是基于大数定律和正态分布的性质推导出来的结论。
估计方法点估计点估计是利用样本数据推断总体参数的方法，通过计算样本统计量的值来估计总体参数的值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本比例估计总体比例等。
点估计得到的结果通常是一个具体的数值，但由于样本的随机性以及抽样误差的存在，点估计的结果不一定能精确地等于总体参数的真实值。
区间估计区间估计是在点估计的基础上，给出一个总体参数估计值的范围。
这个范围被称为置信区间，用来表示我们对总体参数的估计不确定性。
置信区间通常由一个下限和一个上限组成，表示总体参数存在于这个范围内的概率。
置信水平是指置信区间包含总体参数的概率，常用的置信水平有95%和99%。
抽样分布和估计的应用抽样分布和估计方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以通过抽样方法获取一部分目标群体的意见和反馈，从而推断整个总体的态度和行为。
在医学研究中，通过对患者的样本数据进行分析，可以估计出一种药物的疗效和副作用。
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总体庞大,难以对总 体的全部元素进行 研究
原
因
检查具有破坏性
炮弹、灯管、砖等
第三章 抽样分布与参数估计
统计学基本概念
• 总体 (全体) Population • 所有感兴趣的对象
• 样本Sample • 总体的一部分
• 总体参数Parameter • 关于总体的概括性度量
• 统计量Statistic • 关于样本的概括性度量
• （1）计算样本均值大于7.5的概率， • （2）计算样本均值小于7.2的概率， • （3）计算样本均值在7.2和7.5之间的概率。
第三章 抽样分布与参数估计
• 样本容量大于30，由中心极限定理可知，样本均值 x的分
布近似均值为
7,
标准差
＝
X
n
＝
2.2 31
＝0.39的正态分布
即
X ~ N (7,0.392 )
• 从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量 （或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本， 计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不 同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到 这个统计量的分布，称之为抽样分布。
• 样本统计量是一个随机分布量。
第三章 抽样分布与参数估计
• 设由四个同学组成的总体， • 样本总体N＝4。 • 随机变量X表示某个学生的年龄 • X的所有取值为18，20，22，24。
50.00%
0
0.00%
6
7
8
9
10 其他
频率
累积
%
频率
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
总体分布
正态分布
样本均值 分布(n=2)
样本均值 分布(n=10)
样本均值 分布(n=30)
指数分布
均匀分布
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
• （1） P(X 7.5) P( X 7 7.5 7) P( X 7 1.28) 0.1
0.39 0.39
0.39
•
（2） P(X
7.2)
P(
X 7 0.39
7.2 7) 0.39
P( X 7 0.39
0.51)
0.69
• （3）
P(7.2 X 7.5) P(7.2 7 X 7 7.5 7) P(0.51 Z 1.28) 0.21 0.39 0.39 0.39
第三章 抽样分布 与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
• 3.1 抽样分布 • 3.2 点估计 • 3.3 区间估计
第三章 抽样分布与参数估计
3.1 抽样分布
为什么要抽样? 为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的
全部元素逐一进行观测，往往不很现实。
元素多，搜集数据费
抽 样
时、费用大，不及时而 使所得的数据无意义
中心极限定理的作用
• 建立起 Z值与样本均值之间的数值关系.
• 不论该总体服从何种分布，只要当样本容量足够大
（ n 3）0 ，样本均值的分布都大致服从正态分布。
X
Байду номын сангаас
~
N (,
2
)
n
第三章 抽样分布与参数估计
• 例：某高校在研究生入学体检后对所有结果进 行统计分析，得出其中某一项指标的均值是7， 标准差2.2。从这个总体中随机选取一个容量 为31的样本。
{5,7} 6
{8,7} 7.5
{7,7} 7
{10,7} 8.5
{10,10} 10
{5,10} 7.5
{8,10} 9
{7,10} 8.5
{10,10} 10
第三章 抽样分布与参数估计
• 一个样本统计量的概率分布被称为该统计量的抽样分 布
样本均值抽样分布 直方图
10
150.00%
100.00% 5
X
10
5
8
7
10
10
5
8
7
10
{10,10} 10
{5,10} 7.5
{8,10} 9
{7,10} 8.5
{10,10} 10
{10,5 } 7.5
{5,5} 5
{8,5} 6.5
{7,5} 6
{10,5} 7.5
{10,8} 9
{5,8} 6.5
{8,8} 8
{7,8} 7.5
{10,8} 9
{10,7} 8.5
• 抽样 • 从所研究的对象中随机取出一部分进行观察，由此获 得有关总体的信息。
第三章 抽样分布与参数估计
• 抽样分为概率抽样与非概率抽样 • 其中概率抽样分为：
纯随机抽样、等距抽样、分层抽样、整群抽样
第三章 抽样分布与参数估计 常用的总体参数
• 总体平均数 • 总体方差 • 总体标准差
N
XI
I 1
第三章 抽样分布与参数估计 样本均值的抽样分布
• 一个总体10，5，8，7，10 ，
频率
3 2 1 0
5
直方图
150.00% 100.00% 50.00% 0.00% 7 9 11 其他 接收
频率 累积 %
第三章 抽样分布与参数估计
• 有放回（with replacement）抽样
{Xi, X j}
• 总体均值和总体方差各为多少？ 21 2.236
• 总体概率分布？
第三章 抽样分布与参数估计
• 所有样本容量为2的样本
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
总体分布与样本抽样分布的关系
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
• 例：在北京一居室的房租平均为每月1500元， 房租的分布并不服从正态分布，随机抽取容量 为50的样本，样本的标准差是200元，请问样 本均值至少为1600元的概率是多少？
第三章 抽样分布与参数估计
第三章 抽样分布与参数估计
N
N
(XI X )2
2 I 1
N
• 总体比率（总体成数）
P N1 N
第三章 抽样分布与参数估计
• 样本平均数 • 样本方差 • 样本标准差
n
Xi
x i1
n
n
(Xi x)2
s2 i1 n 1
s
• 样本比率（样本成数）
p n1 n
第三章 抽样分布与参数估计
• 样本统计量经常被用作估计总体参数。 • 点估计就是运用样本数据值计算出一个样本统计量的
值，将其作为总体参数的估计值。
• 如用 x 5去0估计
• 问题是不同的样本提供不同的估计值 • 样本越大，估计的性质越好，但成本也越高 • 了解估计的性质有多好
• 解决办法：以样本的抽样分布作为理论基础。
第三章 抽样分布与参数估计
抽样分布
• 从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些 样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为 这个统计量的抽样分布。