离散数学参考答案

大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 离散数学 试 卷： A 授课院 (系)： 软件学院 考试日期： 04 年 1 月 3 日 试卷共 4 页
1、 简答下列各问(每小题2分共20分)
1） 一个可满足的公式一定是永真式。

一个永真式一定是可满足的。

哪一句为真？ 后一句为真
2） 一个偏序一定是一个全序。

一个全序一定是一个偏序。

哪一句为真？ 后一句为真
3） 一个划分一定是一个覆盖。

一个覆盖一定是一个划分。

哪一句为假？ 后一句为假
4） 同余关系一定是等价关系。

等价关系一定是同余关系，哪一句为真？ 前一句为真
5） Y 盖复x ，则一定有x ≤y 。

若x ≤y ，则一定有Y 盖复x 。

哪一句为假？（≤为偏
序）
后一句为假 6） 一个单射、满射函数一定是一个双射函数。

一个双射函数一定是一个满射函数？
哪一句为假？
都不为假
7） 一个分配格一定是一个布尔代数。

一个布尔代数一定是一个分配格。

哪一句为
假？
前一句为假
8） 设T=<n,m>是一棵具有n 个结点m 条边的树，试给出结点n 和边m 的关系式： m =n-1
9） 设R 是集合X 中的二元关系，试给出R 的对称闭包:
s( R)=R ⋃R
10） 数理逻辑中介绍了哪8条推理规则？
P 、T 、CP 、F 、UG 、US 、EG 、ES 规则
姓名：
学号： 院系： 级 班
装
订
线
2、 试证在完全二元有向树中，边的总数为2（n t –1）.其中n t 为树叶数。

（6分）
证明：因为是完全二元树，所以每个结点的度数为2或0。

设度数为2的结点数为n 2 ,于是边数为m=2 n 2. 在树中边数m 和结点数n 有关系式 m=n-1即2 n 2.= n 2+n t -1
而n= n 2+ n t 由上式得：m=n 2+ n t -1=m/2+ n t -1 整理得：m=2（n t –1）.
3、 若无向树T 有两个顶点度为2，一个顶点度为3，3个顶点度为4，则T 有几片树叶？
（6分）
证明：设无向树有n 个结点，于是n=n 2+n 3+n 4+n t （1）
其中：n 2，n 3， n 4 ，n t 分别代表度为2，为3，为4及叶结点。

整个图的度数之和为2m 并且2m=2(n-1) （2） 2m=2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t （3） 于是根据（2）得
2(n-1) =2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t （4） 把（1）代入（4）得：
2（n 2+n 3+n 4+n t -1）= 2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t （5） 即2（2+1+3+n t -1）= 2*2 + 3*1+3*4+ 1*n t 整理得：n t =9 4、 给定有向图：
试求邻接矩阵A ，A 2，并给出a 14 的解释。

（10分） 解：
A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01
10
000011000110 A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01
10
00001100011
*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01
10
000011000110
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11
00
000001101100
a 214=1表示从1到4长度为2的路径有1条。

5、 （5分）
解：设前缀码集合为H ，则H={00，01，10，111}
6、 设T 24是24的因子的集合，D 是T 24上的整除关系，试证D 是偏序关系，并画出其
哈斯图。

（10分）
证明：1）对任意的x ∈T 24,显然有xDx,即D 是自反的；
2）对任意的(∀x )(∀y)(x ∈T 24∧y ∈T 24∧xDy →⌝(yDx)),即D 是反对称的； 3）对任意的x,y,z 属于T 24及xDy 和yDz,我们来证明xDz
设
x y =m,y
z
=n 于是有y=xm,z=yn x z =m
y yn =nm 即xDz,也就是D 是可传递的，综上D 是一个偏序关系。

T 24={1,2,3,4,6,8,12,24} Hasse 图如下
7、 （5分）
解：完全覆盖为{{1，2，3}，{2，3，4}，{4，5}，{6}}
8、给定自然数集合N ，R 是N 上的模4同余关系，试求出集合N/R 。

（5分） 解：N/R={[0]R ，[1]R ，[2]R ，[3]R }
9、将下列命题符号化（共6分，每小题3分）
1） 没有一个研究生不想成为科学家。

2） 有些学生离散数学不及格。

解：1）定义谓词如下：
S （x ）:x 是研究生。

SI(x,y): x 想成为y 。

于是问题可符号化为：
(∀x)( S （x ）→ SI(x,科学家)) 2)定义谓词如下： S （x ）:x 是学生。

E （x,y ）: 学生x 的y 门课程是不及格的。

于是问题可符号化为：
(∃x)( S （x ）∧ E （x ，离散数学）)。

10、求出下式的主析取范式（共6分，每小题3分）
1）⌝（P→Q）∧（R→P）
2）（P→Q）→（R∨P）
解：1）⌝（P→Q）∧（R→P）=⌝（⌝P∨Q）∧（⌝R∨P）
=（P∧⌝Q）∧（⌝R∨P）
=（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧⌝Q）
=（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧⌝Q∧ R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）
2）（P→Q）→（R∨P）=（⌝P∨Q）→（R∨P）
=⌝（⌝P∨Q）∨（R∨P）
=（P∧⌝Q）∨（R∨P）
=（P∨R）∧（P∨⌝Q ∨R）
=（P∨Q∨R）∧（P∨⌝Q ∨R）
=∏M0M2
=∑m1,m3,m4,m5,m6,m7
=(⌝P∧⌝Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧ R) ∨(P∧⌝Q∧⌝R) ∨(P∧⌝Q∧R) ∨(P∧Q∧⌝R) ∨(P∧Q∧R)
11、用反证法（即F规则）证明下式（5分）
（∀x）(⌝A(x) →B(x)), （∀x）⌝B(x) ⇒(∃x)A(x)
解：1、⌝(∃x)A(x) P规则（假设前提）
2、（∀x）⌝ A(x) T规则和1
3、⌝ A(x) US规则和2
4、（∀x）(⌝A(x) →B(x)) P规则
5、⌝A(x) →B(x) US规则和4
6、B(x) T规则3和5
7、（∀x）⌝B(x) P规则
8、⌝B(x) US规则和7
9、B(x) ∧⌝B(x) T规则6和8
10、(∃x)A(x) F规则1和9
12、用CP规则证明下式：（5分）
（∀x）（∀y）(P(x) →Q(y)) ⇒(∃x)P(x) →(∀y)Q(y)
解：1、(∃x)P(x) P规则（附加前提）
2、P(a) ES规则和1
3、（∀x）（∀y）(P(x) →Q(y)) P规则
4、（∀y）(P(a) →Q(y)) US规则和3
5、P(a) →Q(y) US规则和4
6、Q(y) T规则2和5
7、(∀y)Q(y) UG规则和6
8、(∃x)P(x) →(∀y)Q(y) CP规则1和7
13、如何从有向图的邻接矩阵，判定它是否是有向树？（11分）
解：1、若邻接矩阵主对角线上存在1，则不是有向树，因为存在自环；
2、若存在第i行和第i列均为0，则不是有向树，即存在孤立结点；
3、若A（2），…,A(n)对角线上存在1，则不是有向树，存在长度不同的回路。