数理统计学_.

三、 随机变量及其分布
（一） 一维随机变量的分 布 定义 1.2.1 设 (,F , P) 是一个概率空间，
对于 ，X ( ) 是一个取实数的单值函 数；若对任一实数 x ，{ : X ( ) x}是一 随机事件，亦即 { : X ( ) x}F ，则称
X ( ) 为随机变量.
P( AB) P( A) P( B)
则称事件 A 与事件 B 相互独 立.
定义 1.1.6 称 n 个事件 A1 , A2 ,, An 相 互独立，若对任意 s(2 s n) ，及 任意 ik ， k 1,2,, s ，
1 i1 i2 is n ，
有
P( Ai1 Ai2 Ais ) P( Ai1 ) P( Ai2 ) P( Ais ) .
每包要是有3粒不 发芽，马上免费退换！ 每包25粒
零售商面临如下两种类型的不肯定性： (1) 他对种子公司出售的小包中可接受（即至 少有22粒花籽将发芽）的包数所占比例 PA 是 不清楚的. 这是第一类不肯定性.
每包25粒中 至少有22粒将 发芽 所有的包都 如此吗？？
这种类型的不肯定性，即不知道种 子公司出售的小包中可接受的比例，它 是由于对总体的真实状态（天然状态） 无知所引起的不肯定性.
f ( x) 0



f ( x)dx 1
x2
P{x1 X x2} f ( x)dx
x1
几种常见的连续型随机变量的概率分布.
(1). 均匀分布
连续型随机变量 X 的概率密度为
1 , a x b, a b, f ( x) b a 0, others
第二个问题是怎样从取得的样本去推断 总体？这种推断具有多大的可靠性？ 这是统计推断问题. 本课程着重讨论第二个问题,即最常用统 计推断方法.
可见，在数理统计中必然要用到概率论 的理论和方法. 因为随机抽样的结果带有随 机性，不能不把它当作随机现象来处理 .
由此也可以说， 概率论是数理统计的基础，而数理统 计是概率论的重要应用. 但它们是并列的 两个学科，并无从属关系 .
学习统计无须把过多时间化在计算 上，可以更有效地把时间用在基本概 念、方法原理的正确理解上. 国内外 著名的统计软件包： SAS，SPSS， MATLAB, EXCEL等，都可以让你快速、 简便地进行数据处理和分析.
下面我们以一例说明数理统计
某种子公司A，栽种了几种类别的 鲜花，收获了大量的花籽，并把每25粒 花籽扎成一小包出售. 一个零售商批发 了若干包，并向顾客保证：在每包25粒 花籽中至少有22粒将能发芽，否则的话 可免费调换另一包.
X
a
1中，0 p 1 ，则称 X 服从两点分布.特别的， 当 a 0, b 1 时，称 X 服从 (0 1) 分布，记作
X ~ (0 1) .
(2).二项分布
若随机变量 X 的分布律为
k P{ X k} Cn p k (1 p)n k (k 0,1, 2, , n)
(1)、乘法公式
P( B) 0 ，则有
P( AB) P( B) P( A B) P ( A) P ( B A)
) 0 （1）对 两 个 事 件 A, B ， 若 P( A ，
一般地，设有 n 个随机事件
A1 , A2 ,, An ，若 P( A1A2 A n1 ) 0 ，则有
其中， 0 p 1 ，则称 X 服从参数为 n, p 的二 项分布，记作 X ~ B(n, p)
.
(3).泊松分布
若随机变量 X 的分布律为
P{ X k}

k
k!
e ( k 0,1, 2,)
其中， 0 ， 则称 X 服从参数为 的 Poisson 分布，记作 X ~ P( ) .
从历史的典籍中，人们不难发现许 多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的 记载，说明人们很早就开始了统计的工 作 . 但是当时的统计，只是对有关事实 的简单记录和整理，而没有在一定理论 的指导下，作出超越这些数据范围之外 的推断.
到了十九世纪末二十世纪初，随 着近代数学和概率论的发展，才真正 诞生了数理统计学这门学科.
3. 连续型随机变量
定义 1.2.4 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ， 若存在一个非负可积的函数 f ( x) ，对任意实数
x有
F ( x) f ( x)dx
x
成立， 则称 X 为连续型随机变量， 且称 f ( x) 为
X 的概率密度函数（简称概率密度）.
概率密度 f ( x) 具有如下性质 （1） （2） （3）
零售商对种子公司出售的小包中可接 受（即至少有22粒花籽将发芽）的包数所 占比例 PA 是多少没有把握.
零售商能够根据试验的方法（请公司进 行发芽试验）来改善他的处境. 根据试验他能作出天然 状况 PA 是多少的决策.
这就是抽取部分种籽进行发芽试验，通过这 部分中发芽数所占比例（频率)来对 PA 的真 值进行推断.
数理统计学是一门应用性很强的学 科. 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据，以便对 所考察的问题作出推断和预测，直至为 采取一定的决策和行动提供依据和建议.
数理统计不同于一般的资料统计，它 更侧重于应用随机现象本身的规律性进行 资料的收集、整理和分析.
由于大量随机现象必然呈现出它的规 律性，因而从理论上讲，只要对随机现象 进行足够多次观察，被研究的随机现象的 规律性一定能清楚地呈现出来. 但客观上 只允许我们对随机现象进行次数不多的观 察试验，也就是说, 我们获得的只是局部 观察资料.
随机变量 X 的概率密度为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x )
其中， , 是常数，且
0 ，则称 X 服从参
, 的正态分布，记作 X ~ N ( , 2 ) . 数为
特别的，当 0, 1 时的正态分布称为标准正 态分布，记作 X ~ N (0,1) .标准正态分布的概率 密度与分布函数分别用 ( x) 和 ( x) 表示
P ( A1 ) P A2 A1 P An A1 A2 An 1
P ( A1 A2 An )
(2)、全概率公式与Bayes公式
机事件.若
设 是样本空间， A, B1, B2 ,, Bn 为随
P( Bi ) 0(i 1,2, , n), Bi B j (i j ) ，
根据分布函数的定义，可得分布函数有如下性质：
（1） 0 F ( x) 1，且 F ( ) xlim F ( x) 0 ，
F () lim F ( x) 1 ；
x
（2）若 x1 x2 ，则 F ( x1 ) F ( x2 ) ，即分布函数 是单调不减的； （3）对 a b ，有
数理统计(统计推断)的特点是应用 面广，分支较多. 社会的发展不断向统 计提出新的问题.
计算机的诞生与发展，为数据处理 提供了强有力的技术支持，数理统计与 计算机的结合是必然的发展趋势.
由于学时有限，课程的的这部分内 容重点在于介绍数理统计的一些重要概 念和典型的统计方法，它们是实际中最 常用的知识.
虽然他不能精确地和肯定地确定 PA ， 但可以期望获得一个（在某种意义下）比 较好的推断. 这就涉及到 (1)怎样设计试验，决定观察的数目； (2)怎样利用试验观察的结果作出一个“好 ”的推断等. 这都是数理统计所要研究的问题.
第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的 样本更合理,并有更好的代表性？这是抽样 方法和试验设计问题：最简单易行的是进行 随机抽样.
数理统计的任务就是研究怎样有效 地收集、整理、分析所获得的有限的资 料，对所研究的问题, 尽可能地作出精 确而可靠的结论.
在数理统计中，不是对所研究的对 象全体(称为总体)进行观察，而是抽取 其中的部分(称为样本)进行观察获得数 据（抽样），并通过这些数据对总体进 行推断.
由于推断是基于抽样数据，抽样数 据又不能包括研究对象的全部信息. 因 而由此获得的结论必然包含不肯定性.
则称 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分布，记作
X ~ U [a, b] .
(2). 指数分布
随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
其中， 0 ，则称 X 服从参数为 的指数分 布，记作 X ~ E ( )
.
(3). 正态分布
共100万包
即使 PA 是0.99，即种子 公司出售的一百万包中 有99万包是可接受的，
那些包是可 接受的呢？？
零售商购买的200包仍有可能“碰巧” 是从不可接受的一万包中选取的.
这样他就要损失一笔资金.
这一类不肯定性是由于“随机性”所 引起的. 在已知 PA 的条件下，这种不肯定性 的程度已在概率论部分作过讨论. 下面我们回到第一类不肯定性：
P{a X b} F (b) F (a) ；
（4） xlim F ( x) F ( x0 )( x ) ，即分布函数 x
0
处处右连续.
其中，性质（1），（2），（4）是鉴别一个函 数是否为某随机变量分布函数的充分必要条件.
2.离散型随机变量
随机变量通常可分两种类型，若随机变量全部可能 取值是有限个或可列无限个，则称这种随机变量为 离散型随机变量，否则称为非离散型的.
i 1 i 1 n n
（3） P( A) 1 P( A) （4） P( A B) P( A) P( AB) ， 特别地，若 B A ，则 P( A B) P( A) P( B) ， 从而有 若 B A ，则 P( B) P( A) ； （5） P( A B) P( A) P( B) P( AB)