数理统计基础
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。
在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。
本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。
一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。
常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。
下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。
1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。
样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。
2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。
样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。
4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。
样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。
数理统计的基础知识
样本容量：=10
1 10 1 (2)x xi (100+85+&&+86)=78.1 10 i 1 10
n 1 1 * 2 2 2 s ( x x ) [21.9 6.9 i n 1 i 1 9
1. 定义 设 1 ,
称为自由度为n的 分布.
2. 临界值表的结构和使用 设 ~ 2(n)，若对于： 0<<1，
存在
则称
2
0 满足 2 2 P{ } , 为 2 (n) 分布的上分位点。
2
( ; n)
2 2
例16.3 给定=0.05,自由度n=25,求 满足下面等式的临界值:
2 *2
1 x,1 x 0, 解：分布密度为 p( x) 1 x,0 x 1, 0, 其它
则 E x(1 x)dx x(1 x)dx 0
1 0
0
1
1 D x (1 x )dx x (1 x )dx 1 0 6
(4) F 统计量及其分布
总体 ~ N （1， 12），（1， 2， ... n1 )为样本， ,S
*2 1
1 2 ( ) i n1 1 i 1
2 2
n1
总体 ~ N （2， ），（1， 2， ... n2 )为样本， , S 2*2 1 n2 2 ( ) i n2 1 i 1
(1) P{F 2 } (2) P{F 1}
解 (1)2 F ( ; n1, n2 ) F (0.1;10,5) 3.3
数理统计的基础知识
第4章数理统计的基础知识数理统计与概率论是两个有密切联系的学科, 它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计。
数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布。
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。
但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资料。
数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.§4.1 总体与样本一、 总体与总体分布1.总体：具有一定的共同属性的研究对象全体。
总体中每个对象或成员称为个体。
研究某批灯泡的质量，该批灯泡寿命的全体就是总体；考察国产 轿车的质量，所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体；某高校学习“高等数学”的全体一年级学生。
个体与总体的关系，即集合中元素与集合之间的关系。
统计学中关心的不是每个个体的所有具体特性，而是它的某一项或某几项数量指标。
某高校一年级学生“高等数学”的期末考试成绩。
对于选定的数量指标 X （可以是向量）而言，每个个体所取的值是不同的，这一数量指标X 就是一个随机变量（或向量）；X 的概率分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况。
数学概率论与数理统计的基础知识
数学概率论与数理统计的基础知识概率论和数理统计是数学中的重要分支，它们研究了随机事件的发生规律以及通过对数据进行统计分析来了解事物的规律性。
本文将介绍数学概率论与数理统计的基础知识，帮助读者了解这两个领域的重要概念和方法。
一、概率论的基础知识1. 随机试验和样本空间随机试验是在相同条件下具有不确定性的实验，其结果不能事先预知。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2. 事件和概率事件是样本空间的子集，表示一些感兴趣的结果。
概率是事件发生的可能性大小的度量，介于0和1之间。
3. 古典概型古典概型是指具有有限样本空间且样本点等可能出现的随机试验。
在古典概型中，事件的概率可以通过样本点的数目来计算。
4. 条件概率条件概率是指事件B在另一个事件A已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)。
条件概率的计算可以使用“乘法规则”。
5. 独立事件事件A和B称为独立事件，如果事件A的发生不会对事件B的发生产生影响。
独立事件的概率计算可以使用“乘法规则”。
二、数理统计的基础知识1. 总体和样本总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分个体。
统计学中，我们通常通过对样本的统计分析来推断总体的特征。
2. 随机变量和概率分布随机变量是取值具有随机性的变量，可以是离散的或连续的。
概率分布描述了随机变量各个取值的概率。
3. 参数和统计量参数是总体的特征指标，统计量是样本的特征指标。
通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计。
4. 抽样分布和中心极限定理抽样分布是指统计量的分布，它反映了统计量的随机性。
中心极限定理表明，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5. 置信区间和假设检验置信区间用于对总体参数进行估计，假设检验用于对总体参数的假设进行推断。
通过置信区间和假设检验，我们可以对统计结论进行推断和验证。
三、应用案例概率论和数理统计在各个领域都有广泛的应用。
例如，金融领域中的风险评估和投资决策，医学领域中的临床试验和流行病学研究，工程领域中的质量控制和可靠性分析等等。
【数理统计基础】06-相关分析和方差分析
【数理统计基础】06-相关分析和⽅差分析1. 相关分析1.1 相关系数 在⼀堆变量中，找到并分析它们之间的关系，是复杂环境和模型中的重要任务。
由于线性关系的特殊、常见和简单，数学上往往采⽤线性关系来逼近实际关系。
上篇的线性回归以及概率论中的线性回归，更关注的是线性函数的参数估计。
如果想单纯地度量随机变量的线性关系，直接讨论相关系数即可，请先复习斜⽅差的相关概念。
两个变量之间的线性关系，就是之前学过的协⽅差的概念\text{Cov}(X,Y)。
在得到n个样本(X_i,Y_i)后，容易得到式（1）的⽆偏估计，注意其中降低了⼀个⾃由度，继⽽还可以有式（2）的样本相关系数。
相关系数是线性关系的直接度量，它可以作为相关假设的检验条件，最常⽤的就是当|r|\leqslant C时认为X,Y是不相关的。
\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\approx\text{Cov}(X,Y)\tag{1}r=\dfrac{1}{S_XS_Y}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}),\;\;S_X^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\tag{2} 为了能找到关于r的枢轴变量，这⾥还是要做⼀些假设，即(X,Y)是⼀个⼆元正态分布。
回顾⼆元正态分布的知识（《初等概率论》第5篇公式（27）），可知X,Y完全符合⼀元线性回归的模型。
为此这⾥暂且取定X_i，⽽把Y_i看成随机变量，并对它们进⾏⼀元回归分析。
⽐较发现系数估计满⾜\alpha_1=r\cdot\dfrac{S_Y}{S_X}，在假设\rho=0（即系数a_1=0）的情况下，把这个等式代⼊上篇公式（12）右的枢轴变量，整理后得到式（3）。
由于该结论与X_i的取值⽆关，因此它对于变量X_i也成⽴，它就是我们要找的枢轴变量。
\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\tag{3}1.2 复相关系数 相关系数度量了两个随机变量之间的线性关系，当系统中的变量很多时，关系也会变得复杂，这时需要引⼊更多的关系分析。
数理统计基本知识
2 (5), Y
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
P{ (n)}
2 2
2 2 ( n ) 的点 为分布 (n) 的上分位点.
( n)
2
f ( y)dy
19
•当n充分大(>45)时,有
2
1 ( z 2n 1 ) 2 2
i 1
n
X i 2 等均
1 ( X 1 X 2 ) 等都不是统计 2 Xi i 1 2 量，因为它们含有未知参数 ,
为统计量，而
1
n
2
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的
随机变量．
10
几个常用的统计量 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X
的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
§6.2
抽样分布
一、统计量 样本是进行统计推断的依据.但在应
用时,往往不是直接使用是样本本身,而是针对不同 的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进 行统计推断. 定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任 何未知参数，则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
n 11
0
18
y
2 分布的可加性 设 12 ~ 2 (n1 ), 2 ~ 2 (n2 ) 2 2 2 2 2 且 1 与 2相互独立,则有 1 2 ~ ( n1 n2 )
分布的数学期望和方差
例： X
U ( 0, 4), 则 E ( X Y ) _____ D( X Y ) _____ . 分布的分位点 对于给定正数 (0<<1), 称满足
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
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机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
数理统计主要知识点
数理统计主要知识点数理统计是统计学的重要分支，旨在通过对概率论和数学方法的研究和应用，解决实际问题上的不确定性和随机性。
本文将介绍数理统计中的主要知识点，包括概率分布、参数估计、假设检验和回归分析。
一、概率分布概率分布是数理统计的基础。
它描述了一个随机变量所有可能的取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括：1. 均匀分布：假设一个随机变量在某一区间内取值的概率是相等的，则该随机变量服从均匀分布。
2. 正态分布：正态分布是最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有均值和标准差两个参数。
3. 泊松分布：泊松分布描述了在一定时间内发生某个事件的次数的概率分布，例如在一天内发生交通事故的次数。
4. 二项分布：二项分布描述了进行一系列独立实验，每次实验成功的概率为p时，实验成功的次数在n次内取特定值的概率。
二、参数估计参数估计是根据样本数据来推断随机变量的参数值。
常见的参数估计方法包括：1. 最大似然估计：假设数据服从某种分布，最大似然估计方法寻找最能“解释”数据的那个分布，计算出分布的参数值。
2. 矩估计：矩估计方法利用样本矩来估计分布的参数值，例如用样本均值估计正态分布的均值，样本方差估计正态分布的方差。
三、假设检验假设检验是为了判断一个统计假设是否成立而进行的一种统计方法。
它包括假设、检验统计量和显著性水平三个重要概念。
1. 假设：假设指的是要进行验证的观察结果，分为零假设和备择假设两种。
2. 检验统计量：检验统计量是为了检验零假设而构造的统计量，其值代表目标样本符合零假设的程度。
3. 显著性水平：显著性水平是用来决定是否拒绝零假设的标准，通常为0.01或0.05。
四、回归分析回归分析是用来研究和描述两个或多个变量之间关系的统计方法。
它可以帮助人们了解因果关系，做出预测和控制因素的效果。
1. 简单线性回归：简单线性回归是一种简单的回归分析方法，它描述一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
2. 多元线性回归：多元线性回归描述多个自变量和一个因变量之间的关系，通过多元回归模型可以找到最佳的回归系数，从而用来预测未来的结果。
第八章 数理统计基础
分院 专业 班级 姓名 学号封 装 线一：填空题1、来自正态总体()20~σ，N X 的一个简单随机样本为n X X X ,21 ，，，则样本的样本容量为_______， =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 11______，=⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i X n D 11_________。
2、已知()22,50~N X ，X 为样本均值，样本容量为9，则()=<48X P 。
（用标准正态分布()Φ表示）3、设n X X X ,21 ，，，是总体()2~σμ，N X 的样本，X ，2S 分别是样本平均值和样本方差，则nX σμ-服从_____________分布4、设总体X 的分布中含有未知参数θ，2,1∧∧θθ，是由n X X X ,21 ，，样本所确定的两个统计量,对于给定的()10<<αα有αθθθ-=⎪⎭⎫⎝⎛<<∧∧121P ，则随机区间__________ 为θ的置信水平为__________的置信区间. 5、设n X X X ,21 ，，是总体()2~σμ，N X 的样本，当2σ为已知时，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 。
6、设n X X X ,21 ，，来自总体X 简单随机样本，则n X X X ,21 ，，满足（1），（2）。
二、计算题1、n X X X ,21 ，，来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的矩估计量。
2、已知()25~，μN X ，随机抽取容量为16的样本，求得样本平均值为65=x ，则μ的置信度为0.95的置信区间()96.1025.0=Z ，3、设n X X X ,21 ，，是总体()21~σ，N X 的一个样本,且()2σ=X D ,求2σ的矩估计量2ˆσ。
4、体X 其中()10<<θθ为未知参数。
试求θ的矩估计量5、设n X X X ,21 ，，为总体X 的一个样本，总体X 的概率密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=-其他,010,1x x x f θθ， 其中0>θ为未知参数。
(高等数学与工程数学习题课指导)第十章数理统计基础
数据的数字特征
集中趋势
偏态与峰态
描述数据的中心趋势，如平均数、中 位数等。
描述数据分布的形状，如偏度、峰度 等。
离散程度
描述数据的离散程度，如方差、标准 差等。
03
概率论基础
概率的基本概念
概率
描述随机事件发生的可能性大小 的量度，取值范围在0到1之间， 其中0表示不可能事件，1表示必
然事件。
频率
第十章 数理统计基础
目录 Contents
• 数理统计基础概述 • 描述性统计 • 概率论基础 • 参数估计与假设检验 • 方差分析数理统计基础概述
定义与概念
定义
数理统计是数学的一个重要分支 ，它研究如何从数据中获取有用 信息，以及如何利用这些信息进 行决策。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理等， 以提高数据质量。
数据分组
根据研究目的和数据特征， 将数据分为若干组，便于 后续分析。
数据的图表表示
柱状图
折线图
散点图
箱线图
用于展示分类数据和连 续数据的对比关系。
用于展示时间序列数据 的变化趋势。
用于展示两个连续变量 之间的关系。
用于展示数据的分布特 征和异常值。
描述两个随机变量同时取值的分散程度和它 们之间的相关性的量，计算公式为 Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]。
描述两个随机变量之间线性相关程度的量 ，取值范围在-1到1之间，其中1表示完全 正相关，-1表示完全负相关，0表示无关。
04
参数估计与假设检验
点估计与区间估计
点估计
用单一数值表示估计的参数值，常见 的点估计方法有矩估计和极大似然估 计。
4-1数理统计的基础知识
T6
1 2
(
X
2 1
X
2 2
X
2 3
).
不是
2. 常用统计量
设( X1, X2 , , Xn它)反是映来了自总总体体均值X的一个样本, ( x1, x2 , , xn )是这一样 的信本息的样本值.
(1)样本平均值
1 n
X n i1 Xi ;
其观察它的值反信映息了x 总 体n1 方in1差xi .
数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐
述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计
推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以 有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, 带有 随机性的数据资料,对所考察问题的统计规律性尽可 能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决 策和行动提供依据和建议.
n维r.v.(抽样具有随机性）
样本容量：样本中所含的个体的数目n.
样本值：样本的一次观察值或实现值 ( x1, x2 , xn ).
(2) 简单随机样本 1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体X 有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 注：以后所考虑的样本均为简单随机样本， 并简称为样本.
样本矩具有下列性质:
性质 设总体X的期望E( X ) ,方差D( X ) 2 ,
( X1, X2 , , Xn )为来自总体X的样本,则有 :
(1) E( X ) ;
(2)
D( X )
1 n
2;
(3)
E( S02 )
n1 n
数理统计的基本原理和方法
数理统计的基本原理和方法数理统计是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，它在各个领域都发挥着重要的作用。
本文将介绍数理统计的基本原理和方法，包括样本与总体、数据的描述统计、概率分布、假设检验和回归分析等内容。
一、样本与总体在进行统计分析的过程中，我们常常需要从整个数据集中选取一部分作为样本进行研究。
样本与总体是数理统计中的重要概念。
样本是从总体中抽取出来的一部分个体或观察值，而总体是我们想要研究的对象的全体。
通过对样本的研究和分析，我们可以推断出总体的特征和规律。
二、数据的描述统计描述统计是数理统计中最基础的部分，它主要用于对数据进行整理、总结和分析。
描述统计包括测量中心趋势的指标（如均值、中位数和众数等）、测量散布程度的指标（如方差和标准差等）以及数据的分布形态（如偏态和峰态等）等。
通过描述统计，我们可以更好地了解数据的特点和分布规律。
三、概率分布概率分布是数理统计中的重要内容之一，它描述了随机变量的取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括正态分布、二项分布、泊松分布等。
概率分布可以帮助我们对数据进行建模和推断，以及进行一些概率计算和预测。
四、假设检验假设检验是数理统计中用于验证统计推断的方法。
它基于样本数据对总体的某个特征进行推断，并假设了一个关于总体的假设。
通过计算样本数据与假设之间的差异，我们可以判断这个差异是否显著，从而得出是否拒绝该假设的结论。
假设检验在科学研究和实际应用中有着广泛的应用。
五、回归分析回归分析是数理统计中用于研究变量之间关系的方法。
它主要用于预测和解释因变量与自变量之间的关系。
回归分析可以通过建立模型来描述这种关系，并进一步进行参数估计和显著性检验。
常见的回归分析方法包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
综上所述，数理统计的基本原理和方法涵盖了样本与总体、数据的描述统计、概率分布、假设检验和回归分析等内容。
了解和掌握这些基本原理和方法，对于进行科学研究和实际问题的解决都具有重要的指导和应用价值。
01第一章 数理统计的基础知识
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
2
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。 定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。 样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。 样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)
应用数理统计基础
y
0.5
当 n 3, x→0+ 时，f (0) → 0 , x→+∞, f (x) →0;
n=1
y
n=2 n=4 n=6
n=9
n = 11
19
O x
2 -分布n 3的一般图形
x
O
2 -分布的基本性质 10 设12 ~ 2 (m), 22 ~ 2 (n), 且 12 , 22 相互独立, 2 2 2 ~ (m n) 2 -分布的可加性 则 1 2
即 的密度函数为
则 ~ (1, ) . 2、 - 分布的可加性 (P135, 例3.14) 设 ~ (1, ) , ~ (2, ) , 与 相互独立， 则 + ~ ( 1+ 2, ) . 3、 标准正态分布的平方分布 (P132, 例3.12) 设 ~ N(0, 1), 则 = 2 的概率密度函数为 1 x 1 x 2e 2, x 0 p( x) 2 x0 0,
二、 t -分布 定义2 设 ～N(0,1), ～ 2 (n) , 且 与 相互独立, 称随机变量 t 服从的分布为自由度为 n 的 t 分布, n 记为t～ t (n) . 定理 设t～ t (n), t 的密度函数为： 2 n 1 [(n 1) 2] x f ( x) (1 n ) 2 . (n 2) n 证明：先求 n 的密度函数： 2 2 F ( nu ), u 0 P ( nu ) 当 时，F n(u) P( n u) 当 u 0 时，F n(u) 0 f(nu2) 2nu , u0 所以 f / n(u) (F n(u))u u0 0,
第五章 数理统计基础知识
（3）对360个零售商店调查零售额（单位：元）的结果 如下：
商店数 零售额
61 135
110
42
12
1000 (1000 ,5000 ] (5000 ,10000 ] (10000 ,20000 ] (20000 ,30000 ]
这是一个容量为360的样本的观察值，对应的总体是所 有零售店的周零售额.不过这里没有给出每一个样品的观 察值，而是给出了样本观察值所在的区间，称为分组样本 的观察值.
这便是一个容量为30的样本观察值，其样本均值为：
x
1 (156 30
134
161
151)
153.5
它反映了该厂工人周工资的一般水平.
例3(分组样本均值的近似计算）如果在例2中收集
得到的样本观察值用分组样本形式给出（见下表)，
此时样本均值可用下面方法近 似计算：以 xi ，表示
第 i 个组的组中值(即区间的中点），ni 为第 i 组的频
（2）对某型号的20辆汽车记录每加仑汽油各自行驶的 里和数（单位：公里）如下：
29.8 27.6 28.3 28.7 27.9 30.1 29.9 28.0 28.7 27.9 28.5 29.5 27.2 26.9 28.4 27.8 28.0 30.0 29.6 29.1
这是一个容量为20的样本的观察值，对应的总体是该 型号汽车每加仑汽油行驶的里程.
即下表所示.
X
0
1
P
1 p p
其中 X 是一个随机变量，表示抽查一台彩电的质量后 所得到的不合格数，X 0 表示该彩电合格，X 1 表示该 彩电不合格.不同厂家的总体间的差异就体现在不同的 p 上.
第五章数理统计的基础知识
第五章数理统计的基础知识在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。
知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。
在概率论的许多问题中,概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性,即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。
但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。
例如:1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。
2、检测一批灯泡是否合格,则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0—1）分布,但其中的参数p 未知。
对这类问题要深入研究,就必须知道与之相应的分布或分布中的参数.数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数.数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。
数理统计研究的内容非常广泛,可分为两大类：一是:怎样有效地收集、整理有限的数据资料.二是:怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。
第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系。
在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X .例如：研究一批灯泡的平均寿命时,该批灯泡的全体构成了研究的总体,其中每个灯泡就是个体.但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X 表示该批灯泡的寿命）。
概率论与数理统计课件：数理统计基础知识
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6.1.1 总体
§6.1 总体和随机样本
总体:研究对象的全部可能观察值叫做总体. 个体:组成全体的每个观察值叫做个体.
如:考察某校学生的身高
总体:该校的所有学生的身高 个体:每个学生的身高
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实际问题中，要研究的是有关对象的各种数量指标. 总体可以用一个随机变量及其分布来描述.
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由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必 须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
从一批产品中抽5件,检验产品是否合格.
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样本容量为5
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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总体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 个体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 的一个取值
常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.
如：总体X或总体F X
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有限总体 总体
无限总体
1.考察某校大一新生（共2000人）的身高. 有限总体
2.观测某地每天最高气温. 无限总体 3.某厂生产的所有电视显像管的寿命. 无限总体
数理统计学的基础与实际应用案例
数理统计学的基础与实际应用案例数理统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科，它的应用范围广泛，涵盖了许多领域，如经济学、医学、生态学等。
本文将介绍数理统计学的基础概念，并结合实际应用案例，展示其在解决实际问题中的重要性。
一、基础概念1. 总体与样本在数理统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分。
研究者通常无法对整个总体进行研究，因此通过对样本的研究来推断总体的特征。
2. 参数与统计量参数是总体的数值特征，如总体均值、方差等。
统计量是样本的数值特征，如样本均值、样本方差等。
通过对样本的统计量进行计算，可以推断总体的参数。
3. 随机变量与概率分布随机变量是数理统计学中的重要概念，它表示随机试验的结果。
概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。
常见的概率分布有正态分布、泊松分布等。
二、实际应用案例1. 市场调研市场调研是商业领域中常见的应用场景。
通过对一定数量的样本进行调查，可以了解市场的需求和消费者的偏好。
例如，某公司想要推出一款新产品，为了确定市场的潜在需求，可以对一定数量的消费者进行问卷调查，并通过数理统计学的方法分析调查结果，得出市场需求的估计值。
2. 医学研究在医学研究中，数理统计学发挥着重要的作用。
例如，某研究机构想要评估某种药物对某种疾病的治疗效果，可以将患者分为两组，一组接受药物治疗，另一组接受安慰剂治疗，然后通过对两组患者的治疗效果进行比较，利用数理统计学的方法判断药物的疗效是否显著。
3. 生态学研究生态学研究中，也经常使用数理统计学的方法。
例如，某生态学家想要了解某个生态系统中不同物种的数量分布情况，可以通过对样本进行抽样调查，然后利用数理统计学的方法估计总体的物种数量和分布情况。
三、数理统计学的局限性虽然数理统计学在实际应用中具有重要的作用，但也存在一定的局限性。
首先，数理统计学是基于样本的推断，因此样本的选择和样本量的大小对结果具有影响。
其次，数理统计学的结果只是概率性的估计，不能完全准确地描述总体的特征。
[研究生入学考试]第六章数理统计基础
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〔2)样本要有独立性,即要求样本中每一样品的取 值不影响其他样品的取值,这意味着x1,x2,…,xn相 互独立.
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随 机样本,也简称样本.除非特别指明,本书中的样本 皆为简单随机样本.
于是,样本x1,x2,…,xn可以看成是相互独立的 具有同一分布的随机变量,其共同分布即为总体分 布.
对于样本均值的抽样分布,我们有下面的定理 定理1 设x1,x2,…,xn是来自某个总体X的样本, 为样本均值. 〔1)若总体分布为N〔μσ2),则的精确分布为
N〔μσ2/n); 〔2)若总体X分布未知〔或不是正态分布),且
n1E渐<i近nX1 >分x=i 布μ的,D是渐<指X近>n分=较σ布大2,为则时N当的〔样近μ本似σ2容分/n量)布,这n较里大的时,
〔1)x<1>的分布函数F1<x>=1-<1-F<x>>n,x<1> 的分布密度f1<x>=n-<1-F<x>>n-1f<x>
〔2)x〔n)的分布函数Fn<x>=[F<x>]n,x<n>的分 布密度fn<x>=n[F<x>]n-1f<x>
证明 先求出x<1>及x<n>的分布函数F1<x>及Fn<x>： 分别对F1〔x),Fn〔x)求导即得
定义1 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样 本函数T＝T〔x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参 数,则称T为统计量.统计量的分布称为抽样分布.
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的频率直方图（每个等分区间上的长方形面积定义为频率值 f i ：
d)将频率直方图进行连续曲线拟合，可得拟合曲线方程 f n ( x ) ； 2） 频率直方图与连续拟合曲线的意义和解析（内涵） ： 当样本容量 n N （即与总体（有限结果 N ）相同）时，样本直方图就是总 体的概率密度直方图或概率密度函数；至于总体结果无穷大或不可数无穷时，我 们也可以推断和证明，样本直方图拟合曲线 f n ( x) 和函数就是总体概率密度函数
1 n ( X k X )2 n 1 k 1
s2
1 n ( xk x ) 2 ； n 1 k 1
要点三：数理统计之四大分布和四个基本定理
数理统计之四大分布： 1、 正态分布 N ( , 2 ) 1) 正态分布定义 设 随机变量 X 的密度 函 数为 f ( x ) =
f ( x1，x2 ,.....xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )...... f ( xn )
定理三： 设离散型总体 X ~ P(X x i ) pi (i 1,2,....., n.,...) ， 样本 X 1，X 2，X 3， ......, X n 中的各个随机变量 X k ~ P(X k x i ) pi (i 1,2,....., n.,...) ( k 1,2,....., n ) ，故样本 联合分布律（即 n 维随机变量 （X 1，X 2，X 3， ......, X n ) 联合概率密度函数）如下：
X , ( x)或（ X，Y ), ( x, y ) （ ( x ) 、 ( x, y ) 为其随机变量对应的分布） ，其构建
了课程的第一部分—概率论。同时，为解决一些随机现象某些应用问题，我们又 引进了随机变量数字化理念--数字特征， 提出了解决应用问题的数字特征之间接 办法。但是，这样的数学处理办法仍无法满足 19 世纪生产工业化带来的应用需 求，自 19 世纪末诞生了一门新学科—数理统计。它以概率论为基础，根据试验 或观察得到的数据和信息来研究随机现象， 以便对研究对象的客观规律性做出合 理科学的估计和判断， 最大限度地满足应用需求。下面用实际应用例子解析数理 统计典型问题和基本解题思路： 某工厂每天生产 10 万只 LED 灯，现在由质量检验科进行产品质量检验，判 别这批产品是否合格和准许出厂? 1、 如何构建科学地检验一批产品合格的整体方案？ 选择部分产品进行合格检验，用取得的这部分产品的合格情况，科学地设定 判别整批产品合格准许出产的质量检验标准。 2、 整体方案具体技术实施途径如何？ 进行抽样试验、试验数据整理、计算判别标准、合格出产和不合格补救措施 等； 显然，上述的问题和解决思路中需要解决如下问题： 如何抽样？数据如何整理？判别标准如何定义和构建？如何体现标准的科 学性？等等， 这些就是我们这一章要介绍的课程内容， 可概括为： 一个基本假设， 一个解题逻辑、四个基本概念，四大分布和四个应用定理。
n 维随机变量 （X 1，X 2，X 3， ......, X n ) 联合分布函数）如下：
F ( x1，x2 ,.....xn ) F ( x1 ) F ( x2 ) F ( x3 )......F ( xn )
证明：由样本假设的第一个条件知：随机变量 X k (k 1,2,....., n) 与 X 同分布， 则其分布函数表达式为 F ( xk ) ，即 X k ~ F ( xk ) (k 1,2,....., n) ； 由样本假设的第二个条件知： X 1，X 2，X 3， ......, X n 相互独立，则联合分布函 数等于各个边缘分布函数的乘积， 即 F ( x1，x2 ,.....xn ) F ( x1 ) F ( x2 ) F ( x3 )......F ( xn ) 。 定理二：设总体 X ~ f ( x ) ，则 X k ~ f ( xk ) (k 1,2,....., n) ，样本联合概率密度函 数（即 n 维随机变量 （X 1，X 2，X 3， ......, X n ) 联合概率密度函数）如下：
2、 样本特征整理： 按常用统计量样本均值 X 、样本方差 S 2 计算样本均值和样本方差： 样本均值： X 样本方差： S 2
1 1 n ( X 1 X 2 X 3 ..... X n ) X k n n k 1 x 1 n xk ； n k 1
要点一：一个基本假设、一个解题逻辑和四个基本概念
为了引出和解析的通俗化，我们仍用上述的产品合格检验问题进行解析；
产品抽样：抽取 50 个产品进行试验。 要保证抽取产品的随机性：我们抽取时要避免时间集中、地点集中地选取产 品，尽量按有时间间隔、地点空间间隔的进行选取试验产品； 科学性：将所有可能的 50 个产品抽取结果都要考虑，一个都不能少！我们 可以引进 50 个随机变量 X k 第k个取样结果 （k 1， ， 所有的 50 个产 2,3， ......,50） 品抽取结果可以用 50 维随机变量 （X 1，X 2，X 3， ......, X 50 ) 来表述； 简单化假设：按实际情况可见，取第一个时，可能的结果为这批产品的全部 （10 万个） ，而取第二个时，可能的结果为这批产品的全部少一个（10 万-1 个） ， 依次类推，显然， X 1 与 X 2 不独立！为了简化研究问题，参考实际情况（少 1 个 相对总数 10 万个可以忽略不计） ，因此，我们假设取第二个产品时，仍为全部产 品，依次类推，我们就可以将抽样看成 50 次重复独立试验，因此，可以假设 与研究对象全部（称 2,3， ......,50） X 1，X 2，X 3， ......, X 50 相互独立，并且， X k （k 1， 为总体 X ）是同分布（因为 X k 样本空间与研究对象--总体的样本空间相同，显 然分布表达函数也一样） 。 通过对上述举例的分析和解析，我们可以得到以下结论： 1、总体与个体： 我们将研究对象全部结果称之为总体，用随机变量 X 表示； 我们将研究对象的某个结果称为个体，用 X xk 表示； 2、样本与统计量 从总体 X 中抽取的 n 个个体全体称为样本，并用 n 维随机变量
P ( X 1 xk1， X 2 xk 2 ....., X n xk n ) P ( X 1 xk1 ) P ( X 2 xk 2 ).....P ( X n xk n )
其中 xk ，xk ....., xk x1 , x2 , x3 ,.....xn ，并且可以取值相同。
1 1 n ( X 1 X 2 X 3 ..... X n ) X k ； n n k 1 1 n ( X k X )2 ； n 1 k 1
1 n ( X k X )2 ； n k 1
3、 数理统计的基本假设（简单样本，以后通称为样本！ ） ： 数理统计中对样本 X 1，X 2，X 3， ......, X n 有如下假设： （1） X k (k 1,2,....., n) 与总体 X 同分布； （2） X 1，X 2，X 3， ......, X n 相互独立； 4、 样本假设的应用价值： 样本假设下可以得到有关样本分布的相关定理如下（即 n 维随机变量 ： （X 1，X 2，X 3， ......, X n ) 联合分布函数、联合密度函数或联合分布律的几个定理） 定理一： 设总体 X ~ F ( x ) ， 则 X k ~ F ( xk ) (k 1,2, . 样本联合分布函数 （即 n) ，
1 2 n
定理四： 设总体 X ， 样本 X 1，X 2，X 3， 由数理统计对样本的基本假设 （1） ......, X n ， （2） X 1，X 2，X 3， X k (k 1,2,....., n) 与总体 X 同分布； ......, X n 相互独立；可得到 下列常见样本统计量的数字特征关系：
a)计算样本值最大值 b max x1 , x2 , x3 ,..., xn ，最小值 a max x1 , x2 , x3 ,..., xn ； b)根据样本容量 n 大小。将区间 a, b 分为 k ( k n) 等分，尽量满足两个条件： 等分点尽量不要与样本值 （x1 , x2 , x3 ,.......xn ) 某个值相同，否则，相同的样 本某个值会遇到如下问题：归于左边等分区间还是归于左边等分区间？ 等分数 k 大小合适（建议 5 k 20 ） ，使得每个区间的样本值数不出现 极端情况（0 或很大） ； c)计算每个等分区间的样本值数的频率 f i
1 2 e
( x u ) 2 2 2
(- ∞ <x<+ ∞ ), 其中
（1） E ( X ) E ( X k ) ; D( X ) D( X k ) ； （2） E ( X ) E ( X ) ; D ( X )
1 D ( X ); E ( S 2 ) D ( X ); n
课堂习题：证明定理 4 的关系式；
5、 数理统计的基本逻辑图
总体 X
统计推断
（X 1，X 2，X 3， ......, X n ) 表示，或用 X 1，X 2，X 3， ......, X n 表示，n 为样本容量（样本
大小） ； 所有的样本取值2，X 3， ......, X n ) （x1 , x2 , x3 ,.......xn ) 称为样本值或样本点；
称 n 维随机变量函数 T ( X 1，X 2，X 3， ......, X n ) 为样本函数； 若样本函数 T ( X 1，X 2，X 3， 则该样本函数数理统计上 ......, X n ) 不含未知参数， 称为统计量；
常见的样本统计量有以下三个： 样本均值 X 样本方差 S 2 样本方差 S n2
f ( x) 。
经验分布函数---构建步骤以及内涵： 1）利用频率直方图构建经验分布函数步骤 根据频率直方图并按下列定义可得经验分布函数 F ( x ) :