数理统计第1章基础知识

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概率论与数理统计各章重点知识整理

概率论与数理统计各章重点知识整理第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则交换律结合律分配律德•摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121Y ΛY Y…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布即统计量的分布1.X 的分布不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P Y 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2)时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P Y的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章参数估计一.点估计总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数其它参数 W 及其分布置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

概率论与数理统计(1-3章重点梳理)

公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性）（2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量在(1,b)上服从均匀分布，则方程

概率论与数理统计第1章随机事件及其概率

骰子朝上的点数为 i ,第二颗骰子朝上的点数为 j . (3) (i) S1 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 ),( 次品,正品 )} ;
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种规律,称为随机现象的统计规律性.

应用数理统计(基于MATLAB实现)第1章数理统计的基本概念

应用数理统计
第1章数理统计的基本概念
数理统计的基本概念
目录 contents
1 总体与样本 2 样本经验分布函数 3 统计量与估计量 4 抽样分布
2024/4/19
PART 1
总体与样本
前言数理统计学是探讨随机现象统计规律性的一门学科,它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析随机数据，从而对所研究对象进行统计推断。
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法 1 频数表
2 直方图
2024/4/19
1.2 从样本认识总体的方法
例3. 由于随机因素的影响，某铅球运动员的铅球出手高度可看成一个随机变量，现有一组出手高度的统计数据（单位：cm）如下：
200
195
210
211
201
205
185
197
183
177
2024/4/19
引例
引例1：研究一批灯泡的寿命分布，需明确该批灯泡中每个灯泡的寿命长短。引例2：研究某一湖泊的深度，需测量湖面上每处到湖底的深度。总体：在数理统计中，我们把研究对象的全体所构成的集合称为总体，而把组成总体的每个元素称为个
体，总体中所包含个体的个数称为总体的容量．
这两张图是大家再熟悉不过的两个成语了：一叶知秋、盲人摸象。
参数
分布的数字特征
某事件的概率等
参数
2024/4/19
PART 3
样本的经验分布函数
3 样本经验分布函数 1 经验分布函数的定义
2024/4/19
3 样本经验分布函数 2 例题例1.2.5
某食品厂生产午餐肉罐头,从生产线上随机抽取5只罐头,称其净重(单位:g)为: 351, 347, 355, 344, 351

第一章统计学基础知识-1

直图方
30 25 20 15 10 5 0 120% 100% 80% 60% 40% 20% 0%
频率累 % 积
频率
5.55 7.05 8.55 10.05 11.55 13.05 14.55 16.05 17.55 其他
蔗含 % 糖量
第三节统计特征数
反映数据资料的集中性趋势或分散程度的一些特征数字，统称为统计特征数。平均数，方差。征数字，统称为统计特征数。如，平均数，方差。平均数：一、集中性趋势的度量--平均数：集中性趋势的度量平均数描述数据资料的集中性趋势，描述数据资料的集中性趋势，反映资料的一般水平及中心位置，平及中心位置，并可作为资料的代表跟其它资料比较。比较。
（2）随机误差（偶然误差）：）随机误差（偶然误差）由很多不可避免且无法控制的偶然因素引起的误差。由很多不可避免且无法控制的偶然因素引起的误差。分析测试中：分析测试中：分析方法本身的不完善性、仪器、环境、分析方法本身的不完善性、仪器、环境、操作等各个方面的偶然变化。方面的偶然变化。生物试验中：生物试验中：产生随机误差的原因供试材料的不均一性如种子质量、供试材料的不均一性如种子质量、秧苗素质不可能完全一致；全一致；光照、温度、湿度等影响生长的环境因子也可能随时光照、温度、随地发生的变化；随地发生的变化；农时操作的不一致性；农时操作的不一致性；其它不可预测的自然或人为因素的干扰。其它不可预测的自然或人为因素的干扰。
编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11.8 14.1 12.8 14.6 14.9 10.1 11.6 11.0 15.1 13.4 1 13.1 11.9 15.3 10.4 15.0 12.4 12.2 13.0 14.9 10.6 2 9.2 16.7 12.6 13.4 12.1 10.8 7.5 9.2 12.6 6.5 3 8.7 7.4 16.1 14.6 12.6 11.3 13.4 7.0 14.1 11.0 4 12.9 10.0 17.2 10.5 13.0 6.3 14.7 13.2 11.4 11.9 5 13.7 4.4 13.5 8.6 14.1 15.7 14.2 9.0 9.4 11.8 6 9.6 13.2 11.9 15.2 14.4 14.3 14.0 14.0 12.4 12.6 7 13.7 13.8 16.7 11.1 13.1 15.0 15.1 13.2 15.0 9.5 8 8.5 9.1 9.6 14.5 13.3 12.5 6.5 15.0 9.4 12.2 9 15.7 11.9 15.1 12.1 15.0 11.8 8.7 13.8 12.9 8.2

01第一章数理统计的基础知识

为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察，称为抽样。
2
第一章数理统计的基础知识
第一节总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察，称为抽样。定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)

概率论与数理统计第一章随机事件与概率

S AB
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张
第1张第2张第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n

Ank k!

n! (n k)!k!

Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并）事件A与B至少有一个发生所构成的事件，称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件）由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点数大于2”={3，4，5，6}，求 A B,C D,AE,E.

数理统计第一章基本概念

(x
i 1
n
i
x ) 0.
定理2数据观测值与均值的偏差平方和最小，即在形如 (xic)2 的函数中，
2 ( x x ) 最小，其中c为任意给定常数。 i
定理3 设总体 X 具有二阶矩，即 E(x)= , Var(x)=2 , x1, x2, …, xn 为从该总体得到的样本，
P T t (n)
t ( n )
f (t ) dt
的点 t(n)为 t(n) 分布上分位数。
t(n) 分布上
分位点示意图
t 分布的上分位数有表可查，见附表2。
3 . F 分布
且 X 与Y 定义3：设 X ~ (m) ，Y ~ (n) ，
2 2
相互独立，则称 F =(X/m)/(Y/n)服从第一自由
xi 与总体X有相同的分布。 x1, x2, …, xn 相互独立。
独立性: 样本中每一样品的取值不影响其
它样品的取值 --
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是独立同分布 ( iid ) 的随机变量，其共同分布即为总体分布。设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总
某电子产品的使用寿命某天的最高气温加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
样本具有两重性
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示；
该密度函数的图象也是一只取非负
值的偏态分
布

概率论与数理统计课件：数理统计基础知识

数理统计基础知识
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6.1.1 总体
§6.1 总体和随机样本
总体:研究对象的全部可能观察值叫做总体. 个体:组成全体的每个观察值叫做个体.
如:考察某校学生的身高
总体:该校的所有学生的身高个体:每个学生的身高
数理统计基础知识
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实际问题中，要研究的是有关对象的各种数量指标. 总体可以用一个随机变量及其分布来描述.
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由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
从一批产品中抽5件,检验产品是否合格.
数理统计基础知识
样本容量为5
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计基础知识
总体的指标如体重、身高、寿命等是随机变量X 个体的指标如体重、身高、寿命等是随机变量X 的一个取值
常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.
如：总体X或总体F X
数理统计基础知识
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有限总体总体
无限总体
1.考察某校大一新生（共2000人）的身高. 有限总体
2.观测某地每天最高气温. 无限总体 3.某厂生产的所有电视显像管的寿命. 无限总体

数理统计第一章

n
例1.4 总体X~B(1,p),0<p<1,写出其样本的联合概率函数
总体
样品
X ~ P ( X x ) p ( 1 p ) ( x 0 ,1 )
x 1 x
X ~ P ( X x ) p ( 1 p ) , ( x 0 ,1. i 1,2 , , n )
xi 1 x i i i i
全部信息。一个好的统计方法，是使由局部推断出的有关整体的信息尽可能地准确。
第一章
数理统计的基本概念
第一节随机样本
一.总体与个体
1.总体在一个统计问题中，把所研究对象的全体称为总体。
构成总体的每个成员称为个体。
如：例一中的一大批灯泡叫总体。而每个灯泡叫做个体。把含有有限个个体的总体称为有限总体把含有无限个个体的总体称为无限总体
在数理统计学中，我们总是对随机现象进行有限次的观察或试验，以获取数据。通过对数据的分析与推断去寻找隐藏在数据中的统计规律性。由于是对随机现象进行观察或试验，因此，观察或试验数据是带有随机性的。为此需要我们从中尽可能地排除随机性的干扰，以作出合理的推断。数理统计是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，在此基础上，对所研究的问题作出统计推断，直至对可能作出的决策提供依据和建议。
则其简单随机样本的联合分布函数为
F ( x )F ( x )F ( x ) F ( x )
1 2 n
n
（2）若总体X为连续随机变量，概率密度函数为f(x), 样品X i 的概率密度函数为 f ( xi ), (i 1,2,, n)
i 1
i
则样本 ( X1, X 2 , X n ) 的联合概率密度函数为

第一章数理统计的基本概念

第一章数理统计的基本概念数理统计与概率论一样，也是研究随机现象统计规律性的一门数学学科．概率论主要研究在已知随机变量服从某种分布的情况下，讨论随机变量的性质、数字特征、随机变量序列的极限等．但是，对实际问题中的一个随机变量来说，如何判断它服从某种分布，如果知道它服从某种分布，又该如何确定其中的参数，这些问题概率论都没有涉及，它们都是数理统计研究的内容．并且这些问题的研究都直接或间接建立在试验的基础上．数理统计学就是利用概率论的理论，对要研究的随机现象进行多次独立重复的观察或试验，研究如何合理地获得数据，如何对所获得的数据进行整理、分析，如何对关心的问题进行估计或推断的一门数学学科．数理统计由基本原理和应用方法两大内容组成．本章介绍数理统计的基本概念和抽样分布．§1.1 基本概念一、总体与样本用数理统计研究某个问题时，把研究对象的全体称为总体(或母体)，而把每一个研究对象称为个体．例如，一批灯泡的全体就组成一个总体，其中每一个灯泡是一个个体．再例如，一群人（一个班或一个年级）的全体就组成一个总体，其中每一个人是一个个体．在数理统计中，我们关心的并不是组成总体的各个个体本身，而是与它们的性能相联系的某个数量指标或者多个数量指标．例如，在研究一批灯泡组成的总体时，可能关心的是灯泡的使用寿命这个数量指标．再例如，在研究一群组成的总体时，可能关心的是人的身高和体重等多个数量指标．因此，总体可以认为是研究对象的全体的一个或多个数量指标．在研究一批灯泡组成的总体时，可能关心的是灯泡的使用寿命的分布情况．由于任何一个灯泡的寿命事先是不能确定的．而每一个灯泡都确实对应着一个寿命值，所以我们可认为灯泡寿命是一个随机变量．也就是说，我们把总体与一个随机变量(如灯泡寿命)联系起来．因此，对总体的研究就转化为对表示总体的随机变量的统计规律的研究，所以，今后我们说到总体，指的是一个具有确定概率分布的随机变量(但它的分布又是未知的或至少分布的某些参数是未知的)，而每个个体则是随机变量可能取的每一个数值．为了推断出这批灯泡的使用寿命的分布（或这批灯泡的次品率），最精确的办法就是把每个灯泡的使用寿命都测试出来．然而，寿命试验是破坏性试验，即使是非破坏性试验，考虑到试验要花费时间、人力和钱，我们只能从总体中抽取一部分（个个体）进行试验(称这个个体为容量是的样本)，试验结果可得一组数值，其中是第i 个个体的试验结果，我们要根据这组数值对总体n n n ),,,(21n x x x L i x ξ进行推断，这样对试验的抽取方式就有一定的要求．首先，要求抽取必须是随机的，即每次每个个体被抽到的机会是等可能的，这样被抽到的个体才具有代表性，即每每次抽取的都具有总体的特征．其次，抽取必须是独立的、即每次抽取互不影响．也就是每次抽取后不能改变总的成分，这就要求．如果试验是非破坏性的，那么抽取时应该是有放回的；如果试验是破坏性的，那么总体应该是无限的．或是很大的．满足以上两个条件的抽取方式称为简单随机抽样．用简单随机抽样方法对—次抽取个个体的试验结果而言是一组数值，但是它又随着每次抽样的不同而变化，因此，实际上是维随机变量n ),,,(21n x x x L n ),,,(21n x x x L ),,,(21n ξξξL 的一次观察值．即在抽样试验之前，将要抽取的样本可以认为是维维随机变量n ),,,(21n ξξξL n ξξξ,,,21L ．又因抽样具有代表性和独立性，所以是相互独立同分布随机变量，每个都与总体ξ同分布的．我们称),,,(21n ξξξL 为总体ξ的容量为的简单随机样本，简称为样本．抽样试验后的结果称为样本n ),,,(21n x x x L ),,,(21n ξξξL 的观察值．由所有样本值组成的集合ℵ称为样本空间．),,,(21n ξξξL 设总体ξ的分布函数，则)(x F ξ的联合分布函数为的样本,1x ),,,(),,(22112n n n x x x P x x F =ξ<ξ<ξ<L L ．∏∏===<=ni i ni i ix F x P 11)()(ξ),,,(21n ξξξL )(x ϕξ为连续型随机变量，且有密度函数为．则其样本如果总体为n 维连续型随机变量，且联合密度函数为：∏==ni i n x x x x 121)(),,,(ϕϕL ．i i p a P ==)(ξL ,2,1=i ξ为离散型随机变量，且分布律为，，则其样本如果总体),,,(21n ξξξL 为维离散型随机变量，且联合概率函数为：n ∏======ni i n n x P x x x P 12211)(),,,(ξξξξL ，其中，．L ,,21a a x i =n i ,,2,1L = 例1 设总体，求样本),(~2σμξN ),,,(21n ξξξL 的联合密度函数．),,,(21n ξξξL 解：样本的联合密度函数为∏=−−=ni x i e12)(2221σμσπ∏==ni i n x x x x 121)(),,,(ϕϕL∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−−ni i x n e122)(2121μσσπ．例2 设总体),(~p N B ξ，即，，．求总体k N kk N p p C k P −−==)1()(ξN k ,,1,0L =),,,(21n ξξξL 10<<p ξ的联合分布律．的样本),,,(21n ξξξL 的联合分布律为解：样本∏===ni i x P 1)(ξ),,,(2211n n x x x P ===ξξξL． ∏=−∑−∑===ni x N x nN x i ni ini iC p p111)1(∏=−−=ni x N x x Niii p p C 1)1(二、统计量从总体中抽出样本的观测值后，只是得到了一组静态的数据．对于这些数据要进行处理，才能解决我们所关心的问题．有时候我们可能只想估计出总体的期望或者方差，有时候我们可能想了解总体的分布，对于不同的问题，必须对数据进行不同的处理，这就需要构造样本的不同函数．样本的函数常称为统计量．),,,(21n T ξξξL n ξξξ,,,21L n ξξξ,,,21L ξ定义：设为取自总体的一个样本，样本的函数，且不含未知参数，则称),,,(21n T ξξξL 为统计量．如果是样本),,,(21n x x x L ),,,(21n x x x T L ),,,(21n ξξξL 的一个观测值(观察值)，则称是统计量),,,(21n T ξξξL 的一个观测值(观察值)．例3 设总体，),(~2σμξN μ未知，为已知，2σ),,,(21n ξξξL ξ为的一个样本，则∑=n i i 121ξσ是统计量．而∑不是统计量．=−ni i12)(μξn ξξξ,,,21L 根据统计量的定义，它是随机变量的函数，因此统计量也是一个随机变量，它也有概率分布．统计量的分布称为抽样分布．但要注意，尽管一个统计量不合任何未知参数，但它的分布却可能含有未知参数．例4 设621,,,ξξξL 是来自),0(θ上的均匀分布的样本，0>θ未知．指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？66211ξξξ+++=L T θξ−=62T 163EX T −=ξ},,,max{6214ξξξL =T ，，，．解：和是，和不是．因为和中不含总体中的未知参数1T 4T 2T 1T 4T 3T θ，而和中含有未知参数2T 3T θ．常用统计量n ξξξ,,,21L ξ设为取自总体的一个样本，∑==+++=ni i n n n 1211)(1ξξξξξL （1）样本均值：；[]∑∑==−=−=−++−=n i i n i i n n n n S 1221222121)(1)()(1ξξξξξξξξL （2）样本方差：；∑∑==−−−=−−=n i i n i i n n n n S 122122*111)(11ξξξξ（3）修正样本方差：；∑=−=ni i n S 12)(1ξξ；（4）样本标准差：∑=−−=ni i n S 12*)(11ξξ（5）修正样本标准差：； ∑===n i ki kk n A 11ξξL ,2,1=k （6）样本k 阶原点矩：，；∑=−=n i ki k n B 1(1ξξL ,3,2=k （7）样本k 阶中心矩：．，若是样本),,,(21n x x x L ),,,(21n ξξξL 的一组观测值，则∑=−=n i i x x n s 12)(1∑=−=n i i x x n s 122(1∑=−−=n i i x x n s 122*(11∑==n i i x n x 11、、、、∑=−−=n i i x x n s 12*)(11∑===n i k i kk x n x a 11∑=−=n i k i k x x n b 1)(1、、分别是样本均值、样本方差、修正样本方差、样本标准差、修正样本标准差、样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩的．例5 从—批机器零件毛坯中随机招取8件，测得其重量(单位：kg)为230，243,185,240, 228,196,246,200．求样本均值、样本方差和样本二阶原点矩的观测值．221)200246196228240185243230(8111=+++++++==∑=n i i x n x 解：；[]25.495)221200()221243()221230(81)(1222122=−++−+−=−=∑=L n i i x x n s ；25.49336)200243230(811222122=+++==∑=L n i i x n x 。

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质：（i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。

数理统计-第一章统计量及其分布

太原理工大学景英川
第一章统计量及其分布
太原理工大学景英川
第一章统计量及其分布
但在实际中,在样本量特别大时 (如 n≥100 ),又常用分组样本来代替完全样本,这时需要对样本进行分组整理，它能简明扼要地表示样本,使人们能更好地认识总体,这是分组样本的优点。
太原理工大学景英川
第一章统计量及其分布
则 Fn (x)是一非减右连续函数，且满足 Fn (-∞) =0, Fn (+ ∞)=1 由此可见， Fn (x)是一个分布函数，称 Fn (x)为经验分布函数。太原理工大学景英川
第一章统计量及其分布
1.6 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取 5 听饮料，称得其净重为（单位：克） 351 347 355 344 351 这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本：
而若第一次抽到的是合格品,则第二次抽到不合格品的概率为
太原理工大学景英川
第一章统计量及其分布
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。但是，当 N 很大时，我们可以看到上述二种情形的概率都近似等于 p。所以当 N 很大，而 n不大（一个经验法则是）时可以把该样本近似地看成简单随机样本。
从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能由样本对总体作出较可靠的推断,就希望样本能很好的代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要求,最常用的"简单随机抽样”有如下二个要求：（1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每一样品xi 与总体X有相同的分布。（2）样本要有独立性，即要求样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值，这意味着x1， x2, …,xn 相互独立。
第一章统计量及其分布

概率论与数理统计第1-3章复习资料

其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求：（1）A=“点数和为奇数的概率”；（2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件，求下列事件的概率：（1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880）（2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描述 r, v 的概分布的主要方法之一。（二）分布函数的性质：一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足：（1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后一只次品晶体管在下列情况发现的概率：（1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105）（2）B=“在第10次测试发现”。（2/5）例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个，共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率：（1）A=“两次都取到新球”；（2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”；（3）C=“至少有一次取到新球”。

《概率论与数理统计》复习-知识归纳整理

《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复举行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果闪现，且事先知道试验可能闪现的一切结果，但不能预知每次试验确实切结果。

样本点ω ---随机试验E的每一具可能闪现的结果样本空间Ω----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一具子集。

必然事件---每次试验中必然发生的事件。

不可能事件∅--每次试验中一定不发生的事件。

事件之间的关系包含A⊂B相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=∅也称不相容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一具剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C ）A、A=∅B、A⊂BC、A与B相互独立D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或A ∩B 例1设事件A、B满足A B¯=∅，由此推导不出(D)A、A⊂BB、A¯⊃B¯C、A B=BD、A B=B例2若事件B与A满足B – A=B，则一定有(B)A、A=∅B、AB=∅C、AB¯=∅D、B=A¯事件的并A∪B事件的差A-B 注意：A-B= A B= A-AB = (A∪B)-BA1,A2,…,An构成Ω的一具完备事件组(或分斥)−−指A1,A2,…,An两两互不相容，且∪i=1nAi=Ω运算法则交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律A∪B=A∩B A∩B=A∪B文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论Ω样本空间，必然事件全集∅不可能事件空集ω基本事件元素A 事件全集中的一具子集A A的对立事件A的补集A⊂B 事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B 事件A与事件B相等A与B相等A∪B 事件A与事件B至少有一具发生A与B的并集AB 事件A与事件B并且发生A与B的交集知识归纳整理A-B事件A 发生但事件B 不发生A 与B 的差集 AB=∅ 事件A 与事件B 互不相容（互斥） A 与B 没有相同的元素古典概型古典概型的前提是Ω={ω1,ω2, ω3,…, ωn ,}, n 为有限正整数，且每个样本点ωi 出现的可能性相等。

《概率论与数理统计》第一章知识小结

附加知识：排列组合知识小结：一、计数原理1.加法原理：分类计数。

2.乘法原理：分步计数。

二、排列组合1.排列数（与顺序有关）：)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A nn =，n A A n n==10,1 如：25203456757=⨯⨯⨯⨯=A ，12012345!5=⨯⨯⨯⨯= 2.组合数(与顺序无关)：!m A C mn m n=，mn n m n C C -=如：3512344567!44747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C ，2112672757757=⨯⨯===-C C C3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=⨯⨯=A ____种取法。

（2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___483442414=⨯⨯=A A ____种取法。

（3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=⨯⨯⨯⨯=A _种排法。

（4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=⨯⨯⨯⨯⨯=A A ___种排法。

（5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。

（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。

从中任意取出3个，取到2个白球1个红球的方法有___1325C C ____种。

3887656321C ⨯⨯==⨯⨯第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ⊂。

2.和事件事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。

性质：（1）B A B B A A ⊂⊂, ；（2）若B A ⊂，则B B A =3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。

《概率论与数理统计》第一章知识点

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。

2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。

3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。

5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。

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38
特别当时 p 1，便可得到随机向量 X ( X1, X 2 , , X n )
的数学期望为
E(X) ( E( X1 ), E( X 2 ), , E( X n ))
2、性质 1）设a为常数，则 E(aX) aE(X) ； 2）设 A, B, C 分别为常数矩阵，则
E(AXB C) AE(X)B C
计和判别函数等许多方面都有突出的贡献，他的许多研究成果都达到了世界先进水平。
12
第一章基础知识
经典的数理统计是以概率统计为基础的，概率论与
数理统计的关系极为密切，为以后学习的方便，这里对
概率论做一个简单的回顾。
1、概率论的回顾 2、数理统计简介
13机现象概率论：研究和揭示随机现象的统计规律性的一个数学分支随机事件的定义、运算及运算律古典概型、几何概型、统计概型的定义及性质
42
若 X ( X1, X 2 , , X p )
的分量相互独立, 则协方
差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即
0 var( X 1 ) 0 var( X 2 ) var( X) 0 0
0 var( X p ) 0
43
2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。
设a为任意与X有相同维数的常数向量，则
aΣa a[ E ( X μ)( X μ)]a E[a( X μ)( X μ)a] E[a( X μ)]2 0
证：
3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则
var( AX b) E[( AX b) ( Aμ b)][( AX b) ( Aμ b)] AE[( X μ)( X μ)]A AΣA
描述性统计方法: 全部资料数理统计方法: 部分资料抽样统计方法
4
数理统计学是数学的一个分支，它研究怎样用有效的方法去收集、整理、分析带随机影响的数据，并
在此基础上对所讨论的问题给出统计性的估计和推断。
数理统计学的内容:概括为两大类
用有效的方法去收集数据。抽样理论和试验设计有效地使用数据。中心内容—统计推断
E ( X | Y y ) xi P ( X xi | Y y ) (离散情形）
i
E ( X | Y y)
称E(X|Y=y)为已知Y=y时X的条件期望.

xf
X |Y
( x | y )dx (连续情形）
定义设g(y)= E(X|Y=y)，随机变量g(Y)就可记作E(X|Y),
41
cov( X 1 , X 2 ) var( X 1 ) cov( X 2 , X 1 ) var( X 2 ) var( X) cov( X , X ) cov( X , X ) p 1 p 2
2、性质
1）若 X ( X1, X 2 , , X p ) 和 Y (Y1, Y2 , , Yq相互独立。 ) 则

概率的公理化定义
条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式(逆概率公式、后验公式），独立性
14

随机变量、分布函数及其性质随机变量函数的分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征：期望、方差、协方差、相关系数及其性质
15
条件数学期望

定义设 X是一个r.v.，且EX存在. 则记
3）设 X1 , X2 , , Xn为n个同阶矩阵，则
E(X1 X2 Xn ) EX1 EX2 EXn
39
二、协方差矩阵
1、定义：设 X ( X1, X 2 , , X p ) 和 Y (Y1, Y2 , , Yq ) 分别
为p维和q维随机向量，则其协方差矩阵为
44
4)
若 X ( X1, X 2 , , X p ) 和 Y (Y1, Y2 , , Yq ) 分别
是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则
它包括参数估计，假设检验，回归分析，方差分析，多元
统计分析等等。
5
有效性的含义
上述有效性有两个含义：

可以建立一个在数学上便于处理的模型来描述所得的数据，

数据中要包含尽可能多的与所研究的问题有关的信息。
6
关于统计推断

由于统计推断中使用的仅仅是部分数据，且带有随机性，
故所得结论只能做到尽可能而非绝对的精确可靠，而结
但在研究问题的方法上有很大区别：概率论 —— 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用；数理统计 —— 通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性。
数理统计的核心问题——由样本推断总体
3
统计学从方法上讲有两大类:描述性统计方法和数理统计方法(即抽样统计方法).

(5) 设X N ( , 2 ), 则其特征函数为 (t ) e
1 i t 2t 2 2
;
21
§4 随机矩阵
一、数学期望
1、定义
X 11 X 21 X X n1 X 12 X 22 X n2 X1 p X2p X np
X 1 E ( X 1 ) X E ( X ) 2 2 E Y1 E (Y1 ) Y2 E (Y2 ) X E( X ) p p Yq E (Yq )
40
cov( X 1 , Y1 ) cov( X 1 , Y2 ) cov( X 2 , Y1 ) cov( X 2 , Y2 ) cov( X , Y ) cov( X , Y ) p 1 p 2
(t )非负定，连续且 (0) 1;
（8）设随机变量X 的n阶矩存在，则X 的特征函数 (t )的k阶导数 ( k ) (t )存在，且 E ( X k ) i (- k ) ( k ) (0), (k n)
20
几个常见随机变量的特征函数
(1) 设X 服从两点分布，则其特征函数为 (t ) q peit ; (2) 设X 服从二项分布B(n, p )，则其特征函数为 (t ) (q peit ) n ; sin at (3) 设X U [-a, a], 则其特征函数为 (t ) ; at (4) 设X 服从参数为的指数分布，则其特征函数为 it 1 (t ) (1－ ) ;
且称为已知Y时X的条件数学期望。
16
条件数学期望的性质

如果 X 和 Y 独立,且EX存在,则 E(X|Y)=EX E(h(Y)|Y)=h(Y)

E(q(X,Y)|Y=y)=E(q(X,y)|Y=y)
E(E(X|Y))=E(X) 重期望定理
17
§2、随机变量的特征函数

定义称随机变量eitX的数学期望(t)=EeitX为X的

统计学的起源：统计学起源于古代，早在公元前3050年
的古埃及就为建造金字塔进行过全国国力统计。到了16
世纪，西欧各国政府对收集公民有关资料发生兴趣。 Statistics（统计学）源于State.

数理统计的正式诞生。在数学家建立了概率论后，才奠定了数理统计发展的理论基础。一般认为，它诞生于19
cov( X 1 , Yq ) cov( X 2 , Yq ) cov( X, Y) cov( X p , Yq )
X ( X1, X 2 ,
, X p )的协方差矩阵为
cov( X 1 , X p ) cov( X 2 , X p ) var( X p )

在生物遗传学、气象预报、地震研究、地质探矿等方面的研
究中，数理统计方法是必备工具之一。
数理统计方法在社会科学方面的应用也愈来愈广泛，教育学，人口学，社会保险业，各种社会问题的抽样调查，市场预测，民意测验等都有数理统计方法涉足。总之，只要安排试验和处理数据，就可以用数理统计方
法。
9
数理统计学发展简史
cov( X 1 , Y1 ) cov( X 1 , Y2 ) cov( X 2 , Y1 ) cov( X 2 , Y2 ) cov( X , Y ) cov( X , Y ) p 1 p 2 cov( X 1 , Yq ) cov( X 2 , Yq ) 0 cov( X p , Yq )
《Mathematical Methods of Statistics》
11
二战后。这时期的一个突出特点是计算机的发明
和使用。它使人们能够处理大量的数据及其运算，
把数理统计的研究引入到宏观世界和微观世界，
又出现了一些新的分支。
最后，特别提一下我国的许宝禄教授在极限
理论、马氏过程、多元分析、正交设计、过程设
（4）两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个特征函数之积；（5）两个分布函数相等当且仅当它们所对应的特征函数相等；
19
(6) 在F ( x)的连续点a, b上，有 1 T e iat e ibt F (b) - F (a ) lim (t )dt ; T 2 T it （7）函数 (t )为特征函数的充要条件是：
论的正确性程度显然可以用概率来度量，因此概率论是数理统计的基础。

统计方法的具体使用并不需要很高深的数学知识，但不具备较多较深的数学知识，这些方法的理论依据就说不
清楚。本课主要介绍数理统计方法，也给出一些必要的
数学推导，但不追求其严密性和完整性。
7
数理统计方法的应用
几乎在人类活动的一切领域中都能够不同程度地
特征函数。

随机变量的特征函数(t)是实变量t的复值函数，