动能定理功能原理和机械能守恒
区分动能定理、功能关系、机械能守恒、能量守恒及解题时如何选用(含典例分析)
区分动能定理、功能关系、机械能守恒、能量守恒及解题时选用技巧（含典例分析）一、动能定理物体所受合外力做的功等于物体动能的变化量，即使用动能定理时应注意以下2个方面的问题：（1）由于作用在物体上的诸多力往往不是同时同步作用，而是存在先后顺序，因此求合外力做的功W 合一般采取先分别求出单个力受力然后代数和相加即可，即：比如一个物体收到了三个F 1、F 2、F 3三个力的作用，三个力所做的功分别为“+10J ”、“-5J ”、“-7J ”，这样以来三个力所做的总功W 合=10+（-5）+（-7）=-2J 。
（2）动能的变化量（或称动能的增量）因此在使用动能定理之前首先要明确对哪一段过程使用，这样才能确定谁是初始，谁是末尾，下面举例说明：图1例1：如图1所示，AB 为粗糙的水平地面，AB 段的长度为L ，右侧为光滑的竖直半圆弧BC 与水平地面在B 点相切，圆弧的半径为R ，一个质量为m 的小物块放置在A 点，初速度为V 0水平向右，物块受到水平向右恒力F 的作用，但水平恒力F 在物块向右运动L 1距离时撤去（L 1<L ），物块恰好通过C 点，重力加速度为g。
求：小物块与地面之间的动摩擦因数u。
思路梳理：物块恰好通过C点，意味着小物块在C点时对轨道无压力，物块的重力恰好提供物块转弯所需的向心力，可据此求出物块在C点的速度V c，剩下的问题就变成了到底选哪一段过程使用动能定理进行解题的问题，大多数同学习惯一段一段分析，即先分析A至B段，再分析B至C段，也有同学指出可以直接分析A至C全过程即可，到底哪种比较简单，这其实要看题目有没有在B点设定问题，下面详细解答：解法一：对A至B过程运用动能定理，设小物块在B点的速度为V B再对B至C过程运用动能定理，设小物体在C点的速度为V C小物块恰好通过C点，则联立（1）（2）（3）式即可求出u。
解法二：对A至C过程运用动能定理，设小物块在C点的速度为V C小物块恰好通过C点，则联立（1）（2）式即可求出u。
动能定理和机械能守恒的区别
能量是贯穿整个高中物理的一条主线，也是解决动力学问题的三大主要观点之一，动能定理和机械能守恒定律是能量里的两个最基本的定律，也是高中物理中最重要的定律之一，是每年高考必考的知识点，也是高中物理的一个难点。
动能定理：合力对物体所做的功等于物体动能的变化！机械能守恒：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变！【例1】如图1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高解析：方法1：小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒。
取轨道最低点为零重力势能面，因小球恰能通过圆轨道的最高点C，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列，由此可得：。
在圆轨道最高点小球机械能为，在释放点，小球机械能为。
根据机械能守恒定律，即。
解得方法2：设小球释放点离圆形轨道最低点高为h ，从小球释放点到圆轨道的最高点C ，由动能定理得：mg(h-2R)=m ，解得：【点评】通过例题1我们可以看出，在研究对象为一个物体（地球除外），且符合机械能守恒条件时，动能定理和机械能守恒定律都可以。
；否则，动能定理还可以用，机械能守恒定律就不能用了。
【例2】如图2，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上挂一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。
若将C 换成另一个质量为（m 1+m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地面时D 的速度的大小是多少已知重力加速度为g 。
动能定理和机械能守恒
动能定理和机械能守恒动能定理和机械能守恒是物理学中两个重要的概念。
这两个概念分别讨论了物体的运动和能量的转换。
本文将从定义、原理、适用范围、实际应用等方面详细讲解这两个概念。
一、动能定理动能定理是物理学中描述物体运动的定理。
它描述了一个物体的动能随时间的变化规律。
在许多情况下，物体的运动状态与物体所受力的关系密切相关，而动能定理就是描述这种关系的定理。
动能定理可以简单地表述为：物体的动能转化率等于作用于物体上的力的功率。
也就是说，动能定理描述了物体的运动是否会改变物体的动能，以及这种变化的速率和力的功率之间的关系。
动能定理可以用数学形式表示为：F·v = mvdv/dt。
其中F表示作用在物体上的力，v表示物体的速度，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
动能定理适用于任何物体的运动，无论这个物体的质量大小、运动的速度以及受力的大小。
因此，动能定理是物理学中基础且重要的定理之一。
二、机械能守恒定律机械能守恒定律是物理学中描述能量转换的定律。
机械能即为动能与势能之和，也就是在力学系统内显性的有效能量。
机械能包括了物体在移动中的动能以及由于重物位置高度不同而产生的重力势能。
机械能守恒定律指出物体在运动过程中，机械能总是保持不变。
也就是说，当物体只受重力和弹性力两种基本力作用时，它的机械能是守恒的。
机械能守恒定律可以用数学公式表示：E=K+V，其中E表示机械能，K表示动能，V表示势能。
机械能守恒定律被广泛应用于各种力学系统中。
它不仅适用于简单系统，如质点系统、机械振子等，也适用于复杂的力学系统，例如自由落体运动、弹簧振动等。
三、应用及意义动能定理和机械能守恒定律是物理学中两个重要的概念，它们对于解决各种物理学问题都有重要的应用。
在机械动力学中，我们可以使用动能定理来解决两个主要问题。
一是确定一个运动物体的速度，需要知道物体的质量和受力情况。
二是确定力的大小，已知物体的质量和速度情况，需要求出力的功率。
动能定理和机械能守恒
动能定理和机械能守恒动能定理和机械能守恒一、引言在物理学中，动能定理和机械能守恒是两个基本的定理。
动能定理描述了一个物体的动能与其所受力的关系，而机械能守恒则说明了一个封闭系统中的机械能总量不变。
这两个定理在解决物体运动问题时具有重要作用。
二、动能定理1. 动能的定义动能是一个物体由于其运动而具有的能量，通常用符号K表示。
对于质量为m、速度为v的物体，其动能可以表示为：K = 1/2mv²其中1/2mv²称为该物体的动量。
2. 动力学方程牛顿第二定律描述了一个物体所受外力与其加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，一个质量为m、受到F力作用的物体将会产生加速度a：F = ma3. 动能定理的表述将牛顿第二定律代入上述动力学方程中，可得：F = ma = m(dv/dt) = mdv/dt = mv(dv/dx)其中dx表示位移。
因此，Fdx = mv(dv/dx)dx = mvdv由于Fdx是物体所受力的功，因此：Fdx = ΔK其中ΔK表示物体动能的变化量。
因此，动能定理可以表述为：物体所受外力所做的功等于其动能的变化量。
三、机械能守恒1. 机械能的定义机械能是一个物体由于其位置和速度而具有的能量，通常用符号E表示。
对于质量为m、高度为h、速度为v的物体，其机械能可以表示为：E = mgh + 1/2mv²其中mgh称为该物体的重力势能，1/2mv²称为该物体的动能。
2. 机械能守恒定律机械能守恒定律指出，在一个封闭系统中，系统中各个部分所具有的机械能总量不变。
也就是说，在一个封闭系统中，重力势能和动能之间可以互相转化，但它们之和始终保持不变。
3. 应用举例以一个自由落体运动为例。
当一个物体从高处自由落下时，重力将会使其获得速度，并且在下落过程中逐渐失去高度。
在这个过程中，重力势能逐渐减少而动能逐渐增加。
当物体到达地面时，其重力势能为零，而动能达到最大值。
根据机械能守恒定律，这个系统中的总机械能始终保持不变。
3 动能定理 功能原理 机械能守恒定理
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
动能定理与机械能守恒
动能定理和机械能及其守恒定律1.动能定理：（合外力的功等于物体动能的变化量）（1）“221mv ”是一个新的物理量（2）2221mv 是物体末状态的一个物理量，2121mv 是物体初状态的一个物理量。
其差值正好等于合力对物体做的功。
（3）物理量221mv 定为动能，其符号用E K表示，即当物体质量为m ，速度为V 时，其动能：E K=221mv （4）动能是标量，单位焦耳（J ）（5）含义：动能是标量，同时也是一个状态量（6）动能具有瞬时性，是个状态量：对应一个物体的质量和速度就有一个动能的值。
①当合力做正功时，物体动能增加。
②当合力做负功时，物体动能减小。
③当物体受变力作用，可把过程分解成许多小段每一段按照恒力运动是直线分段求解。
④当物体做曲线运动时，可把过程分解成许多小段每一段按照恒力运动是直线分段求解。
2. 机械能及其守恒定律（关键是把握什么能转化为什么能，在不守恒情况下一般都是有摩擦力做功即产生热能）1、机械能（1）定义：物体的动能和势能之和称为物体的机械能。
机械能包括动能、重力势能、弹性势能。
（2）表达式：Ｅ＝ＥＫ＋ＥＰ这些不同形式的能是可以相互转化的，那么在相互转化的过程中，他们的总量是否发生变化？这节课我们就来探究这方面的问题。
2、机械能守恒定律推导：质量为m 的物体自由下落过程中，经过高度h 1的A 点时速度为v 1，下落至高度h 2的B 点处速度为v 2，不计空气阻力，取地面为参考平面，试写出物体在A 点时的机械能和B 点时的机械能，并找到这两个机械能之间的数量关系。
A 点 12121mgh mv E E E PA kA A+=+= B 点 22221mgh mv E E E PB kB B +=+=根据动能定理，有21222121mv mv W G -=重力做功在数值上等于物体重力势能的减少量。
21mgh mgh W G -=由以上两式可以得到121222mgh mv 21mgh mv 21+=+ 即 1122p k p k E E E E +=+即 12E E =可见：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
动能定理与机械能守恒定律
动能定理与机械能守恒定律动能定理和机械能守恒定律是物理学中两个基本的能量守恒原理。
它们在描述和解释物体运动过程中能量变化的规律方面起着重要作用，并在实际应用中具有广泛的应用。
本文将对这两个定律进行详细介绍和分析。
一、动能定理动能定理是描述物体运动中动能变化规律的定律。
它指出，当物体受到外力作用时，物体的动能会发生变化。
动能定理可以用一个简洁的数学表达式来表示：物体的净动能变化等于作用在物体上的合外力所做的功。
假设物体的质量为m，初速度为v₁，末速度为v₂。
根据动能定理，物体的动能变化ΔE_k等于合外力所做的功W：ΔE_k = W = F·d·cosθ其中，F为合外力的大小，d为物体移动的距离，θ为合外力与物体运动方向之间的夹角。
由此可以看出，动能定理将力、距离和角度等因素统一起来，明确了外力对物体运动所做的功与物体动能的关系。
在实际应用中，动能定理常常用于解析和计算物体的运动过程中的动能变化。
二、机械能守恒定律机械能守恒定律是描述物体在力学系统中机械能守恒现象的定律。
它指出，在一个封闭的力学系统中，物体的机械能总量保持不变，即机械能守恒。
机械能是由物体的动能和势能两部分组成的。
动能是由物体的运动状态引起的能量，势能是由物体所处位置的属性引起的能量。
根据机械能守恒定律，物体的机械能E_m在系统内各个位置的变化可以表示为：ΔE_m = ΔE_k + ΔE_p = 0其中，ΔE_k表示物体动能的变化，ΔE_p表示物体势能的变化。
当系统中没有外力做功或无能量转化时，物体的机械能保持不变。
机械能守恒定律在描述物体运动中能量转化和能量守恒方面起着重要作用。
例如，当物体在重力场中运动时，重力势能和动能之间发生转化，但总的机械能保持不变。
这一定律在实际应用中广泛应用于机械工程、能源利用等领域。
总结：动能定理和机械能守恒定律是物理学中两个重要的能量守恒原理。
动能定理描述了外力对物体动能变化的影响规律，机械能守恒定律描述了力学系统中机械能总量守恒的现象。
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
动能定理和机械能守恒
动能定理和机械能守恒在物理学中，动能定理和机械能守恒是两个重要的概念。
它们都与物体的运动和能量有关，但又从不同角度进行了阐述，下面我们将一一介绍。
动能定理动能定理是指物体的动能与其所受的外力之间的关系。
根据动能定理，一个物体的动能等于它所受的外力对其所做的功。
简单来说，动能定理可以用以下公式表示：物体的动能 = 外力对物体所做的功动能定理说明了一个基本原理：物体的运动能量与其所受的外力有关。
当一个物体受到外力时，它的动能会发生变化。
如果外力对物体做功，则物体的动能将增加。
如果外力的方向与物体的速度方向相反，则物体的动能将减少。
机械能守恒机械能守恒是指一个系统内的机械能总量是不变的。
在一个封闭系统内，机械能一般包括物体的动能和势能。
机械能守恒定律可以用以下公式表示：系统中的机械能总量 = 动能 + 势能机械能守恒定律的基本原理是：在不考虑摩擦和其他非弹性因素的情况下，封闭系统中的机械能总量不变。
这意味着，如果一个物体的动能增加了，它的势能将减少，反之亦然。
动能定理和机械能守恒之间的关系动能定理和机械能守恒是两个相互关联的概念。
它们都涉及到物体的运动和能量变化，但又从不同的角度进行了阐述。
动能定理强调了外力对物体动能的影响，而机械能守恒则强调了封闭系统内机械能总量的不变性。
在应用这两个概念时，我们需要注意它们的适用范围。
动能定理适用于单个物体或一个部分系统，而机械能守恒则适用于封闭系统。
此外，机械能守恒只适用于不考虑摩擦和非弹性因素的情况下。
动能定理和机械能守恒是物理学中两个基本的概念。
它们分别从不同角度阐述了物体的运动和能量变化规律，并在物理学的各个领域中有着广泛的应用。
我们需要在实际问题中灵活运用它们，以解决各种与物体运动和能量变化相关的问题。
动能定理和机械能守恒的区别
能量是贯穿整个高中物理的一条主线，也是解决动力学问题的三大主要观点之一，动能定理和机 械能守恒定律是能量里的两个最基本的定律， 也是高中物理中最重要的定律之一， 是每年高考必考的 知识点，也是高中物理的一个难点。
动能定理：合力对物体所做的功等于物体动能的变化!机械能守恒：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量 保持不变！【例1】如图1所示，光滑的倾斜轨道与半径为 R 的圆形轨道相连接，质量为 m 的小球在倾斜轨 道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？解析：方法1：小球在运动过程中，受到重 支持力对小球不做功，只有重力做功，道最低点为零重力势能面，因小球恰能通过圆轨道的最高点方法2：设小球释放点离圆形轨道最低点高为 h ，从小球释放点到圆轨道的最高点 C,由动能定理【点评】通过例题1我们可以看出，在研究对象为一个物体(地球除外)，且符合机械能守恒条 件时，动能定理和机械能守恒定律都可以。
；否则，动能定理还可以用，机械能守恒定律就不能用了【例2】如图2,质量为m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体B 相连，弹簧 的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体 A ,另一端连 一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态， A 上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上挂一质量为 m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升。
若将 C 换成另一个质量为(m+m)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地面时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为gB 静止，设弹簧压缩量为X 1,有kX 1=mg ，挂C 并释放后，C 向B 刚要离地时弹簧伸长量为X 2,有kx 2=mg ； B 不再上升，表示C 已降到C ,说明此时，轨道对小球作用力为零,只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列 i| ,由此可得: 1罷上祇 、、亠 二上 _ 。
4.4 功能原理 机械能守恒定律
30° A o
B
Ep = 0
20
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一 质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。 今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度υ0射入 A 物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。
解：第一阶段： 子弹射入到相对静止
第4章 功和能 功能原理
人们在总结各种自然过程中发现：
如果一个系统是孤立的、与外界无能量交换，系 统内部各种形式的能量可以相互转换，或由一个物体 传递给另一个物体。但是不论如何转换，这些能量的 总和却保持不变。能量既不能消灭，也不能创造。这 一结论叫做能量守恒定律。
例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发 电，将机械能转换为电能。
例：有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点 P， 另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在 圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点 A，弹簧处 于自然状态，其长度为圆环半径R； 当小球运动到圆 环的底端点B时，小球对圆环没有压力。
求：弹簧的劲度系数。
P
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
R
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = EA
υ0
mA
B
于物块中。
由于时间极短，可认为物块还没有移动，
应用动量守恒定律，求得物块A的速度υA
mυ0 = ( M + m )υA
∴ υA
=
m (M +
m)
υ0
21
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
第二阶段：A移动，直到当A 和B有相同的速度时，弹簧 压缩最大。应用动量守恒定
功能原理和机械能守恒定律
【例3-6】如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定 ，沿斜面放置，斜面倾角为θ。质量为m的物体从与弹簧上端 相距为a的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b ，求物体与斜面之间的摩擦因数μ。
【解】将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、 物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力 为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦 力为外力，做功。
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内＝Ep0 －Ep，则上式可写为（功能原理）：
W外 W非保内 (Ek E p ) (Ek0 E p0 ) E E0 ΔE
1.2 机械能守恒定律
根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力 不做功或做功之和始终等于零，即W外＋W非保内＝0，则有：
1.3 能量守恒定律
由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为 零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的 能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电 流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用 力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。
在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要 的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个 物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为能 量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒 定律只是这条定律在力学领域的特例。
物理学
功能原理和机械能守恒定律
1.1 功能原理
系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即
E Ek Ep 力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内 力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也 可分为保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内，即W 内＝W保内＋W非保内。因此，质点系的动能定理式可写为：
动能定理与机械能守恒
动能定理与机械能守恒动能定理和机械能守恒定律是物理学领域中非常重要的两个概念。
它们在力学和能量转化的过程中发挥着重要的作用。
本文将介绍动能定理和机械能守恒定律的定义、原理以及它们在实际应用中的意义。
一、动能定理动能定理是描述物体动能变化的定律。
它表明，在没有外力或者合外力为零的情况下，物体的动能变化等于对物体施加的合力所做的功。
动能（Kinetic energy）是物体由于运动而具有的能量。
它是与物体质量和速度平方成正比的量，即动能等于质量乘以速度的平方再乘以一个常数（1/2），可以用下式表示：K = 1/2 * m * v²其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
根据动能定理，如果物体的速度发生变化，其动能也会发生相应的改变。
当物体受到外力作用时，会产生加速度，从而改变速度，进而改变动能。
合外力所做的功等于物体动能的变化，可以用下式表示：W = ΔK其中，W代表合外力所做的功，ΔK代表动能的变化。
二、机械能守恒机械能守恒定律是描述物体在机械能转化过程中能量守恒的规律。
在没有外力做功或者外力做功为零的情况下，一个封闭系统的机械能保持不变。
机械能（Mechanical energy）是指物体由于位置或者运动而具有的能量。
它可以分为动能和势能两个部分。
动能在前文已经介绍过。
而势能（Potential energy）是指物体由于位置而具有的能量。
它可以是重力势能、弹性势能或者其他形式的势能。
机械能就是动能和势能的总和，可以用下式表示：E = K + U其中，E代表机械能，K代表动能，U代表势能。
根据机械能守恒定律，当一个封闭系统内没有外力做功时，物体的机械能保持不变。
这意味着动能和势能之间可以相互转化，总能量不会改变。
实际应用中，动能定理和机械能守恒定律被广泛应用于各个领域。
例如，在交通工程中，为了减少车辆的耗能，可以通过改变路面材料、优化行车路线等方式来减小摩擦力，从而提高汽车的动能和机械能的利用效率。
§4.4 功能原理和机械能守恒定律
2 E p E p1 1 k x k1lx 2 1
2 E p E p1 E p2 1 ( k k ) x k1lx 1 2 2
4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使 例4 弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处 从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离， 弹簧质量不计，空气阻力不计。 解：框架静止时平衡条件：mg=kΔl 铅块下落过程中机械能守恒： o
§4.4 功能原理和机械能守恒定律
质点系的机械能——质点系的动能与势能之和。 机械能变化的规律：
1、功能原理
2、机械能守恒定律
一、功能原理 质点系的动能定理：
A A
内
外
Ek Ek 0
A内保 A内非 A外保 A外非 Ek Ek 0
A内非 A外非 （E p0 E p） Ek E k 0
A内非 A外非 Ek E p Ek 0 E p0
A内非 A外非 E E0 功能原理
结论
1、只有非保守力才会引起机械能的改变。
2、保守力做功所引起的作用是： 会引起质点系动能的改变，
但不会引起质点系机械能的改变。
区分动能定理与功能原理
2 B
例2 由功能原理，摩擦力所做的功
A EkB E pB EkA E pA
1 R N mg mgR 2 1 R N 3mg 2
例3：如图所示，一轻弹簧两端分别连接m1,m2两个 例3 物体，问：至少要用多大的力压下m1，松手后，弹 簧才能把下面物体带离地面？ y 解：原点o为弹簧无任何压缩时 m1的位置,并规定为势能零点；
动能定理和机械能守恒
动能定理和机械能守恒动能定理和机械能守恒是物理学中非常重要的两个概念，它们经常被用来描述物体在运动过程中的能量变化。
本文将详细介绍这两个概念及其应用。
一、动能定理动能定理是描述物体在做功的过程中动能的变化关系的定理。
它的数学表达式为：W=ΔK，其中W表示物体受力做功的大小，ΔK表示物体动能的变化量。
这个定理的意义在于，当一个物体受到外力作用而运动时，物体所受的作用力所做的功等于物体动能的变化量。
例如，当一个物体被施加一个恒定的力F，沿直线方向移动了一个距离s，那么它所受到的功就是W=F×s，而它的动能的变化量ΔK 就是K2-K1=1/2mv2^2-1/2mv1^2。
那么根据动能定理，我们可以得到W=ΔK，即F×s=1/2mv2^2-1/2mv1^2。
这个公式可以用来计算物体在受力作用下动能的变化量。
二、机械能守恒机械能守恒是指在一个封闭的系统中，机械能的总量保持不变的性质。
在一个封闭的系统中，机械能只能通过物体之间的相互作用转化，而不能增加或减少。
机械能包括动能和势能两个部分，它们的总和表示为E=K+U，其中K表示动能，U表示势能。
例如，当一个物体从高处自由落下时，由于重力的作用，它的动能不断增加，而势能则不断减少。
当它落到地面时，由于地面的阻力和摩擦力的作用，它的动能被完全消耗，而势能则被全部转化为热能。
在这个过程中，机械能守恒定律得到了验证。
机械能守恒定律在实际生活中有着广泛的应用。
例如，当我们骑自行车的时候，我们需要不断地蹬踏，将化学能转化为机械能，使自行车前进。
在这个过程中，我们需要消耗大量的能量，而机械能守恒定律则保证了这些能量会被充分利用，不会浪费掉。
动能定理和机械能守恒是物理学中非常重要的两个概念，它们帮助我们理解物体在运动过程中的能量变化，并在实际生活中有着广泛的应用。
对于物理学学习者来说，掌握这两个概念是非常重要的。
动能定理和机械能守恒的区别
能量是贯穿整个高中物理的一条主线，也是解决动力学问题的三大主要观点之一，动能定理和机械能守恒定律是能量里的两个最基本的定律，也是高中物理中最重要的定律之一，是每年高考必考的知识点，也是高中物理的一个难点。
动能定理：合力对物体所做的功等于物体动能的变化！机械能守恒：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变！【例1】如图1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？解析：方法1：小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒。
取轨道最低点为零重力势能面，因小球恰能通过圆轨道的最高点C，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列，由此可得：。
在圆轨道最高点小球机械能为，在释放点，小球机械能为。
根据机械能守恒定律，即。
解得方法2：设小球释放点离圆形轨道最低点高为h，从小球释放点到圆轨道的最高点C，由动能定理得：mg(h-2R)=m，解得：【点评】通过例题1我们可以看出，在研究对象为一个物体（地球除外），且符合机械能守恒条件时，动能定理和机械能守恒定律都可以。
；否则，动能定理还可以用，机械能守恒定律就不能用了。
【例2】如图2，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。
若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地面时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
方法1：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有k x1=m1g，挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有k x2=m2g；B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。
动能定理、功能原理和机械能守恒定律
龙源期刊网 动能定理、功能原理和机械能守恒定律作者：任炳杰来源：《中学物理·高中》2013年第12期动能定理、功能原理和机械能守恒定律是解决高中物理问题的主要思路之一，是高中学生形成物理思维的关键时期.相比匀变速运动规律和牛顿运动定律，动能定理、功能原理和机械能守恒定律物理思维更趋抽象，知识体系更加复杂，学生在学习过程中往往很难建构清晰地知识脉络，造成解决物理问题时概念混淆、物理意义不清等错误.本文结合高中阶段现行主要物理教材和部分高校普通物理课程，从高中物理视角探讨动能定理、功能原理和机械能守恒定律的相关问题，以期抛砖引玉供大家参考.1质点和质点系动能定理1.1质点的动能定理物体自楼顶落下，重力对物体做正功，物体速度增加；汽车关闭发动机滑行，摩擦阻力对汽车做负功，汽车速度减小，可以看出力对物体做功可以改变物体的运动状态.因此必然存在某种描述物体运动状态的物理量，该物理量的改变应该和力对物体做功存在一定的定量关系.1.2质点系内力做功研究质点系内力做功，就需要研究两质点间作用力和反作用力做功的情况.牛顿第三定律表明作用力和反作用力大小相等、方向相反，即作用力和反作用力的矢量和为零.但是由于发生相互作用的两个物体位移并不一定相同，因此作用力与反作用力做功代数和不一定为零.例1如图2所示，质量为M的长木板B放置在光滑水平面上，一个质量为m的滑块A以某一速度（速度未知）沿木板表面由左端滑上木板，当滑块滑至木板右端时，木板在水平面上前进x.若木板的长度为L，滑块与木板间动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板以及对系统做功各为多少？应用动能定理、功能原理和机械能守恒定律处理物理问题是高中阶段最重要的物理思维方法之一，在教学过程中应着力于帮助学生系统构建正确的知识体系，理清它们的由来、适用条件、公式中各个部分的物理意义以及它们之间的区别和联系，从而有利于突破教学重点和难点.同时真正理解动能定理、功能原理和机械能守恒定律的含义以后，学生在物理思维能力方面将得到极大的提升，因此教学过程中还应将动能定理、功能原理和机械能守恒定律的教学作为学生物理思维能力培养的重要途径.。
动能定理与机械能守恒
动能定理与机械能守恒动能定理是描述物体运动中动能变化的原理，而机械能守恒定律是指在只有重力做功的情况下，机械能（动能与势能的总和）在运动过程中保持不变。
本文将分别介绍动能定理和机械能守恒定律，并讨论它们在物理学中的重要性。
一、动能定理动能定理是经典力学中的重要定理之一，它描述了物体运动中动能的变化与作用力之间的关系。
根据动能定理，一个物体的动能的变化等于作用在物体上的净外力所做的功。
其数学表达式如下：∆K = W其中，∆K表示动能的变化，W表示净外力所做的功。
动能定理可用于分析物体在外力作用下的加速度、速度以及位置的变化，进而推导出牛顿第二定律和运动学中的相关公式。
动能定理在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，例如在机械工程和车辆设计中，可以利用动能定理来计算物体的动能变化，从而优化设计，提高效率。
二、机械能守恒定律机械能守恒定律是能量守恒定律的一个特例，描述了在只有重力做功的情况下，物体的机械能保持不变。
机械能包括动能和势能两部分，动能是物体由于运动而具有的能量，而势能是物体由于位置而具有的能量。
机械能守恒定律可以表示为：E = K + U = 常数其中，E表示机械能，K表示动能，U表示势能。
根据机械能守恒定律，当物体处于自由下落或在斜面上滑动时，机械能保持不变，从而可以推导出相关的物理量。
机械能守恒定律在理解和解释各种物理现象和实验中起着重要的作用。
例如，我们可以利用机械能守恒定律来分析弹簧振子的运动，或者阐述摩擦力对物体机械能守恒的影响。
在能量转换和利用中，机械能守恒定律也为我们提供了一种重要的计算方法。
三、动能定理与机械能守恒的关系动能定理和机械能守恒定律在描述物体运动中能量变化的过程中密切相关。
动能定理描述了动能的变化与外力做功之间的关系，而机械能守恒定律描述了在特定条件下机械能的守恒。
根据动能定理，我们可以推导出机械能守恒定律。
当只有重力做功时，外力做的功等于物体的重力势能的负变化。
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d W外 d W内非 dE
守恒条件： d W外 d W内非 0
从实际出发，机械能守恒的条件定为“只有保守内力作 功”，也就是说过程中既要求 dW外＝0又要求dW非保内
＝0
讨论： • 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变；保 守内力作功会引起质点系动能的改变，但不会引起 质点系机械能的改变。 • 质点系机械能不变，但其动能和势能都不是不变的， 二者之间的转换是通过系统内的保守力作功来实现 的。
vB
vA
1 1 1 2 2 d ( mv ) mv B mv A 2 EkB E kA 2 2 2
2
•合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
1 p 2 •动能另一种表达式： E k mv 2 2m
2、质点系的动能定理
m2 F2 L'
f1 m1 f2
F1
L
b
m dl F dl （ E E ） E F保l =F保cosθ Pb Pa P 保
a
F保
保守力的元功：F d l d E p 保
∴
F保l d l d E p
F保l
d Ep dl
(
d Ep dl
是E p在dl 方向上的变化率)
mg (l a ) mg (l a) 1 2 mv 2l 2l 2
得v g 2 [(l a 2 ) (l a) 2 ] l
1 2 1 2 W外i Wp W f 2 mv 2 mv0 1 2 v0 0 W p W f mv 2 2 2 l l mg mg (l a ) 重力作功 W p P dr xdx a a l 2l mg (l a) 2 前已得出： W f 2 l 2 2 2
质点系：
W
i
外i
W
i
内i
W + W
外i i i
内i
=EkB - EkA EkB
EkA
说明：
1、动能是状态量，是质点因运动而具有的做功本领。 2、功是过程量，它与能量的改变有联系。 3、动能与动量的异同： 相同点：●二者都是状态量； ===== ●二者都与质量和速度有关。 不同点：●动量是矢量，动能是标量. ●动量的增量= 外力的冲量，与内力的冲量无关； 动能的增量= 外力和内力作的总功，与内力有关。 ●动量有守恒定律，动能没有守恒定律，这是因为 ==还要考虑势能。
系统的势能 EP 具体计算
WG ( ab ) (mgzb mgza )
Mm Mm W f [( G0 ) (G0 )] rb ra 1 2 1 2 Ws ( kx2 kx1 ) 2 2
W保 F保 dr
a
b
（EPb EPa） EP
在下列情况下 处该力作的功：
W1
x 2 , y2
x1 , y1 x2
( Fx dx Fy d
O X
3
9/4 x2 dx 4dy 2 2 1 10.8J 3
x1
W2
x 2 , y2
x1 , y1
9/4 x 6 ( Fx dx Fy dy ) 2 2 dx 1 4dy 9.125J
a
1 G0 Mm rr
b
M ra
m
dl
a
功Wf 仅是位矢大小 r 的函数，而与路径无关。 r 任何有心力 f ( r ) 都有这一特点 r
⑶ 弹力的功
F kx
Ws
xb xa
1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) 2 2
ˆ ˆ ˆ 算符del x y z x y z
E p 称为EP的梯度。
小结
1.势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的,保守
力属于内力.只要有保守力，就可引入相应的势能。 2. W保内=–EP ，保守内力作正功，系统势能减少；保 守内力作负功，系统势能增加。 3. 计算势能必须规定零势能点。质点在某一点的势能大 小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零 势能点时保守力所做的功。
3、功率
dW P ， 由dW F cos ds dt ds P F cos F cos v dt 即P F v
在[ SI ]中，功的单位是J，功率的单位为瓦特 （Watt），简称瓦，符号为W。功率的量纲为ML2T-3
作用力和反作用力：f12、f 21
EP ( r0 ) 0
EPb 0 E pa
b
a
F保 d r
EP ( r )
r
F保 dr
重力势能以地面为零势能点，
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
Mm 引力势能以无穷远为零势能点。 E P引 G 1 r
EP重 mgh
EP弹
2
kx
2
4. 由势能求保守力 势能定义：
弹力作功，只决定于振子在X轴上的坐标，而与路径 无关。 保守力：做功与路径无关，仅由始末位置定
内力
非保守力：做功与路径有关 摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：作功为正。
机械能守恒定律 能量守恒与转换定律 1、质点系的功能原理 动能定理：W外+W内=EkB - EkA
W内=W保内＋W非保内
第三讲
动能定理、功能原理和机械能守恒
3.1 功，动能定理
3.2 保守力作功与势能
3.4 功能原理、机械能守恒
3-1 功、动能定理 一、功和功率 1、恒力的功
用矢量表示 F s
W F cos s
2、变力的功（变力沿曲线做的功） 解决思路：
元位移 dr 上的元功： dW F dr | F | cos dr
木块 : f - mg , s l d , W mg (l d）
d
小车 : f mg , s ' l ,W ' mgl
l
系统内力的功 : Wi W W ' mgd 0
推论：一对滑动摩擦力的功恒小于零
3.2 动能和动能定理
1. 单质点动能定理 vB B B dp W AB F dr dr dp v dt A A vA
成对力的总功只与相互作 用力及相对位移有关
z
O
dr2
x
dr ' dr2 dr1
d r '
m2相对于m1的位移
例题2：一质量为M的小车与地面光滑接触，初始静止， 一质量为m物体以初速度v0滑到小车上，物体与小车间 摩擦系数为，小车长为d，当物体碰到小车前挡板时 速度为v，此时小车移动了距离为l。试计算摩擦力做 v v0 的功。
m v dv
vA vB
vA
A
dr
vB
B
F
2 v v v d v v d v 2
2 v 2 dv v v dv d v v dv d 2
解：(1)
l-x
O
W f f dr (l x)dx a a l mg 1 2 l mg
[l
m 摩擦力 f (l x) g l l l mg
x
x
2
(lx x )]a (l a) 注意：摩擦 2 2l 力作负功！
(2) 对链条应用动能定理：
第一次钉入为x1=1cm ，第二次钉入为x2 。得
x1
0
kxdx
x2
第二次钉入x x2 x1 0 41cm
x1
x12 x22 x12 kxdx - 得x22 2x12即x2 2 x1 2 2 2
例4*、一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其 一部分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动 摩擦系数为 ，令链条从静止开始运动，则：（1）到 链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？ （2）链条离开桌面时的速率是多少？
当E 0 时，Ek E p W内保
3、能量转化与守恒定律 量的方面：是指封闭系统物质运动的总能始终保持不 变，既不能增加（创造），也不能减少（消灭）。 质的方面： 是指各种形式的能量（机械能、热能、电 能、光能、化学能、核能等）可以互相转化。
做功与路径无关的另一种表述 (判断是否保守 ) 由于 F保 dr F保 dr F保 dr
曲线直线；变力恒力
dr
r
A
, r
F
B
F cos ds
B B A A
o
变力的功W dW F dr l F cosds
与路程有关！ 解析式： W
B
A
( Fx dx Fy dy Fz dz ) ——线积分
例1.作用在质点上的力为 求质点从 处运动到 1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线 Y
4. 成对力的功
y
dA1 f12 d r1 dA2 f 21 dr2
r1 dr1 r2
m1
f 12
m f 21 2 dr2
dr1
dA dA1 dA2 f 21 (dr2 dr1 ) f 21 d r '
4、势能仅有相对意义， 两点间的势能差是绝对的，即
势能是质点间相对位置的单值函数。势能是状态量。
例3：用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻 力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把 钉子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次敲击钉 子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 分析：阻力作功= 钉子动能的增量，两次动能增量相同， ∴两次阻力作功相同。 解：以钉入方向为X轴，板面为原点。则有 f = -kx（k 为阻力系数）；