高考数学复习——不等式的解法与基本不等式

解集为{x | x 3} ．
【练习
2】解不等式：（1）
2x 1 x3
1
（2） x 2 2 x 1
（3）
x2
x 6x
12
1
【解析】（1）
2x 1 x3
1
2x 1 x3
1
0
x4 x3
0
x 4x
x
3
0
3
0
x
4
或
x
3
不等式的解集为 ,3 4,
（2）
x
x
2 1
2
x2
2
0
x 2x 1 2 0
【一】配凑型
1.例题
【例 1】(1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
（2）若函数
f
(x)
x
x
1
2
(x
2) 在
x
a
处取最小值，则
a
等于（
）
A．3
B．1 3
C．1 2
D．4
（3）已知
a
b
0
，则
2a
a
4
b
a
1
b
的最小值为（
）
A． 4 4 4
B．6
C． 3
(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当 c＞2 时，解集为{x|x＞c 或 x＜2}；当 c＜2 时，解集 为{x|x＞2 或
x＜c}；当 c＝2 时，解集为{x|x≠2}．
【二】分式不等式的解法
分式不等式
（1）将分母含有
x
的表达式称为分式，即为
f g
x x
的形式
（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即 g x 0
3
8a a2 b2
D． 3 2
(4)已知 x 1 ，则函数 y x2 7x 10 的值域为________． x 1
【答案】（1） 2（2）A （3）B 3
(4)[9, )
3x＋4－3x
【解析】（1）x(4－3x)＝1·(3x)(4－3x)≤1·
2
2＝4，
3
3
3
当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝2时，取等号． 3
(1)－x2－2x＋3≥0；
x2＋2x，x≥0，
(2)已知函数 f(x)＝
解不等式 f(x)>3.
－x2＋2x，x<0，
【解析】 (1)不 等式两边同乘以－1，原不等式可化为 x2＋2x－3≤0.
方程 x2＋2x－3＝0 的解为 x1＝－3，x2＝1.
而 y＝x2＋2x－3 的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0 的解集是{x|－3≤x≤1}．
b＝5.
解得 x≥3 或 x≤2.
【例 4】（1）已知函数 f(x)＝mx2－mx－1.若对于 x∈R，f(x)<0 恒成立，求实数 m 的取值范围.
（2）已知函数 f(x)＝mx2－mx－1.若对于 x∈[1,3]，f(x)<5－m 恒成立，求实数 m 的取值范围.
（3）若 mx2－mx－1<0 对于 m∈[1,2]恒成立，求实数 x 的取值范围.
方法技巧专题 不等式的解法与基本不等式
一、不等式的解法与基本不等式知识框架
二、不等式的解法
【一】一元二次不等式的解法
1.例题
【例 1】已知集合 A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，则 A∩B 等于(
A.(－1,2)
B.(－2,1)
C.(0,1)
D.(0,2)
)[来源:Z_xx_]
【解析】（1）当 m＝0 时，f(x)＝－1<0 恒成立.
m<0，
当 m≠0 时，则
即－4<m<0.
Δ＝m2＋4m<0，
综上，－4<m≤0，故 m 的取值范围是(－4,0].
（2）要使
f(x)<－m＋5
在
x∈[1,3]上恒成立，即
m
x－1 2
2＋3m－6<0
在
x∈[1,3]上恒成立.
4
方法一
令
g(x)＝m
2.巩固提升综合练习
【练习 1】解下列不等式：
(1)
2x 3 x 1
0
(2)
x2
x3 x
1
0
【解析】（1）原不等式可化为：(2x 3)(x 1) 0 1 x 3 ，所以原不等式的解集为{x | 1 x 3} ．
2
2
(2) ∵ x2 x 1 (x 1)2 3 0 ，原不等式可化为： x 3 0 x 3 ，所以原不等式的 24
x－1 因为 a>0，所以 a (x－1)<0. 所以当 a>1 时，解为1<x<1；
a
∅ 当 a＝1 时，解集为 ；
| 当
0<a<1 时，解为
1<x<1.综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为
x
1<x<1 a
；
a
∅ 当 a＝1 时，不等式的解集为 ；
|1<x<1
当 a>1 时，不等式的解集为 x a
【答案】 A
【解析】由题意知 a 1,b 0, a b 2 ，可得： (a 1) b 1, a 1 0 ，
则 1 1 [(a 1) b]( 1 1 ) 1 1 a 1 b 3 2 a 1 b 3 2 ，
a 1 2b
a 1 2b
2 2b a 1 2
2b a 1 2
1
【答案】D 【解析】由题意得 A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y>0}， ∴ A∩B＝{x|0<x<2}＝(0,2).故选 D. 【例 2】解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0). 【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
x
7
0
7)
0
7
x
3，
∴原不等式的解集是x | 7 x 3.
【例
2】解不等式
x
1
2
3
．
解：原不等式可化为：
x
1
2
3
0
3x 5 x2
0
3x 5 x2
0
(3x x
2
5)( x 0
2)
0
x 2 或x 5 3
，
所以原不等式的解集为{x | x 2或x 5} ． 3
说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为 0．
30 70
x∈∅
或7 x 3 7 x 3，
∴原不等式的解集是x | 7 x 3．
4
解法 2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者
因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．
∵
x3 x7
0
(x 3)(x
12
1
x
x2
6x
12
x2 7x 12 0 x 3x 4 0 3 x 4
不等式的解集为 3,4
【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号
方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为
f g
x x
0
再进行求解
三、基本不等式
运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
故答案为：D.
(2)因为 m 0 ， xy 0 ， x y 2 ，
所以
2 x
m y
1 2
x
y
2 x
m y
1 2
mx y
2y x
m
2
1
2
2
2m m 2
.因为不等式
2 x
m y
4
恒成立，所以
1 2
2
2m m 2
（3）对形如
f g
x x
0 的不等式，可根据符号特征得到只需
f
x,g
x
同号即可，所以将分式不等
f x g x 0
式转化为
g
x
0
（化商为积），进而转化为整式不等式求解
1.例题
【例
1】
解不等式：
x3 x7
0．
【解析】解法 1：化为两个不等式组来解：
∵
x3 x7
0
x x
3 7
0 x 或 0 x
| ①当
a>0
时，－a<a，解集为
x
x<－a，或 4
x>a 3
；
43
3
②当 a＝0 时，x2>0，解集为{x|x∈R，且 x≠0}；
| ③当
a<0
时，－a>a，解集为
x
x<a，或 3
x>－a 4
.
43
|x<－a，或 x>a
综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x 4
3 ；当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}；
x－1＋4＋ x－1
1
当 x－1>0 时，y＝ x－1＋
4
≤ 1 ＝1，∴当且仅当 ＋1 4＋1 5
x－1＝
4 等号成立，即 x－1
x＝5
时，ymax＝15.
x－1
【练习
2】已知